Théorèmes et principes généraux de résolution des circuits
Quatrième cas : débit d'une source de tension sinusoïdale sur un circuit RLC
série. Figure 35 ... Elle ne dépend que du circuit lui-même, c'est-à-dire des
éléments RLC. Par conséquent, cette ...... Après relèvement du facteur de
puissance : ...
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Théorèmes et principes généraux de résolution des circuits
Ce chapitre est consacré à létude des principes, lois et théorèmes qui permettent de déterminer les inconnues dun réseau électrique, intensité des courants électriques dans ses branches ou tensions aux bornes de ses éléments constitutifs.
Définitions générales
Un réseau électrique est un ensemble de générateurs, récepteurs et résistances reliées entre eux et constituant un circuit fermé.
Un nud est un point où se rejoignent au moins trois conducteurs.
Une branche est lensemble des éléments situés entre deux nuds.
Une maille est un contour fermé constitué par un certain nombre de branches.
Exemple :
SHAPE \* MERGEFORMAT
Figure SEQ Figure \* ARABIC 1
Le schéma de la REF _Ref57435379 \h Figure 1 comporte 4 nuds : ; 6 branches indiquées par les carrés numérotés ;
et 7 mailles :
SHAPE \* MERGEFORMAT
Loi de Kirchhoff
Les lois de Kirchhoff permettent décrire les équations permettant de calculer les courants dans les branches dun circuit.
Première loi : loi des nuds
La loi des nuds exprime le fait que les charges électriques qui parcourent les conducteurs dun réseau électrique ne peuvent pas saccumuler dans les diverses connexions (nuds) du réseau. Seul les condensateurs possèdent cette propriété de pouvoir emmagasiner des charges électriques.
Ainsi, la charge électrique qui arrive à un nud à un instant t est égale à la charge qui part de ce nud au même instant. Cette égalité entraîne légalité entre le débit de charge électrique qui arrive au nud et celui qui quitte le nud à chaque instant.
EMBED Equation.DSMT4
exemple :
SHAPE \* MERGEFORMAT
Figure SEQ Figure \* ARABIC 2
On peut affecter un signe aux différents courants, par exemple + pour les intensités qui se dirigent vers le nud, - sinon et exprimer la loi des nuds sous la forme : EMBED Equation.DSMT4
Deuxième loi : loi des mailles
La loi des mailles exprime le fait que la d.d.p. entre deux points voisins dun conducteur sans résistance est nulle, que lon calcule cette d.d.p. sur le chemin le plus court ou bien en sommant les diverses d.d.p. le long dune maille plus longue reliant ces deux points. Ceci est illustré par la REF _Ref58314570 \h Figure 3.
Figure SEQ Figure \* ARABIC 3
La somme algébrique des d.d.p. le long dune maille est nulle.
On procède de la manière suivante pour écrire cette loi :
On choisi le sens du courant dans chacune des branches de la maille, sens dicté par le sens physique soit par le hasard sil est impossible de le deviner (sens du courant = flèche);
aux bornes des différents dipôles, on place les flèches de d.d.p. (employer une couleur différente de celle du courant si possible) ;
on choisit arbitrairement un sens de parcours sur cette maille (sens trigonométrique ou sens des aiguilles dune montre) ;
on choisit arbitrairement un point de départ sur la maille ;
on effectue la somme algébrique de toutes les d.d.p. rencontrées en les affectant dun signe + si elle sont dans le sens de progression, - sinon ;
on arrête une fois revenu au point de départ et on écrit que cette somme est nulle.
Il peut être souhaitable demployer de la couleur pour les différentes flèches, surtout si le schéma est complexe. Je recommande du vert ou du jaune pour les intensités et du rouge pour les d.d.p.
Exemple :
SHAPE \* MERGEFORMAT
Figure SEQ Figure \* ARABIC 4
On obtient ici :
E4 - R4I4 E1 + R1I1 + E2 R2I2 E3 + R3I3 = 0
Si on avait choisi le sens trigonométrique comme sens positif de parcourt, on aurait trouvé des d.d.p. de signe opposé ce qui donne la même équation :
- E4 + R4I4 + E1 - R1I1 - E2 + R2I2 + E3 - R3I3 = - 0 = 0 ( E4 - R4I4 E1 + R1I1 + E2 R2I2 E3 + R3I3 = 0
Mise en équation
Le réseau étudié sera éventuellement transformé de manière à ne comporter que des sources de tension.
Le réseau étudié comporte n branches ce qui donnent n inconnues : les intensités de chaque branche.
On écrit dans un premier temps les équations de nuds. Si le réseau comporte m nuds indépendants, on pourra écrire m 1 équations de nuds indépendantes.
Il restera ensuite à compléter ces équations par n (m 1) équations de maille de manière à former un système de n équations à n inconnues. Afin que les équations de maille soient indépendantes, il y a lieu de les construire en considérant des branches appartenant à deux mailles au plus.
Exemple :
Déterminons les intensités de chaque branche du schéma de la REF _Ref58321460 \h Figure 5
Figure SEQ Figure \* ARABIC 5
Le réseau de la REF _Ref58321460 \h \* MERGEFORMAT Figure 5 comporte 3 branches, 2 nuds et 3 mailles.
On écrira tout dabord 2 1 équations de nuds. Pour ce faire, il faut tout dabord représenter les intensités dans les branches en dessinant une flèche. Nous la placerons dans le sens qui nous apparaîtra comme le plus probable, en sachant quen cas derreur de sens, le calcul nous donnera une intensité négative.
Figure SEQ Figure \* ARABIC 6
Le nud supérieur de la REF _Ref58322061 \h Figure 6 donne :
I1 + I3 = I2
Il reste à écrire 2 équations de maille de manière à former un système de 3 équations à 3 inconnus.
Figure SEQ Figure \* ARABIC 7
Maille : EMBED Equation.DSMT4
Maille : EMBED Equation.DSMT4
On obtient donc le système :
EMBED Equation.DSMT4
La résolution « à la main » ne pose pas de problème particulier tant que lon a affaire à des systèmes 3x3 au maximum. A partir des systèmes 4x4, il est souhaitable dutiliser des calculatrices permettant deffectuer des opérations sur les matrices ou des logiciels de calcul (Mathematica, Mapple, Mathcad, Matlab ou autres).
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Principe de superposition
Le principe de superposition tient dans la définition suivante :
Soit E et F deux espaces vectoriels sur le même corps K. E ( F est une application linéaire si EMBED Equation.DSMT4
Les dipôles que nous considérons dans ce traité d« électricité linéaire » sont linéaires. Aussi, si nous multiplions la d.d.p. dune source de tension ou le débit dune source de courant par n, les effets seront multipliés par n. Leffet du à une « cause comprenant m générateur » est la somme des effets lorsque chaque générateur est présent seul. De manière plus explicite :
La d.d.p. aux bornes dun élément dans un réseau comportant des sources (de tension ou de courant, indépendantes ou liées) est la somme des d.d.p. dues à chacune des sources indépendantes, agissant séparément.
Lintensité du courant électrique dans une branche quelconque dun réseau comportant des sources (de tension ou de courant, indépendantes ou liées) est la somme des courants dus à chacune des sources indépendantes, agissant séparément.
En pratique, on « éteint » toutes les sources sauf une, on effectue le calcul de la d.d.p. ou de lintensité et on recommence jusquà avoir obtenu la contribution de chacune des sources. Il ne reste plus, ensuite, quà en effectuer la somme algébrique. Attention : les sources liées ne séteignent pas.
Eteindre une source consiste à la remplacer par sa résistance interne. Ainsi, une source idéale de tension, de résistance interne nulle, est remplacée par un fil. Une source idéale de courant, de résistance interne infinie, sera remplacée par un interrupteur ouvert. Un moyen mnémotechnique simple consiste à enlever le rond des symboles afin de trouver par quoi remplacer la source éteinte.
Exemple : En utilisant le principe de superposition, déterminer I dans le circuit de la REF _Ref58411086 \h Figure 8 :
Figure SEQ Figure \* ARABIC 8
Nous allons redessiner le réseau en autant de dessin quil y a de sources. Sur chaque schéma, nous laisserons une seule source active et nous éteindrons les autres. Nous calculerons lintensité Ik correspondant à chaque schéma et nous les sommerons ensuite.
Etape n°1 :
Figure SEQ Figure \* ARABIC 9
Lintensité débitée par le générateur idéal de courant se sépare en trois parties égales étant donné que les trois résistances ont même valeur. Dans chacune des résistances lintensité circule du bas vers le haut. On a ainsi I1 = - 9/3 = - 3 A.
Etape n°2 :
Figure SEQ Figure \* ARABIC 10
Le schéma de la REF _Ref58412533 \h Figure 10 se simplifie en remplaçant les deux résistances de droite par leur résistance équivalente et en supprimant la branche de gauche (celle du générateur de courant éteint).
On obtient ainsi la REF _Ref58412756 \h Figure 11 :
Figure SEQ Figure \* ARABIC 11
Ici aussi le sens de lintensité est opposé à I2, nous aurons donc une intensité négative.
I2 = - 150/(100+50) = - 1 A
Etape n°3 :
Figure SEQ Figure \* ARABIC 12
Nous ne simplifierons pas le schéma comme à létape n°2, en effet, si nous fusionnions les deux résistances de 100 ( en une résistance équivalente, nous ne pourrions plus calculer I3 qui circule dans la résistance de 100 ( de gauche. Nous neffectuerons cette opération que pour calculer lintensité débité par la source de tension de 300 V. Cette source débite dans la résistance de 100 ( en série avec elle et dans les deux résistances de 100 ( en parallèle, équivalentes à une résistance de 50 (. La source débite une intensité de 300/(100+50) = 2 A. Cette intensité se divise en deux parties égales circulant du bas vers le haut, en sens inverse par rapport au sens de I3.
Nous avons ainsi I3 = - 1 A.
Etape n°4 :
Figure SEQ Figure \* ARABIC 13
La source de tension débite une intensité de 600/(100+50) = 4 A. Cette intensité se divise en deux parties égales dans chacune des deux résistances de 100 ( et circule du haut vers le bas.
Ainsi, I4 = 2 A.
Lintensité I cherchée est la somme algébrique des intensités obtenues à chaque étape :
I = I1 + I2 + I3 + I4 = - 3 1 1 + 2 = - 3 A.
Supposons que nous ayons dessiné la REF _Ref58413983 \h Figure 13, la REF _Ref58414122 \h Figure 12, la REF _Ref58412533 \h Figure 10 et la REF _Ref58413988 \h Figure 9 sur du papier calque, si nous superposons ces 4 schémas, nous retrouvons la REF _Ref58411086 \h Figure 8.
Gustav Robert Kirchhoff (1824 1887) était un physicien.
Il établit la loi des mailles (la loi des tensions de Kirchhoff) entre 1845 et 1846
alors qu'il était étudiant à Konigsberg.
En 1849, il inventa la loi des nuds (la loi des courants de Kirchhoff).
Herman von Helmholtz (1821 - 1894) fut lun des derniers
universalistes de la science. Au cours de sa carrière, il a apporté des
contributions fondamentales à loptique , à lacoustique, à
lhydrodynamique et à lélectromagnétisme. En 1853, alors quil était
professeur de physiologie à luniversité de Königsburg, il publia un
article sur quelques lois concernant la distribution de lélectricité , avec
des applications aux expériences sur lélectricité animale, dans lequel il
établissait ce qui deviendrait plus tard le Théorème de Thevenin.
Léon Thévenin, ingénieur français (né à Meaux en 1857,
mort à Paris en 1926). Diplômé de lEcole Polytechnique
de Paris en 1876 (lannée de linvention du téléphone par
Bell), il entra en 1878 à la compagnie française des Postes et
Télégraphes, où il fit toute sa carrière. En 1883, alors quil enseignait
un cours pour les inspecteurs de la compagnie, il proposa ce que nous
connaissons aujourdhui sous le nom de théorème de Thévenin.
Personne ne remarqua quil était établi depuis 1853. Bien quil fut
publié dans plusieurs traités délectricité, ce théorème resta dailleurs
peu connu jusque dans les années 20.
Edward Lowry Norton, ingénieur américain (1898 - 1983). Après des
études au MIT et à Columbia University, il entra aux Bell Labs et y fit
toute sa carrière, jusquen 1963. Il y publia peu darticles scientifiques,
dont aucun ne mentionnant le théorème qui porte son nom. Lorigine
de lappellation du théorème de Norton reste encore obscure
aujourdhui. Lidée originale date de 1926 et est due à Hans Ferdinand
Mayer, physicien allemand (1885-1980), qui fut directeur des
laboratoires de recherches de Siemens entre 1936 et 1962.
Théorème de Thévenin
Ce théorème est très utile pour déterminer lintensité du courant circulant dans la branche dun réseau lorsque lon souhaite éviter la mise en équation complète du réseau comme nous lavons vu avec les lois de Kirchhoff. Nous ne démontrerons pas ce théorème.
Théorème de Thevenin :
Tout réseau linéaire actif présentant des connexions de sortie A, B comme le montre la REF _Ref77253334 \h \* MERGEFORMAT Figure 14 peut être remplacée par une source de tension idéale unique Eth en série avec une résistance Rth (éventuellement une impédance Zth).
SHAPE \* MERGEFORMAT
Figure SEQ Figure \* ARABIC 14
Méthode d'application du théorème de Thevenin
Calcul pratique du générateur équivalent :
Calcul de la valeur de Eth : c'est la d.d.p. qui apparaît à vide entre A et B.
Calcul de la résistance Rth (impédance Zth) : on éteint toutes les sources et on calcule ou on mesure la résistance (l'impédance) entre A et B.
Le calcul de Eth et le calcul de Rth peuvent être effectué dans n'importe quel ordre.
Exemple 1
Dans le schéma de la REF _Ref77254714 \h Figure 15, calculons l'intensité I dans R = 2 ( par la méthode de Thevenin.
Figure SEQ Figure \* ARABIC 15
Le but est de remplacer le réseau aux bornes de R par un générateur équivalent de Thevenin.
Figure SEQ Figure \* ARABIC 16
Calculons la résistance Rth. Pour cela, il faut éteindre la source de tension de f.é.m. 20 V, c'est-à-dire la remplacer par son impédance interne. Cette dernière est nulle puisqu'il s'agit d'une source de tension idéale. On calcule donc la résistance entre les points A et B sur le schéma de la REF _Ref77330953 \h Figure 17.
Figure SEQ Figure \* ARABIC 17
La résistance du générateur équivalent de Thevenin a donc pour valeur :
EMBED Equation.DSMT4
Calculons Eth :
Nous allons calculer les intensités iA et IB puis les d.d.p. VCA et VCB. L'équation de la maille CAB permettra d'obtenir VAB = Eth.
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Donc, Eth = 4 V.
On peut donc redessiner le circuit initial en remplaçant le pont de Wheastone par le générateur de Thevenin :
ATTENTION : Le pôle + est tourné vers A car A est positif par rapport à B : VAB > 0.
Le calcul de l'intensité qui passe dans la résistance est devenu très simple : EMBED Equation.DSMT4
Exemple 2 :
Déterminer le générateur de Thevenin équivalent au schéma ci-dessous vu des bornes A et B :
On recherche la maille la plus éloignée des points A et B, puis on remplace cette maille par un générateur de Thevenin "intermédiaire". On réitère ensuite l'opération, progressant ainsi de proche en proche vers les points A et B.
Déterminons le générateur équivalent de Thevenin entre A1 et B1 :
La f.é.m. s'obtient avec la formule du diviseur de tension
EMBED Equation.DSMT4
La résistance s'obtient en éteignant la source de tension de f.é.m. 24 V et en calculant la résistance vu des points A1 et B1.
La résistance interne du générateur équivalent de Thevenin n°1 est donc
EMBED Equation.DSMT4
Donc :
On remplace la maille par le générateur de Thevenin calculé :
On réitère le procédé, c'est-à-dire que l'on cherche à nouveau la maille la plus éloignée des points A et B, puis on remplacera cette maille par un générateur équivalent de Thevenin (indice 2).
Simplifions la maille trouvée en regroupant dans chacune des deux branches les résistances et les générateurs.
Déterminons la résistance interne du générateur de Thevenin n°2 :
Eteignons les sources de tension :
Déterminons la f.é.m. équivalente du générateur de Thevenin n°2 :
L'équation de la maille permet de déterminer I : EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Donc :
Attention : le signe moins trouvé pour EMBED Equation.DSMT4 signifie que le point B2 est à un potentiel plus élevé que A2. Ainsi nous portons le signe plus sur B2.
Il reste à connecter la résistance de 0,5 (, ce qui nous donne finalement :
Théorème de Norton
Il est moins utilisé que celui de Thevenin, sans doute parce que la notion de source de courant est plus abstraite que celle de source de tension. Il permet également de simplifier les circuits, notamment en électronique. Nous ne démontrerons pas ce théorème.
Théorème de Norton :
Tout réseau linéaire actif présentant des connexions de sortie A, B comme le montre la REF _Ref77323647 \h Figure 17 peut être remplacée par une source de courant idéale unique débitant l'intensité IN en parallèle avec une résistance RN (éventuellement une impédance ZN).
Figure SEQ Figure \* ARABIC 18
Méthode d'application du théorème de Norton
Calcul pratique du générateur équivalent :
Calcul de la valeur de IN : c'est l'intensité qui parcourt un court-circuit placé entre A et B.
Calcul de la résistance RN (impédance ZN) : on éteint toutes les sources et on calcule ou on mesure la résistance (l'impédance) entre A et B.
Le calcul de IN et le calcul de RN peuvent être effectué dans n'importe quel ordre.
Exemple
Nous reprenons le même exemple d'application que pour le théorème de Thevenin, à savoir la détermination de l'intensité dans la résistance R = 2 ( sur le schéma de la REF _Ref77254714 \h Figure 15.
La méthode de détermination de la résistance RN est la même que celle de RTh , on obtient donc : EMBED Equation.DSMT4
Détermination de IN :
Calculons ITotal :
EMBED Equation.DSMT4
ITotal se sépare dans deux diviseurs de courant successifs : 1( et 2(, puis 3( et 4(.
Dans 1( : on a EMBED Equation.DSMT4
Dans 2( : on a EMBED Equation.DSMT4
Dans 3( : on a EMBED Equation.DSMT4
Dans 4( : on a EMBED Equation.DSMT4
D'où EMBED Equation.DSMT4
On aboutit au schéma simplifié comprenant le générateur équivalent de Norton :
RN et la résistance de 2( constituent un diviseur de courant pour IN. Etant donné qu'elles ont même valeur, IN sera divisé par deux. Par conséquent, l'intensité qui passe dans la résistance de 2( est de 1A.
Exercices :
1. Déterminer I par la méthode de Kirchhoff, par l'emploi du principe de superposition, par l'usage des théorèmes de Thevenin et de Norton.
2. Déterminer I et J par la méthode de Kirchhoff.
3. Calculez I.
4. Calculer I.
5. Calculer I par le théorème de Thevenin ou de Norton. En déduire le courant dans chaque branche.
6. Calculer I par le principe de superposition, puis simplifier le schéma à gauche des points A et B.
7. Par la méthode de votre choix, calculer les courants dans chacune des trois branches.
8. Calculer les courants dans chacune des trois branches.
9. On réalise, à laide de résistances identiques de R, une grille quadrilatère sétendant à linfini. Quelle résistance mesure-t-on entre deux fils placés aux bornes dune résistance ?
EMBED CorelPhotoPaint.Image.8
10. Calculez la différence de potentiel VAB, dans le schéma ci-dessous.
Solutions
1. EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4
2.Le théorème de Kennelly nous permet d'écrire :
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4
3.
EMBED Equation.DSMT4
4. Lors d'une première étape, on regroupe les résistances de 12 et 4 ( en parallèle entre elles et en parallèle avec le générateur de courant de 10 A. On les remplace par une résistance de 3 (. On effectue la même substitution pour les résistances de 90 et 10 ( que l'on remplace par une résistance de 9 (. On obtient le schéma ci-dessous :
On remplace ensuite les générateurs de courant par leur équivalent sous forme de générateur de tension :
On remplace ensuite les deux générateurs de tension en série par un générateur de tension équivalent :
On remplace le générateur de tension par son équivalent sous forme de générateur de courant :
Enfin, on regroupe les générateurs de courants en un seul générateur équivalent :
Le courant I vaut la moitié de l'intensité fournie par le générateur de courant (débit dans deux résistances identiques) soit 1 A.
5.
EMBED Equation.DSMT4
6. Il faut dessiner autant de schémas qu'il y a de sources, en prenant soin d'éteindre toutes les sources sauf une. On calcule une intensité pour chaque schéma. L'intensité cherchée sera la somme de ces intensités intermédiaires.
schéma n°1 :
La formule du diviseur de courant nous permet de déterminer I1 :
EMBED Equation.DSMT4 .
Le signe moins provient du fait que le courant I cherché va du bas vers le haut de la figure, nous avons choisi le même sens pour I1.
schéma n°2 :
Ainsi, EMBED Equation.DSMT4
schéma n°3 :
La formule du diviseur de courant nous permet de calculer I3 :
EMBED Equation.DSMT4 , étant donné le sens du débit des 8 A, I3 circulera du haut vers le bas et sera donc négatif.
L'application du principe de superposition permet d'écrire :
EMBED Equation.DSMT4
7. Résolvons l'exercice par la méthode de Thevenin. Numérotons les courants dans les branches :
Déterminons I1, pour cela nous remplacerons la maille de droite par un générateur de Thevenin équivalent :
L'équation de maille permet d'écrire : EMBED Equation.DSMT4
Déterminons I2 , pour cela nous remplacerons la maille de gauche par un générateur de Thevenin équivalent :
L'équation de maille permet d'écrire EMBED Equation.DSMT4
L'équation au nud inférieur du schéma de départ permet d'écrire :
EMBED Equation.DSMT4
8. Là encore, une résolution par Thevenin est plus rapide qu'une résolution par Kirchhoff.
Calcul de I1 :
EMBED Equation.DSMT4
Calcul de I2 :
EMBED Equation.DSMT4 , le courant I2 descend donc du haut vers le bas sur le schéma.
Calcul de I3 :
EMBED Equation.DSMT4 , ici également, le courant I3 circule dans le sens contraire de la flèche.
9. On utilise le principe de superposition :
Etape n°1 : on injecte le courant et on le récupère par un fil situé sur le pourtour à linfini. La symétrie du système veut que le courant se sépare du nud dinjection en 4 intensités égales.
SHAPE \* MERGEFORMAT
Etape n°2 : On injecte une intensité identique à la précédente, depuis le pourtour situé à linfini. On le récupère par un nud voisin du précédent. La symétrie du système fait que 4 intensités égales arrivent au nud.
Le système complet est la superposition des étapes 1 et 2 :
Ainsi, en appelant E la d.d.p. imposée entre les deux nuds on a :
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
10. Par le principe de superposition :
Il y a deux générateurs, il faut donc extraire deux sous-circuits, calculer VAB pour chacun deux et en faire la somme algébrique.
Sous circuit n°1 :
Le courant de 18 mA se divise dans le diviseur constitué de la résistance de 8 ( dune part et des résistances de 24 et 4 ( en série dautre part :
SHAPE \* MERGEFORMAT
Lintensité dans les résistances de 24 et 4 ( est : EMBED Equation.DSMT4
Ainsi, VAB =+ 16 mV dans ce premier circuit.
Sous circuit n°2 :
Lintensité de 15 mA traverse le diviseur de courant constitué de la résistance de 24 ( en parallèle avec les résistances de 8 et de 4 ( en série :
Soit une intensité de : EMBED Equation.DSMT4 et donc pour ce sous circuit, VAB = -40 mA (attention au sens du courant !).
Lorsque lon superpose les deux circuits, on a VAB = + 16 40 = - 24 mV
Deuxième solution par Kennely, on redessine la figure :
SHAPE \* MERGEFORMAT
Le triangle se transforme en étoile :
Le circuit se transforme en :
EMBED Equation.DSMT4
MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 1 Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT SEQ MTChap \r 1 \h \* MERGEFORMAT
Le courant alternatif
On appelle courant alternatif, un courant périodique du temps (période T)
EMBED Equation.DSMT4 quelque soit n.
Lintensité instantanée dun courant alternatif sannule à certains instants et change de signe.
SHAPE \* MERGEFORMAT
Afin de bien fixer les idées, voici quelques ondes de tensions ou courants continus et alternatifs :
Figure SEQ Figure \* ARABIC 19
Etude des courants non sinusoïdaux :
Toute fonction périodique peut être décomposée en une somme de fonctions sinusoïdales de périodes T, EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ,
, EMBED Equation.DSMT4 ,
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1)
Par conséquent, on est amené à étudier le comportement dun courant alternatif sinusoïdal et éventuellement celui de ses harmoniques (application du théorème de superposition des états électriques).
Pourquoi lindustrie a-t-elle choisit de produire des ondes alternatives sinusoïdales plutôt que des ondes carrées, triangulaires ou autres ? Voici quelques éléments de réponse :
Dans les machines à courant alternatif, cest londe sinusoïdale de tension qui occasionne le moins de pertes. Le rendement est donc meilleur.
Une onde sinusoïdale de tension ou de courant produit moins dinterférence, de parasites (bruit) sur les lignes téléphoniques passant à proximité où dans des dispositifs électroniques voisins.
Dans les circuits à courant alternatif, une tension sinusoïdale produit un courant sinusoïdal et vice-versa. Cest la seule onde possédant cette propriété de se « reproduire ».
Dans les moteurs électriques, un flux variant sinusoïdalement produit moins de bruit. De plus, le couple durant le démarrage est plus régulier.
Fréquence du courant EMBED Equation.DSMT4 avec f en Hertz (Hz) et T en secondes.
Intensité moyenne : im
Cest la valeur moyenne de lintensité sur un nombre entier de période :
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2)
Dans le cas du courant alternatif sinusoïdal, on a im = 0. La notion de valeur moyenne (courant moyen, tension moyenne) nest pas pertinente en alternatif sinusoïdal.
Intensité efficace, tension efficace :
A lintérieur dun intervalle de temps très petit, dt, le courant alternatif peut être considéré comme constant. On peut donc lui appliquer les lois dOhm et de Joule, à condition de considérer les valeurs instantanées. Dans le cas dune résistance pure : EMBED Equation.DSMT4 , la quantité dénergie calorifique dissipée dans la résistance R pendant le temps dt est donnée par :
EMBED Equation.DSMT4
Pendant une période, lénergie dissipée sera donc :
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3)
Cette énergie est la même que celle que dissiperait un courant constant I0 pendant le même intervalle de temps T. Doù :
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4)
On dit que I0 est lintensité efficace du courant i :
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5)
Cest la racine carrée de la valeur moyenne du carré de lintensité instantanée sur une période.
De la même manière, par extension, la tension efficace est donnée par :
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 6)
La REF _Ref82834451 \h Figure 2 montre que si un « sinus » possède une valeur moyenne nulle, un « sinus2 » est une courbe située au-dessus de laxe des abscisses qui, par conséquent, possède une valeur moyenne non nulle. La racine carré de cette valeur moyenne constitue la valeur efficace.
Figure SEQ Figure \* ARABIC 20
On rappelle légalité : EMBED Equation.DSMT4
Pour une onde sinusoïdale, il vient :
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
De même, si EMBED Equation.DSMT4 , on obtient EMBED Equation.DSMT4
Soit : EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7)
Le courant efficace est un courant continu (constant dans le temps) qui produit les mêmes effets calorifiques que son équivalent alternatif. Considérons, par exemple, un four chauffé par des résistances électriques, dune puissance maximum de 3 kW, alimenté normalement en 220 V, 50 Hz. Ce four produirait la même puissance maximale en étant alimenté par une tension continue de 220 V, il serait alors traversé par un courant continu de 3000/220 = 13,63 A. Un voltmètre et un ampèremètre indiqueraient ces valeurs si le four était alimenté par une tension alternative de 220 V.
Tous les ampèremètres et tous les voltmètres sont toujours gradués en valeurs efficaces.
Hypothèse du courant sinusoïdal industriel
Considérons un courant sinusoïdal EMBED Equation.DSMT4 ou EMBED Equation.DSMT4 est la pulsation du courant telle que :
EMBED Equation.DSMT4
Longueur donde : Lintensité EMBED Equation.DSMT4 donne naissance à un champ magnétique sinusoïdal. Tout champ alternatif se propage par onde électromagnétique dont la longueur donde est :
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 8) avec C = 3.108m/s (vitesse de la lumière).
Il en résulte un phénomène dondes stationnaires, si on considère la propagation de londe le long des fils du circuit (expérience des fils de Lecher).
SHAPE \* MERGEFORMAT
Figure SEQ Figure \* ARABIC 21
Expérience des fils de Lecher : On branche un oscillateur haute fréquence (couramment 150 MHz) entre deux fils ou deux tubes métalliques. Lindicateur de courant (une boucle de fil de cuivre relié à un voltmètre ou à un ampèremètre) est placé au-dessous des fils, et la distance entre la spire de lindicateur et les fils est ajustée de sorte que lindicateur enregistre une déviation maximum. Puis, on déplace lentement lindicateur le long de la ligne, et on note les points où le courant atteint des valeurs maxima. La distance entre deux valeurs de crête successives du courant est égale à une demie longueur d'onde.
On peut aussi montrer la position des crêtes de courant en se servant dun néon. Cette expérience montre que des ondes stationnaires sétablissent le long des fils. Cette expérience possède une suite qui nillustre plus notre propos, nous nen dirons pas plus.
En 50 Hertz, EMBED Equation.DSMT4 .
Si nous considérons une ligne haute tension monophasée Paris Arkhangelsk, lorsque la d.d.p. est nulle à Paris, elle est approximativement nulle au même instant à Moscou, mais maximum à Berlin !
On peut couramment négliger les phénomènes de propagation de londe (approximation des états quasi stationnaires) sauf si lon sintéresse à de très longues lignes de transport de lélectricité.
Dans tout ce qui suit, nous supposerons que la longueur donde est très grande devant les dimensions des circuits considérés, ce qui revient à dire que nous limiterons notre étude au cas des fréquences relativement basses (pas plus de quelques centaines dhertz) et à des circuits de dimensions petites vis-à-vis de la longueur d'onde.
Représentation dun courant sinusoïdal : représentation vectorielle et notation imaginaire
Considérons le courant sinusoïdal EMBED Equation.DSMT4 avec EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 sexprime en radians/seconde et f en Hertz.
On appelle phase, la quantité EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 est le déphasage initial (pour t = 0, EMBED Equation.DSMT4 ).
Une phase initiale négative déplace la courbe vers les temps positifs. Sur la REF _Ref82838004 \h Figure 4, le EMBED Equation.DSMT4 est déplacé vers la droite.
Figure SEQ Figure \* ARABIC 22
Une phase initiale positive déplace la courbe vers les temps négatifs. Sur la REF _Ref82839593 \h Figure 5, EMBED Equation.DSMT4 est déplacé vers la gauche.
Figure SEQ Figure \* ARABIC 23
Figure SEQ Figure \* ARABIC 24
Considérons alors le cercle trigonométrique ( REF _Ref82854452 \h \* MERGEFORMAT Figure 7) ; lintensité i peut être représentée par le mouvement de la projection du point M sur laxe des ordonnées situé sur le cercle et décrivant un mouvement de rotation uniforme (à la vitesse angulaire ().
SHAPE \* MERGEFORMAT
Figure SEQ Figure \* ARABIC 25
Ceci suggère de représenter la fonction intensité par un vecteur dintensité constante égale à Imax, supposé tourner à la vitesse de rotation (.
Un tel vecteur est appelé « vecteur de Fresnel ».
La REF _Ref82858556 \h \* MERGEFORMAT Figure 8 montre trois représentations dune même réalité mathématique : une fonction sinus. Il est beaucoup plus simple dadditionner, de dériver, dintégrer des vecteurs représentant des sinus que de réaliser les mêmes opérations sur les représentations temporelles.
Figure SEQ Figure \* ARABIC 26
La représentation par vecteur de Fresnel est très intéressante, car elle se prête facilement aux opérations daddition. Ainsi, pour ajouter deux tensions instantanées u et v (de même fréquence), on pourra composer vectoriellement les deux vecteurs de Fresnel, comme le montre la REF _Ref82863100 \h Figure 9.
EMBED CorelPhotoPaint.Image.12
Figure SEQ Figure \* ARABIC 27
Notation imaginaire
On démontre mathématiquement que lon peut associer un nombre complexe à un vecteur, cest la transformation cissoïdale. Lintérêt de ce procédé est de faciliter grandement les calculs en remplaçant certaines opérations vectorielles par un simple calcul algébrique.
Nous utiliserons cette notation imaginaire chaque fois que nous aurons à calculer le produit, le quotient, la racine, la dérivée, lintégrale,
de fonctions sinusoïdales.
Dans le plan complexe, le vecteur EMBED Equation.DSMT4 peut être représenté par le point M daffixe z.
SHAPE \* MERGEFORMAT
Figure SEQ Figure \* ARABIC 28
Le vecteur EMBED Equation.DSMT4 peut être représenté par le nombre complexe z.
Ce dernier peut sexprimer de deux manières :
en coordonnées cartésiennes, EMBED Equation.DSMT4 , avec EMBED Equation.DSMT4 ;
en coordonnées polaires, EMBED Equation.DSMT4 .
On a donc les relations : EMBED Equation.DSMT4
( est le module du vecteur EMBED Equation.DSMT4 et ( est largument du nombre complexe.
Exemple dapplication :
Soient deux fonctions sinusoïdales :
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Dont on désire connaître le produit EMBED Equation.DSMT4
On écrit les fonctions en écriture cissoïdale :
EMBED Equation.DSMT4
Doù : EMBED Equation.DSMT4 avec EMBED Equation.DSMT4
Soit : EMBED Equation.DSMT4
Remarque : toutes les relations entre grandeurs instantanées demeurent valables en écriture complexe (fonctions cissoïdales).
Transformée cissoïdale
Définition : Soit EMBED Equation.3 une fonction sinusoïdale du temps. On appelle transformée cissoïdale de x(t) le nombre complexe EMBED Equation.DSMT4 tel que :
EMBED Equation.3
XM, module du nombre complexe est bien sûr l'amplitude maximum de x(t), alors que l'argument ( est la phase à l'origine de x(t).
Exemples :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Propriétés :
Linéarité : si x(t) et y(t) sont des fonctions sinusoïdales du temps, alors :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Transformée cissoïdale de la dérivée :
Soit EMBED Equation.3 une fonction sinusoïdale du temps. Alors :
EMBED Equation.3
Dont la transformée est EMBED Equation.3 donc :
EMBED Equation.3 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 9)
Transformée cissoïdale de l'intégrale :
De la même manière que ci-dessus :
EMBED Equation.3 Doù :
EMBED Equation.3 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 10)
La transformée cissoïdale permet d'entrer dans un monde où les opérations de dérivation et d'intégration deviennent des opérations purement algébriques, c'est à dire respectivement multiplication par j( et division par j(. Mais ceci ne vaut que pour des fonctions sinusoïdales, la transformation de Laplace permet d'étendre un tel mécanisme à n'importe quelle fonction.
La loi dOhm en courant sinusoïdal, notion dimpédance
Les circuits classiques (circuits à constantes localisées) comportent trois sortes déléments :
les résistances,
les inductances,
les condensateurs.
Premier cas : débit dune source de tension sinusoïdale sur une résistance pure
Figure SEQ Figure \* ARABIC 29
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 11) avec EMBED Equation.DSMT4
On voit que :
Tension et intensité sont en phase ;
EMBED Equation.DSMT4 doù EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 12)
Figure SEQ Figure \* ARABIC 30
Deuxième cas : débit dune source de tension sinusoïdale sur une inductance pure
Figure SEQ Figure \* ARABIC 31
EMBED Equation.DSMT4
La force électromotrice induite dans linductance est : EMBED Equation.DSMT4
Si la résistance du circuit est nulle, la loi dOhm relative aux valeurs instantanées sécrit :
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 13)
Soit : EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 14)
En intégrant, il vient : EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 15)
Soit : EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 16)
Si lon suppose le régime permanent établi, la constante dintégration peut être négligée (la valeur moyenne de i étant nulle), donc :
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 17)
On constate que le courant est déphasé de EMBED Equation.DSMT4 (déphasage retard) par rapport à la tension dalimentation.
On a : EMBED Equation.DSMT4 , soit : EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 18)
EMBED Equation.DSMT4 est homogène à une résistance, cest la réactance du circuit.
Figure SEQ Figure \* ARABIC 32
Troisième cas : débit dune source de tension sinusoïdale sur un condensateur pur
Le condensateur C se charge et se décharge au cours dun cycle puis lopération se répète au cours du cycle suivant.
Si q est la charge instantanée du condensateur, on a :
EMBED Equation.DSMT4
On en déduit la valeur de lintensité EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 19)
Figure SEQ Figure \* ARABIC 33
On constate expérimentalement que le courant EMBED Equation.DSMT4 est sinusoïdal. Tout se passe, en définitive, comme si le condensateur était traversé par le courant alternatif.
En fait, il nen est rien : lapparition des charges sur les armatures du condensateur est due au phénomène dinfluence et il ny a pas circulation des charges à lintérieur du condensateur.
Lintensité maximale est proportionnelle à la tension maximale appliquée :
EMBED Equation.DSMT4
On en déduit : EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 20)
Lintensité est déphasée de EMBED Equation.DSMT4 (en avance) sur la tension appliquée.
EMBED Equation.DSMT4 est homogène à une résistance. Cette quantité est appelée la capacitance.
Figure SEQ Figure \* ARABIC 34
Quatrième cas : débit dune source de tension sinusoïdale sur un circuit RLC série
Figure SEQ Figure \* ARABIC 35
EMBED Equation.DSMT4
On a : EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 21)
Soit encore : EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 22)
Il sagit dune équation différentielle du second ordre à coefficients constants.
On sait que la solution de cette équation est égale à la solution générale de léquation sans second membre, à laquelle on ajoute une solution particulière de léquation complète.
Le régime permanent est donné par la solution particulière de léquation complète (régime forcé) après disparition des termes transitoires. On sait que ce régime permanent est sinusoïdal et imposé par la source (second membre de léquation).
La solution générale de léquation sans second membre ne dépend pas du générateur. Elle ne dépend que du circuit lui-même, c'est-à-dire des éléments RLC.
Par conséquent, cette solution générale définit le régime propre du circuit.
Résolution du problème :
1re méthode : Calcul mathématique à partir de la résolution de léquation caractéristique relative à léquation. Détermination des constantes dintégration à partir des conditions initiales. Cette méthode possède linconvénient dêtre longue et laborieuse. En effet, elle permet dobtenir le régime permanent et le régime transitoire (voir REF _Ref83963568 \h Figure 18). En fait, ici, seul le régime permanent nous intéresse.
2e méthode : résolution vectorielle ou par les nombres complexes (permettant dobtenir le seul régime permanent).
Figure SEQ Figure \* ARABIC 36
Le régime transitoire de la REF _Ref83963568 \h \* MERGEFORMAT Figure 18 est obtenu en étudiant la tension qui apparaît aux bornes du condensateur dun circuit RLC (avec par exemple R = 1 (, L = 0,1 H et C = 5 mF) lors de sa mise sous tension sur une source 220 V en considérant un déphasage initial nul. Le logiciel Matlab Simulink est utilisé pour tracer la courbe.
En supposant le régime permanent établi, lintensité est alors sinusoïdale et de même pulsation que la tension appliquée. On peut donc poser :
EMBED Equation.DSMT4
Léquation GOTOBUTTON ZEqnNum123562 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum123562 \! \* MERGEFORMAT (1.21) sécrit :
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 23)
Doù : EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 24)
En prenant lintensité I comme origine des phases, le diagramme des vecteurs (dit de Fresnel) relatif à cette somme de fonctions sinusoïdales est alors le suivant :
SHAPE \* MERGEFORMAT
Figure SEQ Figure \* ARABIC 37
En appliquant le théorème de Pythagore, on en déduit :
EMBED Equation.DSMT4
Doù : EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 25)
La quantité Z, qui est homogène à une résistance, est appelée limpédance du circuit. Elle sexprime en Ohms (().
Le déphasage ( de la tension par rapport au courant est donné par :
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 26)
3e méthode : résolution par la méthode des imaginaires.
On utilise les fonctions cissoïdales correspondantes aux fonctions sinusoïdales qui existent lorsque le régime permanent est établi :
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 27)
Choisissons lintensité i comme origine des phases. Dans ces conditions, les fonctions cissoïdales de lintensité et de la tension sont représentées par les amplitudes complexes :
EMBED Equation.DSMT4 avec ( déphasage de la tension par rapport à lintensité.
Léquation GOTOBUTTON ZEqnNum600822 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum600822 \! \* MERGEFORMAT (1.27) sécrit alors :
EMBED Equation.DSMT4
Soit encore : EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
On pose EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 28) impédance complexe du circuit.
On constate que lon a alors :
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 29) loi dOhm en écriture complexe.
Identifions la partie réelle et la partie imaginaire dans lexpression GOTOBUTTON ZEqnNum207631 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum207631 \! \* MERGEFORMAT (1.28), il vient :
EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 avec EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 30)
Cas particulier de la résonance
Lorsque EMBED Equation.DSMT4 soit : EMBED Equation.DSMT4 , alors EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4
Dans ce cas, lintensité efficace est maximum et vaut : EMBED Equation.DSMT4
Groupements dimpédances
Il faut toujours prendre en compte les impédances complexes et ne jamais considérer les impédances comme égales à leurs modules.
Groupement dimpédances en série :
On a alors EMBED Equation.DSMT4 soit EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 31)
Par contre : EMBED Equation.DSMT4
Groupement en parallèle :
SHAPE \* MERGEFORMAT
On a : EMBED Equation.DSMT4
La loi des nuds donne : EMBED Equation.DSMT4
On en déduit que :
EMBED Equation.DSMT4
Dune manière générale, un raisonnement par récurrence permet détablir que limpédance équivalente complexe de n impédances complexes placées en parallèle est donnée par :
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 32)
Ou, en posant EMBED Equation.DSMT4 : EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 33)
Notion de puissance en alternatif
Puissance instantanée
Lénergie reçue par une portion de circuit (dimpédance Z) pendant le temps dt est :
EMBED Equation.DSMT4 u et i étant la tension et le courant instantané.
La puissance instantanée est alors : EMBED Equation.DSMT4
Puissance moyenne
La puissance moyenne, calculée sur une période, est donnée par :
EMBED Equation.DSMT4
En régime permanent, on a : EMBED Equation.DSMT4
doù EMBED Equation.DSMT4
Nous emploierons la formule : EMBED Equation.DSMT4 afin de transformer le produit de sinus. Il vient :
EMBED Equation.DSMT4
Or : EMBED Equation.DSMT4
Et EMBED Equation.DSMT4
Il vient donc :
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 34)
Le terme (facteur) EMBED Equation.DSMT4 est appelé « facteur de puissance » de la portion de circuit considérée. Sa valeur ne dépend que des éléments du circuit et de la fréquence de la source.
Puissance moyenne et puissance fluctuante
Exprimons la puissance instantanée EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 , avec Z :impédance de la portion de circuit considérée.
On peut poser : EMBED Equation.DSMT4
X est la réactance de la portion de circuit considérée EMBED Equation.DSMT4
On a alors : EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 ; EMBED Equation.DSMT4
Doù : EMBED Equation.DSMT4
Nous emploierons la formule : EMBED Equation.DSMT4 pour réécrire p ainsi :
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
La formule : EMBED Equation.DSMT4 permet décrire :
EMBED Equation.DSMT4
Le premier terme correspond à la puissance moyenne EMBED Equation.DSMT4 . En effet :
EMBED Equation.DSMT4
Le deuxième terme est appelé « puissance fluctuante » EMBED Equation.DSMT4 . Sa valeur moyenne est nulle et elle varie à la fréquence double de la fréquence du courant.
Finalement la puissance instantanée sécrit :
EMBED Equation.DSMT4
Puissance active et puissance réactive
Considérons le diagramme de Fresnel de la REF _Ref84827755 \h Figure 20 relatif à une portion de circuit dimpédance Z :
SHAPE \* MERGEFORMAT
Figure SEQ Figure \* ARABIC 38
Lintensité totale EMBED Equation.DSMT4 traversant le circuit peut être décomposée en : EMBED Equation.DSMT4
Le courant EMBED Equation.DSMT4 est en phase avec la tension EMBED Equation.DSMT4 , il est appelé « courant actif » ou « courant watté ».
Le courant EMBED Equation.DSMT4 est déphasé de EMBED Equation.DSMT4 par rapport à la tension EMBED Equation.DSMT4 , il est appelé « courant réactif » ou « courant déwatté ».
Par définition, la puissance active est la puissance dissipée dans les éléments récepteurs du circuit (résistance en particulier).
Par définition, la puissance réactive est la puissance échangée entre les éléments réactifs (inductances et capacités) du circuit considéré et le/les générateurs qui alimentent le circuit considéré.
La puissance instantanée est la somme des puissances active et réactive à un instant donné.
EMBED Equation.DSMT4
En appelant P lamplitude de la puissance active et Q lamplitude de la puissance réactive, il vient :
EMBED Equation.DSMT4
On constate que la valeur moyenne P de la puissance active est égale à la puissance moyenne :
EMBED Equation.DSMT4
Cette puissance sexprime en watts (W). Elle est fournie par le courant actif EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4
On constate également que la valeur moyenne de la puissance réactive est nulle. Son amplitude est donnée par :
EMBED Equation.DSMT4
Cette amplitude sexprime en « voltampères réactifs » (var, prend un s au pluriel, 1 var, 20 vars). EMBED Equation.DSMT4
Puissance apparente
Par analogie avec le courant continu pour lequel le produit U.I représente la puissance, on appelle« puissance apparente » le produit :
EMBED Equation.DSMT4
La puissance apparente sexprime en voltampère (V.A).
Puissance complexe
Soit une impédance EMBED Equation.DSMT4 (X est la réactance de limpédance, positive pour une inductance, négative pour une capacitance), aux bornes de laquelle on impose la tension EMBED Equation.DSMT4 et qui est traversée par un courant EMBED Equation.DSMT4 tel que :
EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 est le conjugué de EMBED Equation.DSMT4 .
On définit la puissance complexe par : EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
On définit les puissances vues précédemment en fonction de la puissance complexe par les formules suivantes :
Puissance active : EMBED Equation.DSMT4 , en Watt W,
Puissance réactive : EMBED Equation.DSMT4 , en var,
Puissance apparente : EMBED Equation.DSMT4 , en VA,
Facteur de puissance : EMBED Equation.DSMT4
On a également les relations suivantes qui présentent un moindre degré dutilité :
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Exemple :
Déterminons la puissance active, la puissance réactive et la puissance apparente dissipée dans un circuit dimpédance EMBED Equation.DSMT4 , alimenté par une tension EMBED Equation.DSMT4 .
Déterminons tout dabord lintensité qui circule dans le circuit : EMBED Equation.DSMT4
Premier groupe de formules :
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Deuxième groupe de formule :
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Troisième groupe de formule :
Attention : il faut prendre garde à considérer la d.d.p. aux bornes de la résistance ou de la réactance et non la tension totale aux bornes de limpédance Z.
Ici, EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Doù : EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Quatrième groupe de formules :
EMBED Equation.DSMT4
Soù lon tire P = 1200 W, Q = 1600 vars et S = 2000 VA
Le facteur de puissance est EMBED Equation.DSMT4 inductif. Inductif car la puissance réactive Q que nous avons calculé est positive, cest donc lindication dune consommation de puissance réactive par limpédance et cela implique que cette impédance soit de nature inductive. Ou encore, en examinant limpédance, largument positif implique que la d.d.p. aux bornes de limpédance est déphasée en avance par rapport au courant qui la traverse ( EMBED Equation.DSMT4 ) ce qui implique également une impédance de nature inductive.
Lénergie électrique est essentiellement distribuée aux utilisateurs sous forme de courant alternatif par des réseaux en haute, moyenne et basse tension. Lénergie consommée est composée dune partie active, transformée en chaleur ou mouvement, et dune partie réactive transformée par les actionneurs électriques pour créer leurs propres champs électromagnétiques.
Lutilisateur ne bénéficie que de lapport énergétique de la partie active ; la partie réactive ne peut pas être éliminée, mais doit être compensée par des dispositifs appropriés. Lénergie totale soutirée au réseau de distribution sera ainsi globalement réduite. Les économies dénergie réalisées se chiffrent par dizaines de pour cent de la consommation globale.
Lénergie réactive : définitions et rappels essentiels
Energies active, réactive, apparente
Toute machine électrique utilisant le courant alternatif (moteur, transformateur) met en jeu deux formes dénergie : lénergie active et lénergie réactive.
Lénergie active consommée (kWh) résulte de la puissance active P(kW) des récepteurs. Elle se transforme intégralement en puissance mécanique (travail) et en chaleur (pertes).
Lénergie réactive consommée (kvarh) sert essentiellement à lalimentation des circuits magnétiques des machines électriques. Elle correspond à la puissance réactive Q(kvar) des récepteurs.
Lénergie apparente (kVAh) est la somme vectorielle des deux énergies précédentes. Elle correspond à la puissance apparente S(kVA) des récepteurs, somme vectorielle de P(kW) et Q(kvar).
Composantes active et réactive du courant
A chacune des énergies active et réactive, correspond un courant. Le courant actif (Ia) est en phase avec la tension du réseau. Le courant réactif (Ir) est déphasé de 90° par rapport au courant actif, soit en retard (récepteur inductif), soit en avance (récepteur capacitif).
Le courant apparent (It) est le courant résultant qui parcourt la ligne depuis la source jusquau récepteur.
Si les courants sont parfaitement sinusoïdaux, on peut utiliser la représentation de Fresnel.
Ces courants se composent alors vectoriellement comme représenté à la REF _Ref162409275 \h Figure 39 :
SHAPE \* MERGEFORMAT
Figure SEQ Figure \* ARABIC 39
Composition vectorielle des courants
EMBED Equation.DSMT4
Composantes active et réactive de la puissance : triangle des puissances
Le diagramme précédent ( REF _Ref162409275 \h Figure 39) établi pour les courants est aussi valable pour les puissances, en multipliant chacun des courants par la tension commune U.
On définit ainsi ( REF _Ref162409351 \h Figure 40) :
% la puissance apparente : S = UI (kVA),
% la puissance active : P = UI.cosÕ (kW),
% la puissance réactive : Q = UI.sinÕ (kvar).
SHAPE \* MERGEFORMAT
Figure SEQ Figure \* ARABIC 40
Composition vectorielle des puissances
Pour l exemple précédent, page 70, le triangle des puissances est le suivant :
Citons les valeurs approximatives de cos ( des principaux actionneurs consommateurs d'énergie réactive :
% moteur asynchrone à 100 % de charge : cosÕ = 0,85
% moteur asynchrone à 50 % de charge : cosÕ = 0,73
% lampes à fluorescence : cosÕ = 0,5
% chauffage par induction : cosÕ = 0,5
Ces quelques exemples montrent l'impact très important de la partie réactive de la consommation énergétique des actionneurs qui comportent des circuits magnétiques : y remédier est une des problématiques de base de tout concepteur et installateur de produits et équipements électriques.
Facteur de puissance
Le facteur de puissance est égal par définition à :
EMBED Equation.DSMT4
Si les courants et tensions sont des signaux parfaitement sinusoïdaux, le facteur de puissance est égal à cosÕ.
On utilise également la variable tgÕ. Dans les mêmes conditions, nous avons la relation :
EMBED Equation.DSMT4
L'objectif de la compensation d'énergie réactive est de réduire le courant appelé sur le réseau. L'énergie réactive est fournie par des condensateurs, au plus près des charges inductives.
Sur une période de temps donnée, nous avons également :
EMBED Equation.DSMT4
La circulation de lénergie réactive a des incidences techniques et économiques importantes. En effet, pour une même puissance active P, la REF _Ref162371365 \h Figure 41 montre quil faut fournir dautant plus de puissance apparente, et donc de courant, que la puissance réactive est importante.
Figure SEQ Figure \* ARABIC 41
Composition vectorielle des puissances
Ainsi, du fait d'un courant appelé plus important, la circulation de lénergie réactive sur les réseaux de distribution entraîne :
des surcharges au niveau des transformateurs,
léchauffement des câbles dalimentation,
des pertes supplémentaires,
des chutes de tension importantes.
Les tarifs sont répartis par niveau de puissance, en trois grandes familles :
Tarif Bleu (de 3 à 36 kVA)
Tarif Jaune (de 36 à 250 kVA)
Tarif Vert (au-delà de 250 kVA).
Certaines options tarifaires proposent un découpage de l'année en périodes tarifaires, selon les heures et même les saisons. La facture comporte deux éléments principaux : le montant de l'abonnement (lié au niveau de puissance souscrit) et le prix de l'énergie consommée. (http://www.edf.fr).
Le Tarif Vert est le seul qui facture directement l'énergie réactive. Le tableau de comptage est équipé d'un compteur spécifique d'énergie réactive. Celle-ci peut donc être facilement identifiée sur la facture d'électricité.
Pour les autres tarifs, Bleu et Jaune, le système de comptage ne permet pas de mesurer directement l'énergie réactive. La puissance (souscrite en kVA) est déterminée par un disjoncteur en Tarif Bleu ou un contrôleur en Tarif Jaune. Ces dispositifs limitent l'intensité du courant et donc la puissance apparente. Pour disposer d'une puissance utile (active) la plus proche possible de celle qu'il a souscrite, le client doit minimiser la puissance réactive de son installation.
Lorsque les besoins de puissance d'un client s'accroissent, il peut aussi être confronté aux limites des tarifs (36 kVA en Tarif Bleu et 250 kVA en Tarif Jaune) comme à celles de son installation. Ce qui entraîne généralement des investissements importants (renforcement des câbles, changement de disjoncteur, remplacement du TGBT, etc).
Une bonne maîtrise de la composition de la puissance appelée permet alors de limiter les impacts économiques et passe, entre autres, par la compensation de l'énergie réactive.
Une forte consommation dénergie réactive chez lutilisateur nécessite de la part dEDF des installations dimensionnées plus largement, dont le coût grève celui de la fourniture délectricité.
Les batteries de condensateurs compensent lénergie réactive consommée par les équipements électriques, ce qui permet de réduire une partie de la facture dénergie.
Les bénéfices de la compensation sont doubles :
dune part diminuer la facture énergétique,
dautre part optimiser les installations.
Du 1er novembre et jusquau 31 mars, les abonnés au Tarif Vert se voient facturer lénergie réactive consommée par leurs installations.
Pour les abonnés au Tarif Jaune, linstallation dune batterie de condensateurs savère bénéfique dans certains cas selon deux schémas :
soit diminuer le niveau de puissance souscrite,
soit pour accroître la puissance utile disponible en conservant le même niveau de puissance.
Finalement, quel que soit le contrat souscrit, pour des problèmes de facturation, de disponibilité de puissance ou de surcoût d'installation, il est important de minimiser la puissance réactive consommée.
Ces problèmes de compensation de l énergie réactive apparaissent sur certains navires (paquebots entre autre).
Pour une installation, les conséquences d une trop grande consommation d énergie réactive sont nombreuses :
% pénalités (en tarif vert) par le fournisseur d électricité,
% augmentation de la puissance souscrite au fournisseur d énergie, des pertes Joules et des chutes de tension dans les circuits,
% surcharge au niveau du transformateur et des câbles d alimentation,
% surdimensionnement et précaution au niveau des protections,
% dégradation de la qualité de l installation électrique.
La compensation de l énergie réactive
Pour les raisons évoquées ci-dessus, il est nécessaire de produire l énergie réactive au plus près possible des charges, pour éviter quelle ne soit appelée sur le réseau. Cest ce quon appelle compensation de lénergie réactive. Pour inciter à cela et éviter de sur-calibrer son réseau, le distributeur dénergie pénalise financièrement les consommateurs dénergie réactive au-delà dun certain seuil.
Pour fournir lénergie réactive aux récepteurs inductifs, on utilise :
des condensateurs lorsque la demande dénergie réactive est relativement constante ;
un compensateur synchrone (machine synchrone à vide) lorsque la demande dénergie varie dans de très larges proportions.
Pour réduire la puissance apparente absorbée au réseau de la valeur S2 à la valeur S1, on doit connecter une batterie de condensateurs fournissant lénergie réactive Qc ( REF _Ref162371665 \h Figure 42), telle que EMBED Equation.DSMT4
Figure SEQ Figure \* ARABIC 42
Principe de la compensation dénergie réactive
Lintérêt économique de la compensation est mesuré en comparant le coût dinstallation des batteries de condensateurs aux économies qu elle procure.
Le coût des batteries de condensateurs dépend de plusieurs paramètres dont :
% la puissance installée,
% le niveau de tension,
% le fractionnement en gradins,
% le mode de commande,
% le niveau de qualité de la protection.
Le retour d investissement est en général rapide dans une installation électrique, de l ordre de 1 à 3 ans.
Choix de la localisation
% Compensation globale : la batterie est raccordée en tête d installation et assure la compensation pour l ensemble des charges. Elle convient lorsqu'on cherche essentiellement à supprimer les pénalités et soulager le poste de transformation.
% Compensation locale ou par secteurs : la batterie est installée en tête du secteur d installation à compenser. Elle convient lorsque l installation est étendue et comporte des ateliers dont les régimes de charge sont différents.
% Compensation individuelle : la batterie est raccordée directement aux bornes de chaque récepteur inductif (moteur en particulier).
Elle est à envisager lorsque la puissance du moteur est importante par rapport à la puissance souscrite.
Cette compensation est techniquement idéale puisquelle produit lénergie réactive à lendroit même où elle est consommée, et en quantité ajustée à la demande.
Choix du type de compensation
% Compensation fixe : on met en service l ensemble de la batterie dans un fonctionnement tout ou rien .
La mise en service peut être manuelle (par disjoncteur ou interrupteur), semi-automatique (par contacteur), asservie aux bornes des moteurs.
Ce type de compensation est utilisé lorsque la puissance réactive est faible ( ? Ö × D E F G X ¾ "!¾!á"ì"K#M#N#O#P#Q#R#S#T#÷ïïïïïççïïâÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝgdfÜgdfÜ$a$gdñ"T$a$gdÙ$ $a$gd¸
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