Correction. - Math93
TD. Mathématiques. DECF. Loi Binomiale. Correction ... La variable aléatoire X
peut prendre les valeurs -10 , -5 , +15. L'événement "X = -10" est l'événement ...
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TDMathématiquesDECFLoi BinomialeCorrectionExercice 1.
X suit une loi Binomiale B(12 000 ; 0,3).
Ecrire P(X = 514) avec des factorielles et des puissances.
P(X = 514) = C eq \o\al(\s\up4(514);\s\up-2(12 000)) (0,3514 (0,711 486 = eq \s\do1(\f(12 000 !;514 ! 11 486 ! )) ( 0,3514 (0,711 486
Pouvez-vous calculer le résultat ? Impossible
Exercice 2.
X suit une loi Binomiale B(n ;p).
On donne E(X) = 1,5 et V(X) = 585/400. Calculer si possible n et p puis P(X > 1).
n = 60 ; p = 0,025 et P(X>1) = 1 P(X=0) P(X = 1) SYMBOL 187 \f "Symbol"\h 0,443
On donne E(X) = 15 et V(X) = 585/400. Calculer si possible n et p puis P(X > 1).
On trouve n = eq \s\do1(\f(15;0,9025)) SYMBOL 187 \f "Symbol"\h 16,62 ce qui est impossible car n doit être entier (p = 0,9025)
Exercice 3.
X suit une loi Binomiale B(n ;p).
Pour tout entier naturel k de [0 ;1], calculer P(X=k) avec
n = 3 et p = 0,251
k0123P(X = k)0,420,420,140,02E(X) = 0,753 et ( = eq \r(0,0563997)
n = 5 et p = 1/3
k012345P(X = k)32/24380/24380/24340/24310/2431/243E(X) = 5/3 et ( = eq \s\do1(\f( eq \r(10);3))
Exercice 4
L'univers Wð est l'ensemble des résultats possibles après le lancer des deux dés. Ici, Wð correspond au produit cartésien {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}x{1 , 2 , 3 , 4, 5 , 6}.Son cardinal est Card(Wð) = 6² = 36.Comme on suppose qu'il y a équiprobabilité des résultats des lancers, on a alors:
Pour tout événement A de Wð, P(A) = Card(A) Car(Wð)a: La variable aléatoire X peut prendre les valeurs -10 , -5 , +15. L'événement "X = -10" est l'événement "obtenir le même numéro". C'est donc l'événement A = {(1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) , (5,5) , (6,6) }. La probabilité de "X = -10" est donc : P( X = - 10 ) = 6 / 36 = 1 / 6 De même, l'événement "X = -5" est l'événement "obtenir 2 numéros de parités différentes". C'est donc l'ensemble des couples (a , b) tels que a soit dans {1,3,5} et b soit dans {2,4,6} ou bien a soit dans {2,4,6} et b soit dans {1,3,5}. La cardinal de cet événement est donc : 3x3 + 3x3 = 18. D'où : P( X = - 5) = 18 /36 = 1/2.
Comme S P(X = k) = 1 , on en déduit que P(X = 15) = 1 - P(X=-10) - P(X=-5). D'où : P(X = 15) = 1 - 1/6 - 1/2 = 1/3 On résume cela sous la forme d'un tableau :
X = k-10- 5 15P(X = k)1
6
1
2
1
3
L'espérance de X est alors : E[X] = Sð P(X=k).k = (1/6)(-10) + (1/2)(-5) + (1/3)(15) donc E(X) = 5/6b: La fonction de répartition de X est la fonction F définie sur IR par : Pour tout x réel, F(x) = P( X 1 ) = 1 - P(Y = 0 ) = 1 - (2/3)10
P( Y > 1 ) = 1 - P(Y = 0 ) = 1 - (2/3)10 =58025
59049
e: Le nombre de fois que le joueur peut espérer gagner 15 points en 10 parties est l'espérance de la variable aléatoire Y. On sait que pour une variable aléatoire X de paramètre (n , p) , l'espérance de X est : E[&12;Y¢£±²½ØÙÚÛÜßâãäçíðñ # $ % ( . / 0 ^ g h j
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$dNÆÿgd[pn ¤d¤d[$\$gdO ¤d¤d[$\$gdÄ_v[kdv$$IfTÖ0Óÿdgö6ÖÿÿÖÿÿ Öÿÿ Öÿÿ3Ö4ÖaöpÖÿÿÿÿTX] = n.p Comme Y a pour paramètre n = 10 et p = 1/3 , on en déduit que l'espérance de Y est : E[Y] = 10 / 3. f: Si le joueur joue n parties de suite alors la variable aléatoire Z égale au nombre de fois où il gagne 15 points suit une loi binomiale de paramètre (n , p =1/3 ). La probabilité qu'il gagne au moins une fois 15 points durant ces n parties est alors: P( Z > 1 ) =1 - P( Z = 0) Comme P( Z = 0) = (2/3)n , on a alors P( Z > 1) = 1 - (2/3)n
g: On veut alors que P( Z > 1 ) > 0,9999. Ou encore que : 1 - (2/3)n > 0,9999. ou encore que (2/3)n < 0,0001. En utilisant la fonction logarithme népérien, on peut alors ecrire que : INCLUDEPICTURE "http://www.maths-express.com/bac-exo/spe-es/proba-spe-es/lt1-cr-ex1-3.gif" \* MERGEFORMATINET
Le joueur a donc une probabilité de gagner au moins une fois 15 points supérieure à 0,9999 s'il joue au moins 23 parties de suite.
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