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Texte 17

Enfin, nous trouvons les exercices de mathématiques qui constituent surtout des ... Le livre du problème de L'Irem de Strasbourg (cf. références), reprenant des idées ..... scolaires français de la classe de sixième aux classes terminales incluses. ...... modèle et de ses résultats (y compris au sujet des limites de ces résultats) ;.




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Après le premier essai l’élève aura parfois un commentaire censé l’aider mais ensuite la réponse attendue lui sera donnée avec parfois un commentaire méthodologique général mais cet énoncé qui lui a posé problème sera devenu caduc et il ne pourra pas corriger lui-même son erreur Ce choix éditorial va à l’encontre de l’idée selon laquelle l’élève à droit à l’erreur tant que celle-ci le fait progresser.

B. Les erreurs types sont rarement exploitées
Un enseignant un peu expérimenté est capable d’identifier un grand nombre des erreurs que font les élèves et les regrouper selon des types liés à des stratégies ou des représentations élèves. Les exerciseurs ne font pas souvent ce travail et ne donnent qu’exceptionnellement des indications appropriées si l’élève fait une erreur type. Il semble que dans ce domaine l’économie de traitement prévale sur toute considération pédagogique.

C. Les aides restent systématiques proche du « recettage »
Les aides sont très souvent intégrées dans le logiciel pour être mises à disposition de l’élève. Ces aides se limitent bien souvent soit à l’affichage de règles fondamentales tel un rappel de cours soit à l’affichage de la correction d’un exemple type.
D. Le suivi est quantitatif et non qualitatif
Le suivi individualisé existe dans tous les exerciseurs rencontrés mais les informations disponibles sont très souvent réduites à un score global et un temps d’exécution. Impossible de savoir le nombre d’exercices réussis au premier essai, le nombre de fois où l’aide a été consultée ou encore le nombre et la nature des erreurs. Beaucoup d’indications utiles ne sont pas exploitées, que dire d’un élève qui a 50% de réussite ?


II. Notre démarche

A. La méthode générale

Afin de proposer des éléments de réponse à nos interrogations et nos constats sur l’existant, nous avons créé un groupe de réflexion 123maths dans notre IREM de Picardie …
Un schéma circulaire de travail a été posé :















1. Élaborer des maquettes fonctionnelles
Pour des points précis du programme des différentes classes du collège, nous avons essayé d’élaborer des maquettes Tice. Le but est de s’approcher au mieux de nos exigences d’enseignants et de palper l’apport des Tice dans l’apprentissage des mathématiques. Chaque maquette est un projet à part entière. C’est pour cette raison qu’123maths ne peut être considéré comme un exerciseur couvrant les exigences du programme du collège dans sa globalité.
Nous n’avons pas effectué de choix éditorial global préalable pour l’ensemble des activités, ce qui nous donne suffisamment de liberté pour pouvoir réellement suivre le schéma de création ci-dessus et nous permettre de modifier parfois profondément les activités après expérimentation en classe.

2. Expérimenter en classe
Nos maquettes sont adaptées à nos envies et nos difficultés face à l’enseignement des mathématiques dans nos propres classes. Ainsi, l’expérimentation par nos élèves nous donne des indications sur la faisabilité d’une séquence informatisée. L’activité mathématique n’est pas facilement mesurable. Cette expérimentation doit être suivie d’une évaluation.

3. Analyser l’apport
Une demande classique de l’enseignant serait que l’utilisation des Tice apporte un plus par rapport à un enseignant classique : comment vérifier si la séquence est « rentable » ?
Nous pensons qu’une analyse à court terme n’est pas objective et que c’est par les années d’expérimentations que des conclusions peuvent se faire. Ainsi, après 6 ans d’exploitation nous avons pu avoir assez de recul pour « éliminer » certaines séquences d’123maths et nous avons pu constater que parfois l’utilisation d’un ordinateur est contre-productive. Ce n’est que par l’expérimentation et l’évaluation des apprentissages des élèves que nous pouvons nous positionner progressivement sur nos travaux..

4. Evaluer, faire évoluer, évacuer
Nous avons repéré avec les suivis qualitatifs certains effets pervers que peuvent avoir certains model didactiques fréquemment mis en œuvre dans exerciseurs sur le processus d’apprentissage. De ces constatations est née l’idée de créer une poubelle dans 123maths, où plutôt une corbeille à papier. Il est de notre responsabilité d’attirer l’attention sur l’inefficacité de certains outils. C’est pour cette raison que les séquences qui nous paraissent inutiles ou « dangereuses restent visibles et exploitable par chacun mais ont quitté le menu principal d’123maths.

B. Un exemple  particulier : la somme de deux fractions en classe de 4e

Pour illustrer notre démarche, nous avons choisi de vous présenter un exercice sur l’addition de fractions en classe de 4e, et ce pour plusieurs raisons :
il s’agit d’un exercice très demandé par les enseignants : pouvoir faire calculer plusieurs élèves en autonomie et faire « digérer » la mise au même dénominateur.
Les nouveaux programmes de 6e donnent un statut particulier à l’idée de nombre et insistent sur le décloisonnement des fractions…


1. Présentation de la maquette
Cet exercice publié sur 123maths à l’adresse :
 LIENHYPERTEXTE "http://www.ac-amiens.fr/pedagogie/maths/123maths/4/fractions/exo_addition2/doc.htm" http://www.ac-amiens.fr/pedagogie/maths/123maths/4/fractions/exo_addition2/doc.htm
Nous nous situons en quatrième. Les règles d’addition ont été introduites en classe. Et l’outil informatique va permettre aux élèves de « faire leurs gammes » .
Cet exemple représente l’idée que nous nous faisons de l’utilisation d’interface dans l’apprentissage des mathématiques ou dans la consolidation d’une notion. Ainsi, nous avons :
des questions aléatoires
des commentaires sur les erreurs les plus courantes
un score non quantitatif  Dans l’enregistrement, on trouve le taux de réussite, le nombre d’essais et le nombre de calculs réussis du premier coup
une aide est adaptée à la question (Par exemple, on peut demander à connaître le dénominateur commun …)


Voici une capture écran de l’interface vu par les élèves

2. Retour de l’expérimentation

Après expérimentation dans nos classes, nous avons été agréablement surpris par l’intérêt des élèves.
Les élèves réussissent rapidement et un score global très positif (de l’ordre de 8 sur 10) est atteint. Difficile d’imaginer nos classes concentrées sur des additions de fractions et surtout difficile d’imaginer que chacun de nos élèves puisse réussir pratiquement 10 calculs en une séance.
3. Analyse

L’impact des Tice sur l’apprentissage n’est pas négligeable … Et, pendant quelques temps, nous avons considéré cette séance comme l’une des plus représentatives de notre travail.
Et, pourtant, un problème persistait : le retour papier !

Malgré un bilan positif à chaud en salle multimédia, dès, que nous retournions en classe, les difficultés revenaient. Des théorèmes élèves avaient vu le jour. Ainsi, certains ne voyaient pas dans l’addition de fractions : la somme de deux nombres, mais un tableau de proportionnalité. Les cases si utiles à la représentation informatique des fractions leur avaient donné un nouveau statut : celui d’un tableau et ils ne voyaient plus des fractions mais des entiers dans un contexte particulier.
Pire encore : les élèves n’arrivaient pas à effectuer sur papier 7+2/10 !!! Nos élèves attendaient une addition de deux fractions explicitement. Un travail supplémentaire de réadaptation et de généralisation était nécessaire.

Ainsi, la rentabilité de l’utilisation d’une heure pour une séance informatisée était compromise…
Notre maquette devait évoluer. Nous avons essayé de la modifier mais sans succès. Nous considérons qu’elle a peut-être sa place dans un processus de remédiation ponctuel mais non dans l’acquisition de la notion mathématique de sommes de fractions.

Dès la création de cet exercice, il était voué à l’échec : de par sa structure ! Les cases permettant d’afficher les fractions sont un frein à l’idée de fraction en tant que nombre.
Ainsi, visuellement, les élèves ont un tableau à compléter et non des fractions à additionner.
Tous trouvent une stratégie pour obtenir un score mais ce sont les élèves en grande difficulté qui se font piéger.
De plus, le questionnement est restreint dès la conception de la maquette.
Il n’est pas possible de demander des calculs du type 9/5-4/5 ni d’accepter des réponses décimales.
Ainsi, l’idée même du statut des fractions en tant que nombre est compromise , pourquoi devoir refuser 0.25 comme réponse pour 3/4 – 1/2 ?

Nous avons mis nos élèves dans une situation d’échec. Nous nous en sommes rendu compte et eux aussi. Leur réaction devant cet échec est de deux types : soit, pour la majorité, ils souhaitent être évalués sur ordinateur soit pour les plus brillants ils ne veulent plus travailler sur l’ordinateur car ils ont conscience de perdre leur temps.

4. Evolution

Il nous fallait une nouvelle maquette, qui intègre :
des exercices aléatoires comprenant plusieurs types de calcul fractionnaire, intégrant les nombres entiers et acceptant toute réponse exacte  (décimales, entières… )
un score qualitatif
une aide correspondant à la question posée
la possibilité de faire son propre chemin de calcul, ce qui devrait aboutir à du calcul réfléchi de la part des élèves.

La maquette qui en découle se trouve sur 123maths à l’adresse :
 LIENHYPERTEXTE "http://www.ac-amiens.fr/pedagogie/maths/123maths/4/fractions/exo_somme/doc.htm" http://www.ac-amiens.fr/pedagogie/maths/123maths/4/fractions/exo_somme/doc.htm


La différence est flagrante : il n’y a plus qu’une case ! Les élèves doivent comprendre la question et se positionner pour inscrire leur réponse.
Les débuts de cette activité en classe sont difficiles, les demandes des élèves sont nombreuses. Ils répondent « instinctivement » en impliquant leurs représentations avant de comprendre l’enjeu de l’exercice.
Le bouton d’aide est utile, il apporte une aide liée à la situation.
Voici quelques exemples qu’on ne pouvait rencontrer dans la première version.


Les élèves ayant des facilités avancent rapidement. Le travail de consolidation de notion se fait lors des changements de situation. Ils cherchent rapidement à optimiser leur méthode et le retour sur papier/crayon ne pose aucun problème.

Certains élèves en grande difficulté se bloquent. Soit ils vont mettre en œuvre leurs représentations mais vont être incapables de les dépasser avec les indications du logiciel, soit ils manquent de représentation sur ces nombres et n’ont aucune idée. Un travail avec le professeur est alors nécessaire. Ceci est possible vu l’autonomie des autres élèves mais devra souvent porter sur la nature même de ces nombres.

Les autres élèves qui représentent la majorité de la classe, ont du mal à se lancer dans l’exercice. Ils tentent les réponses les plus intuitives et devant leurs réussites ou leurs échec font évoluer leurs représentations. On constate qu’ils utilisent le cahier de cours et recourent au brouillon de papier. Finalement ils ont une démarche proche de celle qu’ils ont en papier/crayon et petit à petit se dégagent des spécificités de l’outil informatique. Ce genre de maquette expérimentée en classe nous permet de conclure de l’importance de l’interface sur l’apprentissage et la consolidation d’une notion mathématique.

Mais, qu’en est-il de la liberté du professeur dans ses choix pédagogiques ?
Nous avons fait ici des choix dans les énoncés que d’autres enseignants ne partagent pas voir qui ne conviendront pas pour toutes les classes. Il serait souhaitable que l’enseignant ait plus la main sur le contenu.

III. Premiers éléments de réponse

Après avoir fait nos premiers pas, nous avons revu nos objectifs. Un certain nombre de contraintes nouvelles sont apparues.

A. La rigueur et la souplesse

1. Règles typographiques : un handicap à l’apprentissage
Les règles typographiques sont en général très contraignantes. Il ne faut pas mettre d’espace après le nombre des milliers ou il faut absolument en mettre un. Souvent les élèves (et certains enseignants) ajoutent un espace après le signe d’un nombre négatif par souci de lisibilité et cette écriture est refusée. Il faut utiliser parfois la virgule et parfois le point. On peut rendre inactives les touches qui peuvent conduire à ces différentes écritures. Qu’en est-t-il alors de la liberté de l’utilisateur ?

2. Les différentes écritures d’un même nombre, d’une même expression
Mais les mathématiques permettent d’écrire le même nombre sous différentes formes et là la plupart des logiciels restent inflexibles. Si le résultat attendu est un nombre décimal, il est hors de question de l’écrire sous forme d’une fraction ou vice-versa. Le caractère irréductible d’une fraction n’est étudié qu’en classe de troisième mais parfois, seule la forme irréductible sera considérée juste.

Lorsqu’on entre dans le calcul littéral la tâche devient de plus en plus complexe. En effet une expression algébrique a de multiples écritures développée et réduite. Lorsque la tâche consiste à factoriser, là encore il est bien injuste de n’accepter qu’une seule forme. On peut contourner la difficulté en ne jugeant pas de l’exact mais de l’attendu. Il est très gênant de laisser penser qu’un calcul conduit à une réponse attendue et de mettre dans le même sac les autres réponses justes ou fausses.

B. La liberté

1. Les représentations élèves
Face à une notion, les élèves ont toujours des représentations, plus ou moins nombreuses et plus ou moins riches suivant leur parcours. Sur une feuille, ils vont pouvoir les exprimer puis les confronter à la réalité représenté par l’enseignant. Sur la plupart des logiciels, par souci de progressivité et souvent d’autonomie on commence par faire remplir des cases correspondant à chaque étape attendue : jamais l’élève n’exprimera ce qu’il pense juste. Il ne confrontera pas ses représentations aux mathématiques et dès qu’il se trouvera dans un espace sans contrainte (comme le papier/crayon), il les exprimera enfin, au risque alors d’être déçu par ses résultats. Pour cette raison, il faut que le logiciel soit un espace libre d’écriture : expressions algébriques, entiers, fractions, décimaux… Tout doit pouvoir être écrit pour laisser à chaque élève la possibilité d’exprimer ce qu’il pense être juste.

2. Les « théorèmes élève »
Une interface exprime beaucoup de choses. Si l’interface est très rigide, un élève qui se trouve devant un exercice va souvent deviner la nature de l’exercice par l’interface plus qu’en lisant la question. L’influence de l’interface sur la méthode utilisée par l’élève est donc très importante. Dans la majorité des cas, les situations se suivent et se ressemblent si bien qu’on ne fait plus des mathématiques mais qu’on reproduit un modèle efficace dans un cas précis. Dans un souci d’efficacité l’élève va développer ses propres règles basées sur le remplissage de cases à l’écran. Ces « théorèmes élève » sont souvent justes pour quelques cas particuliers, mais dès que l’on va faire varier la forme, ces « théorèmes élèves » vont s’écrouler. On a ainsi pu observer qu’un élève qui sait additionner 9 et ½ au cycle III ne sait plus le faire en classe de quatrième car ce ne sont plus deux nombres à additionner mais des numérateurs et des dénominateurs sur lesquels il applique un algorithme inefficace. L’interface doit donc répondre à deux exigences : proposer des situations suffisamment variées pour écarter toutes les méthodes approximatives ou partielles et ne pas proposer de trame induisant une résolution systématique.
3. Liberté pédagogique
Les exerciseurs ne permettent pas aux enseignants d’avoir une liberté pédagogique totale. Bien-entendu, ils peuvent gérer leur progression pour utiliser l’informatique au moment le plus approprié. Mais, ils ne sont pas libres des situations pédagogiques souvent très fermées pour en faciliter le traitement.
Il serait intéressant d’avoir la possibilité de paramétrer l’exerciseur ou de pouvoir poser ses propres questions.
Une des envies du groupe 123maths est d’obtenir de l’ordinateur un résultat proche du questionnement possible en classe avec une évolution en fonction du groupe élève et non un questionnement formaté par une machine ou un programmeur.
4. La prescription
On a déjà parlé de la trace que laisse le logiciel, on ne peut se contenter d’un score.
Par ailleurs, en début de séance l’enseignant doit expliquer ce qu’il attend des élèves avec les difficultés que cela entraine pour les séquences ou plusieurs exercices s’enchainent. Une solution d’accès qui allie accès libre et prescription de l’enseignant semble le mieux convenir à nos situation d’enseignement.

C. Les vérificateurs : des outils sans contenu
Comment passer d’un exercice cloisonné par l’utilisation de cases à remplir à un exercice ouvert proche du papier/crayon  sans perdre les avantages de l’utilisation des Tice  en matière de rétrocation.
Comment laisser l’élève choisir sa démarche de raisonnement et aboutir à un calcul réfléchi ?

Nous avons programmé des routines permettant de vérifier si deux expressions sont mathématiquement justes et ainsi enlevé quelques dernières barrières. Ces outils d’accompagnement au calcul qui ont été développés dans un but d’entrainement se révèlent précieux dans d’autres cadres d’utilisation. Le logiciel signale à chaque étape si l’expression (numérique ou algébrique) est égale à l’expression de départ et éventuellement répond aux questions suivantes : « L’expression est-elle développée ? » ou « L’expression est-elle factorisée »

1. Entraînement, remédiation

C’est la première utilisation à laquelle nous avons pensé. L’utilisation est très simple. L’enseignant donne des exercices d’entrainement soit sur le livre, sur un polycopié soit au tableau et attend de ses élèves une résolution écrite sur le cahier.

Voici une démarche élève sur un exercice de type brevet:
(11x-7)²-(2x+3)(11x-7) `" 99x²-173x+65 `" 99x²-173x+84 `" 121x²-154x+63-22x²+14x-33x+21 `" (121x-154x+63)-(22x²-14x+33x-21) = (121x²-154x+49)-(22x²-14x+33x-21) = 99x²-173x+70 99x²-173x+70 est la forme développée de (11x-7)²-(2x+3)(11x-7) = (11x-7)(9x-10) (11x-7)(9x-10) est une forme factorisée de (11x-7)²-(2x+3)(11x-7)Manifestement, le travail a été fait sur papier. L’élève confiant entre directement la réponse finale qui s’avère fausse. Il a un doute sur le dernier nombre (et il a raison) et propose une solution encore fausse. Il décide alors de remonter dans ses étapes de calculs et propose la réponse avant réduction qui est une nouvelle fois refusée. C’est là que l’on se rend compte que l’on est dans une situation d’enseignement nouvelle : l’élève ne se décourage pas ! Il propose la ligne précédente avant la suppression des parenthèses qui s’avère elle aussi fausse. Il va ensuite vérifier un par un les coefficients des monômes. Il va finir par trouver son erreur : une erreur de table ! Là on voit qu’il ne prend aucun plaisir à taper ses calculs sur l’ordinateur car il va manifestement corriger les calculs sur sa feuille pour ne saisir que la réponse finale. Il utilisera quand même les boutons de vérification pour confirmer la nature de la forme finale. La factorisation ne posera pas de problème.

Ici l’activité mathématique est présente dans la démarche de l’élève pour trouver son erreur. Il agit avec méthode et l’absence d’indication du logiciel le contraint à chercher lui-même la nature de son erreur. L’élève prendra conscience de ses points faibles. Il a progressé.
2. Travail personnel

Dans ce domaine, les besoins sont grands. Un élève qui a un exercice à faire en dehors de la classe peut avoir besoin d’être accompagné dans son travail personnel.

Voici un exemple en 3e La démarche est la même qu’en remédiation mais l’élève travaille ici sans professeur.

Ici aussi l’élève maîtrise les règles de calcul. Il va trop vite et simplifie à outrance. Son résultat étant faux il remet en cause son calcul concernant les puissances de dix et trouvant la même puissance au numérateur et au dénominateur il avance une nouvelle réponse. Elle est encore fausse et là, l’élève décide d’écrire une première étape où il regroupe les puissances et simplifie par trente. C’est seulement là qu’il va identifier son erreur en rétrogradant une nouvelle fois. Il va se révéler ensuite bien prudent.

L’utilisation de ce type d’outil pour le travail personnel est très efficace. Il pousse les élèves à trouver leurs erreurs, il ne donne aucune indication de méthode et même aucun indice. C’est à l’élève d’aller chercher de l’aide dans ses cahiers, dans son livre. Il est pleinement acteur et montre sa capacité à réussir. Le soin apporté à l’affichage permet à l’enfant de recopier son exercice sur son cahier sous la même forme.

L’enseignant a accès aux travaux de ses élèves sur cet outil. Il peut ainsi juger de l’activité de recherche de l’élève lorsque celle-ci n’aboutit pas car généralement l’élève n’écrit rien sur son cahier. Il pourra ainsi voir la raison de cet échec.
3. Résolution de problèmes ouverts

Voici un problème posé en classe de troisième a des élèves n’ayant fait aucun travaux en calcul littéral depuis le début de l’année scolaire.

INCLUREIMAGE "../../../../../../../www/maths/123maths/3/litteral/act_egalites_rem/dessin.GIF" \* FUSIONFORMAT 
Le carré jaune et le rectangle rose ont la même aire. Pourquoi ?

On est face à un vrai problème : aucune méthode n’est préconisée, les élèves vont partir dans des directions différentes. La nécessité de la démonstration nait de l’impossibilité de « voir » pourquoi les aires sont égales. La difficulté ici est de parvenir à déterminer l’aire du carré jaune. Certains élèves vont d’abord résoudre le problème dans un cas particulier. Très peu d’élèves sont capables de conduire au bout les calculs nécessaires sans erreur.
Voici les calculs nécessaires à la démonstration :
(2x+3)²-(x+1)²= 4x²+6x+6x+9-(x²+x+x+1)
= 4x²+12x+9-x²-2x-1
= 3x²+10x+8
(x+2)(3x+4)= 3x²+4x+6x+8
= 3x²+10x+8En mettant à disposition le vérificateur, les élèves vont pouvoir conduire leurs calculs jusqu’au bout. Ils vont identifier leurs difficultés au fur et à mesure de leur avancement.

Le petit outil d’entrainement systématique est devenu un véritable assistant à l’activité mathématique que mes élèves me réclament lorsqu’ils sentent ce besoin d’accompagnement.

IV. Pour aller plus loin (d’autres pistes à explorer)
A. Les assistants
1. Donner du sens

Travailler avec les élèves sur le sens d’une notion, et non sur la technique, nous semble une piste à exploiter.
Ainsi, parmi nos différentes maquettes nous avons décidé de zoomer sur deux exemples peu praticables sans l’utilisation de l’outil informatique.
Il s’agit dans chaque cas, de voir différemment nos pratiques pédagogiques et de les axer plus dans la recherche de la notion mathématiques à développer que dans la pratique calculatoire à utiliser.
2. L’exemple du calcul prioritaire

Nous avons créé une maquette d’assistant au calcul prioritaire :
 LIENHYPERTEXTE "http://www.ac-amiens.fr/pedagogie/maths/123maths/commun/litteral_js/Exemples/page6.htm" http://www.ac-amiens.fr/pedagogie/maths/123maths/commun/litteral_js/Exemples/page6.htm


Cet assistant se présente comme les vérificateurs d’égalités.
Le professeur est libre du questionnement et l’élève du cheminement calculatoire.
A la différence près  que cet assistant fait les calculs ! Il suffit de surligner une opération et dans la ligne d’à côté la réponse s’inscrit.
Quelle utilité ?
Cet outil permet de travailler le sens sans contrainte technique. Chaque élève peut se créer son processus d’analyse du calcul et gérer ses priorités à son rythme . Par le jeu de l’essai/erreur, il rentre dans un travail d’assimilation des règles de priorité et ne se perd pas en erreurs de calculs.

Il semble utile de pouvoir proposer des outils informatisés apportant un bénéfice par rapport au travail fait en classe. Ainsi dans ce cas, l’usage d’un assistant au calcul permet de travailler réellement le sens ! Chaque élève peut visualiser ses essais et assimiler à son rythme les notions mathématiques à comprendre.
3. L’exemple des équations, la boite noire.
Un travail sur la résolution d’équations permet de comprendre la difficulté à séparer les notions pour pouvoir ne se concentrer que sur l’une ou l’autre. Souvent, dans les exerciseurs, le travail se centre sur les techniques de résolution (consolidation des règles apprises en classe) alors qu’un travail sur le sens et l’utilité d’une équation est possible aussi.
Ainsi, en quatrième, la mise en équation est une notion difficile à mettre en pratique. Son apprentissage vient souvent après une longue série d’entraînements à la résolution d’équation.
On choisit souvent, par facilité, l’axe d’apprentissage suivant :
problème d’introduction permettant d’aboutir à une égalité
idée de résolution d’équation par des règles posées dans notre cours
entraînement et consolidation des règles d’équivalence
réinvestissement dans la résolution de problèmes : choix de l’inconnue, puis mise en équation et retour à la résolution.
L’idée nous est venue de créer une maquette ne travaillant pas dans ce sens pour que résoudre des équations soit fondé sur la résolution de problème.
On part de la résolution de problèmes directement en éliminant la contrainte technique.
 LIENHYPERTEXTE "http://www.ac-amiens.fr/pedagogie/maths/123Maths/4/equations/boite_noire" http://www.ac-amiens.fr/pedagogie/maths/123Maths/4/equations/boite_noire

Les élèves n’ont pas de méthode et ont une idée imprécise de ce qu’est une équation. Le pré requis est simplement d’avoir manipulé des lettres dans un chapitre antérieur.
A la première heure de cours sur les équations, nous leur distribuons une fiche comprenant 14 problèmes. Tous à résoudre !

Consigne
Voici une série de problèmes. Le but n’est pas de les résoudre ! Mais de trouver une façon de les traduire pour que la boite noire les résolve à votre place.
A vous ensuite de juger si l’ordinateur vous fait une proposition satisfaisante.

Problème 1 :
Sachant que la balance est en équilibre, calculer la masse d'une bille :
 INCORPORER CDraw4 

Problème 2 :
Le magicien :
" Penser un nombre, multiplier par 2, enlever 3, multiplier le résultat par 3 et enlever le nombre
pensé au départ. Quel est le nombre que vous obtenez ? "
Un spectateur :
" 31 "
Le magicien :
" Le nombre pensé au départ est .... "
Un spectateur :
" C'est exact "
Qu'a répondu le magicien ?

Problème 3 :
Un jeans coûte 2 fois plus cher qu'un tee-shirt. Le tee-shirt coûte 3 fois plus cher qu'une paire de chaussettes. L'ensemble coûte 27 euros. Quel est le prix d’une paire de chaussette ?

Problème 4 :
Combien mesure l’angle B ?
 INCORPORER CDraw4 

Problème 5 :
Un père a 42 ans et son fils 12 ans.
Dans combien d'années l'âge du père sera le triple de l'âge du fils ?

Problème 6 :
Quelle valeur faut-il donner au côté du carré
pour qu’il ait le même périmètre que le triangle équilatéral?


Problème 7 :
Trouver 4 nombres entiers consécutifs dont la somme vaut 2534


Problème 8 :
Une balance est en équilibre lorsque l’on place 10 cubes et 2 kg sur un des plateaux et 2 cubes et 30 kg sur l’autre. Quelle est la masse x d’un cube ?

Problème 9 :
Les longueurs des côtés du triangle sont exprimées en fonction de x.


2x +3


3x + 1
x

Pour quelle valeur de x le périmètre du triangle est-il égal à 28 cm ?

Problème 10 :
La longueur d’un rectangle dépasse sa largeur de 12 mètres. Le périmètre de ce rectangle mesure 484 m. Quelles sont les dimensions de ce rectangle ?

Problème 11 :
Je voulais acheter 5 kilogrammes de fruits, mais il me manquait 1 ¬ 50. En prenant seulement 3 kilogrammes, il m est resté 2 ¬ 50. Quel est le prix d un kilogramme de fruits ?

Problème 12 :













Problème 13 :
Monsieur X a une certaine somme dans son porte monnaie. Il dépense les 3/5 de son argent et il lui reste 100 ¬ .
Combien avait-il d'argent ?

Problème 14 :
Sachant que la balance est en équilibre et que les fraises sont identiques, calculer la masse d'une fraise.
 INCORPORER CDraw4 

QuestionsRéponsesQuestionsRéponses1829310411512613714


La nature des exercices proposés ici par l’enseignant pourrait être débattue mais ce n’est pas l’objet ici. Observons le travail des élèves.
Chacun travaille à son rythme et structure son idée de la mise en équation (ou sa nécessité à traduire le problème).

Pointons le travail de Rémi pour visualiser un processus d’apprentissage élève .

Voici une série de problèmes. Le but n’est pas de les résoudre !
Mais de trouver une façon de les traduire pour que la boite noire les résolve à votre place.
A vous ensuite de juger si l’ordinateur vous fait une proposition satisfaisante.
 
Problème 1 :
 
Sachant que la balance est en équilibre, calculer la masse d'une bille :

Rémi :
Toi : (5billes+10g)=(2billes+50g+5g) Moi : Trop de lettres dans cette expression pour que je puisse te dire quelque chose ... Toi : 5billes+10g=2billes+55g Moi : Trop de lettres dans cette expression pour que je puisse te dire quelque chose ... Toi : 7billes+65g Moi : Trop de lettres dans cette expression pour que je puisse te dire quelque chose .. Toi : 5g Moi : Que dire ? Pas assez d'éléments à analyser ...
Toi : 5b+10=2b+50+5 Moi : Je te réponds simplement que la valeur de b est 15. . Toi : 5billes+10=2billes+55 Moi : Trop de lettres dans cette expression pour que je puisse te dire quelque chose ... .
Toi : 55-10 Moi : Pas d'égalité ... Que dire ? . Toi : 55g-10g Moi : Pas d'égalité ... Que dire ? . Toi : 5b+10=2b+50+5 Moi : Je te réponds simplement que la valeur de b est 15. .
 
Quelques minutes et la nécessité de choisir une structure d’équation est réelle pour Rémi.
(…)
Rémi saute au dernier exercice de la fiche (encore une balance) Ndl : Il cherche à consolider lui-même sa découverte
 
Problème 14 :
Sachant que la balance est en équilibre et que les fraises sont identiques, calculer la masse d'une fraise.

Toi : 5f+10=2f+50+100 Moi : Je te réponds simplement que la valeur de f est 140/3. . Toi : 7f+10=2f+50+100 Moi : Je te réponds simplement que la valeur de f est 28. .
 
Rémi semble avoir compris le principe à l’erreur de comptage près.
Ndl : Il cherche à consolider lui-même sa découverte en fouillant dans les énoncés pour trouver un autre problème de balance.

Problème 8 :
Une balance est en équilibre lorsque l’on place 10 cubes et 2 kg sur un des plateaux et 2 cubes et 30 kg sur l’autre. Quelle est la masse x d’un cube ?
Toi : 10c+2=2c+30 Moi : Je te réponds simplement que la valeur de c est 7/2. .
 
Rémi attend … Rémi attend … longtemps …
Ndl : Il ne fait pas d’autre essai ! Il sait que sa méthode est bonne … Il ne comprend pas la réponse … Il attendra jusqu’à que le professeur aille lui souffler que 7/2 est le même nombre que 3,5 … Il teste … Et, continue .
Rémi enchaîne les problèmes
 
Problème 12 :8:36:11>>(a*7+2) 8:48:46>>(2*m-3)*3 8:48:47>>(2*m-3)*3 Problème 5 :
 
Un père a 42 ans et son fils 12 ans.
Dans combien d'années l'âge du père sera le triple de l'âge du fils ? 
 
8:48:25>>42+t=3*(12+t)Problème 8 :
 
Une balance est en équilibre lorsque l’on place 10 cubes et 2 kg sur un des plateaux et 2 cubes et 30 kg sur l’autre. Quelle est la masse x d’un cube ?8:51:8>>10x+2 8:51:27>>10x+2=2x+30Problème 9
Les longueurs des côtés du triangle sont exprimés en fonction de x.
 
 
2x +3
 
 
3x + 1
x

Pour quelle valeur de x le périmètre du triangle est-il égal à 28 cm ?8:52:48>>(2x+3)+(3x+1)+x=28 8:53:12>>(2x+3)+(3x+1)+x=28 8:53:13>>(2x+3)+(3x+1)+x=28 Problème 2 :
Le magicien :
" Penser un nombre, multiplier par 2, enlever 3, multiplier le résultat par 3 et enlever le nombre
pensé au départ. Quel est le nombre que vous obtenez ? "

Un spectateur :
" 31 "

Le magicien :
" Le nombre pensé au départ est .... "

Un spectateur :
" C'est exact "

Qu'a répondu le magicien ?8:54:15>>(2x+3)*3 8:54:54>>(2x-3)*3=31 

Rémi a travaillé …

En une heure, la structuration d’une équation a progressé. L’utilité de définir une lettre représentant l’inconnue aussi.
La nécessité de comprendre comment la boite noire peut résoudre une équation pour répondre à un problème permettra d’avoir une base saine pour introduire les règles de résolution dans les heures suivantes.

En annexe 1, des démarches élèves sont proposées. A vous de les interpréter.

4. Conclusion : des outils qu’on aimerait voir plus souvent

L’usage des Tice n’est pas anodin. L’activité mathématique peut être améliorée par une activité informatisée à condition qu’elle s’inscrive dans un processus d’apprentissage riche, géré et sous l’entière responsabilité de l’enseignant.

Faire des mathématiques, ce n’est pas répéter un algorithme. Il est parfois utile de s’outiller et de consolider cet outillage par un travail ponctuel et répétitif. A voir ce qui fait recette aujourd’hui, on a tendance à penser que les tice ne peuvent nous apporter de l’aide que dans cette tâche « entraînement –remédiation ». Ces activités n’apportent souvent pas grand-chose. D’autres voies sont possibles. Replacer l’outil informatique à sa place, en valorisant le rôle des cahiers et des livres, en redonnant toute sa légitimité à l’écrit et ceci non pas avant ou après mais pendant que je travaille avec l’ordinateur est essentiel à nos yeux. Notre but est de former des élèves à mobiliser leurs connaissances autours de problèmes pour qu’ils apprennent à les résoudre seuls ou en groupe, en utilisant les ressources à leur portée, en sachant les mobiliser à bon escient et qu’ils puissent ensuite communiquer leurs travaux. Une phrase résume notre inquiétude : « Attention, l’utilisation des Tice influence la pensée » mais utilisons-le au service des apprentissages, en complémentarité raisonnée avec d’autres supports.
Annexe 1 : démarches d’élèves utilisant la boite noire.

Poste 1

Historique des messages :

9:13:42> Toi : 42/12
9:13:42> Moi : Pas d'égalité ... Que dire ? .
9:17:19> Toi : 4n=2534
9:17:19> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de n est 1267/2. .
9:18:34> Toi : 1267/2/4
9:18:34> Moi : Pas d'égalité ... Que dire ? .
9:18:52> Toi : 4n=1267/2/4
9:18:52> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de n est 1267/32. .
9:22:39> Toi : 5n+10=2n+55
9:22:39> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de n est 15. .
9:24:28> Toi : 7n+10=2n+150
9:24:28> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de n est 28. .
9:25:35> Toi : n*7+2=n*3+40
9:25:35> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de n est 19/2. .
9:26:56> Toi : n*7*x+2=n*3*x+40
9:26:56> Moi : Trop de lettres dans cette expression pour que je puisse te dire quelque chose ... .
9:27:11> Toi : n*7*n+2=n*3*n+40
9:27:11> Moi : J'ai trouvé deux solutions n= Rac(19/2) et n = -Rac(19/2) .
9:34:7> Toi : (n*2-3)*3-n=31
9:34:7> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de n est 8. .
9:35:58> Toi : 2n=t 3t=c=27
9:35:58> Moi : Trop de lettres dans cette expression pour que je puisse te dire quelque chose ... .
9:37:19> Toi : 10n+2=2n+30
9:37:19> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de n est 7/2. .
9:40:9> Toi : 2x+3+3x+1+x=28
9:40:9> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de x est 4. .
9:43:1> Toi : 4n=2534
9:43:1> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de n est 1267/2. .
9:44:19> Toi : n+n1+n2+n3=2534
9:44:19> Moi : Je ne sais pas lire cette expression .
9:44:46> Toi : 2x+x+2+x=180
9:44:46> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de x est 89/2. .
9:46:13> Toi : (n*7)+2=(n*3)+40
9:46:13> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de n est 19/2. .


Poste 13

Historique des messages :

9:14:34> Toi : 12*2=24-4=21*3=63-12=51
9:14:34> Moi : Trop d'égalité ... Que dire ? .
9:16:24> Toi : 10+5
9:16:24> Moi : Pas d'égalité ... Que dire ? .
9:16:34> Toi : 10+5=
9:16:34> Moi : Il manque un membre d'équation .
9:19:19> Toi : 5boules +10gramme=2boules+55grammes
9:19:19> Moi : Je ne sais pas utiliser la lettre r ... Il faut en prendre une autre. .
9:20:2> Toi : 5b+10g=2b+55g
9:20:2> Moi : Trop de lettres dans cette expression pour que je puisse te dire quelque chose ... .
9:20:21> Toi : 5b+10=2b+55
9:20:21> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de b est 15. .
9:22:2> Toi : x*2-3*3-x=31
9:22:2> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de x est 40. .
9:23:42> Toi : x*2-3*3-x=31
9:23:42> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de x est 40. .
9:25:13> Toi : (x*2-3)*3-x=31
9:25:13> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de x est 8. .
9:26:8> Toi : 7f+10=2f+150
9:26:8> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de f est 28. .
9:34:21> Toi : (j=3*t)+t4*c=27
9:34:21> Moi : Trop de lettres dans cette expression pour que je puisse te dire quelque chose ..
9:34:47> Toi : (3*t)+t4*c=27
9:34:47> Moi : Trop de lettres dans cette expression pour que je puisse te dire quelque chose ... .
9:34:51> Toi : (3*t)+t4*c=27
9:34:51> Moi : Trop de lettres dans cette expression pour que je puisse te dire quelque chose ... .
9:35:6> Toi : (3*t)+4*c=27
9:35:6> Moi : Trop de lettres dans cette expression pour que je puisse te dire quelque chose ... .
9:35:40> Toi : 7*c=27
9:35:40> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de c est 27/7. .
9:37:49> Toi : 3*x=f
9:37:49> Moi : Trop de lettres dans cette expression pour que je puisse te dire quelque chose ... .
9:37:56> Toi : 3*x=12
9:37:56> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de x est 4. .
9:39:43> Toi : x+20+2x+x=180
9:39:43> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de x est 40. .
9:41:41> Toi : 10c+2=2c+30
9:41:41> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de c est 7/2. .
9:45:59> Toi : 4*x=2534
9:45:59> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de x est 1267/2. .
9:49:52> Toi : 7b+2=3b+40
9:49:52> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de b est 19/2. .

Poste 12

Historique des messages :

9:13:55> Toi : 5*15+10=2*15+55
9:13:55> Moi : Bravo ! Ton égalité est toujours juste ... .
9:17:3> Toi : 45/3=
9:17:3> Moi : Il manque un membre d'équation .
9:17:8> Toi : 45/3=15
9:17:8> Moi : Bravo ! Ton égalité est toujours juste ... .
9:17:52> Toi : 45/3=
9:17:52> Moi : Il manque un membre d'équation .
9:18:31> Toi : 5boule+10g
9:18:31> Moi : Trop de lettres dans cette expression pour que je puisse te dire quelque chose ... .
9:18:56> Toi : 5boule+10g=2boules+50g+5g
9:18:56> Moi : Trop de lettres dans cette expression pour que je puisse te dire quelque chose ... .
9:19:14> Toi : 5b+10g=2b+50g+5g
9:19:14> Moi : Trop de lettres dans cette expression pour que je puisse te dire quelque chose ... .
9:19:31> Toi : 5b+10=2b+50+5
9:19:31> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de b est 15. .
9:33:58> Toi : (n*2-3)*3-n=31
9:33:58> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de n est 8. .
9:35:32> Toi : (42*3)-(12*3)=x
9:35:32> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de x est 90. .
9:39:14> Toi : 2534=4x
9:39:14> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de x est 1267/2. .
9:39:32> Toi : 2534=4*x
9:39:32> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de x est 1267/2. .
9:39:40> Toi : 2534=4*m
9:39:40> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de m est 1267/2. .
9:39:47> Toi : 2534=4*n
9:39:47> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de n est 1267/2. .
9:41:15> Toi : 2534=n+n+1+n+2+n+3
9:41:15> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de n est 632. .
9:43:41> Toi : 7f+10=2f+150
9:43:41> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de f est 28. .
9:49:48> Toi : 10c+2=2c+3
9:49:48> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de c est 1/8. .

Poste 15

Historique des messages :

9:14:24> Toi : 31/3
9:14:24> Moi : Pas d'égalité ... Que dire ? .
9:21:40> Toi : c'est une balance avec d'un côté 5 billes+10g et de l'autre 2 billes+55g
9:21:40> Moi : Je ne sais pas utiliser la lettre r ... Il faut en prendre une autre. .
9:22:3> Toi : c'est une balance avec d'un côté 5 billes+10g et de l'aute 2 billes+55g
9:22:3> Moi : Trop de lettres dans cette expression pour que je puisse te dire quelque chose ... .
9:22:47> Toi : 5billes+10g=2billes+55g
9:22:47> Moi : Trop de lettres dans cette expression pour que je puisse te dire quelque chose ... .
9:23:17> Toi : 5x+10g=2x+55g
9:23:17> Moi : Trop de lettres dans cette expression pour que je puisse te dire quelque chose ... .
9:23:39> Toi : 5+10=2+55
9:23:39> Moi : Je ne pense pas que ton égalité soit juste ! .
9:24:18> Toi : equilibre=5billes+10g=2billes+55g
9:24:18> Moi : Je ne sais pas utiliser la lettre r ... Il faut en prendre une autre. .
9:25:4> Toi : 5b+10=2b+50+5
9:25:4> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de b est 15. .
9:27:0> Toi : 31=n*2-3*3-n
9:27:0> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de n est 40. .
9:33:42> Toi : (n*2-3)*3-n=31
9:33:42> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de n est 8. .
9:37:6> Toi : 27=(2*j)+(3*t)
9:37:6> Moi : Trop de lettres dans cette expression pour que je puisse te dire quelque chose ... .
9:37:24> Toi : 27=2j+3t
9:37:24> Moi : Trop de lettres dans cette expression pour que je puisse te dire quelque chose ... .
9:38:57> Toi : c*2j*3t=27
9:38:57> Moi : Trop de lettres dans cette expression pour que je puisse te dire quelque chose ... .
9:41:5> Toi : 180=2a+20c+b
9:41:5> Moi : Trop de lettres dans cette expression pour que je puisse te dire quelque chose ... .
9:41:42> Toi : 2x+x+20+b=180
9:41:42> Moi : Trop de lettres dans cette expression pour que je puisse te dire quelque chose ... .
9:43:11> Toi : 10c+2=2c+30
9:43:11> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de c est 7/2. .
9:46:18> Toi : x+x+x+x=2534
9:46:18> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de x est 1267/2. .
9:49:32> Toi : x+2x+x+20=180
9:49:32> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de x est 40. .
9:50:26> Toi : 7b+2=3b+40
9:50:26> Moi : Je te réponds simplement que la valeur de b est 19/2. .


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