Domaine : Mathématiques Titre de la séquence : La proportionnalité ...
Domaine : Mathématiques. Titre de la ..... Le prix de 4 livres est 28 ? et le prix de
7 livres est 49 ?. Le prix payé est proportionnel au nombre de livres achetés. .....
On veut calculer le nombre de filles sur le niveau 6ème, qui compte 230 élèves.
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Domaine : MathématiquesTitre de la séquence : La proportionnalitéNiveau : CM2
Compétence visée : Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité et notamment des problèmes relatifs aux pourcentages, aux échelles, aux vitesses moyennes ou aux conversions dunité, en utilisant des procédures variées (dont la « règle de trois »).
Objectifs de la séquence :
Etre capable didentifier des problèmes relevant de la proportionnalité, dexpliciter et de comparer les différentes stratégies de résolution.
Etre capable de comprendre et de manipuler les relations entre les nombres pour résoudre les problèmes de proportionnalité.
Savoir reconnaître et utiliser le coefficient de proportionnalité.
Identifier le sens de la règle de trois par le passage à lunité dans la résolution de problèmes relevant de la proportionnalité.Palier du socle commun n°2 Compétence 3
résoudre des problèmes relevant des quatre opérations, de la proportionnalité, et faisant intervenir différents objets mathématiques : nombres, mesures, règle de trois, figures géométriques, schémas.
savoir organiser des informations numériques ou géométriques, justifier et apprécier la vraisemblance dun résultat ;
lire, interpréter et construire quelques représentations simples : tableaux, graphiques.
N° de la séanceTitre de la séanceObjectifs de la séance1Les situations de proportionnalitéEtre capable de reconnaître une situation de proportionnalité.2Les situations de proportionnalité et de non proportionnalitéEtre capable de reconnaître une situation de proportionnalité et une situation de non proportionnalité.3, 4 et 5Le graphique de proportionnalitéEtre capable de lire un graphique de proportionnalité.
Etre capable de construire un graphique de proportionnalité.6Organiser les données dans un tableauEtre capable dorganiser les données dune situation de proportionnalité dans un tableau.
Etre capable de résoudre des problèmes en utilisant un tableau de proportionnalité.
Savoir reconnaître et utiliser le coefficient de proportionnalité.7 et 8La règle de trois et le passage par lunité Etre capable de chercher la valeur de lunité.
Etre capable dutiliser la règle de trois pour résoudre des problèmes de proportionnalité.
Avoir compris le sens de la règle de trois.9Exercices de systématisationEtre capable de reconnaître et de résoudre des problèmes de proportionnalité en utilisant si besoin un tableau de proportionnalité, le coefficient de proportionnalité et la règle de trois.10 et 11Les pourcentagesEtre capable dappliquer un pourcentage.12 et 13Les pourcentagesEtre capable dappliquer un pourcentage pour calculer une réduction ou une augmentation.14 et 15Les échellesEtre capable de savoir interpréter une échelle.
Etre capable de résoudre des problèmes faisant apparaître des situations de proportionnalité traitant la notion déchelle.16 et 17Les vitessesEtre capable de résoudre des problèmes et savoir expliquer sa démarche.
Etre capable de reconnaître une situation de proportionnalité.
Séance 1 : Les situations de proportionnalité
Obj : découvrir la proportionnalité.
Déroulement :
1ère phase : découverte
Lenseignant(e) distribue la première feuille aux élèves qui travaillent par 2 mais ont chacun une feuille. Insister sur le fait que les calculs devront dabord être faits au brouillon.
Laisser un temps dobservation, puis lire la consigne avec les élèves.
Demander à un élève de reformuler la consigne afin de voir si des incompréhensions risquent de faire obstacle à la résolution du problème.
2ème phase : résolution par groupes de 2
Chaque élève travaille avec son voisin, à moins que le fait de se mettre avec un camarade de son choix ne pose pas de problème. Auquel cas, laisser 2 minutes à lenfant pour aller à la table de son camarade.
Au brouillon, les enfants doivent effectuer les calculs afin de pouvoir réécrire la recette du gâteau (1er encadré).
Passer dans les rangs pour sassurer quaucune grosse erreur nest en train dêtre commise et aider les élèves en difficulté en leur posant des questions.
Si la réponse est correcte, les élèves remplissent le tableau et tentent de le compléter entièrement avec la méthode de calcul de leur choix.
3ème phase : confrontation des résultats
Demander à un groupe de venir au tableau expliquer sa méthode, que le résultat trouvé soit ou non correct.
Les autres écoutent sans linterrompre. A la fin de la présentation, demander si tout le monde est daccord ou pas. Interroger un groupe qui aurait fait différemment.
Faire noter la multitude de moyens possibles pour arriver au résultat.
Procéder à la correction collective. Les enfants comparent avec leur feuille et corrigent éventuellement.
Sassurer que tous les élèves, même ceux ayant eu faux comprennent bien ce qui se fait.
Déroulement : 2ème partie
1ère phase : découverte
Lenseignant(e) distribue la seconde feuille aux élèves.
Laisser un temps dobservation, puis lire la consigne avec les élèves.
Demander à un élève de reformuler la consigne afin de voir si des incompréhensions risquent de faire obstacle à la résolution du problème.
2ème phase : résolution par groupes de 2
Les enfants doivent placer les points quils connaissent. Normalement, la chose ne devrait pas poser de problème car le travail sur quadrillage est vu depuis le cycle 2.
Insister sur la précision à apporter au soin (afin que la droite passe bien par lorigine).
Passer dans les rangs pour sassurer du soin et de lexactitude du tracé et du report des points.
3ème phase : confrontation des résultats
Au tableau sera tracé le même quadrillage.
Demander à un élève de venir placer les points que lon connaît déjà (puisquils sont dans le tableau) et de tracer la droite.
Répondre collectivement et oralement aux questions.
Expliciter les réponses, faire argumenter.
4ème phase : CONCLUSIONTRACE ECRITE
Possibilité de faire écrire une petite conclusion sur ce que lon a remarqué.
« Dans un gâteau, le quantité dingrédients change au même rythme que le nombre de personnes.
Pour résoudre ce type de problème, on peut faire un tableau ou faire un graphique.
Sur ce graphique, les résultats peuvent être lus sur une droite qui passe par 0 ».
!C est une situation de proportionnalité. On reconnaît une situation de proportionnalité si le rapport entre les nombres ne change pas.
Séance 2 : Les situations de proportionnalité et de non proportionnalité
Obj : Etre capable de reconnaître une situation de proportionnalité et une situation de non proportionnalité.
Déroulement :
Exercice dapplication : résolution dune situation de proportionnalité.
Pour faire une tarte aux pommes, le pâtissier utilise 4 pommes.
Combien lui faut-il de pommes pour faire 5 tartes, 7 tartes, 12 tartes ? Combien fait-il de tartes avec 12 pommes ?
Faire un tableau.
Correction.
2ème série dexercices : résolution de situations de proportionnalité et de non proportionnalité.
Mise en commun.
Institutionnalisation.
Copie de la trace écrite.
" Il y a des situations où je peux dire : J'achète 5 kg de pommes ; je paie 7 ¬ . Si j'achetais trois fois plus de pommes (15 kg), je paierais trois fois plus (21 ¬ ). On dit alors que le prix des pommes achetées est proportionnel au poids des pommes. il y a des situations où je ne peux pas dire la même chose : Je joue 20 minutes au foot ; je marque 3 buts. Si je joue trois fois plus longtemps au foot (60 min), je marquerai trois fois plus de buts (9). Le nombre de buts marqués n'est pas proportionnel à la durée de la partie.
Séances 3,4 et 5 : Le graphique de proportionnalité
Obj : Etre capable de lire un graphique de proportionnalité. Etre capable de construire un graphique de proportionnalité.
Déroulement séance 3 :
Question : peut-on représenter une situation de proportionnalité par un graphique ?
Rappel de ce quest un graphique : repère (formé par deux demi-droites perpendiculaires Ox et Oy, O étant lorigine)
Distribution de la feuille dexercices 1.
Présentation de deux graphiques : compléter le premier (entrées au cinéma) et observer le second.
Répondre à la question : Que peux-tu dire de ces 2 graphiques ? Sont-ils proportionnels ?
Synthèse : On peut traduire une situation de proportionnalité par un graphique. En reliant les points, on obtient une droite qui passe par lorigine : cest une propriété des situations de proportionnalité.
Exercice individuel : compléter un tableau à laide dun graphique.
Déroulement séance 4 :
Rappel des séances précédentes : comment représenter une situation de proportionnalité ?
Mise en situation :
Dans un magasin on vend le sachet de graines 1¬ 50
- Peux-tu dire immédiatement combien on paie pour 0 sachets ? 1 sachet ? 10 sachets ?
- à l aide de ces renseignements, construis un graphique qui te permettra de trouver le prix à payer selon le nombre de sachets achetés :
Trace un repère (unité 2 carreaux)
Place les points correspondant aux prix de 0, 1, 10 sachets
Relie ces points.
Collectif : Que remarquez-vous ? Que peut-on lire sur le graphique ? Prix de 2 sachets ? de 4, de 7
(Comment pourrait-on lire le prix de 75 sachets)
Faire formuler la synthèse aux élèves
Réinvestissement : Construire un graphique correspondant à un tableau de proportionnalité
Déroulement séance 5 :
Rappel des séances précédentes : comment représenter une situation de proportionnalité ?
Mise en situation 1 :
Problème posé :
Aujourdhui Paul a 10 ans et son frère René a 14 ans. Quand Paul avait 9 ans, 7 ans, 4 ans, 1 ans, quels étaient les âges de René ? Quand René aura 15 ans, 18 ans, quels seront les âges de Paul ?
Laisser les élèves chercher, puis demander de présenter les résultats sous forme de tableau.
Représenter cette situation par un graphique.
Constatations (la demi droite ne passe pas par lorigine) il ne sagit pas dune situation de proportionnalité.
Mise en situation 2 :
Dans un magasin, on voit :
Une chemise 20 ¬
Trois chemises : 50 ¬
Cinq chemises : 80 ¬
Dire s il s agit d une situation de proportionnalité, pourquoi ?
Demander aux élèves de représenter la situation par un tableau, un graphique
Mise en commun, constats.
Séance 6 : Organiser les données dans un tableau
Obj : Etre capable dorganiser les données dune situation de proportionnalité dans un tableau. Etre capable de résoudre des problèmes en utilisant un tableau de proportionnalité. Savoir reconnaître et utiliser le coefficient de proportionnalité.
Rappel des séances précédentes : comment représenter une situation de proportionnalité ?
En collectif : Un producteur de légumes vend des tomates au kilogramme. Diana en achète 6 kg et paye 9 ¬ . Jimmy en achète 8 kg et paye 12 ¬ .
1" On connaît le prix de 6 kg de tomates. Si on en achète le double, combien va-t-on payer ? Déduis-en le prix de 12 kg de tomates.
2" On connaît le prix de 8 kg de tomates. Déduis-en le prix de 4 kg de tomates. Explique comment tu as fait.
3a) Recopie et complète le tableau ci-contre. b) Quel est le prix de 14 kg de tomates ?
Masse de tomates (en kg)6814Prix payé (en euros)912
Exercice individuel :
Une décoratrice vend un tissu au mètre. 4 m de tissu coûtent 48 ¬ .
1" Organise ces données dans un tableau de 2 lignes et 4 colonnes.
2" Complète ton tableau pour calculer le prix de 2 m de ce tissu.
3" Complète ton tableau pour calculer le prix de 6 m de ce tissu. Comment peux-tu trouver autrement ce résultat ?
Synthèse : Dans une situation de proportionnalité, on peut organiser les données dans un tableau.
Une école achète des livres de poche.
Le prix de 4 livres est 28 ¬ et le prix de 7 livres est 49 ¬ .
Le prix payé est proportionnel au nombre de livres achetés.
On veut calculer le prix de 11 livres, le prix de 12 livres et le prix de 6 livres
On peut additionner (ou soustraire)
Les nombres de deux colonnes.
Nombre de livres4711Prix payé (en euros)284977
On peut multiplier (ou diviser)
Les nombres dune colonne par un nombre.
Nombre de livres4126Prix payé (en euros)288442
Réinvestissement :
Problème 1 : Un professeur des écoles achète des dictionnaires identiques. 3 dictionnaires coûtent 45 ¬ et 4 coûtent 60 ¬ . Combien coûtent :
a) 7 dictionnaires ?
b) 8 dictionnaires
Problème 2 : Cynthia empile des pièces d un jeu de construction. Toutes ces pièces ont la même hauteur. Une pile de 20 pièces mesure 28 cm de haut.
Quelle est la hauteur dune pile de :
a) 40 pièces ? b) 5 pièces ? c) 45 pièces ?
Calcule chaque nombre manquant :
Masse doranges (en kg)2356Prix payé (en euros)34,5
Masse de fraises (en kg)500250Prix payé (en euros)34,5
Masse de pommes (en kg)1020Prix payé (en euros)12630
Séance 7 et 8 : La règle de 3 et le passage par lunité.
Obj : Etre capable de chercher la valeur de lunité. Etre capable dutiliser la règle de trois pour résoudre des problèmes de proportionnalité. Avoir compris le sens de la règle de trois.
Mise en situation :
Laisser les élèves résoudre le problème suivant : Michel achète 4 gâteaux pour 4,80¬ . Combien va-t-il payer pour 7 gateaux ?
Il n y a pas d autres solutions que de passer par l unité.
Mise en commun :
identifier le passage à lunité et arriver à la présentation des données dans un tableau (insérer le passage à lunité entre les 2 colonnes)
Nombre de gâteaux417Prix des gâteaux en euros4,801,208,40Dans une situation de proportionnalité parfois on ne peut pas faire autrement que de passer par lunité pour calculer les autres données.
Passage à l unité : on calcule le prix d un gâteau : 4,80 : 4 = 1,20 ¬
On utilise l unité pour calculer le prix de 7 gâteaux : 7x 1,20 = 8,40 ¬
Problème : Paul achète des roses toutes au même prix. Un bouquet de 8 roses coute 10,80 ¬ . On veut calculer le prix de 7 roses.
Laisser les élèves résoudre le problème (passage par l unité).
A l issue de la mise en commun, expliquer que l on peut poser 1 seule opération : c est la règle de 3 (10, 8 : 8) x 7 = 9,45 ¬
On peut vérifier avec la calculatrice que (10,8 : 8) x 7 = (10,8 x 7) : 8
Proposer de réinvestir avec 11 roses.
Synthèse :
relier la règle de 3 au passage à lunité (qui a du sens pour les élèves).
Observer que cela revient au passage à lunité écrit en une seule ligne.
Réinvestissement :
Par groupe de 2, résoudre au moins 3 problèmes.
Problème 1 : 4 feutres coutent 3 euros. Combien coutent 14 feutres ? 22 feutres ?
Problème 2 : A la grande braderie Pauline et Jean ont acheté en commun un lot de 9 DVD de jeux pour 108 ¬ . Pauline prend 4 DVD et Jean en prend 5. Combien chacun déboursera-t-il ?
Problème 3 : Madame, Stamp poste 25 lettres identiques pour un montant de 47,50 ¬ . Calcule le prix des timbres collés les 15 lettres, sur 32 lettres ?
Problème 4 : 7 kg d abricots coutent 9, 50 ¬ . Combien coutent 5 kg d abricots ? 12 kg d abricots ?
Problème 5 : Voici un prospectus envoyé par un apiculteur.
Miel de lavandeMiel de romarinSeau de 4kg : 39,84 eurosSeau de 3kg : 28,68 eurosQuel est le miel vendu au meilleur prix ?
Jeanne affirme qu il est plus économique d acheter le miel au supermarché à 2, 15¬ le pot de 250g. A-t-elle raison ?
Séance 9 : exercices de systématisation
Obj : Etre capable de reconnaître et de résoudre des problèmes de proportionnalité en utilisant si besoin un tableau de proportionnalité, le coefficient de proportionnalité et la règle de trois.
Problème 1 : Monsieur Lepeintre achète 5 pinceaux pour 12 ¬ . - Combien coûte 10 pinceaux ? - Combien M. Lepeintre paiera-t-il s il achète 50 pinceaux ?
Problème 2 : 250 grammes de café coûtent 2,25 ¬ . - Calcule le prix pour 3 500 g de ce café :
Problème 3 : Une fermière vend 12 Sufs pour 2,10 ¬ . - Calcule le prix de 16 Sufs : - Combien peut-on acheter d Sufs avec 5,25 ¬ .
Problème 4 : Un câble de 100 m d/BCPQRbdeS T V n r ¿
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Problème 5 : Un artisan gagne 315 ¬ par semaine en travaillant 35 heures. - Calcule son salaire pour 170 heures de travail :
Problème 6 : Une automobile parcourt 425 km en 5 heures. - En conservant la même vitesse, combien faudra-t-il de temps pour parcourir 255 km ?
Problème 7 : Une photographie représente un pêcheur tenant à côté de lui un poisson. Sur cette photo, le poisson mesure 0,7 cm et le pêcheur 8,9 cm. Sachant que le pêcheur mesure en réalité 1,78 m, calcule la taille réelle du poisson.
Problème 8 : Cédric veut faire un gâteau pour son anniversaire. Il trouve la recette dun gâteau au chocolat. Il trouve les proportions des ingrédients nécessaires pour 4 personnes. Complète le tableau suivant :
PersonnesFarine (en g)Lait
(en L)OeufsSucre
(en g)Chocolat
(en g)41500,231201008101216Complète ces tableaux de proportionnalité :
- Un ticket de bus coûte 1,60 ¬ .
Nombre de tickets1251015202550
X
..Prix en euros1,60
- Un uf moyen pèse 60 g.
Nombre doeufs1612244850100200
X
..Masse en g60
- Un paquet de bonbons contient 24 friandises
Paquets12345102050
X
..Friandises
Séance 10 et 11 : les pourcentages
Obj : Etre capable dappliquer un pourcentage.
Mise en situation :
Par groupe de 2, les élèves tentent de résoudre le problème suivant :
Dans la classe dAnaïs, il y a 25 élèves : 11 filles et 14 garçons. On suppose que la proportion de filles est la même dans tout le collège,
Combien y aura-t-il alors de filles dans un groupe de 100 élèves ?
Dans le niveau 4ème, on trouve 66 filles. Combien ce niveau compte-t-il délèves ?
Combien y aura-t-il alors de filles dans un groupe de 200 élèves ?
Nombre délèves dans le groupe observé25100?200Nombre de filles11?66
Mise en commun :
Demander aux élèves la méthode utilisée pour 100 élèves.
Réponse attendue : 100 = 25x4 donc 11x4 = 44
Un pourcentage indique la part dun tout, sil y avait 100 élèves, il y aurait 44 filles. Les filles représentent donc 44% des élèves. Un pourcentage est un
cas particulier de proportionnalité. Le coefficient de proportionnalité est une fraction dont le dénominateur est 100. 25% = 25/100
Pour la deuxième question : 66 = 44 + (2x11) donc 100 + (2x25) = 150
Pour la troisième question : 200 = 2x100 donc pour 200 élèves, 2x44 = 88 filles.
Travail individuel :
On veut calculer le nombre de filles sur le niveau 6ème, qui compte 230 élèves.
En utilisant la méthode du coefficient de proportionnalité, ou du produit en croix, donne la formule permettant de calculer le nombre x
Nombre délèves dans le groupe observé100230Nombre de filles44?
Mise en commun :
Dans lécole il y a 44% de filles. Cela signifie que si lon prend un groupe représentatif de 100 élèves de cette école, il y aura 44 filles.
Il y a 230 élèves dans cette école.
44% de 230 = 44x230/100 = 10 120/100 = 101,2
Le nombre de filles est donc de 101,2
Trace écrite
Application :
Exercice 1 : Avec la calculatrice, calcule 27% de : 200, 4 000, 120, 630, 248, 5 092, 108, 22.
Exercice 2 : Complète le tableau suivant :
Prix de départ en euros1050100150200350Remise de 20% (calcul)10x20/10050x20/100100x20/100150x20/100200x20/100350x20/100Réduction en euros21020304070Prix final84080120160280
Exercice 3 : Exercice 4 :
Il y a 48,15 % de filles. (13 x 100) : 27 = 48,15 %
Il y a 51,85 % de garçons. (14 x 100) : 27 = 51,85 %
Il y a 66,67 % denfants inscrits à la garderie. (18 x 100) : 27 = 66,67 %
Il y a 70,37 % denfants inscrits à la cantine. (19 x 100) : 27 = 70,37 %
Il y a 44,44 % denfants qui prennent le bus. (12 x 100) : 27 = 44,44 %
Exercice 5 :
Le premier versement est de 68,75 ¬ . 275 x 25 % = 68,75
Le second versement est de 82,50 ¬ . 275 x 30 % = 82,50
Séance 12 et 13 : les pourcentages 2
Obj : Etre capable d appliquer un pourcentage pour calculer une réduction ouÀWÐ|ÑMÒ8ÓÔ,ÔHÔRÔ`ÔlÔxÔÔÔ¦ÔóóóóóêÞÕÞÕêÞêÞ $IfgdîCÇ $$Ifa$gdîCÇ $IfgdîCÇ *$1$7$8$H$gdyîÔ,Ô8ÔHÔRÔ`ÔlÔxÔÔÔ´Ô¼ÔÀÔØÔÚÔÜÔêÔìÔîÔüÔþÔÕÕÕÕÕpÕ²ÕÖÕÖÖóáÒ¯óÒóÒóÒóÒóÒóÒóÒuÒfÒM0jhyîhyîCJOJQJUaJmHnHu hîCÇhyîCJOJQJaJ(hyîhyî5B*CJOJQJaJphãl
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Séance 14 et 15 : les échelles
Obj : Etre capable de savoir interpréter une échelle. Etre capable de résoudre des problèmes faisant apparaître des situations de proportionnalité traitant la notion déchelle.
Séance 16 et 17 : les vitesses
Obj : Etre capable de résoudre des problèmes et savoir expliquer sa démarche. Etre capable de reconnaître une situation de proportionnalité.
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