Introduction aux analyses multidimensionnelles
1.1 R Commander et FactoMineR sur les appareils de la salle de TD .... (1979), la
dépression s'explique par la présence et l'activité constante de schémas ..... (non
corrigé) s de l'ensemble des valeurs sur tous les individus des observations.
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Méthodes d'analyse des données multidimensionnelles avec R Commander et Factominer
Installer les composants logiciels nécessaires
R Commander et FactoMineR sur les appareils de la salle de TD
Le package FactoMineR et le menu FactoMineR de R Commander ont été installés sur (pratiquement tous) les appareils de la salle A206. Il suffit donc de charger R (de préférence à l'aide du raccourci disponible sur le site Web) puis d'utiliser le menu Packages > Charger le package ... > Rcmdr.
R Commander et FactoMineR sur un appareil personnel
On se reportera au polycopié de L3 (EC PSY54A) pour l'installation de R Commander.
Installation automatique
On peut ensuite installer FactoMineR en se rendant sur le site : http://factominer.free.fr/ et en suivant les instructions données dans le paragraphe : "Installing FactoMineR and its Graphical User Interface". Mais ce procédé d'installation peut échouer, car il ne teste pas suffisamment la configuration de la machine sur laquelle le package doit être installé.
Notamment, cette méthode est à proscrire si votre appareil ne fonctionne pas sous Windows.
Installation en partie manuelle
On peut aussi utiliser le menu Packages > Installer le(s) Package(s) de la console de R pour installer FactoMineR et les packages qu'il utilise (au moins "ellipse","scatterplot3d").
Ensuite, on télécharge les deux fichiers :
http://factominer.free.fr/Rcmdr-facto-fr.r et http://factominer.free.fr/add-menu-facto-fr.txt
Pour installer l'interface utilisateur (c'est-à-dire le menu), affichez le contenu du répertoire \etc relatif à R Commander (par exemple : C:\Program Files\R\R-2.15.1\library\Rcmdr\etc, plus généralement : \library\Rcmdr\etc\ cmdr-menus.txt
- Ouvrez le fichier \library\Rcmdr\etc\ le fichier Rcmdr-facto-fr.r
En cas de messages d'erreur au chargement de R Commander :
- vérifiez dans la console si l'erreur n'est pas due à des packages manquants. Si c'est le cas, installez ces packages ;
- si l'erreur est d'une autre nature, il est possible de revenir en arrière en supprimant le fichier Rcmdr-facto-fr.r qui a été copié dans \library\Rcmdr\etc\Rcmdr.txt par la copie de sauvegarde qui avait été faite.
En dernier recours, on peut aussi supprimer le répertoire Analyse en composantes principales
Sélectionnez les 7 variables numériques. Utilisez le bouton "Options graphiques" pour supprimer les sorties graphiques et le bouton "Sorties" pour demander l'écriture des données relatives aux valeurs propres dans un fichier nommé Valeurs-propres-ACP.csv :
On obtient le résultat suivant, qui nous conduit à étudier 2 ou 3 axes :
eigenvaluepercentage of variancecumulative percentage of variancecomp 12,12092188830,2988841130,29888411comp 21,7837879925,4826855755,78156968comp 30,93184898713,3121283869,09369806comp 40,78442757511,2061082180,29980627comp 50,639936459,14194928689,44175556comp 60,4196043575,9943479695,43610352comp 70,3194727544,563896481100
Refaites ensuite l'analyse, en indiquant 3 axes.
Ouvrez le fichier Depression.Age.ACP.csv à l'aide d'Excel ou de LibreOffice Calc et utilisez le menu Recherche/Remplacement pour remplacer les points par des virgules, afin que les données soient reconnues comme données numériques.
Outre les graphiques des variables et des individus, et les résultats relatifs aux valeurs propres, on obtient les résultats suivants :
Pour les variables :
Les coordonnées :
coord Dim.1Dim.2Dim.3Age0,1219-0,48360,7569............Les corrélations entre les variables et les composantes principales, identiques aux coordonnées :
cor Dim.1Dim.2Dim.3Age0,1219-0,48360,7569............Les qualités de représentation (cosinus2)
cos2 Dim.1Dim.2Dim.3Age0,01490,23390,5729............Les contributions à l'inertie de chacun des axes
contrib Dim.1Dim.2Dim.3Age0,700913,1161,4845............
Des résultats analogues (coordonnées, cosinus2 et contributions) pour les individus :
coord Dim.1Dim.2Dim.311,70862,49710,46252.........
cos2 Dim.1Dim.2Dim.310,28610,61110,0212.........
contrib Dim.1Dim.2Dim.311,37653,49550,22952.........
Les distances à l'origine de chacun des individus :
dist3,1943052,0617862,4855382,546475...
Le logiciel donne ensuite des résultats relatifs aux dimensions en donnant pour chacune d'entre elles, la liste des variables significativement corrélées avec la composante concernée, ainsi que la p-value correspondante :
Dim.1quanti correlationp.valueGDS0,82880TCB0,69910BSD0,58790CIA0,54560MADRS0,49630HDRS0,20210,0438
Le logiciel permet également d'effectuer une classification des individus à partir des résultats de l'ACP. Reprenez le même menu et cliquez sur le bouton "Réaliser une classification après l'ACP" :
Demandez l'écriture des résultats numériques dans le fichier Depression.Age.ACP2.csv.
Dans le graphique "Hierarchical Clustering", cliquez de façon à indiquer le nombre de classes souhaité (par exemple 4 classes).
On obtient alors de nombreux résultats complémentaires dans la fenêtre de sortie :
- La classe dans laquelle est rangé chaque individu :
clust
54 4
85 4
...
Le coefficient eta-2 est calculé entre la variable qualitative "classe d'appartenance" et chacune des variables numériques qui ont participé à l'ACP. La p-value indiquée est celle que l'on obtiendrait si l'on faisait une analyse de variance à un facteur en utilisant l'appartenance aux classes comme variable indépendante et la variable numérique concernée comme variable dépendante :
> res.hcpc$desc.var
$quanti.var
Eta2 P-value
MADRS 0.5768872 7.081087e-18
GDS 0.5360300 5.706143e-16
TCB 0.3995200 1.179401e-10
HDRS 0.3549011 3.478603e-09
BSD 0.3069478 1.014909e-07
CIA 0.2800726 6.038341e-07
Age 0.2217425 2.280821e-05
Les valeurs tests pour chaque variable et chaque classe.
$quanti
$quanti$`1`
v.test Mean in category Overall mean sd in category Overall sd p.value
GDS 5.662286 23.625018 18.56 3.339481 4.17 1.493692e-08
MADRS 5.397334 29.399423 22.58 4.167307 5.89 6.763858e-08
TCB 4.462470 5.083321 3.59 1.425367 1.56 8.102011e-06
HDRS 3.413416 20.637007 16.91 4.192585 5.09 6.415382e-04
CIA 2.416589 5.203135 4.41 1.265161 1.53 1.566669e-02
BSD 2.343868 4.174519 3.36 1.258381 1.62 1.908493e-02
...
Les tests menés correspondent à l'idée suivante : dans une population d'effectif N (ici N=100), on tire au hasard sans remise un échantillon de taille n (ici, n est l'effectif de la classe, n=18). Quelle est la probabilité d'observer un écart au moins aussi élevé entre la moyenne d'échantillon et la moyenne de la population ? Autrement dit, on peut énoncer H0 et H1 sous la forme :
H0 : L'échantillon est tiré au hasard dans la population observée.
H1 : L'échantillon n'est pas tiré au hasard dans la population observée.
Le principe du calcul est le suivant : pour chaque variable et chaque classe, on calcule la moyenne EMBED Equation.3 des valeurs de la variable sur les individus constituant la classe, la moyenne sur l'ensemble des individus EMBED Equation.3 , l'écart type (non corrigé) EMBED Equation.3 des valeurs de la variable sur les individus constituant la classe et l'écart type (non corrigé) s de l'ensemble des valeurs sur tous les individus des observations. On calcule ensuite la valeur test selon la formule donnée par Escoffier et Pagès :
EMBED Equation.3
On calcule ensuite la p-value correspondante pour un test bilatéral, en utilisant une loi normale centrée réduite. Cette p-value indique si la moyenne de la classe est significativement différente de celle de l'ensemble, pour la variable considérée.
Des calculs analogues sont menés sur les composantes principales (coordonnées des individus sur les composantes principales) :
attr(,"class")
[1] "catdes" "list "
> res.hcpc$desc.axes
$quanti.var
Eta2 P-value
Dim.1 0.7500547 8.551039e-29
Dim.2 0.5856780 2.603760e-18
$quanti
$quanti$`1`
v.test Mean in category Overall mean sd in category Overall sd p.value
Dim.1 6.495502 2.0292154 -3.609960e-16 0.8351718 1.456339 8.275688e-11
Dim.2 2.895480 0.8295552 -3.199006e-16 1.0246548 1.335585 3.785791e-03
...
Pour chaque classe et les individus qui lui appartiennent, on indique la distance de l'individu au centre de classe, distance calculée à partir des coordonnées factorielles de l'individu :
attr(,"class")
[1] "catdes" "list "
> res.hcpc$desc.ind
$para
cluster: 1
41 36 26 66 16
0.5902048 1.0271860 1.0941814 1.1584004 1.1913318
------------------------------------------------------------
...
Enfin, pour chaque classe et les individus qui lui appartiennent, on indique le minimum des distances de cet individu aux centres des autres classes :
$dist
cluster: 1
37 14 82 81 7
4.020251 3.962107 3.801437 3.566495 3.144243
------------------------------------------------------------
...
Analyse Factorielle des Correspondances : résultats fournis par Factominer
Le menu Factominer de R Commander permet de réaliser une AFC à partir d'un tableau de contingence. Pour explorer les possibilités fournies par le logiciel, nous allons utiliser l'exercice 2.4.5 p. 71 des feuilles de TD.
Chargez le jeu de données Tax.Avoidance.RData et observez la façon dont les données ont été structurées. Les données ont été importées depuis un fichier Excel. Le menu Données > Jeu de données actif > Nom des cas... a été utilisé pour nommer les modalités lignes d'après les libellés des 34 catégories sémantiques.
Réalisez une AFC à l'aide du menu FactoMineR > Analyse Factorielle des Correspondances (AFC). On garde toutes les lignes et toutes les colonnes comme individus actifs et on choisit de mener l'étude sur les deux premiers axes factoriels. Comme précédemment, on peut demander (bouton "Sorties") que les résultats numériques soient écrits dans un fichier .csv nommé par exemple Tax.Avoidance.AFC.csv.
Examinons les résultats numériques produits par le logiciel. Nous retrouvons les valeurs propres, les coordonnées, les contributions à l'inertie et les cos2 des modalités lignes et colonnes ainsi que l'inertie (absolue) de ces modalités dans l'espace multidimensionnel. On pourra vérifier par exemple que la somme des inerties des modalités colonnes est égale à l'inertie totale (Phi-2), c'est-à-dire à la somme des valeurs propres.
A la suite de ces résultats, le logiciel classe les modalités lignes et les modalités colonnes par coordonnée croissante, sur chaque dimension.
On peut également demander que soit effectuée une classification sur les lignes ou sur les colonnes, à partir des coordonnées dans le premier plan factoriel :
Nous obtiendrons des résultats sans surprise en choisissant de faire une classification des colonnes et en choisissant 3 classes dans le graphique interactif. Les résultats numériques sont fournis dans la fenêtre de sortie :
Appartenance des 12 modalités colonnes aux différentes classes
> res.hcpc$data.clust[,ncol(res.hcpc$data.clust),drop=F]
clust
FF.P 1
FF.E 1
FF.F 1
FF.A 1
NF.A 3
NF.P 3
NF.F 3
NF.E 3
EF.F 2
EF.P 2
EF.A 2
EF.E 2
Coefficients eta-2 entre les classes et les coordonnées des modalités sur les deux dimensions
> res.hcpc$desc.var
$quanti.var
Eta2 P-value
Dim.1 0.9906833 7.272556e-10
Dim.2 0.9203743 1.134331e-05
Pour la première classe, seule la première dimension fournit une valeur test significative
$quanti
$quanti$`1`
v.test Mean in category Overall mean sd in category Overall sd
Dim.1 -3.089931 -0.7526344 0.06041878 0.02339161 0.6170943
p.value
Dim.1 0.00200203
Pour la deuxième classe, les deux dimensions fournissent des valeurs tests significatives
$quanti$`2`
v.test Mean in category Overall mean sd in category Overall sd
Dim.1 2.551137 0.7316993 0.06041878 0.07231953 0.6170943
Dim.2 -2.076352 -0.4716526 0.09225827 0.09866733 0.6369286
p.value
Dim.1 0.01073720
Dim.2 0.03786138
Pour la troisème classe, seule la deuxième dimension fournit une valeur test significative
$quanti$`3`
v.test Mean in category Overall mean sd in category Overall sd
Dim.2 3.126156 0.9412824 0.09225827 0.2816268 0.6369286
p.value
Dim.2 0.001771077
attr(,"class")
[1] "catdes" "list "
La description des axes fournit des résultats identiques aux précédents
Les distances au centre de classe pour les modalités faisant partie de la classe considérée
attr(,"class")
[1] "catdes" "list "
> res.hcpc$desc.ind
$para
cluster: 1
FF.A FF.F FF.E FF.P
0.02987127 0.07545981 0.08491899 0.14079825
------------------------------------------------------------
cluster: 2
EF.P EF.F EF.A EF.E
0.04665165 0.05971005 0.13706683 0.18796927
------------------------------------------------------------
cluster: 3
NF.F NF.A NF.E NF.P
0.03346484 0.15767943 0.34689981 0.43634580
Le minimum des distances aux centres des autres classes pour les modalités faisant partie de la classe considérée
$dist
cluster: 1
FF.E FF.F FF.A FF.P
1.512182 1.476959 1.453368 1.401372
------------------------------------------------------------
cluster: 2
EF.A EF.P EF.F EF.E
1.514131 1.476553 1.451026 1.429699
------------------------------------------------------------
cluster: 3
NF.P NF.F NF.A NF.E
1.825761 1.515716 1.325006 1.163512
Les résultats sont ici ceux attendus. Il pourrait être plus intéressant de faire la classification sur les modalités lignes, en conservant 3 classes, pour caractériser les catégories sémantiques par rapport aux 3 scénarios :
Analyse des correspondances multiples : résultats fournis par Factominer
Le menu FactoMineR de R Commander permet de réaliser une ACM à partir d'un tableau protocole. Nous allons l'essayer sur l'exemple suivant :
Source : Site de B. Le Roux http://www.math-info.univ-paris5.fr/~lerb/ consulté le 27 février 2013.
On a soumis à un échantillon de 1215 sujets (britanniques) un questionnaire relatif à leurs préférences en matière de sorties et de loisirs culturels. On s'intéresse ici aux quatre questions suivantes :
- TV : préférences en matière de programme de télévision ; 8 modalités : Séries-tv, Documentaire Nature, Variétés, Information, Sport, Drame, Séries policières, Télé-films
- Film : préférences en matière de films ; 8 modalités : Action, Horreur, Historique, Documentaire, Comédie, Comédie musicale, Science-fiction, Romantique
- Art : préférences en matière d'art ; 7 modalités : Paysage, Nature morte, Portrait, Impressionnisme, Performance, Moderne, Renaissance
- Restaurant : préférences en matière de sorties au restaurant ; 6 modalités : Grill, Indien, Pub, Italien, Fish&Chips, Français ; "Indien" regroupe en fait différents types de restaurants orientaux : Indien, Chinois, Thaï.
On a aussi relevé le sexe de la personne interrogée (deux modalités), qui sera utilisée comme variable supplémentaire.
Chargez le jeu de données Taste.Example.RData. Explorez les données au niveau descriptif puis réalisez une ACM avec les spécifications suivantes :
- Variables actives : TV, Film, Art, Restaurant
- Variable supplémentaire : Genre
- Individus supplémentaires : observations de numéro supérieur ou égal à 1216.
- Nombre d'axes à étudier : 2
- Spécifications pour le graphique : ne pas représenter les individus (ni actifs, ni supplémentaires).
Les résultats produits devraient vous conduire au graphique suivant :
A noter : le graphique relatif aux variables positionne celles-ci selon les valeurs des coefficients eta-2 sur chacun des axes :
Les résultats numériques permettent de répondre aux questions suivantes :
1) a) L'inertie totale du nuage de points est I = 6,25. Comment peut-on retrouver cette valeur ?
On sait que l'inertie relative des questions dépend seulement de leur nombre de modalités. Calculer l'inertie relative de chacune des quatre questions.
b) Examiner les tableaux donnant les tris à plat des cinq variables étudiées. Pour la méthode utilisée, quelles sont les recommandations généralement indiquées en ce qui concerne le nombre de modalités des différentes questions et les fréquences des modalités ? Dans quelle mesure ces conditions sont-elles vérifiées sur l'exemple traité ici ? Quelle est la variable pour laquelle ces recommandations sont les moins bien respectées ?
2) On donne ci-dessous le tableau des taux d'inertie modifiés :
ValProp. EMBED Equation.3 Taux d'inertie modifiésCumuls10,40040,0226147,59%47,59%20,35120,0102321,54%69,13%30,32500,0056311,84%80,97%40,30810,003377,10%88,07%50,29890,002395,03%93,10%60,28760,001412,98%96,07%70,27820,000801,68%97,75%80,27390,000571,20%98,95%90,26820,000330,70%99,65%100,26000,000100,21%99,86%110,25820,000070,14%100,00%120,25120,000000,00%100,00%Total 0,04751
a) Pourquoi ce tableau ne comporte-t-il que 12 valeurs propres, alors que le tableau complet en indique 25 ? Indiquer comment a été calculée la première valeur propre modifiée (0,02261) et le premier taux d'inertie modifié (47,59%).
b) Interpréter les tableaux relatifs aux valeurs propres. Combien d'axes serait-il pertinent d'étudier (on n'étudiera cependant que les deux premiers axes) ?
3) Etude des deux premiers axes.
a) Quelles sont les modalités dont la contribution est supérieure à la moyenne sur le premier axe ? Pour chacune d'elles, préciser le signe de la coordonnée correspondante. Comment peut-on interpréter cet axe en termes d'opposition entre modalités ?
b) Même question pour le deuxième axe.
4) Le tableau "Synthèse par question sur les deux premiers axes" indique l'inertie de chacune des quatre questions actives sur les deux premiers axes.
a) Indiquer comment a été calculée l'inertie de la question "TV" sur le premier axe (0,3075).
b) Quels commentaires peut-on faire concernant les inerties des quatre questions sur chacun des deux axes ?
c) Calculer le rapport de corrélation (coefficient (2) entre la première variable factorielle et la question "Film", puis de même entre la première variable factorielle et la question "Restaurant". Commenter les résultats obtenus.
5) Des chercheurs ont proposé d'expliquer les résultats de cette étude en termes de goûts du public : goûts plutôt populaires ou au contraire plutôt sophistiqués, goûts pour les fictions ou au contraire pour les produits culturels en prise avec la réalité. Dans quelle mesure ces éléments permettent-ils de décrire les oppositions observées sur les deux axes étudiés ?
6) La variable "Sexe" a été prise comme variable supplémentaire dans cette étude. Commenter la position des modalités de cette variable sur le graphique. Peut-on en déduire des résultats concernant le lien entre les goûts des sujets et leur sexe ? Lesquels ?
Remarque. Il est également possible de demander une classification. Celle-ci porte sur les lignes (ici les personnes interrogées). Outre les résultats observés dans les méthodes précédentes, on obtient :
- Les résultats des tests du khi-2 sur les tableaux de contingence obtenus en croisant l'appartenance à une classe et la modalité choisie pour chaque question :
> res.hcpc$desc.var
$test.chi2
p.value df
TV 7.701093e-207 14
Film 5.387389e-140 14
...
- La composition des classes en termes de fréquence des différentes modalités (fréquence de la modalité dans la classe et fréquence de la classe dans la modalité) :
$category
$category$`1`
Cla/Mod Mod/Cla Global p.value v.test
TV=Information 83.181818 36.6 18.106996 1.834020e-45 14.151275
Film=Historique 87.857143 24.6 11.522634 4.202302e-34 12.175419
...
PSY83A - Analyses multidimensionnelles et applications informatiques 2013/2014
PAGE
PAGE 7
F.-G. Carpentier - 2014
