Le Cx des fusées - Numericable
15 oct. 2007 ... Dans le cas plus compliqué, où le fuselage de la fusée n'est pas tubulaire (c-à-d
de .... L'ogive est l'élément aérodynamique auquel nous attribuons ...... gradient
de pression négatif (détente), de même que l'accélération des filets, ...... elle
demande à être corrigée par le choix d'un Cx individuel assez fort.
part of the document
al est voué à se dissiper totalement entre linstant de Fin de Propulsion et linstant de culmination.
Or laction inexorable de la pesanteur terrestre a ceci de limpide que son résultat nest fonction que de la durée pendant laquelle cette pesanteur a agi. Dans notre cas, la pesanteur agit entre la Fin de Propulsion et linstant de culmination. Appelons TBalCulm cette durée (pour Temps Balistique de Culmination).
À linstant de la culmination, le bilan de la pesanteur sur le capital initial de vitesse de la fusée se résume à : g TBalCulm .
Il en résulte que la part de ce capital de vitesse qui na pas été dissipée par la gravité, à savoir VFinProp g TBalCulm , ne peut lavoir été que par la Traînée atmosphérique (il ny a pas dautres forces entrant en jeu dans le mouvement balistique de la fusée).
Cest donc une chose quon ne dit pas assez :
La différence VFinProp g TBalCulm représente le cumul des pertes de vitesse par Traînée Atmosphérique pendant la phase balistique ascendante dune fusée.
Or, dans le cas dune fusée à Cx constant et se déplaçant verticalement, on peut intégrer analytiquement le mouvement de la fusée daprès son équation différentielle. On connaît donc le temps qui lui faut, depuis la fin de sa propulsion, pour atteindre son apogée.
Le HYPERLINK \l "vol_dl_fusee" Vol de la Fusée donne ce Temps Balistique de Culmination :
TBalCulm = EQ \f( 1 ; EQ \r( ; bg ) ) Arctan[ EQ \r( ; EQ \f( b ; g ) ) VFinProp]
équation où :
VfinProp est la vitesse acquise en fin de propulsion
g l accélération de la pesanteur
et b est le fameux Coefficient Balistique dont la valeur est ½ÁSCx /M , quantité où l on reconnaît :
Á la masse volumique de l air traversé,
S la section de référence de la fusée (la section de l ogive souvent) ayant présidé au calcul du Cx,
Cx le coefficient de freinage atmosphérique, considéré comme constant,
et M la masse de la fusée à sec de carburant, encore nommée masse balistique.
On peut se reporter, au sujet de ce Coefficient Balistique b, à notre texte HYPERLINK "http://perso.numericable.fr/fbouquetbe63/gomars/la_fusee_en_vol_balistique7.doc" La fusée en vol balistique qui en donne une traduction beaucoup plus parlante.
Nous proposons également, à la fin de ce texte, une formulation beaucoup plus intuitive du HYPERLINK \l "calcul_temps_bal" Temps Balistique de Culmination.
Résumons juste lentrée en matière ci-dessus en disant quil est aisé de connaître le Temps Balistique de Culmination. Et que, ce Temps connu, la portion de Vitesse de Fin de Propulsion qui est consommée en freinage atmosphérique peut en être facilement déduite.
Voici dailleurs, pour les non calculeux, un abaque donnant, en pourcentage de la Vitesse de Fin de Propulsion, ces pertes de vitesses occasionnées par la Traînée en fonction du Coefficient Balistique b et de ladite Vitesse de Fin de Propulsion :
attention, verticales ajoutées dans Word !!
Sous le graphique des pourcentages de pertes , nous proposons un autre graphique permettant de calculer le Coefficient Balistique b selon la Masse à Sec de la fusée et le diamètre de son ogive, ceci pour un Cx usuel de 0,35.
En effet, la valeur dudit Coefficient Balistique b = ½ÁSCx /M ne dépend, près du sol de notre planète, que de la section de référence (section de l ogive, le plus souvent) (donc de son diamètre), du Cx qui y est attaché, et de la Masse à Sec (ou Masse Balistique) de l engin.
Détaillons la façon de se servir de ces graphiques couplés, sur lexemple dune fusée à eau dotée dun Cx type de 0,35, dun diamètre 80 mm et dune Masse à Sec de 0,170 Kg :
( Choisir sur labaque du bas la courbe correspondant au diamètre de logive de la fusée (pour nous cest la courbe bleu dense).
( Repérer sur cette courbe labscisse correspondant à la Masse à Sec de notre fusée (0,17 Kg).
( Élever une verticale depuis cette abscisse jusquau graphe supérieur (cest la verticale bleu dense).
( En traversant les deux axes horizontaux, cette verticale nous indique le coefficient balistique de notre fusée.
( Le point où la verticale bleue dense coupe la vitesse de Fin de Propulsion espérée (50 m/s, ici) nous donne le pourcentage de vitesse que la fusée perdra du fait de la Traînée durant sa phase balistique ascendante : pour nous cest 28 %
La modicité de ce pourcentage est ici due au fait que les fusées à eau de base natteignent pas de grandes vitesses. De plus, le modèle choisi est dune masse plutôt forte, ce qui produit les deux résultats favorables de limiter fortement sa vitesse de fin de propulsion et daugmenter sa Masse Balistique.
Mais la lecture de ces familles de courbes nous convainc également que si lon propulsait la même fusée à eau à des vitesses plus grandes (par augmentation de la Pression Initiale), les pertes endurées par Traînée deviendraient beaucoup plus importantes
Une même augmentation des pertes par Traînée serait obtenue si lon diminuait la Masse à Sec de la fusée (par exemple jusquà 0,1 Kg ) : Cela aurait pour double effet défavorable de diminuer sa Masse Balistique (verticale bleue claire) et délever sa Vitesse de Fin de Propulsion (qui passerait alors à 65 m/s). Le pourcentage des pertes par Traînée dépasse alors les 45 %
La fusée à eau bute donc vraiment sur le mur de latmosphère
Les fusées à feu, en particulier les Minifusées et Fusée Expérimentales, échapperaient à cette malédiction (du fait de leur plus faible diamètre et de leur plus forte Masse Balistique) sil ne leur prenait pas de tutoyer les fortes vitesses !
La verticale rouge illustre lexemple dune telle fusée de diamètre 40 mm et de Masse à Sec 0,50 Kg (toujours au même Cx de 0,35) : selon sa Vitesse de Fin de Propulsion, elle peut dissiper jusquà 50 % de son capital de vitesse en freinage atmosphérique
Recalons notre pensée sur un dernier exemple : Les fusées à feu de la catégorie Minifusée Cariacou, ont fréquemment des temps de montée à l'apogée de 10 s (à partir de l'instant de Fin de Propulsion). Il en résulte que sur les 125 m/s de leur vitesse de Fin de Propulsion, 21 % sont dissipés en freinage atmosphérique. Correction de ce %age le 29 05 07
Attention cependant à ne pas se fabriquer une vision trop simple des choses : le fait daméliorer la pénétration dans lair de la fusée (en la dotant dun Coefficient Balistique plus favorable, c à d plus faible) lui permettra de voler plus longtemps vers son apogée (en montant donc plus haut), mais la gravité tirera alors parti de ce Temps Balistique accru pour freiner la fusée selon son inexorable loi g TBalCulm
CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LE Cx
Avant dentrer dans le vif de notre sujet, nous nous devons de rappeler que cest commettre une grave imprudence que de parler de Cx dun mobile sans préciser à quelle section ce Cx est attaché.
Rappelons que la Traînée dun corps ne peut être déterminé que par des mesures en soufflerie ou en vol.
Bien sûr, une fois que cette Traînée (qui est une force) a été mesurée (en soufflerie, par exemple), il est tentant de la diviser par la pression dynamique 1/2ÁV² de l écoulement, pression qui caractérise tout à fait sa vitesse& Cette pression dynamique 1/2ÁV² est également la surpression causée par l arrêt des particules d air au point d arrêt :
La division d une force par une pression ayant les dimensions dune surface, il est alors naturel de se demander à quoi correspond la surface qui résulte de cette division. La réponse est quelle ne correspond à aucune surface particulière (dans le cas de nos fusées, elle est plus petite que la section frontale, par exemple).
On ne sait pas ce quest cette surface, mais on peut lappeler la Surface de Traînée, ou Surface Équivalente de Traînée.
On pourrait en rester là et dire que le mobile testé possède telle surface équivalente de Traînée (égale à la Traînée divisée par 1/2ÁV² ).
Cependant , on choisit en général, de diviser également cette surface équivalente de Traînée par une surface de référence. Nous disons bien une surface de référence, mais ce n est pas particulièrement cette surface qui est à lorigine de la Traînée : quelque fois même cette surface na pas dexistence physique dans le mobile : ainsi, si lon prend comme surface de référence, pour la voiture de record dessinée ci-dessous, sa maîtresse section frontale (ainsi que le font les ingénieurs en automobile), on peut comprendre que cette maîtresse section est une silhouette mais que cette silhouette nest aucunement lune des sections de la voiture : il nest pas possibl,e en effet, de faire tenir cette silhouette dans le volume de la voiture, du moins perpendiculairement à son axe davancement.
Les avionneurs, quant à eux, utilisent comme surface de référence laire des ailes de lavion (aire des ailes vues de dessus). Cela peut paraître troublant puisque, par exemple, la Traînée de laile ou même de lavion est exprimée par rapport à cette aire qui nest pas perpendiculaire à lécoulement (qui lui est même parallèle). Mais cela facilite leurs calculs
Les fuséistes pratiquent autrement : ils prennent comme surface de référence la section maximale de logive (qui est la section du tube du fuselage, dans le cas de fusées simples) et ceci même lorsque la fusée est en incidence, càd lorsquelle se présente en travers à lécoulement de lair
Dans le cas plus compliqué, où le fuselage de la fusée nest pas tubulaire (c-à-d de section constante) mais au contraire fuselé (comme pour la fusée de Tintin) les fuséistes prendront comme référence la maîtresse section du fuselage (à son plus fort diamètre).
Lorsque le fuselage est formé de tubes de sections différentes, ça devient plus compliqué. Il y a le choix, mais les fuséistes semblent attachés à la section frontale de la seule ogive.
Pour continuer ce tour dhorizon de la diversité culturelle selon les secteurs technologiques, faisons état dune curiosité qui montre que la surface de référence peut même être dématérialisée : Dans leurs études, les concepteurs de ballons dirigeables se réfèrent à une surface tout à fait virtuelle qui vaut la puissance 2/3 du volume du ballon !
Je ne sais comment pratiquent les concepteurs de sous-marins, mais ils doivent également prendre comme section de référence la maîtresse section de leurs créations
Qui saura comment font les concepteurs dhélicoptères ?
Pour finir dargumenter cette mise en garde sur le choix de la surface de référence, il faut rappeler également que la Traînée dun corps est la somme de deux Traînées :
la Traînée de Pression, somme vectorielle de toutes les composantes sur laxe de Traînée des forces de pression appliquées à la surface du corps (deux exemples de ces forces P sont dessinés en rouge ci-dessous : des surpressions par rapport à la Pression Atmosphérique et des dépressions).
la Traînée de Friction, somme vectorielle de toutes les composantes sur laxe de Traînée des forces de friction appliquées à la surface du corps, chacune de ces forces de friction étant évidemment contenue dans le plan tangent à la surface du corps au point considéré (deux exemples de ces forces Fr, ici exagérées, sont dessinés en bleu ci-dessous) :
On comprend alors que si la maîtresse section peut être ressentie comme la section de référence pour la Traînée de Pression, cest une autre surface, non pas perpendiculaire à lécoulement mais plutôt parallèle, qui sera ressentie comme génératrice de la Traînée de Friction
Nous venons décrire que les exemples de forces bleues Fr ont été exagérés sur notre dessin, mais il faut quand-même se remémorer que pour un corps de révolution fuselé comme ci-dessous :
corps qui présente une longueur de 7 fois son diamètre, la Traînée de frottement vaut le double de la Traînée de Pression (pour ce corps, le Cx est alors de 0,1 ).
Nous devons cette remarque au Cours d HYPERLINK \l "interaction_cours" InterAction qui nous a formidablement fait progresser dans la connaissance de lAérodynamique.
Cette prépondérance de la Traînée de Friction nest que la conséquence malheureuse du profilage du corps, puisque, en améliorant sa forme, on lui a ajouté également de la surface, laquelle est alors le siège dune importante Traînée de Friction.
Si donc on devait opter pour la surface de référence la plus représentative de la Traînée de ce corps, on ne devrait pas prendre sa section frontale mais plutôt la surface responsable de la Traînée de Friction, qui est sa surface de friction
Il est dailleurs instructif de noter que nos fusées ont des rapports longueur/diamètre proche de ce chiffre 7 et souvent même plus importants.
Pour conclure sur ce choix dune surface de référence, répétons que la surface de référence nest pas particulièrement responsable de la Traînée dun corps : La Traînée est générée par lensemble de la surface enveloppant le corps, cette surface enveloppe étant linterface au travers de laquelle le corps informe le fluide de sa présence et au travers de laquelle, en retours, le fluide transmet sa réponse de Traînée et éventuellement de Portance
Mais il savère que référencer la Traînée à une surface quelconque du corps permet de comparer les Traînées de corps de formes homothétiques et déchelles différentes.
En effet, toutes les surfaces dun corps évoluent comme le carré de sa dimension caractéristique (sa longueur ou son diamètre, par ex.) : donc, quelles que soient les surfaces de référence choisies, celles-ci évolueront de concert lorsquon modifiera léchelle du mobile (pour passer par exemple du modèle testé en soufflerie au prototype réel)
Pour cette dernière raison, on pourrait tout aussi bien prendre comme surface de référence la surface du logo de la compagnie aérospatiale qui a construit lengin, du moins si ce logo évoluait homothétiquement lors des changements déchelle.
La fonction du Cx est donc de permettre la comparaison de corps de formes similaires mais déchelles différentes
Quoi quil en soit, le choix dune surface de référence est sans importance si lon attache toujours au Cx la section qui a servi à son calcul : ce qui intéressera toujours lingénieur au moment de la définition dun mobile, ce nest pas tant le Cx que le SCx, puisque cest ce produit recomposé qui lui permettra de calculer les performances de sa création
À titre dexemple, parlons de laérodynamique des TGV. À leur vitesse commerciale de 300 Km/h, 90 % de lénergie quils dépensent est perdue en Traînée aérodynamique. Ce pourcentage passe à 95 pour la rame de TGV ayant porté le record à 574,8 Km/h. Comme cette dernière dissipait à linstant du record la coquette puissance de 19,6 MW (mégaWatt), il est assez facile de calculer son SCx. En effet, la puissance évoquée équivaut au produit TV de la Traînée T par la vitesse V de l engin. Comme T vaut ½ÁSCxV² , le SCx vaut 2P/ÁV3 c à d, dans le cas de la rame du record, 7,86 m² .
Diviser ce SCx par la surface frontale de l engin peut apparaître comme un réflexe légitime. Le Cx vaut alors ------- Connaître la surface frontale !!. Mais ce réflexe est discutable dans la mesure où la Traînée dun train provient beaucoup plus de sa surface latérale de friction (surface mouillée) que de sa surface frontale. Cest si vrai que connecter deux rames identiques doublera le Cx référencé à la surface frontale alors que celui-ci demeurera presque constant si on le référence à la surface latérale du train : Ce dernier Cx sera donc beaucoup plus utile pour effectuer des comparaisons entre différentes configurations roulantes (le produit SCx prenant alors en compte la surface latérale du train, laquelle est très peu différente du produit de la longueur du train par le périmètre de sa maîtresse section). À ce titre, un Cx ferroviaire linéaire (c à d lié à la longueur du train) serait dailleurs plus avantageux
Pour ce qui concerne lautomobile, HYPERLINK \l "th_faure" Th. Faure signale que, si le véhicule de tourisme aérodynamiquement parfait pourrait prétendre à un Cx de 0,15, les Cx actuels marquent plutôt une remontée à 0,35 après être descendus, auparavant, à une valeur de 0,30
Dans ce Cx des véhicules de tourisme, la Traînée de Pression compte pour 60 % et celle de Friction pour 5 %. Cette primauté de la Traînée de Pression sur celle de Friction est propre à lautomobile de tourisme, puisque, pour des raisons dencombrement, on ne peut la doter dun profilage arrière idéal (qui réduirait la Traînée de Pression, quitte à augmenter légèrement celle de Friction)
Les accessoires (rétroviseurs, échappement, etc.) représentent 25 % du Cx total de ces mêmes véhicules.
Le Cx dun semi-remorque est supérieur à 0,55 et peut sélever à 0,8 (HYPERLINK "http://www2.mech.kth.se/courses/5C1211/KTH_Scania1.pdf"document Scania).
Relevons de même que si la Traînée des cyclistes dépend grandement de leur position sur le vélo, de cette position dépend aussi leur surface frontale (le cycliste en danseuse en offrant une beaucoup plus grande que le cycliste couché) : il nest donc pas possible de référencer les mesures de Traînée effectuées en soufflerie à une surface frontale donnée. Lusage est alors de ne donner pour le cycliste que le produit SCx, produit que lon devrait nommer sa surface équivalente (et non son coefficient de pénétration comme on le trouve écrit).
Le site Sport & Performance donne pour le couple cycliste-vélo la surface équivalente suivante :
0,40 m² pour un cycliste traditionnel avec bras tendus
0,35 m² pour un cycliste traditionnel avec bras fléchis
0,30 m² pour un cycliste traditionnel avec bras en bas du guidon
0,25 m² pour un cycliste "contre la montre" ou triathlète
Il précise que, dans ces chiffres, le vélo n'intervient que pour 10 %
Insistons sur le fait que ces chiffres ne sont pas des Cx mais de SCx
Cest dailleurs nous-mêmes qui avons ajouté dautorité leur dimension (le m²), ne pouvant nous rendre complice dun manquement autorisant toutes les confusions.
Si vous êtes un géant (harmonieux) et que vous faites du vélo, il faudra pondérer ces valeurs par le carré de votre coefficient linéaire de gigantisme (le carré de 1,2 , par exemple), votre monture étant censée sadapter à vos imposantes mensurations.
Terminons en précisant quun individu de stature normale volant sous un parapente développe un SCx de 0,4 m² (ce Cx intègre la Traînée des suspentes et de la sellette). Si cette sellette est profilée derrière le pilote, le SCx descend à 0,25 m² .(article de Luc Armant)
LA TRAÎNÉE DE PRESSION DE LOGIVE
Logive est lélément aérodynamique auquel nous attribuons instinctivement la fonction délicate de fendre lair. Convaincus que cette fonction dintrusion est forcément coupable, nous sommes donc prêts à admettre en retour le prix dune Traînée de Pression dogive conséquente.
Pourtant il nen est rien : dans la pratique, ce prix est extrêmement faible.
Cest surprenant parce que la Traînée de Pression est celle à laquelle on pense le plus facilement, sans doute parce que, lorsque lon est pris dans une rafale de vent on considère que cest surtout cette Traînée de Pression qui nous secoue .
De la même façon, cest la Traînée de Pression dun bâtiment (lorsquil est soumis au vent) qui occasionne des efforts importants sur les vitres et les portes, et donc les fait claquer ou souvrir intempestivement
Nous donnerons plus loin la raison de cette modestie de la Traînée de Pression de logive dune fusée ; mais voici déjà pour nous en convaincre quelques valeurs de Cx dogives mesurées sur le graphe dun HYPERLINK \l "doc_lebaron_321espace" document du CNES relatant des tests de lONERA.
Ces tests concernent trois ogives dites adaptées délancement variant de 3 à 5 diamètres et de formes classiques, apparemment gothique (je préfère personnellement utiliser ce qualificatif pour les ogives de cette forme plutôt que celui dogival, ceci afin éviter de devoir écrire ogive ogivale) :
Ogive délancement 5 : Cx = 0,002
Ogive délancement 4 : Cx = 0,005
Ogive délancement 3 : Cx = 0,02
Excel nous propose alors une régression pour ce Cx, selon lélancement de logive. Il serait stupide de ne pas lutiliser, à peine simplifiée, pour les élancements différents de ces valeurs entières 3, 4 et 5 :
Cx = 3 ÉOg -4,5 avec ÉOg lélancement propre de logive
Le même document précise que pour les fusées Faon ou Cabri, au nombre de Mach M = 0,8, le coefficient de Traînée donde reste inférieur à 0,01 . Quand on sait que lexpression Traînée donde recouvre ce que nous appelons dans ce texte le Cx de pression de logive, on peut être certain que ce Cx de pression demeure dans des valeurs extrêmement faibles aux vitesses subsoniques
Ces valeurs de Cx sont à comparer avec le Cx de lavant du corps de révolution fuselé ci-dessous, déjà évoqué et tiré du Cours dInterAction :
corps 7 fois plus long que son diamètre.
Ce Cx de pression amont (c à d des surfaces partant de son avant jusquau maître couple) vaut simplement 0,03 ! Nous y revenons plus bas
Le document HYPERLINK \l "rocket_drag_analysis" Rocket Drag Analysis , ainsi que le rapport de tests en soufflerie basse vitesse HYPERLINK \l "model_rocket_drag_ana" Model Rocket Drag Analysis (se méfier de la presque homonymie des deux documents) proposent dautres Cx dogives profilées ou coniques. Ces données sont énoncées plus bas, avec celle du HYPERLINK \l "vol_dl_fusee" Vol de la Fusée de Gil Denis, dans le chapitre HYPERLINK \l "qq_valeurs_cx"QUELQUES VALEURS DU CX DE FUSÉES ET MICROFUSÉES .
Mais voici déjà un graphe illustrant lensemble de ces Cx de Pression dogive :
Les marques en bleu dense sont les données tirées de HYPERLINK \l "rocket_drag_analysis" Rocket Drag Analysis.
En vert fluo sont celles tirées de HYPERLINK \l "model_rocket_drag_ana" Model Rocket Drag Analysis.
En rouge celles présentées par HYPERLINK \l "vol_dl_fusee" Le Vol de la Fusée.
Les marques triangulaires représentent les ogives coniques.
Les marques de forme carrée représentent le Cx dogives fuselées (parabolique, elliptique ou « adaptée »). Ces marques dessinent, par exemple, la courbe noire (Cx de pression des ogives adaptées des HYPERLINK \l "doc_lebaron_321espace"tests ONERA ).
On peut juger que cette courbe noire est correctement disposée par rapport à la courbe rouge ou, si lon préfère, la courbe bleu dense des cônes de Rocket Drag Analysis.
La courbe bleu clair nest autre que la régression Cx = 3 ÉOg -4,5 que nous avons justifiée ci-dessus.
Il est patent que la marque carrée bleu dense de gauche pourrait servir à la prolongation de la courbe noire (cette courbe doit, logiquement, rester inférieure aux courbes des cônes).
Les marques rondes de différentes couleurs indiquent le Cx de pression de logive hémisphérique (ou, en jaune, de la moitié avant de la sphère à son premier régime ) selon les différentes sources. La marque ronde bleue dense (Rocket Drag Analysis) nous paraît un peu basse.
En vert fluo figurent les données avancées par Model Rocket Drag Analysis. Dans cette couleur, logive parabolique (marque carrée) et le cône (marque triangulaire) séloignent beaucoup du chur des autres mesures.
La marque en x bleue dense est celle dune ogive plate à bords arrondis.
Le carré fuchsia figure lavant du corps délancement 7 dInterAction. Ce Cx de pression est, lui aussi, raisonnablement proche de la courbe noire tirée des tests ONERA, du moins exprime-t-il assez que le Cx de pression des ogives normalement élancées est très faible !
Cette modicité du Cx des ogives doit surprendre beaucoup de lecteurs (comme elle nous a surpris dans notre naïveté). En effet on imagine assez facilement que la Traînée dun corps est due principalement au fait que sa face avant doit écarter les filets dair et quelle bourre, en quelque sorte, dans la masse du fluide.
En réalité, létude des pressions sur lavant dune sphère (à ses deux régimes découlement) montre que seule une zone située aux alentours du point darrêt est en surpression (33 % de la surface frontale de la sphère ) :
Par lamabilité d HYPERLINK \l "interaction_cours" InterAction
Le reste de la demi-sphère avant se révèle en dépression, en application stricte du principe de Bernoulli, du fait de laccélération nécessaire du fluide : celui-ci est en effet soumis à la loi de conservation des débits : il faut bien quil accélère pour contourner lobstacle, sinon il y aurait accumulation sans fin de particules de ce fluide.
Et laire sur laquelle règne cette dépression amont est importante (66 % de la surface frontale totale) !
On peut donc vraiment dire que la partie arrière de lhémisphère avant est aspirée vers lavant par le fluide, fluide qui, pourtant, est rien moins que brutalisé par cet hémisphère !
Cette même affirmation paradoxale peut être également faite à propos de lavant du corps fuselé de révolution de longueur 7D cité plus haut et dont HYPERLINK \l "interaction_cours" InterAction (à qui nous devons une grande part de notre connaissance) publie la carte des pressions
Par lamabilité d HYPERLINK \l "interaction_cours" InterAction
InterAction dresse le bilan des Cx de pression :
surpression amont : Cxp = 0,0877
dépression en amont du maître-couple : Cxp = -0,0586
dépression en aval du maître-couple : Cxp = 0,0341
surpression aval : Cxp = -0,0301
Au total: Cxp = 0,0331
Sur la partie avant Cxp = 0,0291
La modicité du bilan des pressions sur la seule partie avant de ce corps (0,0291) est due, comme dans le cas de lhémisphère avant, au fait que la projection frontale de la zone de surpressions avant (près du point darrêt) est trois fois moindre que celle de la zone de dépression qui suit
Quant à la partie arrière, elle crée un Cxp encore plus faible de 0,004 .
Dans ses commentaires de son logiciel RocDrag, John S. Kallend note pour sa part : « Assume forebody pressure drag negligible (according to Hoerner) », ce qui résume tout à fait notre chapitre.
LA TRAÎNÉE DE FRICTION DUNE FUSÉE
Il a été dit plus haut que la Traînée dun mobile était la somme de sa Traînée de Pression et de sa Traînée de Friction.
R.GOUGNOT , dans son HYPERLINK \l "RGougnotCoursAero"cours daérodynamique signale que la Traînée de frottement représente environ la moitié de la Traînée totale dun avion. Ce nest pas rien.
Nous verrons que pour nos fusées qui se déplacent en bas subsonique cette proportion est encore plus forte. Mais limportance de cette proportion nest pas due au hasard : les constructeurs de fusées ont été amenés à ajuster les deux postes de la Traînée (Traînée de Pression et Traînée de Friction) pour que le total de ces deux postes soit minimum. Et cest ainsi quempiriquement, au fil des ans, on en est arrivé à cette silhouette élancée à laquelle nous reconnaissons immanquablement une fusée.
Nous y reviendrons plus bas dans une étude dingénierie consacrée au HYPERLINK \l "ogivo_cylindr_trainee_mini"Corps Ogivo-cylindrique de volume donné de Traînée minimum .
On pense trop facilement que seuls des liquides comme leau et surtout lhuile peuvent produire des effets de viscosité sensibles. Mais lair est également un fluide visqueux qui adhère à la surface des objets, même lorsque ceux-ci sont en mouvements par rapport à lui.
En cela, lair est tout à fait comme leau et les autres fluides : il colle si bien aux objets quil existe toujours une couche dair adhérant à la surface dun objet en mouvement.
Recouvrant cette couche adhérant à la paroi, vient alors une autre couche qui glisse un petit peu par rapport à la première couche adhérente. Puis, à mesure que lon séloigne de lobjet, les couches successives dair reprennent de la vitesse relative.
Freinage dû à la friction de lair
Chaque couche fluide étant animée dune vitesse différente, il y a une force de friction entre les différentes couches. Mais la force qui nous intéresse le plus est la force entre la première couche dair (adhérente) et la surface du mobile. Plutôt que dune force de Friction, il sagit dune force de tension : Bien que cet air soit immobile, il tire en arrière la surface du mobile (entraîné quil est par la couche suivante) ; on pourrait dire que les molécules de la première couche ont les pieds collés sur le mobile mais quelles sont comme tirées de côté par les cheveux par la deuxième couche dair
Cest cela qui occasionne sur les mobiles le freinage que lon qualifie de freinage de friction.
Pour quantifier ce freinage, il est pratique dintroduire la notion de Coefficient de Friction. Appelons-le Cf .
Lexpérience démontre que la force de Friction F est principalement proportionnelle à la surface SM qui est baignée par le fluide en mouvement.
De plus, et par chance ineffable, la susdite force de Friction F est, comme les forces de Pression sur le mobile, proportionnelle à la Pression Dynamique de lécoulement ½ ÁV2.
La force de Friction F est donc proportionnelle à ½ ÁV2 SM:
On définit alors le Coefficient de Friction sur la surface SM comme le coefficient de proportionnalité Cf :
Cf = EQ \f( F ;½ ÁV2 SM)
La surface SM sera donc la référence de nos calculs. Nous reviendrons à la fin de ce texte sur sa détermination exacte, mais il ny a pas grande erreur à considérer quelle est tout simplement celle qui est baignée par le fluide dans son écoulement. Pour cette raison, on lappelle la Surface Mouillée (par comparaison avec la surface concernée par lécoulement de leau autour dun navire).
Inversement, à chaque fois quon fera mention dun Coefficient de Friction Cf , ce sera en référence implicite à la surface SM sur laquelle cette friction sopère. La force résultante F en étant tirée par le simple produit Cf ½ ÁV2 SM .
Mais si l on désire référencer la Friction à une surface de référence différente (et en général les fuséistes choisissent SOg , la section frontale de l ogive), le produit Cf SM devra être divisé par cette section. Ainsi le Cx de friction Cxf dune fusée de surface mouillée SM sécrira, en référence à la section frontale dogive SOg :
Cxf = EQ \f(Cf SM ; SOg)
Notons dailleurs que la terminaison xf de Cxf signale systématiquement une Traînée de Friction référencée à une section frontale.
En conclusion, mémorisons quil est possible de référencer et les forces de Pression et les forces de Friction à la même Pression Dynamique et à la même surface de référence (par le jeu EQ \f( SM ; SOg) ).
Cest ce qui conduira à létablissement dun Cx unique, Cx unique comptable de laction des forces de Pression et de Friction sur lensemble du mobile.
QUANTIFICATION DE LA FRICTION
Des générations de chercheurs se sont penchées sur la quantification du Coefficient de Friction. À force dessais répétés, en sondant lécoulement de différents fluides sur des plaques planes, ils ont fini par établir de façon rigoureuse que le Coefficient de Friction, en sus de dépendre de la Surface Mouillée et de la Pression Dynamique de lécoulement, dépend dun nombre sans dimension appelé Nombre de Reynolds.
Ce Nombre de Reynolds caractérise lécoulement du fluide autour dun objet. Il intègre la vitesse de lécoulement, les propriétés du fluide et la longueur de cet objet.
Il sécrit :
Re = EQ \f( V L ; ½ )
avec :
V la vitesse de l écoulement et L sa longueur (soit longueur et vitesse de la fusée dans notre cas)
½ la viscosité cinématique du fluide traversé. Pour l air, en atmosphère standard au niveau du sol on retient souvent :
½ = 1,43 10-5 m2/s
Quand nous disons que le Nombre de Reynolds caractérise lécoulement, cela signifie que :
À Nombre de Reynolds Re égal, lécoulement autour dun objet sera toujours le même.
Ainsi et par exemple : si la Vitesse de lécoulement V est multiplié par un coefficient k et que la longueur du corps L est divisée par le même k, le nombre de Reynolds Re est inchangé et lécoulement est le même.
De même le changement du fluide ne se ressent, dans le Nombre de Reynolds, quà travers ½ , la viscosité cinématique du fluide considéré. Le choix d un fluide plus visqueux pourra compenser une diminution de la vitesse d écoulement ou (et) de la longueur de l objet se déplaçant dans le fluide, de telle sorte que le Reynolds reste constant. C est pourquoi il est fréquent de tester laérodynamique des voitures dans un courant deau (veine hydraulique) :
Image ONERA, tirée du cours de HYPERLINK \l "cours_jean_delery" Jean Délery
et des sous-marins en soufflerie :
Image ONERA, tirée du cours de HYPERLINK \l "cours_jean_delery" Jean Délery
Dune façon générale, pour nos fusées qui, finalement, séloignent assez peu du sol, on pourra retenir pour la valeur du Nombre de Reynolds lapproximation suivante :
Re =70 000 V L
Donnons ainsi deux exemples de Re :
Pour une fusée à eau de 0,5 m de longueur acquerrant une vitesse de 55 m/s , le Re sera de : 70 000 * 0,5 * 55 , soit Re H" 2 millions.
Pour une minifusée d 1 m de long propulsée à 250 m/s le Re sera de : 70 000 * 1 * 250 , soit Re H" 18 millions.
Lorsque le fluide où se déplace le mobile est l eau douce, l approximation à utiliser est Re = 910 000 V L .
Rappelons, à cet égard, l initiative d un HYPERLINK \l "fusees_a_eau_polytechnique" groupe d étudiants de Polytechnique qui ont entrepris de mesurer en piscine le Cx de leur fusée à eau. La forte viscosité cinématique de leau aidant, un remorquage sous-marin de leur engin à des vitesses de lordre de 2 m/s suffisait pour lobtention du nombre de Reynolds correspondant à une vitesse proche de 100 km/h dans lair.
Ce Nombre de Reynolds étant défini, on peut présenter lévolution assez complexe du Coefficient de Friction auquel est soumise une plaque plane dans un écoulement .
Exposons cette évolution en partant des petits Nombres de Reynolds :
Pour des Re partant de 105 , par ex., le Coefficient de Friction diminue en suivant la courbe bleu clair :
Léquation de cette courbe est CfLam = EQ \f(1,328 ; EQ \r( ; Re ) )
Si lon sintéresse précisément à lécoulement du fluide à la surface de la plaque, on peut observer que plus on est près de la plaque et plus la vitesse relative du fluide (vitesse par rapport à la plaque) est faible : lécoulement se fait par lames (ou couches) successives de fluide, ces lames glissant sans heurt les unes sur les autres. Plus une lame de fluide est proche de la plaque et plus sa vitesse relative est faible :
Parce que cet écoulement le long de la plaque se fait en lames successives, on le qualifie de laminaire.
On appelle la zone où le fluide tend à être freiné la couche limite.
Le freinage dû à la plaque se faisant cependant sentir théoriquement jusquà linfini, on définit la couche limite comme la couche où lécoulement relatif du fluide possède une vitesse de 0 à 99 % de la vitesse de lécoulement en labsence de la plaque (ou à linfini en présence de la plaque).
Le profil des vitesses de lécoulement laminaire le long de la plaque dessine une courbe quadratique :
Cette courbe a été déterminée par Blasius. Son équation est :
EQ \f(u;U ") = 2 ( EQ \f(y;´) ) ( EQ \f(y;´) )2
´ étant l épaisseur locale de la couche limite, y la distance à la paroi, u la vitesse locale des filets fluide et U " la vitesse de l écoulement loin de la plaque..
Le coefficient de Friction du fluide sur la plaque est proportionnel à la dérivée de cette courbe de vitesse à son point de contact sur la plaque.
Cette théorie saccorde très bien avec les études effectuées sur la plaque plane (études ayant donnée la courbe bleu clair du graphe déjà présenté ci-dessus ).
Dans la pratique, donc, plus la vitesse du fluide croît (ou plutôt son Re), plus le Coefficient de Friction décroît
Le Coefficient de Friction passerait donc de 4 millièmes pour un Re de 100 000 à presque rien si ne se produisait pas un phénomène particulier : la couche limite qui entoure lobjet de couches successives glissant laminairement les unes sur les autres voit soudain son architecture modifiée : le déplacement du fluide y devient petit à petit turbulent. On dit que la couche limite transite vers une régime turbulent.
Cette transition produit alors, à mesure que Re croît, une augmentation du Coefficient de Friction (dautant plus quil avait chuté auparavant) : Cest la courbe rouge ci-dessous.
(cette courbe de transition est le fruit dune approximation, elle est moins précise que la courbe bleu clair)
Sur la plaque plane tant interrogée, le déclenchement de cette transition peut se produire pour un Reynolds un peu inférieur à 500 000. Le déclenchement de la transition dépend en effet de la rugosité de la surface plane placée dans lécoulement.
Dans le cas de nos fusées, qui ne sont pas des plaques planes mais des corps en volume, un autre phénomène intervient je veux parler de la présence du point de recompression et nous verrons quon peut sattendre à ce que la transition susdite se produise après cette valeur de Reynolds ReTrans = 500 000 , ou du moins après la valeur déterminée par la seule rugosité de la surface
La courbe rouge visualisant lévolution du Cf en sera décalée dautant vers la droite.
InterAction précise ainsi :
« Cette courbe de transition n'est valable en fait que pour une plaque plane. Pour un profil, bien qu'elle garde la même forme, elle se translatera plus ou moins sur le graphique, selon l'évolution de ce profil, de son angle d'incidence, et d'un certain nombre d'autres facteurs qui ne sont pas tous maîtrisés : bruits, vibrations, température, humidité, niveau de poli des surfaces, etc. »
Voici quelques courbes de transition allant dune transition anticipée (mauvais état de surface de logive) à une transition normalement retardée (bon état de surface de logive) :
Nous reviendrons sur les facteurs qui retardent la transition de la couche limite sur logive, mais notons léquation des courbes de transition selon le Re de transition. Cette équation est due à Schlichting :
Pour une transition à ReTrans = 0,5 106 :
CfTrans = EQ \f(0,031 ; Re1/7 ) - EQ \f(1440; Re )
Pour une transition à ReTrans = 3 106 , la valeur du coefficient 1440 est changée en 8700 :
CfTrans = EQ \f(0,031 ; Re1/7 ) - EQ \f(8700; Re )
Précisons que les premiers termes de ces équations (termes en puissance 1/7ème) proviennent des équations du Cf de la couche limite turbulente que nous allons évoquer plus loin. Il y est ajouté un incrément hyperbolique négatif (par exemple EQ \f(1440; Re ) ) dont le numérateur est variable selon ReTrans (par exemple 1440 ou 8700) et qui tend vers zéro pour les grands Reynolds. De cette façon lordonnée de la transition rejoint celle donnée par le premier terme pour les grand Re (par exemple EQ \f(0,031;Re1/7 ) , équation du Cf pour la couche limite turbulente que nous allons bientôt étudier)
Dune façon générale, et si lon sen tient à lintersection des courbes de Cf laminaire et de Cf de transition sur le graphe, on peut se risquer à proposer une valeur du coefficient de lincrément hyperbolique négatif pour tous les Re de Transition. La famille de courbes des Transitions sécrit alors, en fonction du Reynolds ReTrans auquel commence la transition :
CfTrans = EQ \f(0,031 ; Re1/7 ) - EQ \f((0,0029 ReTrans + 150); Re )
Cette régression ne peut être très fautive, mais nous ne savons si elle est corroborée par les essais en soufflerie ou en veine hydraulique.
Ajoutons quInterAction donne une autre équation de transition, en la présentant pour plus fidèle à la réalité pour un Reynolds de transition de 0,5 106 :
CfTrans = 0,455 . [Log(Re)] -2,58 - EQ \f(1700; Re )
Lorsque la transition est effectuée, le Coefficient de Friction suit assez précisément la courbe bleu dense :
On obtient en laboratoire la partie haute de cette courbe bleu dense en forçant la transition de lécoulement de la couche limite par une astuce expérimentale (nous y reviendrons). Cest pourquoi on peut qualifier cette partie haute de la courbe de courbe de Turbulence Forcée.
La formule dessinant cette courbe bleu dense est donnée par Barrowman (citant Hama) comme étant :
CfTurb = EQ \f( 1 ; (3,46*Log(Re) - 5,6)2 )
Cet usage des logarithmes décimaux peut paraître, à première vue, désuet. Mais dès lors que lon échelonne les Nombres de Reynolds possibles par puissances de 10, leur logarithme décimal nest autre que cette puissance de 10 (ou encore le nombre de zéro du nombre qui suivent le 1).
Néanmoins, si lon préfère sen tenir aux logarithmes népériens, le même coefficient de frottement créé par une couche limite turbulente est :
CfTurb = EQ \f( 1 ; (1,503*Ln(Re) - 5,6)2 )
E. Bilgen, de l'école HYPERLINK \l "univ_montreal" Polytechnique de Montréal, donne la rédaction de Schlichting pour ce Coeff de friction en turbulent sur la plaque complète :
CfTurb = EQ \f(0,031 ; Re1/7 )
Cest cette équation qui sert de base aux deux premières équations du Cf de Transition citées plus haut.
InterAction donne pour ce Cf turbulent :
CfTurb = 0,455 . [Log(Re)] -2,58
Cette équation sert de base à lautre équation du Cf de Transition citée également plus haut.
Si lon préfère les logarithmes népériens, on peut cependant prendre :
CfTurb = 3,9131624 [Ln(Re)] -2,58
De la même façon, dans Architecture du voilier, HYPERLINK \l "p_gutelle" Pierre Gutelle cite pour le coefficient de frottement de la plaque en couche limite turbulente la loi :
Cf = EQ \f(0,072 ; Re1/5 )
Voici les courbes que produisent ces quatre formulations (la courbe de Barrowman est toujours en bleu dense) :
Les deux segments horizontaux bleu dense et rouge figurent respectivement les Re type maximum atteints par les fusées à eau et à feu selon leurs caractéristiques (ces Re maxi correspondent aux vitesses maximum des engins ; en vol le Re de la fusée passera donc de 0 à un Re maxi situé sur lun de ces deux segments).
Nous ne pouvons nous ériger en arbitre de ces formulations : elles donnent dailleurs des valeurs du même ordre dans le domaine de Re qui nous intéresse.
Tout au plus pouvons-nous remarquer que certaines courbes naissent dune équation très simplifiée, ce qui peut être utile.
Mais reprenons notre montée en Reynolds :
Intervient à présent à nous un phénomène qui pourrait simplifier nos calculs, du moins dans certains cas :
Lorsque le rugosité de la fusée est sensible , il arrive un moment, le Re continuant daugmenter, où le Cf du fuselage va cesser de descendre sur la courbe bleue pour se stabiliser à une valeur fixe. Cette valeur palier est indépendante du Re , mais elle dépend de la rugosité relative R r = EQ \f(Rf ; Lf ) de la surface du fuselage, c à d le quotient de la rugosité absolue Rf sur la longueur de lécoulement Lf (très proche de la longueur de la fusée, dans notre cas). Selon cette rugosité relative, la valeur du Cf se stabilisera donc à une hauteur différente : Cest ce phénomène qui dessine les paliers horizontaux fuchsia sur le tableau ci-dessous :
Attention ajout des Rr dans Word !
Le Cf constant qui en résulte vaut :
Cf = 0,032 ( EQ \f(Rf ; Lf )) 0,2
où Rf est la hauteur moyenne des aspérités du fuselage
et Lf la longueur de lécoulement, (très proche de celle du fuselage), ces deux longueurs étant exprimées toutes deux en mètres, ou du moins dans la même unité).
Barrowman donne encore, selon la même rugosité relative, la valeur critique du Re où le Cf devient constant et indépendant du Re :
ReCr = 51 [ EQ \f(Rf ; Lf )]1,039
De ce point de vue particulier, on peut entrevoir une loi plus directe donnant le passage au Cf constant (on dit avantageusement complètement rugueux). En effet lexposant 1,039 est assez proche de lunité, assez du moins pour quon puisse écrire, avec lidée de saffranchir de la longueur de la fusée Lf :
ReCr = EQ \f( V Lf ; ½ ) H" 51 [ EQ \f(Lf;Rf )]
Rf H" EQ \f(51 ½;V) H" EQ \f(0,73 10-3;V) dans le cas usuel d une viscosité à ½ = 1,43 10-5 m2/s
& qui est une approximation de la hauteur moyenne des rugosités du fuselage conduisant à une stagnation du Coefficient de Friction, soit 15 ¼m pour une fusée croisant à 50 m/s et 3,7 ¼m pour une fusée croisant à 200 m/s.
Un calcul plus précis donne :
ReCr = EQ \f( V Lf ; ½ ) H" 51 EQ \f(Lf;Rf ) [ EQ \f(Lf;Rf )]0,039
quasi-égalité qui entraîne :
Rf H" EQ \f(51 ½;V) [ EQ \f(Lf;Rf )]0,039
soit dans le cas usuel d une viscosité à ½ = 1,43 10-5 m2/s
Rf H" EQ \f(0,73 10-3;V) [ EQ \f(Lf;Rf )]0,039
La rugosité relative EQ \f(Rf ; Lf ) de nos engins prenant des valeurs allant de 1 à 400 10 6, le terme à la puissance 0,039 endossera des valeurs variant de 1,7 (grande fusée de 1m très lisse) à 1,36 (courte fusée de 0,5m très rugueuse).
Il sensuit que la rugosité absolue dune grande fusée (autour de 1 m) qui rendra cette fusée justiciable dun Cf complètement rugueux est :
Rf H" EQ \f(1,24 10-3;V)
Rf est la rugosité absolue au-delà de laquelle le fuselage de cette grande fusée pourra être calculé en Cf totalement rugueux ;
V étant la vitesse de la fusée à laquelle le Cf vaut d être calculé.
Le numérateur de cette formule deviendra 10-3 pour une petite fusée de 0,5 m
On peut alors noter que :
(pour une fusée à eau de 0,5 m navigant à 50 m/s cette rugosité est de 20 microns.
(pour une fusée à feu de 1 m navigant à 200 m/s cette rugosité est de 6,2 microns.
Quelle que soit leur longueur, les fusées les plus rapides gagneront donc à présenter une rugosité absolue plus faible (un meilleur poli) que les fusées plus lentes
Autrement dit, et si lon se réfère toujours à notre HYPERLINK \l "courbe_Cf_selon_Re" tableau général des coefficients de friction, un meilleur fini aérodynamique permettra à la friction des fusées les plus rapides de poursuivre leur décroissance avec la vitesse
Mais les plus grandes pourront présenter une rugosité absolue un tout petit peu plus faible sans se rendre coupable dune stagnation de leur Coefficient de Friction.
Le cours dInteraction donne pour ce Cf complètement rugueux la régression un peu plus compliquée suivante :
Cf = [1,89 - 1,62 Log( EQ \f(Rf ; Lf ) )]-2.5
Ce qui revient à écrire, de façon plus moderne :
Cf = [1,89 -0,703*Ln( EQ \f(Rf ; Lf ) )]-2.5
Voici la comparaison de ces valeurs (en fuchsia, continu pour Barrowman et pointillé pour InterAction) :
Attention ajout des Rr dans Word !
Pour une rugosité relative de 10-5, ces deux sources saccordent ; pour une rugosité relative de 10-4, leur écart est insignifiant.
Nous ne saurions prendre parti quant au réalisme des différentes courbes qui sont dailleurs assez proches ; de sorte que la simplicité de leur équation peut devenir un critère de choix
Les Re atteignables en Fusée à eau ou à feu sont toujours figurés par des segments horizontaux, mais partant cette fois de la vitesse nulle.
Notons encore (mais cest le sujet du paragraphe qui suit) quune rugosité relative de 10-4 correspond à celle dune fusée de 0,5 m de longueur grossièrement peinte à la bombe : ce mode de finition causera donc un excès de Friction sensible (le Cf stagnera à 5 millième alors quun meilleur poli le laisserait descendre à presque 3 millième)
Résumons pour finir ce chapitre consacré à lévolution du Coefficient de Friction sur la surface dun mobile :
Le Cf évolue selon le Re.
Pour les faibles Re la couche Limite sur le mobile est Laminaire et le Cf évolue suivant une courbe descendante.
À un certain moment, la Couche Limite devient instable et tend à devenir turbulente. Ce fait occasionne un vif accroissement du Cf selon une courbe dite de Transition.
Si le Re continue à croître, la Couche Limite est décidément turbulente et le Cf évolue selon une courbe de nouveau descendante (mais placée plus haut que la courbe du Cf Laminaire).
Si le Re dépasse une certaine valeur, liée à la rugosité relative de la surface du mobile, le Cf se stabilise à une valeur constante et indépendante du Re.
Le Cf déterminé de la sorte représente le Coefficient de Friction global sur toute la surface baignée par le fluide (la surface mouillée SM.). La force de friction F sur cette surface est donc :
F = ½ ÁV2 SM Cf
Nous exposons HYPERLINK \l "calcul_separatif_cf" en fin de texte un calcul encore différent de la Friction sur une surface au long de laquelle la Couche Limite adopte les deux régimes : laminaire et turbulent. Au lieu de se baser sur la courbe dite de Transition, ce calcul se fait séparément pour la partie laminaire et pour la partie turbulente.
Évaluation de la rugosité absolue dun fuselage :
Le cours d HYPERLINK \l "interaction_cours" InterAction déclare : « On qualifie de rugueuse une surface présentant de nombreuses aspérités, la distance entre deux aspérités consécutives étant de l'ordre de leur hauteur. » Le même cours défini plus loin la rugosité comme la « hauteur des aspérités ».
La rugosité absolue dune surface est la hauteur moyenne de ses aspérités, mesurée depuis le fond dun creux jusquau sommet dun pic.
Lévaluation de cette rugosité, qui compte pour beaucoup dans lestimation du Cx dune fusée, mériterait dêtre automatisé (à partir dune mesure laser). Seule une telle mesure, en effet, serait exempte de subjectivité.
En labsence dun tel dispositif, le tableau suivant, tiré du texte de Barrowman citant Horner , donne une description des différentes rugosités.
Dans la citation de Barrowman, la hauteur moyenne des aspérités est exprimée dans une troisième colonne selon une unité particulière, le mil .
Nous avons fait disparaître cette colonne par prophilaxie , mais cette origine empirique doit explique la mention Approximate :
Approximate Surface Roughness Heights of
Physical Surfaces
Type of surfacesApproximate
micronsSurfaces like a « mirror »0Surface of average glass0,1Finished ans polished surfaces0,5Aircraft-type sheet-metal surfaces2Optimum paint-sprayed surfaces5Planes wooden boards;15Paint in aircraft-mass production20Steel plating-bare50Smooth cement surface50Surface with asphalt-type coating100Dip-galvanized metal surface150Incorrectly sprayed aircraft paint200Natural surface of cast iron250Raw wooden boards500Average concrete surface1000
HYPERLINK \l "p_gutelle" Pierre Gutelle, donne, quant à lui :
Type de surfaceRugosité absolue en micronsSurface poncée et polie0,5Peinture marine poncée50Métal galvanisé150Bois nu500
Le logiciel HYPERLINK \l "aerolab" Aerolab ,de Hans Olaf Toft, présente une autre échelle de rugosité absolue :
Type de surfaceRugosité absolue en micronsAbsolutely smooth0,1 à 0,5Polished metal or wood0,6 à 1,7Natural sheet metal2,1 à 4Carefully painted5 à 7,7Painted9,6 à 68,2Rough metal84,7 à 600
Le logiciel HYPERLINK \l "roccad" Roccad annonce une règle peu être un peu trop simple :
For rough and unfinished surfaces, multiply values [les valeurs des Cx annoncés] by 1.25.
Le logiciel HYPERLINK \l "rocdrag" Rocdrag, quant à lui, propose quatre types de rugosité absolue. Après ouverture de ses fichiers , il est possible de bâtir le tableau suivant :
Type de surfaceRugosité absolue en micronsHighly polished paint or similar polished surface2,54 Sprayed, smooth gloss paint or similar12,7Rough or matt paint25,4Unfinished wood, poor quality paint, or worse203,2
LE COEFFICIENT DE FRICTION DAPRÈS LE CNES
Dans un HYPERLINK \l "doc_lebaron_321espace" document du CNES, M. LEBARON précise pour le Coefficient de Friction :
En première approximation, il varie suivant la relation :
Cf = EQ \f( 1 ; EQ \r(; Re ) ) pour Re < 106
et il renvoie sans autre commentaire sur un diagramme proposé par lONERA :
On note au bas de ce graphique :
« Coefficient de frottement Cf en fonction de Re (régime turbulent) »
Le diagramme est établi pour différents nombres de Mach, mais, cest évidemment la seule courbe liée au Mach H" 0 qui nous intéresse pour la présente et modeste étude&
Il faut alors comprendre que, pour les Re 106 elle se produit à travers une couche limite en régime turbulent en dessinant le graphe reproduit ci-dessus.
Reportée dans un tableau Excel, ces informations donnent :
De fait, lorsque lon reporte ces deux courbes vert deau et bleue très pale sur le graphe général précédemment établi daprès les enseignements de Barrowman et dInterAction on obtient bien :
Attention : ajout détiquettes dans Word !
La friction en couche limite laminaire pronostiquée par lONERA est donc un peu plus faible (~ un quart) que celle prévue par Barrowman, mais cette différence est de peu dimportance. LONERA a au moins le mérite de proposer une formule très mnémotechnique de la friction laminaire
Rappelons que nos autres sources avançaient la formulation :
CfLam = EQ \f(1,328 ; EQ \r(; Re ) )
Par contre, nous notons avec grand intérêt que le CNES nous autorise à sauter la phase de transition de la couche limite (courbe rouge ou orange) pour ne considérer que la courbe de friction laminaire puis turbulente. Cest un élément simplificateur fort intéressant. Il doit se justifier, à mon sens, par le fait que dans le domaine des fusées :
(la plage de vitesse correspondant à ces courbes rouge ou orange (de transition) est passée en un temps suffisamment bref, du moins pour une fusée à feu ;
(cette transition du régime laminaire de la couche limite vers le régime turbulent est peut être plus aléatoire et donc moins modélisable que lors des essais de laboratoire ;
(bien que pratiquement lécoulement laminaire peut subsister pratiquement jusquà un Reynolds de 70 millions (ce qui correspond pour une ogive de 20 cm de haut à une vitesse très supersonique, cette ogive devant être parfaitement polie), on est en droit de penser que la recompression partielle des filets dair qui se produit au raccord ogive-partie cylindrique du fuselage entraîne de fait une transition de la couche limite vers le régime turbulent sur cette partie cylindrique .
Ladite partie cylindrique représentant la plus grande partie de la surface de friction, lerreur consistant à appliquer à logive le Cf turbulent du fuselage sera peu importante
Il ne faut dailleurs pas avoir un il très exercé pour noter sur le graphe que lécart entre le Cf laminaire et le Cf Turbulent est quasi constant ; il vaut un peu moins de 3 millième dans la plage de Reynolds qui nous intéresse. Cest donc ce un peu moins de 3 millième que lon devra appliquer à la surface mouillée de logive pour corriger le choix de la Couche Limite turbulente sur toute la fusée. Pour une ogive adaptée ou gothique délancement 3, il est facile de donner une valeur à cette correction sur le Cx : elle est de 0,025
(si lon est à la recherche dun Cx unique (qui sera donc un Cx moyen ou équivalent sur toute la plage des vitesses qui animent la fusée), il est évident quon doit accorder plus dimportance aux Cf les plus forts (dans lintégration de la Traînée au long du vol ascendant de la fusée, ce sont bien les plus forts Cf qui tiennent le rôle le plus important). Il est donc sage de sattacher à leur recherche plutôt quà des Cx qui interviennent à des faibles vitesses
Dessinons à nouveau pour fixer nos idées le même graphique avec, près de laxe des abscisses, les plages de vitesses des fusées correspondant au Re atteints (en bleu clair une fusée à eau de 0,5 m atteignant 60 m/s et en rouge une Minifusée de 1 m atteignant 175 m/s) :
Attention ajout des Rr dans Word !
À droite du segment rouge de la Minifusée à feu, le mur du son nest pas si loin : il serait franchi au Re de 2 107 par la Minifusée.
Si lon sautorise de lopinion de M LEBARON et du CNES citée un peu plus haut, opinion qui conjecture une transition immédiate du Cf depuis la courbe laminaire jusquà la courbe turbulente (sans passer donc par une courbe rouge ou orange) :
(on peut imaginer quune fusée à eau dun excellent état de surface puisse relever des deux calculs de Cf (en laminaire vert deau ou bleu pâle et en turbulent bleu très pâle)
(on doit prévoir quune fusée à eau de mauvais état de surface (présence de rubans adhésifs plus ou moins gaufrés et froissés sur le fuselage et spécialement au raccord ogive-partie cylindrique du fuselage) ressortisse dun calcul à Cf constant (totalement rugueux) (Cf de 6 à 8 millièmes, par ex., selon son état de surface)
(la Minifusée, quant à elle, semble devoir ne rester que peu de temps dans la zone justiciable du calcul en laminaire : sa couche limite transitera très vite vers le turbulent (spécialement et à notre avis par le fait de la recompression au raccord de logive sur le fuselage cylindrique). Toutefois un excellent fini de sa surface reculera peut-être cette transition, mais essentiellement près de logive
Mais il faut également penser que, dans un cas comme dans lautre, ce sont les Cx suscités par les plus fortes vitesses (et donc les plus fort Re ) qui occasionneront le plus de freinage atmosphérique : lattribution dun Cx de friction unique en devient plus simple pour la Minifusée (Cf décidément turbulent), et plus compliqué pour une petite fusée à eau de belle facture (fusée de 0,5 L dotée dun fini aérodynamique, par exemple), cas où lon pourra hésiter entre le régime laminaire et le régime turbulent
Il faut dailleurs noter quaprès transition (sil en est une), les couches limite des fusées conserveront longtemps leur état turbulent même après le ralentissement due à leffet de la gravité : il est très difficile en effet à la Couche Limite de revenir delle-même en arrière vers le régime laminaire.
FORCE RÉSULTANTE DE FRICTION SUR LE FUSELAGE
(correctif de tridimensionnalité de la surface de friction) :
Nous avons dit que la force de friction sur le fuselage est proportionnelle au coefficient de friction et à la surface mouillée du fuselage.
Dès lors que lon aura pu calculer (ou estimer) ce Coefficient de Friction, le Cx de Friction du fuselage pourrait facilement être obtenu. Il suffirait de prendre le produit du Cf par la surface mouillée et de le diviser par la surface de référence (souvent la section frontale de logive).
Si Sm est la surface mouillée, Cf le coefficient de frottement sexerçant sur le fuselage et Sog la section de logive, le Cx de friction Cxf sur le fuselage serait donc :
Cxf = EQ \f(SmCf ; Sog )
(rappelons que nous revenons à la fin de ce texte sur la détermination exacte de la surface mouillée)
Mais dans les faits, le fuselage dune fusée nétant pas une plaque plane, il convient dappliquer au coefficient de friction Cf un certain correctif.
InterAction signale à ce propos :
« Même dans le meilleur des cas, c'est à dire lorsque le corps est exempt de traînée de pression et qu'il ne présente, apparemment, que de la traînée de frottement (cas des corps parfaitement profilés), on constate que la traînée mesurée est supérieure à la stricte traînée de frottement d'une plaque plane parallèle à l'écoulement et de même surface. C'est là le signe qu'une interférence s'est établie entre l'épaisseur du volume [(qui est ici nouvelle)
] et le phénomène de couche limite [qui fait toujours qu'un véritable tapis est entraîné derrière le profil, ce que la technique de la cuve à bulles d'hydrogène permet d'ailleurs de bien mettre en évidence (fig.21 a). Or, il ne s'agit pas encore de décollement dont les remous et les turbulences bouleversent, comme le montre la figure 21 b, le sillage de façon fort différente (le quadrillage de cette figure est obtenu en croisant deux fils générateurs de bulles d`hydrogène).
] Le déficit mesuré entre profil et plaque plane est tout de même de l'ordre de 10 % (variable selon l'épaisseur relative du profil considéré) »
Barrowman fait état de ce phénomène, en citant louvrage dHoerner :
« The body skin friction coefficient must be corrected for the fact tnat the body is not a flat plane »
Le correctif quil adopte est un multiplicateur qui sapplique en dernier, au moment du calcul de la Traînée de friction du fuselage. Il vaut :
[1+ EQ \f( 0,5 ; El ht ) ] ( El ht étant lélancement hors tout de la fusée.)
En conséquence de quoi le Coefficient de Friction dudit fuselage devient :
[1+ EQ \f( 0,5 ; El ht ) ]Cf
Nous pourrions nommer ce correctif : correctif de tridimensionnalité ou de courbure.
Il traduit en effet que les résultats de létude de la friction sur la plaque plane (qui est un objet bi-dimensionnel ) doivent être adaptés, du fait que le fuselage dune fusée est un objet défini par trois dimensions.
Pour un élancement hors-tout de 5, ce coefficient correctif vaut donc 1,1 ; pour un élancement hors tout de 15 il vaut 1,033 (nous produisons une courbe de son évolution plus bas).
Une autre source, le programme HYPERLINK \l "rocdrag"Rocdrag , sautorisant également du même Hoerner, avance pourtant comme correctif un correctif de courbure (correction for curvature) :
faut-il faire compter le 1,02 dans cette correction ?
=1,02{1 + 1,5 EQ \f(1; Elht )1,5+ 7 [ EQ \f(1; Elht )1,5]2}
Ces deux correctifs semblent correspondre à la même volonté et donner des résultats assez proches pour des élancements hors-tout usuels, du moins si lon ne fait pas intervenir le coefficient 1,02 (celui utilisé par Barrowman est en jaune et celui utilisé par Rocdrag en fuchsia) :
Si lon fait intervenir ce coefficient 1,02 la comparaison est un peu moins flatteuse :
Nous ne savons que penser de cette différence dinterprétation.
Insistons cependant sur le fait que ce correctif sapplique au produit SmCf et ne doit pas être confondu avec certains correctifs permettant de prédire la Surface Mouillée Sm daprès les seuls Diamètre et Élancement dune fusée.
Une correction identique de tridimensionnalité semble devoir être appliquée lors du calcul du Cf de Couche Limite des ailerons.
PROBLÈME DE LA LAMINARITÉ DE LOGIVE
La plupart des pyrofuséistes apportent beaucoup de soins au dessin de leur ogive ainsi quau poli de sa surface.
Si lon se fie à nos affirmations sur le Cx de Pression de logive, ce dernier demeure assez faible (pour une forme correctement profilée, du moins en subsonique incompressible).
Quant au Cx de Friction de cette même ogive, lon doit y revenir :
Si logive est baignée dans une Couche Limite laminaire, sa Traînée de Friction découlera du Cf de Friction attaché au nombre de Reynolds de lécoulement laminaire.
Reproduisons encore une fois les courbes du Cf selon le nombre de Reynolds :
Attention : ajout du trait vert fluo dans Word !
Bien que le Cf sur logive ne soit pas constant durant le vol (ainsi que le montre ce graphe, puisque la vitesse de notre engin varie) on peut quand-même en donner une estimation raisonnable. En effet, nous savons que les valeurs de ce Cx variable qui auront le plus deffet sur le freinage atmosphérique de la fusée sont les valeurs correspondant aux plus fortes vitesses (voir à ce sujet notre texte HYPERLINK "http://perso.numericable.fr/~fbouquetbe63/gomars/cx_moyen.doc" Existe-t-il un Cx moyen pour les fusées ?).
Les abscisses logarithmiques utilisées dans ce graphe compriment singulièrement léchelle des Re (et donc des vitesses, puisque la longueur de la fusée reste invariable ). Les variations du Cf en sont donc notablement diminuées.
Par exemple, si lévaluation du Cf en laminaire devait se faire sur une plage de vitesse allant de la moitié de la vitesse maximum à cette vitesse maximum (mais cette plage est même beaucoup trop large sil sagit de déterminer un Cx moyen) cela nous conduirait à une moyennisation sur la plage vert fluo indiquée sur le graphe.
Cette largeur de segment vert fluo correspond à une multiplication par deux de la vitesse : on voit pourtant que le Cf en Couche Limite Laminaire y demeure assez près de 0,0005.
Si la Couche Limite sur logive se fait Turbulente (par exemple à cause d'aspérités diverses genre interrupteurs ou plans de joint, ou à partir dune certaine vitesse à cause dun défaut général détat de surface), observons le surcroît de Cx que cela occasionne :
Lécart entre les courbes du Cf Laminaire et Turbulent est quasi constant et de lordre ~ 0,003.
Sauter cet écart vers le haut produit alors (sur la seule surface mouillée de logive) un surcroît de Cx de :
0,003 SMog /SOg .
(voir à ce sujet la note sur les Surfaces mouillées HYPERLINK \l "Note_SMDP" en fin de texte)
Pour une fusée courante délancements dogive 3 ce surcroît de Cx est alors de 0,025 , soit 6 % dun Cx total de 0,4.
Bien sûr, cette surtaxe aérodynamique est tout à fait dans la marge derreur de notre estimation du Cx général de la fusée, mais ne pas en tenir compte serait perpétrer une erreur volontairement. Aussi la question suivante vaut dêtre posée :
La Couche Limite sur logive est-elle Laminaire ou Turbulente ?
Si logive est suffisamment lisse (c à d si elle possède un état de surface correct et si elle ne fait montre daucune aspérité : têtes de boulons, antenne, joints de trappe et autres interrupteurs) sa Couche Limite garde de grandes chances dêtre laminaire.
Ceci parce que la transition Laminaire/Turbulent de la Couche Limite se produit difficilement lorsque lécoulement de lair est en phase daccélération. Or le fluide accélère de la pointe de logive jusquau raccordement de celle-ci sur la partie cylindrique du fuselage. À ce sujet InterAction précise bien :
« La transition peut être déclenchée par une recompression, même partielle, générée par la forme géométrique d'un profil. »
Et plus loin : « C'est aussi [cette solution qui est] retenue pour déclencher la transition immédiatement au bord d'attaque sur plaque plane, par l'utilisation d'une arête arrondie (Cette transition immédiate est alors obtenue pour une vitesse de veine de 35 m/s). »
Il est utile ici de représenter schématiquement lévolution des vitesses et des pressions le long du fuselage dune fusée ogivo-cylindrique (ceci évidemment à lextérieur de la Couche Limite) :
Les vitesses sont en bleu : lhorizontale bleue est la vitesse de lécoulement à distance de la fusée.
Les pressions sont en rouge. En dessous de lhorizontale en pointillés bleus et rouges, elles sont inférieures à la pression atmosphérique (ralentissement du fluide). Au-dessus elles sont supérieures (accélération du fluide).
À gauche de la verticale bleue est donc la zone de surpression (proche du point darrêt).
La cadence à laquelle la vitesse de lécoulement le long de la partie cylindrique du fuselage se rapproche de celle de lécoulement à linfini ne nous est pas connue actuellement. Sa connaissance serait pourtant utile, car elle doit influer sur la Traînée de culot
Lobservation de ce schéma indique que le raccordement de logive sur le fuselage constitue bien, pour chaque filet dair, le point de recompression. Cette recompression a de fortes chances de déclencher la transition de lécoulement de la Couche Limite depuis le Laminaire jusquau Turbulent et ceci dautant plus que, dans beaucoup de cas, le raccordement de logive sur le fuselage est également un raccordement matériel (avec un plan de joint plus ou moins bien réalisé)
InterAction Cours 2 : « L'expérience montre qu'un gradient de pression négatif (détente), de même que l'accélération des filets, stabilisent la laminarité et reculent la transition. A l'inverse, un gradient de pression positif (recompression), de même que le ralentissement des filets, fragilisent la laminarité et favorisent la transition. Ils la fragilisent, mais ils ne la provoquent pas. Toutefois, comme la laminarité est un état particulièrement instable, elle ne tient guère longtemps [
]
Ainsi, le fait de maintenir une accélération permet de repousser le point de transition bien au-delà du Reynolds de 500 000 obtenu avec les plaques planes.
Il faut citer en exemple le fuselage de l"'Avanti" dont la forme a été étudiée [
] par des aérodynamiciens compétents dont le souci a été de préserver un maximum de laminarité sur le fuselage, par recul de la transition aux limites du possible. Malgré sa vitesse élevée, des Reynolds de plus de 70 millions ont ainsi pu être obtenus sur cet avion. »
Il est donc théoriquement possible de prolonger la laminarité de la Couche Limite jusquà cette valeur de Re de 70 millions. Pour une fusée volant à 200 m/s, ce Reynolds serait celui dune ogive longue de :
70 106 = 70 000 200 L, ce qui donne une longueur dogive de 5 m
John S. DeMar, dans son rapport Model Rocket Drag Analysis note pourtant :
For practical purposes in model rocketry, the flow will be turbulent before it passes the nosecone for most designs [Stine, 1986].
Dans les commentaires de son logiciel HYPERLINK \l "rocdrag" RocDrag , John S. Kallend indique :
Body tube drag [
] I use turbulent flow formula (it will surely be turbulent after the nose/bt junction)
Et, plus loin : Schoenherr equation for smooth turbulent flow.
Alain Bugeau, d HYPERLINK \l "interaction_cours" InterAction , fait état dans Laminarité et aviation légère des différentes méthodes permettant de lever le doute sur le type de Couche Limite baignant un corps profilé : Ces méthodes permettent de relever en vol le front de transition entre la Couche Limite Laminaire et la Couche Limite Turbulente. Voici une très intéressante image montrant cette ligne frontière sur un carénage de roue davion léger, objet assez proche dune ogive de fusée :
Image de Laminarité et aviation légère dInterAction
Lavant de lobjet est à gauche.
Il est remarquable que le front de Transition se situe bien aux points où le carénage de la roue achève de se faire sa place dans lair, c à d au point de recompression.
Lavancée du front déclenchée par le boulon doit nous servir dexemple à ne pas suivre : toute aspérité risque bien de provoquer une transition prématurée de la Couche Limite.
FRICTION SUR LES AILERONS DEMPENNAGE :
D'après le HYPERLINK \l "doc_lebaron_321espace" document du CNES cité plus haut, une fusée donne lieu à deux calculs de friction :
(un pour le fuselage (ogive et corps cylindrique), le nombre de Reynolds étant fondé sur la longueur de ce fuselage (depuis la pointe de l'ogive jusqu'au culot) et la surface étant la surface mouillée de ce fuselage.
(puis un autre pour les ailerons d'empennage, le nombre de Reynolds étant fondé sur la corde (moyenne) d'un aileron et la surface étant la surface mouillée totale de l'empennage (8 faces pour un empennage de 4 ailerons).
Conséquemment, le coefficient de friction sur lempennage sera alors un peu plus fort que celui à appliquer au fuselage. En effet, si lon retient comme Coefficient de Friction sur lempennage la valeur du Coefficient de Friction en Turbulent donnée par l'école Polytechnique de Montréal (à cause de sa simplicité) :
CfEmp = EQ \f(0,031 ; Re1/7 )
on peut le réécrire :
CfEmp = EQ \f(0,031 ; (U CordMoy / ½ )1/7 )
Cette valeur est à comparer à celle du coefficient de friction sur le fuselage :
CfFuse = EQ \f(0,031 ; (U LFuse / ½ )1/7 ) (LFuse étant la longueur de celui-ci)
Le quotient entre les deux longueurs caractéristiques LFuse et CordMoy ayant souvent un ordre de grandeur de 10, la puissance 1/7 de ce quotient est de 1,4 , ce qui nous informe raisonnablement sur la proportion des deux coefficients de friction : le Cf de lempennage sera fréquemment 1,4 fois plus fort que celui du fuselage. Attention cependant : ces deux Cf ne sappliquent pas à la même surface (la surface mouillée totale des ailerons restant inférieure dun facteur 3 à10 à celle du fuselage)
John S DeMar, dans HYPERLINK \l "rocket_drag_analysis" Rocket Drag Analysis propose dagir différemment selon que la Couche Limite sur les ailerons est en régime Laminaire, de Transition ou Turbulente (ce régime dépendant bien sûr du Reynolds découlant de la corde moyenne de ces ailerons). Cest une affirmation qui vaut son poids. Nous serions dailleurs assez proche ici de la problématique de la friction sur les ailes de planeurs et davions, si les ailes de nos fusées nétaient pas, la plupart du temps, des profils minces.
Ce dernier cas des profils minces nest autre que celui de la plaque plane en couche limite turbulente forcée. Cette couche limite est forcée par le fait quon a tout simplement arrondi son bord dattaque, ce qui provoque une recompression de lécoulement et un passage automatique de la Couche Limite à lécoulement turbulent.
Faisons-nous lécho une nouvelle fois la parole dInterAction :
« [ ] la transition peut être déclenchée par une recompression, même partielle, générée par la forme géométrique d'un profil. C'est [
]cette solution qui est retenue pour déclencher la transition immédiatement au bord d'attaque sur plaque plane, par l'utilisation d'une arête arrondie. Cette transition immédiate est alors obtenue pour une vitesse de veine de 35 m/s. »
Remarquons que cette vitesse de transition immédiate de 35 m/s (126 Km/h) est décidément très faible pour des fusées à feu, surtout par rapport aux vitesses qui occasionneront le gros de leur freinage atmosphérique (voir notre texte Existe-t-il un Cx moyen pour les fusées ? ).
Notre opinion est quon peut être fondé à penser que, sur les ailerons de nos fusées, la couche limite se développe automatiquement sous un régime de Turbulence Forcée, et ceci dautant plus que lécoulement (au moins à la racine desdits ailerons) est largement pollué par la présence du fuselage (en couche Limite Turbulente).
À cet égard, John S. Kallend commente ainsi le problème du régime de la Couche Limite sur les ailerons : « More likely turbulent because of interference with body »
Mais il utilise cependant la formule du Cf de Couche Limite Laminaire lorsque le Reynolds demeure en dessous de seulement 100 000 : il accepte donc lidée dun transition anticipée de la Couche Limite ; notons pour notre compte que ce Reynolds propre de 100 000 est atteint, pour des ailerons de seulement 5 cm de corde moyenne, à la vitesse de 100 km/h.
Lexistence dun régime Laminaire de la Couche Limite sur les ailerons nous paraît donc anecdotique.
On peut également ajouter que, lécart entre les courbes du Cf en Couche Limite Turbulente et Laminaire demeurant près de 0,003, pour quatre ailerons denvergure et de corde moyenne égale au diamètre de la fusée, lerreur consistant à baser le calcul sur la friction sur un écoulement laminaire plutôt que turbulent conduit à une erreur sur le Cx de 8D² 0,003 / (ÀD²/4) , c à d 0,03, soit un peu moins de son dixième.
Cette erreur n est pas négligeable, mais son occurrence semble devoir être limitée aux très basse vitesses, lesquelles comptent pour presque rien dans le bilan des pertes de vitesse lors de la montée à culmination.
Une correction de tridimensionnalité (identique à celle spécifiée pour la friction du fuselage) semble devoir être appliquée lors du calcul de la Traînée des ailerons.
Pour le calcul en Couche Limite Turbulente, RocDrag adopte à cet effet, comme correction, le coefficient multiplicateur:
1 + 2 éprelat + 60(éprelat)4
On devine que éprelat est lépaisseur relative des ailerons (quotient de leur épaisseur sur leur corde moyenne).
Lépaisseur relative étant nécessairement faible (de lordre de 5 %), le terme de degré quatre est négligeable et la correction se fait assez proche du dixième en sus.
Cx DE CULOT :
La zone immédiatement en aval du culot de la fusée est typiquement une zone de décollement des filets dair.
Par analogie avec les tourbillons encombrés de débris flottants qui se forment derrière certains obstacles à lécoulement des fleuves (comme les piles de ponts) on la qualifie de zone deau morte.
La dénomination actuelle de la Traînée générée par le culot évolue cependant en Traînée darrière corps
Cette Traînée est une Traînée de pression, dans la mesure où aucune des forces de friction existant sur le culot ne peut avoir de projection sur laxe de lengin (le culot est supposé plan et perpendiculaire à cet axe).
HYPERLINK \l "RGougnotCoursAero" R.GOUGNOT nous indique que la Traînée de culot peut représenter de 20 à 40 % de la Traînée totale, ce qui nest pas rien
Il faut dailleurs noter que selon que le propulseur est en fonctionnement ou non la Traînée de culot savère différente. Nous en resterons, pour le moment, à la seule phase balistique (propulseur éteint, donc).
Cx de culot dune fusée ogivo-cylindrique :
John Barrowman citant Hoerner donne une expression assez simple du Cx de Culot dune fusée ogivo-cylindrique (nommons mnémotechniquement celui-ci Cxq ). Ce Cxq est directement fonction du Cx de Friction du fuselage (Cx de Friction référencé à laire frontale de logive ; appelons le CxfFuse pour Cx de Friction du Fuselage). Voici cette expression :
Cxq = EQ \f(0,029; EQ \r (; CxfFuse) )
Les Cxq et CxfFuse dAeroLab, Rocdrag, Rocket Drag Analysis et Model Rocket Drag Analysis vérifient bien cette relation.
Le CxfFuse présent sous la racine carrée vaut évidemment CfFuse EQ \f(SmFuse ; SOg ) , CfFuse étant le coefficient de friction le long du fuselage complet (bien que cela ne soit pas précisé par John Barrowman).
Sur ce point précis de la valeur à prendre pour le CxfFuse dans cette formule du Cxq , lauteur de HYPERLINK \l "rocket_drag_analysis" Rocket Drag Analysis utilise la valeur CfFuse EQ \f(SmFuse ; SOg ) augmentée du Cx de Pression de logive. Celui-ci étant assez faible, la différence nest pas très grande, mais cet ajout reste à justifier : en particulier, une ogive présentant un très mauvais Cx de Pression diminue alors de fait le Cx de Culot, ce qui vaudrait à être vérifié
Si lon sen tient pourtant à lutilisation sous le radical du seul Cx de Friction du fuselage, le Cx de culot peut donc sexprimer sous la forme :
Cxq = EQ \f(0,029; EQ \r (;Cf EQ \f(SmFuse;SOg) ))
où SmFuse est l'aire mouillée de la fusée ogivo-cylindrique
SOg l'aire de référence (ici également laire du culot).
et Cf le coefficient de friction de lair sur le fuselage et logive.
Dans son texte, John Barrowman présente ce Cxq comme sappliquant à laire de la base (base area). À notre sens (et toujours en phase non propulsée) il doit donc sappliquer à laire du culot Sq. y compris celle de la tuyère (car, si cette aire noffre pas physiquement une surface à la pression de culot, elle permet la mise à cette pression de lensemble de la cavité du moteur et donc en particulier laire opposée à la section de la tuyère, au fond du moteur). Cest pourquoi, dans ce cas de la fusée ogivo-cylindrique, nous assimilons laire de la base à laire de référence SOg.
Notons, en observant les deux formules précédentes, que si le Cx de friction sur le fuselage est plus fort, le Cx de Culot sera plus faible. C à d que pour une fusée plus lente (le nombre de Reynolds plus faible entraînant un Cf plus fort) le Cx de culot sera un peu plus faible (toutes choses égales par ailleurs)
On peut aussi noter que lévolution du Cx de culot compense en partie lévolution du Cx de friction sur le fuselage
Comme Cf SmFuse représente la force de friction sur le fuselage, on doit admettre que tout ce passe comme si le Cx de culot dépendait de linverse de la racine carrée de la force de friction sur le fuselage.
Ce ne peut être quune impression car en aucun cas les particules de fluide générant la dépression de culot ne sont porteuses dune information sur la force de friction quelles ont précédemment administrée durant leur course. Chaque particule de fluide nest porteuse que des informations correspondant à son état, à savoir sa Pression et son vecteur Vitesse. Cependant, la friction le long du fuselage a bien épaissi sa Couche Limite. Et létat de cette Couche Limite est donc révélatrice de la friction qui sest opérée en amont
La dépendance du Coefficient de Traînée de Culot du Coefficient de Friction du fuselage Cf doit donc sexpliquer par le fait quà cette distance de logive la Couche Limite a déjà atteint une épaisseur importante et que la recirculation qui se produit au culot est alimenté, non pas par un fluide à la vitesse de lengin mais par des veines de fluide notablement ralenties par la friction sur le fuselage.
Il doit également y avoir linfluence de la recompression des filets dair : plus long est les le fuselage et plus est complète la recompression, ce qui base la (dé)pression de culot sur une (dé)pression plus faible, donc un moindre ralentissement du mobile
Voici une captation par lONERA de la recirculation sur un arrière corps :
Image obtenue par Henri Werlé en tunnel hydrodynamique, diffusée par Interaction sur la page La Traînée
Nous y avons symbolisé, en bleu, lenroulement torique des filets fluides supérieurs.
Voici une représentation plus experte de cette même recirculation, tirée du cours de HYPERLINK \l "cours_jean_delery" Jean Délery , :
Image tirée du cours de HYPERLINK \l "cours_jean_delery" Jean Délery
Si lon se souvient à présent que le Coefficient de Friction créé par une couche limite turbulente est donné par le même Barrowman pour :
Cf = EQ \f( 1 ; (1,503*Ln(Re) - 5,6)2 )
on peut réécrire le Cx de culot pour ce cas de la fusée ogivo-cylindrique sous la forme :
Cxq = EQ \f(0,029 (1,503*Ln(Re) - 5,6); EQ \r (; EQ \f(SmFuse ; SOg ) ) )
soit :
Cxq = EQ \f( 0,0436*Ln(Re) - 0,1624; EQ \r (; EQ \f(SmFuse ; SOg ) ) )
Si lon préfère utiliser la valeur du coefficient de frottement de la couche limite turbulente dInterAction, à savoir 3,913 [Ln(Re)] - 2,58 , lon sera conduit à lexpression du Cx de culot suivante :
Cxq = EQ \f(0,01466 [Ln(Re)]1,29; EQ \r (; EQ \f(SmFuse ; SOg ) ) )
Ces expressions du Cx de culot, basées sur deux évaluations différentes du Cf , laissent entendre que Cxq sera dautant plus fort que laire de logive SOg et donc laire du culot Sq (ce sont les mêmes) seront fortes par rapport à la surface mouillée.
Attention : Nous parlons bien ici du Coefficient de Traînée Cxq et pas de la Traînée de Culot (qui est évidemment plus forte si la surface qui en est le siège est plus grande)
Plus une fusée sera trapue, donc et plus son Cx de culot sera fort
Valeur approchée du Cx de culot pour une fusée ogivo-cylindrique :
Comme le quotient EQ \f(SmFuse ; Sq ) est globalement proportionnel à lélancement hors-tout de la fusée (dans le cas où les élancements de logive et de la partie cylindrique croissent ensemble), on peut raisonnablement écrire, selon la formulation que lon retient pour le coefficient de friction (Barrowman ou InterAction) :
Cxq = EQ \f( 0,0436*Ln(Re) - 0,1624; 2 EQ \r (; k eHT) )
ou encore :
Cxq = EQ \f(0,01466 [Ln(Re)]1,29; 2 EQ \r (; k eHT))
où :
Re est le nombre de Reynolds du fuselage,
k est une constante un peu inférieure à 1 caractérisant le rapport entre la surface mouillée de la fusée et la surface ÀDL du cylindre circonscrit à ce fuselage (voir notre HYPERLINK \l "Note_SMDP" note en fin de texte)
et eHT est l élancement hors-tout de la fusée
À élancement hors-tout égal (fusée de même silhouette), le Cxq de culot saccroîtra donc doucement avec le Reynolds du fuselage donc sa taille et sa vitesse
Ce Cxq diminuera par contre à mesure que lélancement général de la fusée augmente . Lélancement de la fusée nintervient cependant que comme sa racine carrée.
Voici cet accroissement en fonction du Reynolds et pour des élancements hors-tout de la fusée évoluant de 5 à 20 (courbes en traits pleins) :
Les horizontales bleue et rouge illustrent toujours la zone de Re maximum usuelle des fusée à eau et à feu
Cette famille de courbes des Cxq est tracée ici pour une longueur de fusée de 0,5 m, mais cette longueur nintervient nullement dans la formulation du Cxq (puisque nous graduons nos abscisses selon les Re) :
Cxq = EQ \f(0,01466 [Ln(Re)]1,29; 2 EQ \r (; k eHT))
Mais, par contre, si lon se pose la question de savoir quel Cxq moyen on devra retenir de tous les Cxq dune courbe donnée, et si lon retient pour ce Cxq moyen loption dune moyenne ciné-quadratique (voir à ce sujet notre texte HYPERLINK "http://perso.numericable.fr/~fbouquetbe63/gomars/cx_moyen.doc" Existe-t-il un Cx moyen pour les fusées ? ) il faut alors faire référence à la vitesse de lécoulement et donc lextraire du Re selon la longueur de la fusée.
Ce Cxq moyen apparaît ci-dessus en pointillés à titre dexemple pour lélancement hors tout de 5 et pour des longueurs de fusée 0,4, 0,8 et 1,2 m.
On doit dailleurs reconnaître que ces trois courbes pointillées sont assez proches les unes des autres
Rappelons que par définition le Cxq moyen ciné-quadratique est alors unique et doit être pris sur le présent graphe à la verticale du Re maximum atteint par la fusée
Ceci acquis, le parti-pris de ne considérer que lélancement hors tout revient à considérer que lélancement de logive évolue conjointement avec lélancement hors-tout (à coefficient k constant, comme sur ce graphe). Cest un péché mineur ; mais cela produit quand même des ogives exagérément pointue pour les grands élancements.
Le calcul complet du Cxq (réalisé avec des ogives arborant un élancement constant de 3) donne les marques triangulaires rouges et bleues sur le graphe ci-dessus.
On voit que loption sur le coefficient k (ici 0,8) a été prise pour calquer avec lélancement hors tout de 5 mais que cette option ne convient plus tout à fait pour lélancement de 20
On peut donc avoir le tentation de réaliser le calcul complet de la surface mouillée de la fusée. Voici ce calcul établi pour des fusées dotées dune ogive délancement constant 3 et arborant, pour leur seule partie cylindrique des élancements évoluant de 2 à 17 (même élancements hors tout que précédemment, donc) :
Les trois courbes en pointillés donnent, pour comparaison, le Cxq ciné-quadratique pour lélancement cylindrique de 2 (soit 5 délancement hors tout) et pour des longueurs de fusée 0,4, 0,8 et 1,2 m.
Ce Cxq moyen ciné-quadratique étant probablement plus utile que le Cxq variable, le voici pour les mêmes élancements de la seule partie cylindrique de 2 à 17 (élancement dogive 3) et pour des longueurs de fusée 0,4, 0,8 et 1,2 m :
Rappelons que ce Cxq moyen est unique et doit être lu en regard du Re maximum atteint par la fusée.
Pour chaque élancement cylindrique, la courbe en trait plein correspond à une longueur de fusée de 0,8 m et deux courbes en pointillés à des longueurs de 0,4 et 1,2 m : ces deux dernières courbes sont très proches celle en très plein : on peut donc raisonnablement prétendre que pour un même élancement cylindrique, la longueur exacte de la fusée intervient très peu sur le Cxq
Extension au Cx de culot de lhémisphère
Afin de pousser dans ses limites la formulation de Hoerner citée plus haut par John Barrowman, à savoir :
Cxq = EQ \f( 0,0436*Ln(Re) - 0,1624; EQ \r (; EQ \f(SmFuse ; SOg ) ) )
nous avons eu lidée de lappliquer au Cx de culot dun hémisphère (cet hémisphère étant alors considéré comme une fusée dotée dune ogive hémisphérique et dun fuselage de longueur nulle) . Voici le résultat de cette application quelque peu extrême :
Ce résultat nest pas si mauvais ! En effet, le Cx de pression dun hémisphère est réputé être égal à 0,4 . Or cet hémisphère ne produisant que très peu de Cx de pression, on peut considérer que cette valeur de 0,4 nest due quà la Traînée de culot de lhémisphère.
La formulation dHoerner, poussée par notre curiosité dans ses retranchements, donne donc un résultat du bon ordre de grandeur. La courbe quelle produit vise dailleurs, pour les petits Reynolds, les 0,4 évoqués ; nous ne savons cependant pas expliquer pourquoi elle diverge depuis cette valeur.
Calcul du Cx dun fuselage seul :
Dans HYPERLINK \l "fluid_dynamic_drag_hoerner"lun de ses ouvrages, Hoerner donne la courbe du Cx dun cylindre à nez arrondi (Rounded noze cylinder) en fonction de son élancement général, ainsi que le Cx dun cylindre à bout plat également en fonction de son élancement.
Ces deux cylindres sont évidemment placés parallèlement à lécoulement et leur Cx exprimé en référence à la section du cylindre : ÀD²/4 :
Le Cx du cylindre à nez arrondi est en bas en rouge et celui du cylindre à bouts plats en haut en rouge également (ces deux Cx étant probablement des Cx complets, à savoir de Pression et de Friction).
En vert fluo et en bleu clair nous avons reproduit les Cx annoncés pour le même cylindre à bout plat par InterAction (Cx de Pression) et l HYPERLINK \l "univ_montreal" Université de Montréal (sans doute également Cx de Pression).
Il est patent que le Cx complet du cylindre à nez arrondi (objet qui nest autre quun corps ogivo-cylindrique, c à d ce fameux fuselage seul qui nous intéresse) est assez faible (pour un élancement général de 4, il vaut 0,2). Il incorpore ici la forte Traînée de Culot.
Lorsque lélancement croît au-delà de 6, le Cx total tend à remonter légèrement du fait de laccroissement de la Traînée de Friction sur la partie cylindrique.
On peut penser que cest à partir de telles courbes quHoerner a établi la loi donnant la Traînée de culot du corps ogivo cylindrique.
En fuchsia, nous avons rajouté la courbe du Cx complet dun corps ogivo-cylindrique calculé selon les formules dHoerner .
Nous avons attribué à ce corps un élancement dogive de 3,55 et supposé quil évolue à 60 m/s dans lair, son diamètre étant de 0,1 m . Ces présupposés donnent une courbe fuchsia tout à fait proche de la courbe rouge tirée des tests en soufflerie.
Cest ce calcul que nous explicitons à présent.
Le Calcul du Cx du fuselage seul, selon Hoerner :
On se souvient que la Traînée de la fusée est primordialement due à la friction sur son fuselage et à sa Traînée de culot. On se souvient aussi que, lorsque la friction sur le fuselage se fait plus forte, le Cx de Culot se fait un peu plus faible. La Traînée de culot corrige donc dans une certaine mesure laccroissement de Cx dû à la Traînée de Friction (accroissement consécutif, par exemple à un allongement de la fusée ou un ralentissement de sa vitesse).
À ce stade de notre étude, il est donc raisonnable daffirmer que lessentiel du SCx de fuselage dune fusée ogivo-cylindrique (partie cylindrique et ogive, mais sans prise en compte de la Traînée des ailerons) tiendra dans la somme Cf SmFuse + CxqSog .
Cette somme sera peu différente de :
SCx H" (1,503*Ln(Re) - 5,6) -2 SmFuse + EQ \f( 0,0436*Ln(Re) - 0,1624; EQ \r (; EQ \f(SmFuse ; SOg ) ) ) Sog
Le même produit SCx basé sur le Cf annoncé par InterAction sera :
SCx H" 3,913 [Ln(Re)] -2,58 SmFuse + EQ \f(0,01466 [Ln(Re)]1,29; EQ \r (; EQ \f(SmFuse ; SOg ) ) ) Sog
Application numérique approchée de ce Cx du fuselage seul :
Comme le quotient EQ \f(SmFuse ; Sog ) (surface mouillée sur la section de logive) est très proche de 4ÉlancFuse+2,7ÉlancOg (si ÉlancFuse et ÉlancOg sont les élancements respectifs du fuselage seul et de logive type gothique ou adaptée), le Cx de fuselage dune fusée ogivo-cylindrique en couche limite turbulente (mais non totalement rugueuse) devrait être peu différent de :
Cx H" (1,503*Ln(Re) - 5,6) -2 (4ÉlancFuse+2,7ÉlancOg) + EQ \f( 0,0436*Ln(Re) - 0,1624; EQ \r (; 4ÉlancFuse+2,7ÉlancOg) )
ou, si l on table sur la valeur du Cf d InterAction :
Cx H" 3,913 [Ln(Re)] -2,58 (4ÉlancFuse+2,7ÉlancOg)+ EQ \f(0,01466 [Ln(Re)]1,29; EQ \r (; 4ÉlancFuse+2,7ÉlancOg) )
Voici ce que donne ces deux expressions, pour des fusées délancement dogive 3 et délancement hors-tout croissants par multiplication par 1,3 à partir de 7 (à savoir : 7, 9,10, 11,83, 15,38, 20 et 26) :
Dans une même couleur, les courbes en trait plein sont basées sur le Cf turbulent donné par Barrowman et les courbes suggérées par les marques en croix sont basées sur le Cf donné par InterAction.
Sur laxe des Reynolds les deux segments bleu et rouge vifs correspondent aux Re maximum atteints par des fusées à eau ou à feu
Si lon désire naviguer sur ces courbes, il faut se souvenir quaugmenter lélancement hors-tout du fuselage accroît en proportion le Reynolds de la fusée.
Cest pourquoi nous avons échelonné ici lesdits élancements par multiplication par un coefficient de 1,3 : cette multiplication permet, à chaque changement de courbe deffectuer, par une simple translation, ladaptation du Re au nouvel élancement ; le module de cette translation est donnée par le segment vert près du point de rencontre des axes du graphe Et nous avons même fait mieux : nous avons dessiné les courbes obliques grises sombres qui précisent la direction locale permettant le passage dun point (sur la courbe dun élancement) à un autre point (sur la courbe de lélancement suivant ou précédent) et ceci avec adaptation automatique du Re
Un exemple dutilisation de cet abaque est donné dans le coin gauche : Supposons que notre projet de fusée arbore un élancement hors-tout de 7 (courbe jaune) et croise à une vitesse lui donnant un Reynolds de 0,3 millions (verticale rouge). la rencontre de cette verticale avec la courbe jaune promet un Cx de 0,236 (horizontale orange).
Supposons à présent que, lévolution du projet oblige à un accroissement de lélancement jusquà 9,1 (courbe vert fluo). Le passage vers cette courbe verte doit se faire parallèlement à la courbe grise locale : cela donne le cheminement fuchsia). Le nouvel élancement augure alors, à la même vitesse de la fusée, dun nouveau Cx de 0,264 (horizontale orange).
Pour compléter le Cx total dune fusée, il faudra bien sûr prendre en compte la Traînée des ailerons dempennage (ce qui fera ajouter disons ~ 0,1 au Cx fourni par labaque ci-dessus). Le fait de ne prendre en compte la Traînée dempennage quaprès la détermination du Cx du seul fuselage peut être légitimé assez facilement par le fait que la dimension des ailerons est indépendant de lélancement hors-tout dune fusée (cette règle est assez facile à démontrer ; ses effets sobservent statistiquement sur les fusées existantes, dont les longues ont des ailerons de même taille que les courtes).
Au vu de labaque ci-dessus, on peut être surpris de ce que le Cx du fuselage des fusées de moindre allongement est plus faible. Mais cette faiblesse du Cx des fusées de faible allongement est imputable à la moindre importance de la surface mouillée par rapport à la surface de référence. Et il faut garder à lesprit que ce qui freinera la fusée nest pas le Cx mais le produit SCx. Or, proportionnellement à leur volume, ces fusées possèdent une aire frontale plus importante.
Pour une fusée de volume (et donc de masse) donnée, il ny a donc pas de gain à espérer de la diminution de lélancement de la fusée puisque que celui-ci entraînera un accroissement de la section frontale de la fusée. À ce propos, se reporter au calcul dingénierie sur la silhouette générale des fusées figurant HYPERLINK \l "ogivo_cylindr_trainee_mini" plus loin dans ce texte
Cette règle vaut évidemment pour les fusées à propulsion par liquide (quelles soient à feu ou à eau). Pour des fusées à feu dont le moteur est choisi "sur étagère", la même règle ne tient plus : le S du produit SCx est alors fixé par la classe de moteur choisie et plus lélancement de la fusée sera faible et plus sera faible la Traînée. Notre abaque trouve alors sa pleine utilité
Une autre façon de décrire lévolution du Cx du fuselage seul (Cx de friction sur ogive et partie cylindrique, plus Cx de culot) est de le faire en fonction du Cf déterminé par lécoulement sur le fuselage (que ce Cf soit déterminé par une couche limite turbulente simple ou par une couche limite découlement totalement rugueux ). Voici cette description, les élancements hors-tout évoluant de 5 à 26, logive étant toujours délancement 3 :
La lecture de ce graphe nous enseigne que pour les élancements propres aux fusées à feu (disons à partir de 11), le Cx du fuselage seul est quasi-linéaire par rapport au coefficient de friction effectif sur le fuselage.
Lors du vol de la fusée, du moins lorsque se sera établi sur le fuselage le régime de Couche Limite turbulente, ce Cf diminuera donc jusquà se stabiliser au Cf totalement rugueux appelé par létat de surface de lengin. Dans les deux cas le Cx du fuselage seul peut être déduit de ce graphe
En bas à gauche le croisement des courbes peut apparaître comme curieux. Mais si lon effectue un zoom sur cette partie de la courbe, on obtient cette image :
Le redressement des courbes est donc dû à leur formulation mathématique, même sil peut paraître curieux quune fusée de Cf plus faible (tendant par exemple vers 0,001) voit son Cx augmenter : cet effet contre-productif du polissage du fuselage provient en droite ligne de la formulation du Cx de culot de Hoerner :
Cxq = EQ \f(0,029; EQ \r (;Cf EQ \f(SmFuse;SOg) ))
Cela signifie que lorsque la valeur sous le radical (qui nest autre que la force de friction sur le fuselage) devient faible, le Cx de culot sen voit renforcé et ceci plus fortement que le Cx de friction sur le seul fuselage cylindrique se voit chuter
Lobservation de ces graphiques en référence avec le tableau général des Cf laminaires et turbulents nous enseigne également que les fusées délancement hors-tout 5 et 7 (courbes kaki et vert dherbe), soit la plupart des fusées à eau de 0,5L à 1,5L, présentent des Cx de fuselage un peu inférieurs à 0,2 pour des rugosités raisonnables.
Cx de culot dune fusée à petit culot :
Pour une fusée à petit culot (dont laire de culot Sq est différente de la surface de référence SOg ), le jeu sur les surfaces de référence fera que le Cx de culot Cxq sera :
Cxq = EQ \f(0,029 EQ \f( Sq ; SOg ); EQ \r (; Cf EQ \f(SmFuse ; Sq )) )
où :
SmFuse est l'aire mouillée du fuselage de la fusée
Sq l'aire de sa base.
Cf le coefficient de frottement sur le fuselage
et SOg la surface de référence présidant à lexpression du Cx, c à d ici celle de logive.
Cx de culot en Phase Propulsée :
Selon que le propulseur est en fonctionnement ou non, lécoulement tourbillonnaire de lair au culot savère différent.
En effet le jet propulsif pyrotechnique est tout à fait susceptible dentraîner certaines veines fluides de la zone deau morte en aval du culot à des vitesses supérieures à celles atteintes en phase non propulsée.
Voici le schéma de la recirculation au culot dun corps de révolution propulsé :
Image tirée du cours de HYPERLINK \l "cours_jean_delery" Jean Délery
On remarque, dune part que la surface de recirculation est fortement réduite par la présence du jet propulsif (cest donc laire du culot moins laire de la tuyère), dautre part que ce jet propulsif réduit le tore tourbillonnaire à une reliquat externe (repéré ci dessus par la lettre D1 ) (en réalité, la phase propulsive se produisant en premier, cest plutôt le petit tore ci dessus qui prend de lampleur pour couvrir tout le culot en phase balistique).
En conséquence de quoi la Traînée de culot prend une autre valeur. Un HYPERLINK \l "DocCommAero_Sellier"document général sur les essais en soufflerie précise, par exemple, pour un culot cylindrique :
Propulseur allumé : environ la moitié des valeurs précédentes (valeurs données pour M = 1, 2 et 3, il est vrai).
Nous ne possédons pas dautre données que celles-ci. Mais il est vrai que la Phase Propulsive ne rentre pas dans le cadre de cette étude.
Au demeurant, la brièveté relative de cette Phase Propulsive ne permet pas à la Traînée atmosphérique de modifier significativement la vitesse de Fin de Propulsion.
Cx de bord dattaque des ailerons
Les fuséistes réalisent en général les ailerons de leurs engins à partir de plaques planes (tôle daluminium, par ex.). Ils se contentent darrondir le mieux possible (en demi-cylindre) les bords dattaque et de fuite de ces ailerons.
Daprès Barrowman, le bord dattaque de tels ailerons présente un Cx négligeable (nous recoupons donc en 2D nos observations effectuées en 3D pour les ogives).
Nous présentons quand-même en fin de texte une HYPERLINK \l "note_cxp_ba" note sur la prise en compte de ce Cx de bord dattaque des ailerons.
Cx de bord de fuite des ailerons
Mais le Cx du bord de fuite (même arrondi également en demi-cylindre) présente un Cx notable. Ce nest rien dautre quun Cx de culot en 2D, lécoulement de lair étant fortement décollé dans cette zone comme cest le cas en aval du culot dun fuselage
John Barrowman, citant S.F. Hoerner, en donne la valeur, en expliquant quelle est issue de la résolution théorique dun problème bidimensionnel :
CxFuiteEmp = n EQ \f( 0,135 ; EQ \r( 3 ; 2CfEmp EQ \f( CordEmp ; ÉpFuiteAile )) ) EQ \f( SfAil ; SOg )
où :
n est le nombre dailerons
CfEmp le coefficient de friction sur lempennage
CordEmp est la corde moyenne de laileron
ÉpFuiteAile est lépaisseur du bord de fuite des ailerons
SfAil est la surface frontale dun aileron
et SOg , toujours, la surface de référence
Autant dire que le Cx dun aileron référencé à sa propre section frontale est :
CxPropreFuiteEmp = EQ \f( 0,135 ; EQ \r( 3 ; 2CfEmp EQ \f( CordEmp ; ÉpFuiteAile )) )
Voici la famille de courbes de ce Cx propre selon différentes valeurs de lépaisseur relative de laileron EQ \f( CordEmp ; ÉpFuiteAile ) (de 1/100ème à 1/10ème), sur une plage de Reynolds possiblement atteinte par fusée à eau et à feu :
On doit alors observer que les ailerons à forte épaisseur relative sont doublement pénalisés : par leur plus fort Cx et par leur plus forte section frontale.
LUniversité de HYPERLINK \l "univ_montreal" Montréal estime à 0,64 le Cx dun corps de deux dimensions dune épaisseur relative de 1/6 (soit 0,166, c à d plus épais que le plus épais de nos ailerons qui est représenté ci-dessus en noir). Il est évidemment tentant de porter cette valeur sur notre graphe : cest le carré bleu dense que lon aperçoit ci-dessus.
Cette valeur nest pas donnée comme liée à un Reynolds particulier, mais on peut en douter. Elle comprend de toutes façons et le Cx de pression du bord dattaque et le Cx de friction, ce qui nexplique pourtant pas sa valeur double.
Dans son application pratique et en référence à la section dogive, la formulation de Hoerner donne un Cx de culot dailerons non négligeable : autour de 0,1 pour lempennage dune fusée à feu ou à eau réalisé en matériau plat de 2 mm dépaisseur.
Il peut alors paraître tentant de mieux profiler le bord de fuite des ailerons, en amenuisant progressivement leur épaisseur. Ce travail est peut être pourtant inutile dans la mesure où se produira sans doute un décollement de lécoulement sur la partie ainsi amenuisée des ailerons
CX DES ASPÉRITÉS ET SAILLIES
Une fusée présente nécessairement de petites aspérités : tête de rivets ou boulons, plans de joint de séparation ou de trappe, senseurs divers (prise de pression, de son ou dimages), interrupteur et connecteurs.
Toutes ces saillies ou défaut dans la continuité de la forme entraîneront un surcroît de Traînée.
Néanmoins, on peut penser que plus une aspérité se trouvera en aval de lécoulement (vers larrière de la fusée) et moins la surtaxe aérodynamique qui en naîtra sera importante. Ceci pour trois raisons :
(plus le défaut de forme se trouve en aval de lécoulement et moins la surface de fuselage concernée par son sillage sera importante. En particulier, une aspérité située à la pointe de logive entraînera une transition de la Couche Limite du laminaire vers le turbulent sur une grande longueur et une grande largeur de sillage (qui aurait pu demeurer en laminaire autrement) (voir la photo du HYPERLINK \l "carenage_roue" carénage de roue davion léger).
(plus une aspérité est située en arrière de la fusée et plus elle risque dêtre noyée dans la couche limite de celui-ci, (voir HYPERLINK \l "ep_cl" plus bas le chapitre sur lépaisseur de la Couche Limite)
(plus une aspérité est placée loin en aval et moins la vitesse de lécoulement hors couche limite est importante (la vitesse de lécoulement, qui avait été augmentée par le passage de logive, retrouve sa valeur à linfini) savoir si cet effet est important !
Une façon simple de prendre en compte une saillie sur le fuselage est de considérer quelle ne génère quun Cx individuel (c à d quil ny a pas ingérence de la perturbation quelle crée sur lécoulement principal sur le fuselage).
Cette hypothèse de la non-ingérence étant quelque peu exagérée, elle demande à être corrigée par le choix dun Cx individuel assez fort. Ceci bien que les saillies dont nous parlons aient nécessairement le pied noyé dans la couche limite du fuselage, ce qui diminue quelque peu la vitesse découlement sur ce pied.
Ce choix du Cx individuel non ingérant est celui qua opéré HYPERLINK \l "rocdrag" RocDrag. Ce logiciel compte un Cx propre de 1 pour toute aspérité sélevant sur le fuselage (Cx rapporté à laire frontale de cette aspérité), ce qui constitue une approche sécuritaire ; il faut préciser que les aspérités que lauteur dessine sont composées de parallélépipèdes.
HYPERLINK \l "rocket_drag_analysis" Rocket Drag Analysis opère de même pour les anneaux circulaires plats ou les cylindres dans lesquels une tige-guide va coulisser au lancement. Dans le cas des cylindres, lauteur rajoute la Traînée de Friction des surfaces internes et externes du tube, en proposant un choix entre les différent régimes (nous penserions plus facilement que la Couche Limite adopte automatiquement le régime turbulent)
Les tests en soufflerie de HYPERLINK \l "model_rocket_drag_ana" Model Rocket Drag Analysis dégagent une augmentation de 29 % du Cx total de 0,68 lors de ladjonction dun tube-guide le long dune fusée type. Ce tube-guide présente une longueur valant 27 % de celle de la fusée pour un diamètre valant 23 % de celui du fuselage.
Cependant, deux anneaux en fil de fer jouant le même rôle nélèvent le Cx que de 18 % .
Livrons-nous à un exercice un rapide sur cet exemple, en considérant le tube-guide comme plein :
Lajout du tube-guide dun diamètre de 23 % de celui du fuselage augmente alors la section de ce fuselage de (1,23/1)², soit ~ 51% . Dans ces conditions, on peut écrire pour le nouveau SCx (que les tests mesurent comme 129 % de lancien) :
SCx = 1,29SCx = SCx + (0,51 S)CxTG
CxTG étant le Cx propre du tube-guide. Celui-ci vaut donc :
CxTG = EQ \f( (1,29 - 1)Cx ; 0,51 )
soit CxTG = 57 % du Cx de la fusée sans ce tube-guide, ce qui correspond à un Cx propre de lappendice très inférieur à 1
On peut donc enrichir notre réflexion en tirant de cet exemple la conclusion que calculer laugmentation du Cx en considérant le tube guide comme plein conduit à exagérer sa Traînée. Par contre, considérer sa section comme ouverte au 2/3 apparaît comme raisonnable.
Rappelons que Gil Denis, dans HYPERLINK \l "vol_dl_fusee" Le Vol de la Fusée, considère que le Cx total dune microfusée est augmentée de 0,2 points du fait de la présence de tubes-guides.
ÉPAISSEUR DE LA COUCHE LIMITE SUR UNE FUSÉE
Lépaisseur de la Couche Limite laminaire évolue selon la distance au début de lécoulement en respectant la loi :
eclLam = EQ \f(5x ; EQ \r(; Re(x)))
x étant la distance parcouru par le fluide depuis l avant du mobile.
Sous le radical, Re(x) est bien le nombre de Reynolds local, basé sur la distance x ; il vaut donc : EQ \f( U x ; ½) .
Dans ces conditions, l épaisseur de la Couche Limite laminaire évolue donc, depuis la pointe de la fusée, comme une parabole couchée :
eclLam l= EQ \f(5 EQ \r(;x); EQ \r(; EQ \f(U;½)))
Pour nos applications numériques courantes près du sol, il est cependant plus pratique dutiliser la formule :
eclLam = 0,0183 EQ \r(; EQ \f(x;U))
x étant la distance parcouru par le fluide depuis la pointe de la fusée
U étant la vitesse de la fusée
Il en résulte que plus la fusée est longue (plus x est grand) et plus la Couche Limite Laminaire est épaisse.
Et que plus la fusée va vite (plus U est grand) est plus la Couche Limite Laminaire est mince.
Voici en bleu clair lépaisseur de cette couche limite laminaire sur une fusée à eau de 0,5 L (longueur 395 mm) animée dune vitesse de 50 m/s :
Elle est donc très faible (1,1 mm au raccord de logive sur la partie cylindrique) et 1,6 mm au culot.
Notons que si la vitesse de la fusée vient à être multipliée par quatre (200 m/s), lexpression de lépaisseur ci-dessus nous indique que la Couche Limite laminaire sera deux fois plus mince.
De la même façon, et pour mémoire, une fusée de 800 mm croisant à 200 m/s (720 Km/h) entraînera avec elle une Couche Limite laminaire de 1,2 mm.
Nous écrivons pour mémoire, car il nest pas du tout donné que la Couche Limite soit laminaire jusquau culot de telles fusées.
Plus précisément, il y a de fortes chances que seule logive de la fusée soit enveloppée dune Couche Limite laminaire, cette Couche Limite devenant turbulente dès le raccordement de logive sur la partie cylindrique (voir à ce sujet le chapitre sur le HYPERLINK \l "laminarite_ogive"problème de la laminarité de logive)
Si la partie cylindrique du fuselage entraîne une couche limite turbulente, lÉcole Polytechnique de Montréal en donne lépaisseur eclTurb , selon la distance x au début de lécoulement (et non la distance à partir du point de transition Laminaire-Turbulent) :
eclTurb = EQ \f(0,16 x ; Re(x)1/7 )
Comme le Nombre de Reynolds vaut lui-même EQ \f( U x ; ½) , l épaisseur eclTurb vaut :
eclTurb = EQ \f(0,16 x6/7 ; EQ \f( U1/7 ; ½1/7))
Dans la vie quotidienne du fuséiste, cette formule devient, près du sol :
eclTurb H" 31 EQ \f( x 6/7 ; U1/7 )
x étant la distance parcouru par le fluide depuis la pointe de la fusée
U étant la vitesse de la fusée
Cest dire que la Couche Limite sépaissit presque proportionnellement à la distance parcouru par le fluide depuis la pointe de logive
Mais lobservation de la même formule nous enseigne que, comme pour la Couche Limite Laminaire, cette épaisseur est plus faible pour les vitesses découlement plus grandes (selon une évolution pas très marquée toutefois : 1,4 fois plus épaisse lorsque lécoulement se fait 10 fois moins rapide).
Voici la Couche Limite Turbulente de la fusée de 395 mm croisant à 50 m/s :
Elle est très peu épaisse sur logive, parce que nous avons repris lhypothèse dun écoulement laminaire sur cette partie ; au raccord ogive-partie cylindrique lépaisseur de la couche limite saute de 1,1 mm (valeur en laminaire) à 4,6 mm (valeur en turbulent calculé depuis la pointe de logive).
Ce saut nest dailleurs pas bien défini dans nos sources, mais il doit se plus faire progressivement que sur notre dessin
Au culot, lépaisseur de la couche limite turbulente dépasse 8 mm
Une fusée de 800 mm se déplaçant à 200 m/s traînerait 12 mm de Couche Limite turbulente à son culot, épaisseur respectable qui commence à noyer la racine des ailerons
Ces chiffres fixent bien lordre de grandeur de lépaisseur de la couche limite.
Pour la même couche limite turbulente, Pierre Gutelle, dans HYPERLINK \l "p_gutelle" Architecture du voilier, donne lépaisseur suivante :
eclTurb = EQ \f(0,38 x ; Re1/5 )
Cest la valeur quannonce également InterAction (exactement EQ \f(0,37 x ; Re1/5 ) ).
Ces quantifications empiriques ne se disqualifient pas mutuellement. Elles donnent sensiblement les mêmes épaisseurs (à moins de 10 % près) pour quatre fusées de 400 ou 800 mm croisant à 50 ou 200 m/s Elles ont donc chacune leur valeur, pour notre usage de fuséistes.
Quant à la couche limite turbulente dun TGV croisant à la vitesse record de 574,8 Km/h, un HYPERLINK \l "tgv_record" document relatif à ce record la donne à 220 et 300Km/h, à --- m de lavant de la motrice, comme épaisse de ------, --------------
Couche limite sur le TGV du record.
Ceci admis, et si lon cherche à étendre la réflexion en embrassant lensemble du monde, les équations dépaisseur ci-dessus ne sauraient pourtant rendre compte de la couche limite formée lors des écoulements à nombre de Reynolds infini. Or ce nombre tend bien vers linfini lorsque, non pas la vitesse , mais la longueur de lécoulement augmente : cas de mobiles très long et surtout cas de lécoulement du vent météo au-dessus de la planète.
Pour satisfaire à ce cas particulier de la Couche Limite Éolienne et du moins lorsque latmosphère est neutre , il est proposé par HYPERLINK \l "predict_voiliers" J-Ph Boin et ses collègues une équation :
Uz = U(z/z0)(1/7)
avec U = vitesse du vent à 20 m daltitude
Voir également à ce sujet un HYPERLINK \l "congeres" texte canadien sur la formation des congères.
Parlant des édifices de grande hauteur, HYPERLINK \l "RGougnotCoursAero"R. Gougnot indique quant à lui une hauteur de la couche limite terrestre variant entre 300 et 500 m selon quil sagit dun site en rase campagne ou du centre dune ville.
Au-dessus de la mer, en conditions météorologiques moyennes, Marchaj propose comme loi dévolution du vent en fonction de laltitude :
Uz = 0,558 U z1/6
avec z exprimé en mètres et U le vent mesuré à 30,05 m (soit 100 pieds)
Vérifier : référence Luc Armand uniquement Ce coef de 0,558 donne un U faux à laltitude de 30,05 m. Cest 0,567 qui conviendrait. Mais il faut penser au reste de la courbe qui doit respecter les relevés de vitesses
Nul doute que lécoulement éolien est alors passé en mode « totalement rugueux »
QUELQUES VALEURS DU CX DE FUSÉES ET MICROFUSÉES
Le HYPERLINK \l "vol_dl_fusee" Vol de la Fusée, de Gil Denis (publication Planète-Sciences Espace) propose une sommation des Cx élémentaires des microfusées.
À force de lire ce texte, jai fini par comprendre cela :
Section de référence des Cx :
Le Cx est établi en référence à la maîtresse section du fuselage (la section du tube, sans la surface frontale des ailerons). Ceci nest malencontreusement pas précisé dans le texte
Cx minimal :
La valeur minimale concevable pour le Cx dune microfusée est de 0,4.
Ici, il faut rappeler que les microfusées sont des engins à plein culot ou encore ogivo-cylindrique, càd composé dune ogive surmontant un fuselage cylindrique, ce fuselage gardant son diamètre jusquau bas de la fusée (comme dailleurs pour la plupart des minifusées et les fusées expérimentales). Si donc ces engins sont dotés dune ogive et dailerons ne générant aucune Traînée de Pression (cas extrême dune ogive très aérodynamique et dailerons extrêmement minces, très petits et très bien profilés), la Traînée de lensemble ne sera due quà la Traînée de Friction et à la Traînée de culot. Ce Cx minimal est donc de 0,4 daprès Gil Denis
Cx élémentaires
Le Vol de la fusée donne dautres indications :
Selon que létat de surface de la fusée est bon ou mauvais il faudra ajouter au bilan des Cx élémentaires la valeur de 0 à 0,4 points.
Selon que la fusée est dotée ou non dun tube-guide, on doit porter au bilan des Traînées 0 ou 0,2 points (le tube-guide est une paille collée sur le côté de la fusée dans laquelle coulisse une tige faisant office de rampe de lancement).
Selon que le profilage des ailerons est bon ou mauvais, il faut rajouter au bilan 0 ou 1,7 points (ce qui est beaucoup).
Pour finir, Gil Denis donne les Traînées supplémentaires à porter au bilan pour les différentes formes dogives. Voici ces estimations retranscrites ici (cette citation est un hommage à son travail) :
Forme de logive Traînée supplémentaire
Ogivale 0
Parabolique 0
Conique longue +0,1
(h>D)
Conique courte +0,2
(h
