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TD - Physique Appliquée

TD Sciences Appliquées STS. Transformateurs ..... Déterminer les intensités efficaces et les phases des trois courants de ligne iR3, iS3, iT3. Placer ces courants ...




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TD Sciences Appliquées STS
Transformateurs

 TOC \o "1-3" \h \z \u  HYPERLINK \l "_Toc229630513" Triphasé  PAGEREF _Toc229630513 \h 2
 HYPERLINK \l "_Toc229630514" Exercice 1. Contrôle des connaissances  PAGEREF _Toc229630514 \h 2
 HYPERLINK \l "_Toc229630515" Exercice 2. Equilibré Relèvement de cos ( :(Solution 1)  PAGEREF _Toc229630515 \h 2
 HYPERLINK \l "_Toc229630516" Exercice 3. Equilibré Pertes en ligne : Boucherot: (Solution 2)  PAGEREF _Toc229630516 \h 2
 HYPERLINK \l "_Toc229630517" Exercice 4. Equilibré amélioration du cos ( d’une installation (Solution 3)  PAGEREF _Toc229630517 \h 2
 HYPERLINK \l "_Toc229630518" Exercice 5. Courant circulant dans le fil de neutre en régime triphasé (Solution 4)  PAGEREF _Toc229630518 \h 3
 HYPERLINK \l "_Toc229630519" Exercice 6. Charge déséquilibré Eclairage d'un immeuble (Solution 5)  PAGEREF _Toc229630519 \h 3
 HYPERLINK \l "_Toc229630520" Exercice 7. Charge déséquilibrée (Solution 6)  PAGEREF _Toc229630520 \h 3
 HYPERLINK \l "_Toc229630521" Exercice 8. Source et charge déséquilibrée (Solution 7)  PAGEREF _Toc229630521 \h 4
 HYPERLINK \l "_Toc229630522" Exercice 9. Charge déséquilibré Etude de 4 montages étoiles simples ( Solution 8)  PAGEREF _Toc229630522 \h 4
 HYPERLINK \l "_Toc229630523" Exercice 10. Charge déséquilibrée R,L,C étoile puis triangle (TP)  PAGEREF _Toc229630523 \h 4
 HYPERLINK \l "_Toc229630524" Exercice 11. Récepteur étoile et triangle déséquilibrés (TP possible)  PAGEREF _Toc229630524 \h 5
 HYPERLINK \l "_Toc229630525" Triphasé Sujets BTS  PAGEREF _Toc229630525 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc229630526" Exercice 1. BTS 2001 charge équilibrée (Solution 9)  PAGEREF _Toc229630526 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc229630527" Exercice 2. BTS 99_2 Charge déséquilibrée ( Solution 10)  PAGEREF _Toc229630527 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc229630528" Exercice 3. BTS 79_1 Influence d’un condensateur sur les mesures de puissance ( (Précis II p21) (Solution 11)  PAGEREF _Toc229630528 \h 8
 HYPERLINK \l "_Toc229630529" Exercice 4. BTS 73_1(Solution 12)  PAGEREF _Toc229630529 \h 10
 HYPERLINK \l "_Toc229630530" Exercice 5. BTS 71(Solution 13)  PAGEREF _Toc229630530 \h 11
 HYPERLINK \l "_Toc229630531" Triphasé Corrections  PAGEREF _Toc229630531 \h 13
 HYPERLINK \l "_Toc229630532" Solution 1. Exercice 2 : Equilibré Relèvement de cos ( :(Solution 1)  PAGEREF _Toc229630532 \h 13
 HYPERLINK \l "_Toc229630533" Solution 2. Exercice 3 : Equilibré Pertes en ligne : Boucherot: (Solution 2)  PAGEREF _Toc229630533 \h 13
 HYPERLINK \l "_Toc229630534" Solution 3. Exercice 4 : Equilibré amélioration du cos ( d’une installation (Solution 3)  PAGEREF _Toc229630534 \h 14
 HYPERLINK \l "_Toc229630535" Solution 4. Exercice 5 : Courant circulant dans le fil de neutre en régime triphasé  PAGEREF _Toc229630535 \h 14
 HYPERLINK \l "_Toc229630536" Solution 5. Exercice 6 : Charge déséquilibré Eclairage d'un immeuble  PAGEREF _Toc229630536 \h 14
 HYPERLINK \l "_Toc229630537" Solution 6. Exercice 7 : Charge déséquilibrée (Solution 6)  PAGEREF _Toc229630537 \h 15
 HYPERLINK \l "_Toc229630538" Solution 7. Exercice 8 : Source et charge déséquilibrée (Solution 7)  PAGEREF _Toc229630538 \h 15
 HYPERLINK \l "_Toc229630539" Solution 8. Exercice 9 : Charge déséquilibré Etude de 4 montages étoiles simples ( Solution 8)  PAGEREF _Toc229630539 \h 16
 HYPERLINK \l "_Toc229630540" Solution 9. Exercice 1 : BTS 2001 charge équilibrée  PAGEREF _Toc229630540 \h 16
 HYPERLINK \l "_Toc229630541" Solution 10. Exercice 2 : BTS 99_2 Charge déséquilibrée ( Solution 10)  PAGEREF _Toc229630541 \h 16
 HYPERLINK \l "_Toc229630542" Solution 11. Exercice 3 : BTS 79_1 Influence d’un condensateur sur les mesures de puissance ( (Précis II p21) (Solution 11)  PAGEREF _Toc229630542 \h 19
 HYPERLINK \l "_Toc229630543" Solution 12. Exercice 4 : BTS 73_1(Solution 12)BTS 73_1  PAGEREF _Toc229630543 \h 19
 HYPERLINK \l "_Toc229630544" Solution 13. Exercice 5 : BTS 71(Solution 13)  PAGEREF _Toc229630544 \h 20


Triphasé
Contrôle des connaissances
Entourer la ou les bonnes réponses.
On considère un récepteur triphasé équilibré couplé en étoile à un réseau triphasé.
Chaque élément est soumis à la tension entre phases U.
L'intensité efficace du courant en ligne I vérifie  EMBED Equation.DSMT4  où J est l'intensité du courant traversant chaque élément du récepteur.
La tension composée est liée à la tension simple par la relation  EMBED Equation.DSMT4 
L'utilisation d'un seul wattmètre permet de déterminer la puissance active absorbée par le récepteur.
Le facteur de puissance  EMBED Equation.DSMT4 k = S est égal à cos(.
Equilibré Relèvement de cos ( :HYPERLINK \l "_Solution_de_Equilibré"( REF _Ref222040053 \h\n Solution 1)
Une installation électrique triphasée équilibrée 230/400 V comporte :
Un four, purement résistif, de puissance P1 = 4 kW
Un moteur asynchrone triphasé de puissance 10 kW, de rendement ( = 0.8 et de facteur de puissance k= 0.82
Déterminer le courant de ligne de l’installation et la capacité des condensateurs, pour relever le facteur de puissance à 0.94 .
Equilibré Pertes en ligne : Boucherot: ( REF _Ref222040189 \h\n Solution 2)
Soit le schéma ci contre :
- U=400 V ; P= 20 kW ; cos (=0,8 inductif
- ligne r=0,3 ( et ((=0,6 (
- K : interrupteur triphasé
 EMBED Word.Picture.8 1°) K ouvert
Calculer I=I’
Calculer U’
2°) K fermé : on veur réduire le courant de ligne I’, de telle sorte que les pertes en ligne soient diminuées de 20 %
Calculer la nouvelle valeur de I’
En supposant U=400 V , calculer C et IC.

Equilibré amélioration du cos ( d’une installation ( REF _Ref222042287 \h\n Solution 3)
Une charge équilibrée de nature inductive est alimentée par le biais d’un système équilibré direct de tension (U=400V).
Le courant de ligne est alors de 5,26 A.
Comment peut-on vérifier qu’un système d’alimentation de tensions est direct.
Après le branchement en triangle de trois condensateur sur l’installation, le courant consommé est alors I’= 3,29 A. Sachant que chaque condensateur fournit une puissance réactive de 598 VAR, calculer les puissances active et réactive consommées par la charge inductive.
En utilisant la méthode des deux wattmètres, en déduire les indications fournies par chacun d’eux.
Courant circulant dans le fil de neutre en régime triphasé ( REF _Ref222042619 \h\n Solution 4)
On considère un système triphasé équilibré parcouru par des courants sinusoïdaux d'amplitudes identiques.
On donne  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
Exprimer I1, I2 et I3. En déduire l'intensité efficace IN du courant circulant dans le fil de neutre.
Le système est maintenant déséquilibré, suite à un défaut apparu sur la charge. On a alors  EMBED Equation.DSMT4  ,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  avec I' = 3 A.
Calculer l'intensité efficace IN du courant circulant dans le fil de neutre.Charge déséquilibré Eclairage d'un immeuble ( REF _Ref229627316 \h\n Solution 5)
L'installation est alimentée par un réseau TED (Transformateur Etanche Débrochable) 200 V (entre phases) avec neutre. Entre les fils de phase 1, 2, 3 et le neutre se trouvent respectivement branchées à un certain moment :
30 lampes à incandescence de 100 W,
20 lampes à incandescence de 100 W,
10 lampes à incandescence de 100 W.
a) Quels sont alors les courants dans les fils de phase 1, 2, 3 et dans le fil neutre ?
b) A ce moment se produit, à l'entrée de l'immeuble, une rupture du fil neutre. Quelles valeurs prennent les courants dans les fils de phase ?
c) Sachant qu'une lampe ne supporte pas de surtension de 20 %, y aura-t-il des lampes hors d'usage (on admettra ici que la résistance du filament de chaque lampe ne varie pas sensiblement quand la tension à ses bornes varie) ?
d) On constatera en effet que l'un des groupes de lampes doit être hors d'usage. Lequel ?
e) Que deviennent alors les tensions aux bornes des deux autres groupes de lampes ? Conclusion ?

Charge déséquilibrée ( REF _Ref222043698 \h\n Solution 6)
On considère le montage étoile suivant :
Le système d’alimentation est triphasé équilibré direct. On rappelle l’expression des nombres complexes  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 
La tension phase neutre a pour valeur efficace V=230 V . On donne :
 EMBED Equation.DSMT4  ;  EMBED Equation.DSMT4 ;  EMBED Equation.DSMT4  avec R= 230 (
 EMBED Word.Picture.8 Calculer V0
En déduire les valeurs complexes des courants de chaque phase, et leur valeur efficace.
Calculer la puissance active fournie par chaque phase et la puissance totale absorbée par la charge.
Calculer la puissance réactive fournie par chaque phase et la puissance réactive totale absorbée par la charge.

Source et charge déséquilibrée ( REF _Ref222045466 \h\n Solution 7)
On considère le montage étoile suivant :
Le système d’alimentation est triphasé déséquilibré. La résistance R est fixe, la phase « c » a été branchée par erreur en opposition de phase si bien que l’on écrit en notation complexe :
 EMBED Equation.DSMT4  ;  EMBED Equation.DSMT4  ;  EMBED Equation.DSMT4 .
On rappelle que  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Word.Picture.8 Déterminer les composantes de Fortescue du système des tensions.
Exprimer les courants Ia, Ib, IC, IN en notation complexe en fonction de  EMBED Equation.DSMT4 .
En déduire les composantes de Fortescue du système des courants en fonction de  EMBED Equation.DSMT4 .
Déterminer les puissances active et réactive absorbées par la charge, par un calcul direct, puis en utilisant les composantes des Fortescue et comparer.
Charge déséquilibré Etude de 4 montages étoiles simples (  REF _Ref222045624 \h\n Solution 8)
On considère les 4 montages suivants : (l’alimentation est triphasée équilibrée)
La valeur efficace de la tension composée est U.
 EMBED Word.Picture.8   EMBED Word.Picture.8 

 EMBED Word.Picture.8   EMBED Word.Picture.8 
On donne R= 23 ( ; U = 400 V ;  EMBED Equation.DSMT4  ; C= 25 µF ; ( = 100 ( rad/s
Calculer les puissances actives et réactives fournies par l’alimentation pour les 4 montages
Expliquer le principe de la méthode de la mesure des puissances active et réactive en utilisant deux wattmètres branchés sur les fils a et b. Pour chacun des montages, quelles seraient les indications fournies par chaque wattmètre en appliquant cette méthode.

Charge déséquilibrée R,L,C étoile puis triangle (TP)
Ce montage peut-être vu en Tp
On donne R=330(, L = 0,4 H et C= 15 µF etU=240 V
On associe les dipôles en étoile suivant le schéma ci-contre,
Déterminer les intensités efficaces des courants i1, i2 , i3 et in .
Inverser l’ordre de phases et refaire le calcul précédent.
On débranche le fil neutre 
Déterminer la tension Von entre le point neutre et le point commun O du circuit pour le premier cas .
Déterminer alors les tensions V1O , V2O et V3O . En déduire les courants i’1, i’2 et i’3
Déterminer les composantes de Fortescue
 EMBED Word.Picture.8 On associe les dipôles en triangle suivant le schéma ci-contre,
déterminer les intensités efficaces des courants j12 ,j23 et j31 .
En déduire les valeurs des intensités des courants i1, i2 et i3 .
Déterminer les puissances absorbées par les dipôles.
Quelles seraient les indications des deux wattmètres utilisés dans la méthode dite «  des deux Wattmètres » .
 EMBED Word.Picture.8 Récepteur étoile et triangle déséquilibrés (TP possible)
RECEPTEUR ETOILE AVEC NEUTRE.
Phase 1 : R1 = 125 Wð ; L1 = 0,2 H
Phase 2 : R2 = 125 Wð ; C2 = 6 mðF (série)
Phase 3 : R3 = 220 Wð 
1- Calculer les intensités des courants en ligne (phase et neutre), et les puissances globales actives et réactives.
2- Le fil de neutre étant rompu, calculer les nouvelles valeurs des tensions (VN’N, V’1, V’2, V’3), intensités et puissances.
3- Tracer le diagramme de Fresnel des tensions et courants dans les deux cas :
fonctionnement normal ;
fil de Neutre coupé.

RECEPTEUR TRIANGLE.
Alimentation U= 230V
R = 60 Wð 
RL = 125 Wð 
L = 0,5 H
RC = 290 Wð 
C = 6 mðF
 EMBED Word.Picture.8 1- Calculer les intensités des courants dans les récepteurs et les courants en ligne. (Prendre la tension U12 comme référence de phase.)
2- Le fil de la ligne 3 étant coupé, calculer les nouvelles intensités en ligne, les tensions aux bornes de R1 et de la bobine (R2, L2).(Prendre la tension U12 comme référence de phase.)
3- Tracer le diagramme de Fresnel des tensions et courants dans les deux cas :
fonctionnement normal ;
fil de phase 3 coupé.

Triphasé Sujets BTS
BTS 2001 charge équilibrée ( REF _Ref222199907 \h\n Solution 9)
On suppose que la charge constituée par l'usine est alimentée sous une tension de valeur efficace constante U = 400 V, de fréquence f =50 Hz, et qu'elle absorbe une puissance active constante P =150 kW , une puissance réactive Q positive, avec un facteur de puissance très variable, évoluant entre 0,4 et 1
On note Ps et Qs les puissances fournies par la source triphasée.

1. Entre quelles valeurs Imin et Imax évolue le courant de ligne ?
2. Pour quelle valeur du facteur de puissance de la charge atteint-on I = 360 A ? A quelle puissance apparente de la source cela correspond-il ?
3. Un transformateur de 250 kVA convient-il pour tous les facteurs de puissance possibles, compris entre 0, 4 et 1 ?

Lorsque le facteur de puissance de la charge est faible, on branche en parallèle une batterie de 3 condensateurs identiques, de capacité C, montés en triangle.
On note Ps et Qs les puissances fournies par la source triphasée, Pct et Qct les puissances absorbées par la batterie de condensateurs et P et Q les puissances absorbées par la charge.

4. Pour un facteur de puissance de la charge de 0,40 on veut que Is = 240A. Etablir un bilan de puissances. En déduire la valeur de C




BTS 99_2 Charge déséquilibrée (  REF _Ref222067752 \h\n Solution 10)
Notations employées:
. a : valeur instantanée de la grandeur a(t).
. A : valeur efficace de a.
. A : grandeur complexe associée à a(t).  EMBED Equation.3 : vecteur de Fresnel associé à a(t).
. ( : phase à l'origine d'une grandeur b(t) par rapport à une grandeur a(t) : :
. ( : déphasage de v par rapport à i ::


Equilibrage d'une charge monophasée utilisée sur un réseau triphasé
Pour les fours électriques de forte puissance, les éléments chauffants, résistances ou inductances, sont des dipôles monophasés, et non des ensembles de trois éléments identiques, qui réaliseraient alors des charges triphasées équilibrées.
Pour le réseau qui alimente le four, une charge monophasée constitue une charge triphasée déséquilibrée. L'objet de l'étude est la transformation, par compensation, d'une charge monophasée en une charge triphasée équilibrée.
La charge est alimentée par un réseau triphasé équilibré direct, parfaitement sinusoïdal, (noté R, S, T, N) ; le neutre N n’est pas relié. Quand une phase à l'origine est demandée sans précision de la référence, elle devra toujours être donnée par rapport à la tension composée URS.

ETUDE DES PERTURBATIONS
Four à résistance sans circuit d'équilibrage
Une résistance de chauffage permettant d'obtenir une puissance P = 104 kW est branchée entre les phases R et S (figure 1), d'un réseau triphasé 400 V, 50 Hz.
Quel est le déphasage ( du courant jRS dans la résistance R par rapport à la tension uRS ?
Calculer les intensités efficaces et les phases à l'origine des trois courants en ligne iR1, iS1, iT1,
Placer ces courants sur le diagramme de Fresnel correspondant du document-réponse a). On notera (R1 la phase de iR1 et (S1 celle de iS1.
Calculer les composantes de Fortescue des 3 courants.

CORRECTION DES PERTURBATIONS
Four à résistance avec circuit d'équilibrage
On utilise le circuit d'équilibrage de la figure 2 : une inductance L entre les phases R et T et une capacité C entre les phases S et T. Dans les questions 1 et 2 seuls ces éléments sont branchés sur le réseau.
Les valeurs de C et de L sont choisies de manière à ce que les puissances réactives mises en jeu dans ces deux dipôles soient égales entre elles en valeur absolue Q = 60 kVAR.
Déterminer les valeurs de C( et de L(.
Calculer l'intensité du courant iS2 et son déphasage (S2 par rapport à uST. Calculer l'intensité efficace du courant iR2 et son déphasage par rapport à uRT, puis sa phase (R2 par rapport à uTR.
Placer ces courants sur le diagramme de Fresnel du document-réponse b).
En déduire l'intensité du courant iT2 et sa phase par rapport à uRS.
Calculer les composantes de Fortescue des 3 courants
On ajoute ce circuit de compensation à la résistance de la première question (figure 3) (superposition). Déterminer les intensités efficaces et les phases des trois courants de ligne iR3, iS3, iT3. Placer ces courants sur le diagramme de Fresnel du document-réponse c).
Conclure quand au système obtenu. Pourquoi parle-t-on d’équilibrage ?
Calculer la puissance active P et la puissance réactive Q fournies par le réseau R, S, T.

 EMBED Word.Picture.8   EMBED Word.Picture.8 
 EMBED Word.Picture.8 


BTS 79_1 Influence d’un condensateur sur les mesures de puissance ( (Précis II p21)  HYPERLINK \l "_de_BTS_79_1" ( REF _Ref222074430 \h\n Solution 11)
On dispose d’un système triphasé équilibré, de sens direct, relatifs aux tensions composées (u12, u23, u31), de valeurs efficaces U = 220 V et de fréquence 50 Hz.
La tension EMBED Equation.3 sera prise comme référence et on lui associe sa représentation complexe  EMBED Equation.DSMT4 
On rappelle que les tensions simples associées, côté réseau, (v1, v2, v3) forment aussi un système triphasé équilibré de sens direct tel que EMBED Equation.3 avec EMBED Equation.3 et ( = (/6°. La représentation complexe associée à v1 est donc :  EMBED Equation.DSMT4 .
Dans tout le problème, les tensions du réseau restent équilibrées.


Ce réseau alimente un récepteur, inductif triphasé équilibré (voir figure ci-dessous), monté en étoile, d’impédance complexe  EMBED Equation.DSMT4 (Z est le module de l’impédance ; ( est son argument). La valeur efficace des courants est notée I.
On mesure la puissance par la méthode des deux wattmètres. On relève EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 notées respectivement P1 et P2 de façon abrégée.

Etablir que EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
En déduire les expressions de la puissance active P et de la puissance réactive Q en fonction de P1 et P2.
Application numérique : P1 = 1041 W P2 = 279 W. Calculer P, Q, cos (, I, Z, Z.


On désire ramener le facteur de puissance à 1. Pour cela, on dispose trois condensateurs identiques, montés en triangle aux bornes du récepteur, comme le montre la figure suivante.
Calculer la valeur commune C des trois condensateurs.
Calculer la nouvelle valeur efficace I’ du courant en ligne.
Donner les valeurs des nouvelles indications P’1 et P’2 des deux wattmètres.


Au lieu de brancher 3 condensateurs en triangle, on ne branche qu’un seul condensateur C12 entre les fils de ligne 1 et 2 tel que les indications P’’1 et P’’2 soient égales (voir figure ci-dessous).

Donner la valeur de C12.
Comparer à C.
En déduire le courant Ic.
Sur la feuille graphique jointe, en utilisant les échelles suivantes :Tensions : 1 cm pour 20 V et Intensités : 1 cm pour 1 A.
Indiquer la représentation vectorielle des grandeurs ci-dessous :
v1, v2, v3 ; i1, i2, i3 ; ic, i’’1, i’’2, i’’3
En déduire les valeurs efficaces I’’1 et I’’2 de i’’1 et i’’2.
Que vaut maintenant la puissance réactive Q’’ ?
L’expression établie en 1.2. est-elle toujours valable ?


On branche maintenant un seul condensateur C4 entre les points A3 et O’, en parallèle sur l’impédance Z de la phase 3 du récepteur. La tension aux bornes de C4 est alors v’3, de valeur efficace V’3, de notation complexe V’3

Déterminer les éléments du générateur de Thévenin entre les points A3 et O’, vu par le condensateur C4.
En déduire que EMBED Equation.3, V3 est la notation complexe de la tension simple de la phase 3, côté réseau.
Sachant que sous la tension V’3, le condensateur C4 fournit une puissance réactive de 440 VAR (c’est à dire de même valeur que le condensateur C12 du 3.1..
On demande : de calculer C4 et d’en déduire V’3.
Conseil : Pour calculer C4, on posera x = C4 (. Le calcul met en évidence une équation du second degré en x ; on conservera la valeur de x correspondant à la plus petite valeur de la capacité.
La question 4 est indépendante des questions 2 et 3.
BTS 73_1( HYPERLINK \l "_de_BTS_73_1"  REF _Ref222074634 \h\n Solution 12)
Lors de la construction d'un transformateur triphasé, supposé parfait, une confusion s'est produite dans le repérage des bornes d'un enroulement secondaire ; de ce fait, dans le branchement étoile de ces enroulements secondaires, le système triphasé de tensions simples obtenu est celui représenté par la figure 1. 
Les valeurs efficaces V1, V2, V3 de ces tensions simples sont égales et leur fréquence est 50 Hz.
L'opérateur complexe noté a représente une rotation de  EMBED Equation.3  dans le sens trigonométrique.
Exprimer en fonction de a et de V1 (expression complexe associée à v1) :
les expressions complexes V2 et V3 associées aux tensions v2 et v3.
les expressions complexes U23, U12 et U31 associées aux tensions composées u23, u12 et u31.

Le secondaire du transformateur alimente 3 impédances Z1 , Z2 , Z3 d'expressions complexes Z1, Z2 et Z3 montées en étoile avec fil de retour (figure 2).
Montrer que, si Z2 = Z3 = - Z1, les courants en ligne i1, i2 et i3 forment un système direct de courants triphasés équilibrés.
Si Z1 est une bobine non résistante d'inductance :
L = 0,318 H, caractériser physiquement Z2 et Z3.
Montrer que, si Z2 = - a Z1 et Z3 = - a 2 Z1, les courants en ligne i1, i2 et i3 forment un système inverse de courants triphasés équilibrés.
Si Z1 est une résistance pure de 100 (, caractériser physiquement les impédances Z2 et Z3 sachant qu'elles sont formées d'éléments simples (R, L ou C) montés en série.
Dans les conditions de la question 2.2., sachant que la valeur efficace commune des 3 tensions simples est V = 400 V, calculer :
la puissance active fournie par chaque enroulement secondaire du transformateur ;
les indications de chacun des 2 wattmètres utilisés dans la méthode classique des 2 wattmètres sachant que leurs circuits "courants" sont branchés sur les fils de ligne 1 et 2.

Exprimer en fonction de V1 et de A les composantes symétriques Vd, Vi et V0 des 3 tensions V1, V2 et V3.
Les secondaires du transformateur alimentent 3 résistances R égales à 40/3 ( montées en étoile sans fil de retour (figure 3).
Montrer que, dans ces conditions, les tensions V’1, V’2, V’3 aux bornes des 3 résistances ont les mêmes composantes directe et inverse que les tensions V1, V2, V3 et que leur composante homopolaire est nulle.
Calculer, en fonction de V1, les expressions complexes des composantes symétriques des courants en ligne.
En déduire, en fonction de V1, les expressions complexes des courants en ligne.
Calculer les valeurs efficaces de ces courants en ligne sachant que V = 400 V.

On rappelle que si a0, a d, a i sont les composantes symétriques d'un système de trois grandeurs complexes a 1, a 2, a 3 on a les relations :
 EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 
BTS 71 HYPERLINK \l "_de_BTS_71" ( REF _Ref222074814 \h\n Solution 13)
ETUDE THEORIQUE : On réalise le montage de la figure 1
L’alimentation est triphasée équilibrée : E1, E2, E3 sont les valeurs complexes des tensions entre phase et neutre.
En utilisant l'opérateur complexe  EMBED Equation.3  et la tension e1 étant prise pour définir l’origine des phases, on a :
E1 = E1 ; E2 = a2.E1 ; E3 = a.E1.
Le récepteur triphasé déséquilibré est formé de trois impédances dont les valeurs complexes sont Z1, Z2 et Z3.
L’interrupteur K étant fermé,
calculer les valeurs complexes I1, I2 et I3 des courants,
en déduire IN.
On ouvre l’interrupteur K ; les valeurs complexes des intensités des courants dans les impédances Z1, Z2, Z3 sont alors désignés par I’1, I’2 et I’3. De même on appellera V’1, V’2 et V’3 les valeurs complexes des différences de potentiel respectivement entre les points A, B, C et le point O.
Exprimer I’1 en fonction de E1, E2, E3, Z1, Z2, Z3 en utilisant la méthode de votre choix. Il est cependant conseillé d’utiliser le théorème de Thévenin.
En déduire I’2 et I’3 par permutation circulaire des indices.
Vérifier que l’on a bien I’1 + I’2 + I’3 = 0.
Exprimer I’1, I’2, I’3 en fonction de E1, a, a², Z1, Z2, Z3
En déduire les expressions de V’1, V’2, V’3 en fonction de E1, a, a², Z1, Z2, Z3.
APPLICATION NUMERIQUE.
On donne :  EMBED Equation.3 
et (1 = arg(Z1) = 60°, (2 = arg(Z2) = 30° ; (3 = arg(Z3) = - 60°.
Calculer Z1. Z2 , Z2. Z3 , Z1. Z3 en fonction de Z3, puis
Calculer numériquement a ; a² ; 1-a ; 1-a² ; a-a² ;  EMBED Equation.3 .
Représentation vectorielle. Représenter sur un même graphique les vecteurs de Fresnel correspondant aux tensions e1, e2, e3, v’1, v'2, v'3. Déduire le rapport des valeurs efficaces de la d.d.p. entre les points O et N et de la tension e1.
Sachant qu'un récepteur supporte au maximum une d.d.p. de valeur efficace 1,2 E1 que concluez-vous ?
Triphasé Corrections
 REF _Ref222039667 \h \nExercice 2 :  REF _Ref222039667 \h Equilibré Relèvement de cos ( :(Solution 1)
P1 = 4 kW cos ( = 1 Q=0
P2 = 10.103/0.8 = 12.5 kW cos ( = 0.82 Q=8,72 kVAR
S= 18,6 kVA cos ( = 0.887
I= 26.9 A
C= 17,2 µF
 REF _Ref222040142 \h\n Exercice 3 :  REF _Ref222040146 \h Equilibré Pertes en ligne : Boucherot: (Solution 2)
K ouvert
La puissance active dans la charge vaut :  EMBED Equation.DSMT4  où U et I sont les valeurs efficaces de la tension composée u et du courant de ligne i. On en déduit la valeur efficace de i.
 EMBED Equation.DSMT4 
Utilisons le théorème de Boucherot.
Si on appelle P’, Q’ et S’ respectivement la puissance active, réactive et apparente en début de ligne.

K fermé

 REF _Ref222042258 \h\n Exercice 4 :  REF _Ref222042259 \h Equilibré amélioration du cos ( d’une installation (Solution 3)

 REF _Ref222042550 \h\n Exercice 5 :  REF _Ref222042551 \h Courant circulant dans le fil de neutre en régime triphasé
1°)  EMBED Equation.DSMT4 
2°) EMBED Equation.DSMT4 
Donc  EMBED Equation.DSMT4 
 REF _Ref229627282 \h\n Exercice 6 :  REF _Ref229627283 \h Charge déséquilibré Eclairage d'un immeuble
a)  EMBED Equation.DSMT4  ;  EMBED Equation.DSMT4  ;  EMBED Equation.DSMT4 
Par construction graphique :  EMBED Word.Picture.8 
Ou par le calcul :
 EMBED Equation.DSMT4 
b) Les impédances présentes sur chaque ligne sont :
 EMBED Equation.DSMT4  ;  EMBED Equation.DSMT4  ;  EMBED Equation.DSMT4  ;
La tension du point commun aux trois phases est
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Word.Picture.8 
Après construction graphique la tension V3N’ s’avère être la plus élevée donc le courant I3 sera celui qui augmentera le plus.
 EMBED Equation.DSMT4 
144 V donc augmentation de 26% donc destruction des lampes de la phase 3
 EMBED Equation.DSMT4  : pas d’autre problème
 REF _Ref222043668 \h\n Exercice 7 :  REF _Ref222043669 \h Charge déséquilibrée (Solution 6)
V0 = 0
 EMBED Equation.DSMT4  ;  EMBED Equation.DSMT4  ;  EMBED Equation.DSMT4  ; Ia= 1 A : Ib = Ic = 0,5 A
Pa = 230 W ; Pb = Pc = 57.5 W ; PT=345 W
Qa = 0 VAr ; Qb = 100 Var ; Qc = -100 VAr ; QT = 0 VAr
 REF _Ref222045389 \h\n Exercice 8 :  REF _Ref222045390 \h Source et charge déséquilibrée (Solution 7)

 REF _Ref222045581 \h\n Exercice 9 :  REF _Ref222045582 \h Charge déséquilibré Etude de 4 montages étoiles simples ( Solution 8)

 REF _Ref222199853 \h\n Exercice 1 :  REF _Ref222199854 \h BTS 2001 charge équilibrée

 REF _Ref222067734 \h\n Exercice 2 :  REF _Ref222067735 \h BTS 99_2 Charge déséquilibrée ( Solution 10)
Etude des perturbations
( = 0 (déphasage entre tension et courant dans une résistance)
 EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Word.Picture.8  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 
Correction des perturbations
 EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 

 EMBED Word.Picture.8 
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Word.Picture.8 
 EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 


 EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4 

 EMBED Word.Picture.8 Le système est alors équilibré
Les courants sont en phase avec les tensions simples donc
Q=0
 EMBED Equation.DSMT4 



 REF _Ref222074369 \h\n Exercice 3 :  REF _Ref222074369 \h BTS 79_1 Influence d’un condensateur sur les mesures de puissance ( (Précis II p21) (Solution 11)

 EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3 
P =P1 + P2 ;  EMBED Equation.3 
P = 1320 W ; Q = 1320 VAR ; cos ( = 0,707 ; ( = 4,90 A ; Z = 25,9 ( ; Z = 25,9 ( / 45°

C = 28,9 µF
(’ = 3,46 A
P’1 = 660 W ; P’2 = 660 W

C12 = 28,9 µF ;
(c = 2 A

(’’1 = 3 A ; (’’2 = 4,8 A
Q’’ = 880 VAR ; l’expression établie en 1.2. n’est plus valable

Eth = 127 V / 90° ; Zth = 8,63 ( / 45° 
à partir de V’3 = Eth – Zth. (c, on obtient la relation demandée.
C4 = 67,4 µF ; V’3 = 143 V

 REF _Ref222074708 \h\n Exercice 4 :  REF _Ref222074708 \h BTS 73_1(Solution 12) REF BTS731 \h \* MERGEFORMAT BTS 73_1

V2 = - a ². V1 ; V3 = - a. V1 
U23 = V1 (a - a ²) ; U12 = - a. V1 ;  U31 = a ². V1 

 EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  a ². (1 ;  EMBED Equation.3  a. (1  ( i1, i2 et i3 : système direct équilibré ; Z2 et Z3 sont des condensateurs de capacité 31,9 µF
 EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  a. (1 ;  EMBED Equation.3  a.². (1  ( i1, i2 et i3 : système inverse équilibré ; Z2 est une association série de R2 = 50 ( et C2 = 36,8 µF ; Z3 est une association série de R3 = 50 ( et L3 = 0,276 H

P1 = 1600 W ; P2 = 800 W ; P3 =800 W
Indications des wattmètres : 800 W pour celui traversé par i1 ; 2400 W pour l’autre

 EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3 

(’0 = 0 ;  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3 (1 + 3. a) ;  EMBED Equation.3 (-2 - 3. a) 
(’1 = 10 A ; (’2 = 26,5 A ; (’3 = 26,5 A

 REF _Ref222074782 \h\n *+,-DEFGcdefnopŠ‹ŒŽ‘’®¯°÷î÷êâêâÏÁ¸ÁžÏÁ“„“s„“„ÏbÏÁ¸ÁH2júhÊÁhÊÁ>*B*UmHnHphÿu hÊÁ6CJOJQJmHnHu j}hÊÁUmHnHujhÊÁUmHnHuhÊÁmHnHu2jhÊÁhÊÁ>*B*UmHnHphÿuhÊÁmHnHuhZ1}hÊÁ0JmHnHu$jhZ1}hÊÁ0JUmHnHujh£júUh£júh1j56CJh£jú56CJ+,ùs õ ƒ
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 EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  ;
 EMBED Equation.3 
Avec Millman :  EMBED Equation.3 . On en déduit :
 EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3 
On voit que les impédances Z2 et Z3 sont en surcharge.









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