CHAPITRE 8
Le premier document est une liste d'élèves avec leurs notes de math, français et
anglais. ... Vous devez réaliser une feuille de suivi d'achat de livres. La mise en ...
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Chapitre 8 Écritures fractionnaires
8.1. Qu'est-ce qu'une fraction?
On partage un rectangle en 8 parties. Ces huit morceaux portent le nom de "huitièmes". Sur ces 8 huitièmes, on en colorie 3. La partie coloriée est une fraction du rectangle initial. Donner l'écriture fractionnaire d'un quotient tel que 3 ( 8 , c'est l'écrire sous la forme EMBED Equation.2 , que l'on lit :"trois huitièmes" ou "trois sur huit" .
8 est le dénominateur , c'est à dire celui qui donne le nom.
3 est le numérateur , c'est à dire celui qui indique le nombre de
Les deux nombres 8 et 3 n'ont pas la même nature grammaticale. 8 est un nom qui désigne la nature des "parts" obtenue par division. A ne pas confondre avec un adjectif numéral ordinal qui indiquerait une sorte de classement (ordre). C'est pourquoi on donne des noms particuliers à certaines fractions dont les dénominateurs sont 2(demis et non deuxièmes), 3(tiers et non troisièmes), 4 (quart et non quatrièmes).
Le nombre 3 est un adjectif numéral cardinal qui indique une quantité; ici il indique le nombre de huitièmes.
Le dénominateur répond à la question : "De quoi s'agit-il?" : ce sont des huitièmes.
Le numérateur répond à la question : "Combien y en a-t-il?" : il y en a trois.
Une barre de fraction sépare ces deux nombres . On prendra soin de toujours écrire la barre de fraction au niveau de la ligne d'écriture. Et pour cela, il est toujours préférable de commencer par écrire la barre de fraction avant d'y placer le numérateur et le dénominateur. Ce qui oblige à penser que ce qui importe c'est la notion de fraction plus que le numérateur.
Dans une écriture fractionnaire, le numérateur et le dénominateur peuvent être tout type de nombre.
En revanche, une fraction est une écriture fractionnaire qui ne comporte que des entiers .
HYPERLINK \l "corexo81" Exercice 1
Décrire chacune de ces fractions en rédigeant un phrase de ce type :
EMBED Equation.2 désigne des neuvièmes; il y en a onze.
EQ \s\do2(\f(7;4)) EQ \s\do2(\f(6;11)) EQ \s\do2(\f(23;5)) EQ \s\do2(\f(7;3)) EQ \s\do2(\f(33;10))
Exercice 2
Traduire par une écriture fractionnaire :
Sept huitièmes
Dix-neuf vingt-cinquièmes.
Quarante - trois centièmes.
Quarante trois - centièmes.
Onze trente et unièmes
Cent treize vingt huitièmes.
Exercice 3
Dans chaque cas, exprimer par une fraction de la figure totale, la partie colorée.
8.2. Fraction d'une fraction
Fractions unitaires :
Une fraction unitaire est une fraction dont le numérateur est égal à 1. Elle représente une unité de mesure (un dixième, un centième, un millième , etc.)
Un morceau sur deuxUn morceau sur troisUn morceau sur quatreUn demi : EQ \s\do2(\f(1;2))Un tiers : EQ \s\do2(\f(1;3))Un quart : EQ \s\do2(\f(1;4))
Un morceau sur cinqUn morceau sur sixUn morceau sur dixUn cinquième : EQ \s\do2(\f(1;5))Un sixième : EQ \s\do2(\f(1;6))Un dixième : EQ \s\do2(\f(1;10))
Partager une fraction unitaire
Si on partage un quart en trois (c'est à dire que l'on prend le tiers d'un quart), on obtient un morceau qui est trois fois plus petit qui correspond à un partage de la forme initiale en douze.
Ce que l'on peut traduire par l'égalité : EMBED Equation.3
Partager une fraction est donc équivalent à multiplier le dénominateur de la fraction.
De la même manière, on aura :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
HYPERLINK \l "corexo82" Exercice 1
Fractions unitaires
Compléter :
EQ \s\do2(\f(1;5)) ( EQ \s\do2(\f(1;2)) = EQ \s\do2(\f(1;3)) ( EQ \s\do2(\f(1;6)) = EQ \s\do2(\f(1;4)) ( EQ \s\do2(\f(1;2)) = EQ \s\do2(\f(1;5)) ( EQ \s\do2(\f(1;8)) =
EQ \s\do2(\f(1;2)) ( EQ \s\do2(\f(1;10)) = EQ \s\do2(\f(1;7)) ( EQ \s\do2(\f(1;9)) = EQ \s\do2(\f(1;100)) ( EQ \s\do2(\f(1;6)) = EQ \s\do2(\f(1;20)) ( EQ \s\do2(\f(1;7)) =
EQ \s\do2(\f(1;12)) ( EQ \s\do2(\f(1;5)) = EQ \s\do2(\f(1;9)) ( EQ \s\do2(\f(1;11)) =
Exercice 2
Fraction dune fraction non unitaire :
Dans certains cas, la simple compréhension du vocabulaire des fractions permet de traiter ce genre de questions :
Le calcul EQ \s\do2(\f(1;3)) ( EQ \s\do2(\f(6;11)) se traduit par la question : « Que vaut le tiers de six onzième ? »
Il sagit donc de onzièmes ; il y en a 6 ; et on cherche le tiers de ces 6. Le tiers de 6, consiste à partager 6 en 3. Ce qui donne 2. Le nombre 11 (dénominateur) nentre pas en jeu dans ce calcul.
De même EQ \s\do2(\f(1;4)) ( EQ \s\do2(\f(4;5)) = EQ \s\do2(\f(1;5)) car on partage la quantités de cinquièmes (il y en a 4) en 4 ; ce qui donne 1 cinquième.
De même EQ \s\do2(\f(1;6)) ( EQ \s\do2(\f(12;7)) = EQ \s\do2(\f(2;7)) EQ \s\do2(\f(1;10)) ( EQ \s\do2(\f(30;19)) = EQ \s\do2(\f(3;19))
Cela nest possible dans ces cas que parce que le dénominateur de la fraction unitaire est un diviseur de lautre fraction.
Lorsque ce nest pas le cas :
EQ \s\do2(\f(1;2)) ( EQ \s\do2(\f(3;5)) : « quelle est la moitié de 3 cinquièmes ? ». Plutôt que de partager 3 en deux, ce qui ne donne pas un nombre entier, on peut aussi bien découper les morceaux pour en faire des morceaux deux fois plus petits. On ne touche pas au numérateur, il reste toujours trois morceaux, mais en multipliant le dénominateur par 2, on obtient des morceaux deux fois plus petits.(ici, des dixièmes). Donc EQ \s\do2(\f(1;2)) ( EQ \s\do2(\f(3;5)) = EQ \s\do2(\f(3;10)).
Conclusion :
Multiplier une fraction EQ \s\do2(\f(a;b)) par une fraction unitaire EQ \s\do2(\f(1;n)) peut se faire de eux manières :
Diviser le numérateur a par n, ou multiplier le dénominateur b par n.
Calculer :
EQ \s\do2(\f(1;5)) ( EQ \s\do2(\f(5;9)) EQ \s\do2(\f(1;2)) ( EQ \s\do2(\f(8;7)) EQ \s\do2(\f(1;3)) ( EQ \s\do2(\f(9;5)) EQ \s\do2(\f(1;4)) ( EQ \s\do2(\f(16;3)) EQ \s\do2(\f(1;10)) ( EQ \s\do2(\f(50;13))
EQ \s\do2(\f(1;3)) ( EQ \s\do2(\f(14;8)) EQ \s\do2(\f(1;2)) ( EQ \s\do2(\f(5;9)) EQ \s\do2(\f(1;7)) ( EQ \s\do2(\f(6;11)) EQ \s\do2(\f(1;8)) ( EQ \s\do2(\f(40;7)) EQ \s\do2(\f(1;4)) ( EQ \s\do2(\f(11;3))
8.3. Fraction décimale
Nombres décimaux ; fractions décimales
Rappel : Un nombre est décimal si on peut en écrire tous les chiffres .
Tout nombre décimal peut s'écrire sous forme de fractions décimales .
Écrire un nombre décimal sous forme de fractions décimales.
Tout nombre décimal s'écrivant avec un certain nombre de chiffres après la virgule (il peut ne pas en avoir), on peut, en le multipliant par une puissance de 10 convenable, obtenir un produit entier. Et donc le quotient de cet entier par la puissance de 10 est égal au décimal supposé.
Exemples :
EMBED Equation
car 5 ( 10 = 50; 5 ( 100 = 500 5 ( 1 000 = 5 000
De toutes ces écritures en fractions décimales fractions décimales on choisira souvent la plus simple, c'est à dire celle qui permet juste d'éliminer la virgule et donc d'avoir le numérateur entier le plus petit.
Il suffit pour cela de compter le nombre de chiffres après la virgule du décimal et de placer au dénominateur la puissance de 10 qui a ce même nombre de 0.
Écrire une fraction décimale sous forme d'un nombre décimal.
C'est le principe de la division d'un entier par une puissance de 10 déjà vue il y a quelques temps. Il suffit de compter le nombre de 0 au dénominateur et de déplacer la virgule vers la gauche d'autant de rang qu'il y a de 0.
Exemples :
EMBED Equation.2
HYPERLINK \l "corexo83" Exercice 1
Donner une écriture fractionnaire des quotients :
17 ( 11 4,5 ( 0,4 32 ( 101 48 ( 9,3
Exercice 2
Donner une écriture décimale des écritures fractionnaires :
EMBED Equation.2
Exercice 3
Calculer les quotients suivants et en donner l'écriture décimale.
EMBED Equation.2
Exercice 4
Calculer les quotients suivants et donner lorsque cela est possible une écriture décimale de ce quotient.
EMBED Equation.2
Exercice 5
Compléter le tableau suivant :
écriture décimaleécritures fractionnaires ayant pour dénominateur :
1101001 00015 EQ \s\do2(\f(...;...)) EQ \s\do2(\f(...;...)) EQ \s\do2(\f(...;...)) EQ \s\do2(\f(...;...))0,2 EQ \s\do2(\f(...;...)) EQ \s\do2(\f(...;...)) EQ \s\do2(\f(...;...)) EQ \s\do2(\f(...;...))0,07 EQ \s\do2(\f(...;...)) EQ \s\do2(\f(...;...)) EQ \s\do2(\f(...;...)) EQ \s\do2(\f(...;...))3,2 EQ \s\do2(\f(...;...)) EQ \s\do2(\f(...;...)) EQ \s\do2(\f(...;...)) EQ \s\do2(\f(...;...))43,7 EQ \s\do2(\f(...;...)) EQ \s\do2(\f(...;...)) EQ \s\do2(\f(...;...)) EQ \s\do2(\f(...;...))
Objectif :
M1 : HYPERLINK \l "corchap8M1" Représenter une fraction
Exercice
Exprimer l'aire de la partie sombre en fraction de l'aire du grand carré.
Représenter en couleur :
1°) les EQ \s\do2(\f(3;5)) de ce segment
EMBED Draw.Document.5
2°) les EQ \s\do2(\f(5;12)) de ce rectangle
EMBED Draw.Document.5
3°) les EQ \s\do2(\f(3;7)) de ce segment
EMBED Word.Picture.8
4°) les EQ \s\do2(\f(3;4)) de ce rectangleEMBED Draw.Document.5
5°) les EQ \s\do2(\f(5;8)) de ce segment
EMBED Draw.Document.5
6°) les EQ \s\do2(\f(4;15)) de ce rectangle EMBED Draw.Document.5
7°) les EQ \s\do2(\f(3;4)) de ce disque EMBED Draw.Document.5
8°) les EQ \s\do2(\f(5;3)) de ce segment
EMBED Draw.Document.5
9°) les EQ \s\do2(\f(11;6)) de ce rectangle EMBED Draw.Document.5
8.4. Parties entière et fractionnaire
Décomposition en partie entière et partie fractionnaire.
Pour connaître la valeur d'une fraction, il faut calculer le quotient. Si celui-ci n'est pas décimal ,on effectuera la division euclidienne.
Le quotient représentant le nombre d'unités contenues dans la fraction .
Exemple : Pour la fraction EQ \s\do2(\f(17;4)) : 17 = 4 ( 4 + 1 ,donc dans EQ \s\do2(\f(17;4)), il y a 4 unités et il reste EQ \s\do2(\f(1;4)). On écrit donc : EQ \s\do2(\f(17;4)) = 4 + EQ \s\do2(\f(1;4))
4 s'appelle la partie entière de la fraction et EQ \s\do2(\f(1;4)) s'appelle sa partie fractionnaire, on dit aussi parfois partie décimale car c'est elle qui indique quelles sont les décimales du nombre (les chiffres après la virgule).
De la même manière :
25 = 7 ( 3 + 4 , donc : EQ \s\do2(\f(25;7)) = 3 + EQ \s\do2(\f(4;7))
13 = 8 ( 1 + 5 , donc : EQ \s\do2(\f(13;8)) = 1 + EQ \s\do2(\f(5;8))
Dans le cas où le numérateur est inférieur au dénominateur, la partie entière est nulle (égale à 0). Par exemple , pour : EQ \s\do2(\f(4;9)) ou EQ \s\do2(\f(27;32))
Si le numérateur est un multiple du dénominateur, c'est la partie fractionnaire qui est nulle, par exemple : EQ \s\do2(\f(16;4)) = 4 ou encore : EQ \s\do2(\f(1212;12)) = 101.
Encadrement à l'unité d'une fraction :
Disposer de la décomposition de la fraction en partie entière et partie fractionnaire permet de connaître un encadrement à l'unité de la fraction, car la partie fractionnaire est un nombre toujours inférieur à 1.
EMBED Equation , donc EQ \s\do2(\f(17;4)) est supérieure à 4 (car il faut y ajouter EQ \s\do2(\f(1;4)) ), mais est inférieure à 5 (car EQ \s\do2(\f(1;4)) est inférieur à 1.). D'où l'encadrement : 4 < EQ \s\do2(\f(17;4)) < 5
De même : EQ \s\do2(\f(25;7)) = 3 + EQ \s\do2(\f(4;7)) , donc : 3 < EQ \s\do2(\f(25;7)) < 4
EQ \s\do2(\f(13;8)) = 1 + EQ \s\do2(\f(5;8)) , donc : 1 < EQ \s\do2(\f(13;8)) < 2.
HYPERLINK \l "corexo84" Exercice 1
Décomposer les fractions suivantes en partie entière et partie décimale :
Poser la divisionDivision en ligneDécomposer la fractionPoser la divisionDivision en ligneDécomposer la fraction EQ \s\do2(\f(11;2))11211 = 2 ( 5 + 1 EQ \s\do2(\f(11;2)) = 5 + EQ \s\do2(\f(1;2)) EQ \s\do2(\f(16;3))15 EQ \s\do2(\f(14;4)) EQ \s\do2(\f(17;5)) EQ \s\do2(\f(11;6)) EQ \s\do2(\f(24;7)) EQ \s\do2(\f(44;13)) EQ \s\do2(\f(27;11)) EQ \s\do2(\f(39;8)) EQ \s\do2(\f(43;9)) EQ \s\do2(\f(54;5)) EQ \s\do2(\f(35;6)) EQ \s\do2(\f(42;7)) EQ \s\do2(\f(91;3)) EQ \s\do2(\f(17;7)) EQ \s\do2(\f(65;6))
Exercice 2
Écrire sous forme d'une fraction irréductible : (s'inspirer de l'exemple)
Exemple : 1 + EQ \s\do2(\f(2;3)) = EQ \s\do2(\f(2;3)) + EQ \s\do2(\f(3;3)) = EQ \s\do2(\f(5;3))
2 + EQ \s\do2(\f(7;5)) 3 + EQ \s\do2(\f(1;4)) 3 - EQ \s\do2(\f(1;4)) EQ \s\do2(\f(3;4)) + 5 7 - EQ \s\do2(\f(1;2)) 10 + EQ \s\do2(\f(1;3))
10 - EQ \s\do2(\f(1;3)) 4 + EQ \s\do2(\f(2;3)) EQ \s\do2(\f(7;4)) - 1 6 + EQ \s\do2(\f(7;3)) 12 - EQ \s\do2(\f(9;5)) 3 + EQ \s\do2(\f(4;7))
8.5. Valeur d'une fraction
Lorsque la fraction est décomposée en partie entière et partie fractionnaire , il est facile d'en donner la valeur :
. EQ \s\do2(\f(17;4)) = 4 + EQ \s\do2(\f(1;4)) = 4 + 0,25 = 4,25
La fraction a une valeur décimale (l'écriture est finie) .
Dans d'autre cas , on ne pourra donner qu'un arrondi ou un encadrement :
EQ \s\do2(\f(13;7)) = 1 + EQ \s\do2(\f(6;7)) , donc 1 < EQ \s\do2(\f(13;7)) < 2 (encadrement à l'unité)
EQ \s\do2(\f(23;6)) = 3 + EQ \s\do2(\f(5;6)) ( 3,83 (arrondi au centième)
Valeurs à connaître :
EQ \s\do2(\f(1;2)) = 0,5 ; EQ \s\do2(\f(1;3)) ( 0,33 ; EQ \s\do2(\f(1;4)) = 0,25 ; EQ \s\do2(\f(1;5)) = 0,2
On peut ensuite, en multipliant ces valeurs, connaître les valeurs de toutes les fractions dont le dénominateur est égal à 2, 3, 4 ou 5.
Les parties décimales (ce que l'on trouve après la virgule) peuvent être :
Nombre de 1234demis0,5tiers( 0,333( 0,667quarts0,250,50,75cinquièmes0,20,40,60,8
HYPERLINK \l "corexo85" Exercice
Donner pour chaque fraction, la valeur décimale lorsqu'elle existe, ou une valeur approchée lorsque la fraction n'est pas décimale. On commencera par décomposer les fractions en partie entière et partie décimale.
EQ \s\do2(\f(9;5)) EQ \s\do2(\f(17;2)) EQ \s\do2(\f(16;3)) EQ \s\do2(\f(13;4)) EQ \s\do2(\f(16;5)) EQ \s\do2(\f(11;2)) EQ \s\do2(\f(18;4)) EQ \s\do2(\f(13;5)) EQ \s\do2(\f(17;3)) EQ \s\do2(\f(11;4)) EQ \s\do2(\f(27;5)) EQ \s\do2(\f(16;2)) EQ \s\do2(\f(19;3)) EQ \s\do2(\f(21;4)) EQ \s\do2(\f(36;5)) EQ \s\do2(\f(35;2)) EQ \s\do2(\f(41;4)) EQ \s\do2(\f(51;5)) EQ \s\do2(\f(37;2)) EQ \s\do2(\f(16;3)) EQ \s\do2(\f(18;3)) EQ \s\do2(\f(61;2)) EQ \s\do2(\f(19;4)) EQ \s\do2(\f(37;5)) EQ \s\do2(\f(25;3)) EQ \s\do2(\f(23;4)) EQ \s\do2(\f(43;2)) EQ \s\do2(\f(28;5)) EQ \s\do2(\f(26;4)) EQ \s\do2(\f(11;3)) EQ \s\do2(\f(213;2)) EQ \s\do2(\f(46;3)) EQ \s\do2(\f(2;5))
Objectif :
M2 : HYPERLINK \l "corchap8M2" Placer des fractions sur un axe gradué.
Fractions inférieures à lunité
Pour placer une fraction comme EQ \s\do2(\f(3;7)) sur un axe gradué, il faut partager le segment limité par les deux valeurs (abscisses) 0 et 1 en 7 parties. Chaque morceau limité par deux graduations correspond à un septième.
La première graduation correspond donc à EQ \s\do2(\f(1;7)) , la deuxième graduation a pour abscisse EQ \s\do2(\f(2;7)), et la troisième graduation a pour abscisse EQ \s\do2(\f(3;7))
Dautres exemples :
Pour placer la fraction EQ \s\do2(\f(4;9)) : on partage le segment unité en neuf morceaux. On place la fraction à la quatrième graduation :
Pour placer la fraction EQ \s\do2(\f(5;8)) : on partage le segment unité en huit morceaux. On place la fraction à la cinquième graduation :
Fractions supérieurs à lunité
Pour placer une fraction supérieure à lunité, on commence par exprimer cette fraction comme la somme dune partie entière et dune partie fractionnaire.
Par exemple, si on veut placer la fraction EQ \s\do2(\f(13;6)) . On décompose : EQ \s\do2(\f(13;6)) = 2 + EQ \s\do2(\f(1;6)) .
Cette fraction va donc se placer entre les deux valeurs entières 2 et 3. On dit que 2 et 3 encadrent la fraction. Et cest le segment compris entre 2 et 3 que lon partage en 6. La fraction se trouvant à la première graduation.
Autre exemple, si on veut placer la fraction EQ \s\do2(\f(7;2)) . On décompose : EQ \s\do2(\f(7;2)) = 3 + EQ \s\do2(\f(1;2)).
Cette fraction va donc se placer entre les deux valeurs entières 3 et 4. Cest le segment compris entre 3 et 4 que lon partage en 2. La fraction se trouvant à la première graduation.
Placer des fractions de dénominateurs différents :
Il suffit de faire apparaître les différents partages sur le même axe :
Pour placer EQ \s\do2(\f(5;3)) et EQ \s\do2(\f(5;4)) sur le même axe,
On décompose chaque fraction : EQ \s\do2(\f(5;3)) = 1 + EQ \s\do2(\f(2;3)) et EQ \s\do2(\f(5;4)) = 1 + EQ \s\do2(\f(1;4)).
Il faut ensuite partager le segment compris entre les valeurs 1 et 2 en trois morceaux et en quatre morceaux.
Placer les fractions sur un axe permet de les classer, de le comparer.
Par exemple, sur les dessin ci-dessus, on peut lire que EQ \s\do2(\f(5;4)) < EQ \s\do2(\f(5;3))
Exercice :
Placer les fractions en commençant par placer les graduations 0 et 1.
EQ \s\do2(\f(3;10)) ; EQ \s\do2(\f(4;5)) et EQ \s\do2(\f(1;2))
EQ \s\do2(\f(4;9)) et EQ \s\do2(\f(2;3))
EQ \s\do2(\f(5;2)) et EQ \s\do2(\f(7;2))
EQ \s\do2(\f(5;6)) ; EQ \s\do2(\f(1;3)) et EQ \s\do2(\f(1;2))
8.6. Fractions égales
Fractions équivalentes ; quotients égaux
Rappel : On ne change pas la valeur d'un quotient si l'on multiplie (ou si l'on divise) le dividende et le diviseur par un même nombre.
Cette règle s'adapte de la manière suivante pour les écritures fractionnaires :
La même fraction peut s'exprimer de différentes manières. Par exemple :
Il y a 3 morceaux sur 12 Il y a 1 morceau sur 4.
EQ \s\do2(\f(3;12)) EQ \s\do2(\f(1;4))
Dans le deuxième cas, il y a trois fois moins de morceaux, mais ils sont trois fois plus grands.
Règle de transformation des fractions:
La valeur d'une fraction ne change pas lorsque l'on multiplie (ou l'on divise) le numérateur et le dénominateur par un même nombre
Exemples :
EMBED Equation
Une fraction que l'on ne peut pas ou plus simplifier est dite "irréductible".
Exemples :
EMBED Equation.2 sont des fractions irréductibles.
On obtiendra une fraction irréductible en divisant numérateur et dénominateur par leur PGDC. On dit alors que l'on a simplifié la fraction(sous entendu le plus possible).
Exemple :
Le PGDC à 18 et 27 est 9, donc en divisant 18 et 27 par 9, on obtient : EMBED Equation.2 qui est une fraction irréductible.
HYPERLINK \l "corexo86" Exercice 1
Compléter les égalités suivantes :
EMBED Equation.2
Exercice 2
Les fractions suivantes sont-elles égales?
EMBED Equation.2
Exercice 3
Donner l'écriture en fraction irréductible
a) des fractions suivantes :
EMBED Equation.2
b) des écritures fractionnaires suivantes :
EMBED Equation.2
c) des nombres décimaux suivants :
0,750,250,50,1250,0010,60,81,253,47,250,152,3257,518,29,250,00311,615,7519,80,67
8.7. Comparaison des fractions
Fractions unitaires
Dans une fraction unitaire (numérateur égal à 1), c'est le dénominateur qui détermine la "taille" de la fraction. Plus le dénominateur est grand, plus la fraction est petite.
Par exemple, ici, on a partagé la première surface en trois pour obtenir EQ \s\do2(\f(1;3)) et la deuxième en six pour obtenir EQ \s\do2(\f(1;6)). Il est visible que EQ \s\do2(\f(1;3)) > EQ \s\do2(\f(1;6))
Des fractions unitaires sont classées dans l'ordre contraire de leurs dénominateurs.
Comparaison par les parties entières ou les valeurs approchées
Connaître les parties entières de deux fractions, si elles sont différentes,. est suffisant pour comparer ces fractions.
Par exemple :
EQ \s\do2(\f(25;7)) = 3 + EQ \s\do2(\f(4;7)) et EQ \s\do2(\f(35;8)) = 4 + EQ \s\do2(\f(3;8)) 3 < EQ \s\do2(\f(25;7)) < 4 et 4 < EQ \s\do2(\f(35;8)) < 5 , donc EQ \s\do2(\f(25;7)) < EQ \s\do2(\f(35;8))
Si les parties entières sont égales, il faut trouver un autre mode de comparaison.
EQ \s\do2(\f(17;7)) = 2 + EQ \s\do2(\f(3;7)) et EQ \s\do2(\f(22;9)) = 2 + EQ \s\do2(\f(4;9)) . Les deux fractions ont la même partie entière
Mais : EQ \s\do2(\f(17;7)) ( 2,43 et EQ \s\do2(\f(22;9)) ( 2,44 . Donc EQ \s\do2(\f(17;7)) < EQ \s\do2(\f(22;9)).
Si elles ont le même numérateur
On compare alors des fractions qui correspondent au même nombre de morceaux, mais des morceaux de tailles différentes.
EQ \s\do2(\f(7;9)) < EQ \s\do2(\f(7;8)) car il y a 7 morceaux dans les deux cas, mais les neuvièmes sont plus petits que les huitièmes.
Si elles sont le même dénominateur
On compare alors des fractions qui correspondent à des nombres différents de morceaux, mais des morceaux de même taille.
EQ \s\do2(\f(11;4)) > EQ \s\do2(\f(7;4)) car il s'agit de quarts, mais il y en a 11 dans un cas, et 7 dans l'autre.
Deux fractions qui ont le même numérateur sont classées dans le sens contraire de leurs dénominateurs.
Deux fractions qui ont le même dénominateur sont classées comme leurs numérateurs.
HYPERLINK \l "corexo87" Exercice 1
Classer les fractions suivantes dans lordre croissant :
EQ \s\do2(\f(1;7)) EQ \s\do2(\f(1;5)) EQ \s\do2(\f(1;8)) EQ \s\do2(\f(1;11)) EQ \s\do2(\f(1;3)) EQ \s\do2(\f(1;4)) EQ \s\do2(\f(1;10)) EQ \s\do2(\f(1;25))
Exercice 2
Classer les fractions suivantes dans lordre croissant :
EQ \s\do2(\f(3;5)) EQ \s\do2(\f(3;8)) EQ \s\do2(\f(3;6)) EQ \s\do2(\f(3;16)) EQ \s\do2(\f(3;42)) EQ \s\do2(\f(3;2)) EQ \s\do2(\f(3;7)) EQ \s\do2(\f(3;10))
EQ \s\do2(\f(5;7)) EQ \s\do2(\f(12;7)) EQ \s\do2(\f(3;7)) EQ \s\do2(\f(7;7)) EQ \s\do2(\f(16;7)) EQ \s\do2(\f(4;7)) EQ \s\do2(\f(23;7))
Exercice 3
Comparer deux à deux ces fractions, en faisant apparaître la partie entière et la partie fractionnaire :
EQ \s\do2(\f(15;7)) et EQ \s\do2(\f(17;8)) EQ \s\do2(\f(11;3)) et EQ \s\do2(\f(17;5)) EQ \s\do2(\f(66;7)) et EQ \s\do2(\f(84;9)) EQ \s\do2(\f(59;5)) et EQ \s\do2(\f(103;9))
Exercice 4
Classer ces fractions par ordre croissant en les transformant en fractions ayant :
Le même dénominateur :
EQ \s\do2(\f(5;8)) , EQ \s\do2(\f(3;4)) et EQ \s\do2(\f(2;3)) EQ \s\do2(\f(11;5)) , EQ \s\do2(\f(9;4)) et EQ \s\do2(\f(24;10)) EQ \s\do2(\f(19;7)) , EQ \s\do2(\f(8;3)) et EQ \s\do2(\f(14;5))
Le même numérateur
EQ \s\do2(\f(16;25)) , EQ \s\do2(\f(8;13)) et EQ \s\do2(\f(32;48)) EQ \s\do2(\f(37;15)) , EQ \s\do2(\f(74;28)) et EQ \s\do2(\f(111;48))
Exercice 5
Montrer comment on peut utiliser les différentes méthodes de comparaison pour classer ces six fractions dans lordre croissant :
EQ \s\do2(\f(6;9)) EQ \s\do2(\f(13;17)) EQ \s\do2(\f(3;7)) EQ \s\do2(\f(6;11)) EQ \s\do2(\f(13;16)) EQ \s\do2(\f(13;18))
8.8. Fraction d'une grandeur
Prendre une fraction d'une quantité entière, c'est faire deux opérations successives : une division et une multiplication.
Prendre les trois quarts de 100, c'est prendre trois fois le quart de 100.
Il faudra donc d'abord diviser 100 par 4, pour obtenir un quart de 100. Puis multiplier ce quart par 3, pour obtenir trois quarts de 100.
On écrit donc : EMBED Equation.2
On peut également considérer que le produit d'une fraction par un entier est une écriture réduite d'une somme, et appliquer la règle d'addition :
EMBED Equation.2
Trois manières de mener ces calculs :
Soit à calculer EMBED Equation.2
1ère manière :
EMBED Equation.2
2ème manière :
EMBED Equation.2
Cette manière est intéressante lorsque la division donne un quotient entier.
3ème manière :
EMBED Equation.2
Cette troisième manière n'est possible que lorsque la fraction est décimale et peut être remplacée par un nombre décimal.
De ces trois manières la meilleure est celle qui demande le moins de calcul. dans cet exemple, les trois sont aussi simples.
Mais voyons d'autres exemples :
EMBED Equation.2 . Ici, c'est la deuxième manière la meilleure.
EMBED Equation.2 . La première manière peut être la meilleure.
HYPERLINK \l "corexo88" Exercice 1
Pour effectuer le calcul : EMBED Equation , il y a trois procédures possibles :
SYMBOL 183 \f "Symbol" \s 9 \h EMBED Equation EMBED Equation
SYMBOL 183 \f "Symbol" \s 9 \h EMBED Equation EMBED Equation
SYMBOL 183 \f "Symbol" \s 9 \h EMBED Equation EMBED Equation
La deuxième méthode est parfois la plus rapide .
En utilisant la meilleure méthode , calculer :
EMBED Equation
Exercice 2
Convertir en minutes :
EMBED Equation.2
8.9. Additions de fractions décimales
une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur peut être une puissance de 10. Et donc, une fraction décimale est une présentation particulière d'un nombre décimal.
Pour mettre au point des règles concernant les opérations avec des nombres écrits sous forme de fractions décimales, nous pouvons mener les calcul en remplaçant les fractions par leur écriture décimale, et convertir le résultat en écriture décimale.
Exemples:
Pour calculer la somme : EMBED Equation.2 , nous pouvons remplacer chacune des fractions par son écriture décimale, ce qui donne : EMBED Equation.2
On peut voir le problème en pensant au sens de ces écritures :
On ajoute des dixièmes (ce qui est indiqué par le dénominateur). Les quantités à compter ensemble sont indiquées par le numérateur: il y en a trois, d'une part et quatre, d'autre part. Ce qui fait un total de sept.
C'est exactement pareil que lorsque l'on rassemble des objets : trois livres et quatre livres font un total de sept livres.
De la même manière :
EMBED Equation.2
La règle d'addition apparaît donc très simple dans ce cas de fractions qui ont le même dénominateur :
la somme de deux fractions qui ont le même dénominateur est un fraction de même dénominateur qui a pour numérateur la somme des numérateurs.
Ce que l'on traduit ainsi par une règle littérale:
EMBED Equation.2
Le fait d'utiliser, dans cette règle, la même lettre b pour tous les dénominateurs, est là pour montrer que les fractions ont le même dénominateur.
HYPERLINK \l "corexo89" Exercice 1
Effectuer les calculs suivants de deux manières :
En écritures fractionnaires
En écritures décimales
EMBED Equation.2
Exercice 2
Effectuer les calculs suivants de deux manières :
En écritures décimales
En écritures fractionnaires
42,9 + 85,3 =
5,32 + 17,69 =
2,017 + 9,781 =
53,25 - 8,76 =
365,895 - 69,908 =
M3 : HYPERLINK \l "corchap8M3" Prévoir qu'une fraction sera décimale
Il s'agit de mettre au point une méthode qui permet de prévoir si un quotient (présenté sous forme de fraction) est décimal.
Nous allons dabord nous intéresser à des fractions qui sont des nombres décimaux. La méthode utilisée pour faire apparaître lécriture décimale nous servira ensuite pour prévoir les autres cas.
Par exemple pour la fraction EQ \s\do2(\f(99;36)):
Simplification de la fraction : EQ \s\do2(\f(99;36)) = EQ \s\do2(\f( ;)). La fraction obtenue est
Rappelons la règle de transformation des fractions :
Transformation de la fraction simplifiée obtenue :
en fraction décimale, puis en écriture décimale :
EQ \s\do2(\f(....;....)) = EQ \s\do2(\f(
(
;
(
)) = EQ \s\do2(\f( ; )) =
De la même manière, suivre les différentes étapes de transformation pour donner lécriture décimale de ces fractions :
Fraction
initialeSimplificationTransformationFraction décimaleÉcriture décimale EQ \s\do2(\f(21;12)) EQ \s\do2(\f(63;14)) EQ \s\do2(\f(99;45)) EQ \s\do2(\f(18;120)) EQ \s\do2(\f(99;88)) EQ \s\do2(\f(65;80)) EQ \s\do2(\f(104;325))
Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10.
Donner la décomposition en produit de facteurs premiers des première puissances de 10 :
10 = 2 ( 5
100 =
1 000 =
10 000 =
10n =
Dans une fraction décimale, la décomposition en produit de facteurs premiers du dénominateur ne peut donc comporter que
Il faut donc qu'au dénominateur de la fraction initiale (après simplification) on ait un nombre dont la décomposition soit un produit de facteurs égaux à 2 ou à 5.
Par exemples : 2 ou 4(car 4 =
) ou 5 ou 8 (car 8 =
).
Rechercher tous les nombre obtenus comme produit de facteurs tous égaux à 2 ou à 5.(on se limitera aux nombres inférieurs à 50.) Compléter ce tableau :
Nombre de facteurs égaux à 2Nombre de facteurs égaux à 5Produit obtenuCest le nombre1022202 ( 240155302 ( 2 ( 28etc
Conclusion :
Si une fraction irréductible a pour dénominateur un nombre dont la décomposition ne contient que des 2 et des 5, alors cette fraction est une fraction qui a une écriture décimale.
Application :
EQ \s\do2(\f(45;96)) = EQ \s\do2(\f(15;32)) (irréductible) = EQ \s\do2(\f(3 ( 5;2 ( 2 ( 2 ( 2 ( 2)) . Le dénominateur nest composé que de facteurs égaux à 2, donc cest une fraction qui a une écriture décimale.
EQ \s\do2(\f(76;132)) = EQ \s\do2(\f(19;33)) = EQ \s\do2(\f(19;3 ( 11)) . le dénominateur contient autre chose que des 2 ou des 5. Donc cette fraction naura pas décriture décimale.
Déterminer, parmi les fractions suivantes, celles qui ont une écriture décimale :
EMBED Equation.2
Corrigé des exercices Chapitre 8 Écritures fractionnaires
HYPERLINK \l "exo81" 8.1 Quest-ce quune fraction ?
Exercice 1
EQ \s\do2(\f(11;9)) désigne des neuvièmes; il y en a neuf. EQ \s\do2(\f(7;4)) désigne des quarts. Il y en a sept.
EQ \s\do2(\f(6;11)) désigne des onzièmes; il y en a six. EQ \s\do2(\f(23;5)) des cinquièmes; il y en a vingt trois.
EQ \s\do2(\f(7;3)) désigne des tiers; il y en a sept. EQ \s\do2(\f(33;10)) désigne des dixièmes; il y en a trente trois.
Exercice 2
Sept huitièmes : EQ \s\do2(\f(7;8)) Dix-neuf vingt-cinquièmes : EQ \s\do2(\f(19;25)) Quarante-trois centièmes : EQ \s\do2(\f(43;100))
Quarante trois-centièmes : EQ \s\do2(\f(40;300)) Onze trente et unièmes EQ \s\do2(\f(11;31))
Cent treize vingt huitièmes. EQ \s\do2(\f(113;28))
Exercice 3
Dans chaque cas, exprimer par une fraction de la figure totale, la partie colorée.
EQ \s\do2(\f(5;12)) EQ \s\do2(\f(5;14)) EQ \s\do2(\f(1;6))
EQ \s\do2(\f(7;12)) EQ \s\do2(\f(1;4)) EQ \s\do2(\f(3;4))
EQ \s\do2(\f(1;2)) EQ \s\do2(\f(4;7)) EQ \s\do2(\f(1;2))(((((
HYPERLINK \l "exo82" 8.2 Fraction dune fraction
Exercice 1
EQ \s\do2(\f(1;5)) ( EQ \s\do2(\f(1;2)) = EQ \s\do2(\f(1;10)) EQ \s\do2(\f(1;3)) ( EQ \s\do2(\f(1;6)) = EQ \s\do2(\f(1;18)) EQ \s\do2(\f(1;4)) ( EQ \s\do2(\f(1;2)) = EQ \s\do2(\f(1;8)) EQ \s\do2(\f(1;5)) ( EQ \s\do2(\f(1;8)) = EQ \s\do2(\f(1;40))
EQ \s\do2(\f(1;2)) ( EQ \s\do2(\f(1;10)) = EQ \s\do2(\f(1;20)) EQ \s\do2(\f(1;7)) ( EQ \s\do2(\f(1;9)) = EQ \s\do2(\f(1;63)) EQ \s\do2(\f(1;100)) ( EQ \s\do2(\f(1;6)) = EQ \s\do2(\f(1;600)) EQ \s\do2(\f(1;20)) ( EQ \s\do2(\f(1;7)) = EQ \s\do2(\f(1;140))
EQ \s\do2(\f(1;12)) ( EQ \s\do2(\f(1;5)) = EQ \s\do2(\f(1;60)) EQ \s\do2(\f(1;9)) ( EQ \s\do2(\f(1;11)) = EQ \s\do2(\f(1;99))
Exercice 2
Calculer :
EQ \s\do2(\f(1;5)) ( EQ \s\do2(\f(5;9)) = EQ \s\do2(\f(1;9)) EQ \s\do2(\f(1;2)) ( EQ \s\do2(\f(8;7)) = EQ \s\do2(\f(4;7)) EQ \s\do2(\f(1;3)) ( EQ \s\do2(\f(9;5)) = EQ \s\do2(\f(3;5)) EQ \s\do2(\f(1;4)) ( EQ \s\do2(\f(16;3)) = EQ \s\do2(\f(4;3))
EQ \s\do2(\f(1;10)) ( EQ \s\do2(\f(50;13)) = EQ \s\do2(\f(5;13)) EQ \s\do2(\f(1;3)) ( EQ \s\do2(\f(14;8)) = EQ \s\do2(\f(14;24)) EQ \s\do2(\f(1;2)) ( EQ \s\do2(\f(5;9)) = EQ \s\do2(\f(5;18)) EQ \s\do2(\f(1;7)) ( EQ \s\do2(\f(6;11)) = EQ \s\do2(\f(6;77))
EQ \s\do2(\f(1;8)) ( EQ \s\do2(\f(40;7)) = EQ \s\do2(\f(5;7)) EQ \s\do2(\f(1;4)) ( EQ \s\do2(\f(11;3)) = EQ \s\do2(\f(11;12))
(((((
HYPERLINK \l "exo83" 8.3 Fraction décimale
Exercice 1
EMBED Equation.2
Exercice 2
EMBED Equation.2
Exercice 3
EMBED Equation.2
Exercice 4
EMBED Equation.2
Exercice 5
EMBED Equation.2
(((((
HYPERLINK \l "chap8M1" M1 Représenter une fraction
Exercice 1
Représenter en couleur :
1°) les EQ \s\do2(\f(3;5)) de ce segment
EMBED Draw.Document.5
2°) les EQ \s\do2(\f(5;12)) de ce rectangle
EMBED Draw.Document.5
3°) les EQ \s\do2(\f(3;7)) de ce segment
EMBED Word.Picture.8
4°) les EQ \s\do2(\f(3;4)) de ce rectangleEMBED Draw.Document.5
5°) les EQ \s\do2(\f(5;8)) de ce segment
EMBED Draw.Document.5
6°) les EQ \s\do2(\f(4;15)) de ce rectangle EMBED Draw.Document.5
7°) les EQ \s\do2(\f(3;4)) de ce disque EMBED Draw.Document.5
8°) les EQ \s\do2(\f(5;3)) de ce segment
EMBED Draw.Document.5
9°) les EQ \s\do2(\f(11;6)) de ce rectangle EMBED Draw.Document.5(((((
HYPERLINK \l "exo84" 8.4 Parties entière et fractionnaire
Exercice 1
Décomposer les fractions suivantes en partie entière et partie décimale :
Poser la divisionDivision en ligneDécomposer la fractionPoser la divisionDivision en ligneDécomposer la fraction EQ \s\do2(\f(11;2))11211 = 2 ( 5 + 1 EQ \s\do2(\f(11;2)) = 5 + EQ \s\do2(\f(1;2)) EQ \s\do2(\f(16;3))1631515 EQ \s\do2(\f(14;4))14414 = 3 ( 4 + 2 EQ \s\do2(\f(14;4)) = 3 + EQ \s\do2(\f(2;4)) EQ \s\do2(\f(17;5))1752323 EQ \s\do2(\f(11;6))11611 = 1 ( 6 + 5 EQ \s\do2(\f(11;6)) = 1 + EQ \s\do2(\f(5;6)) EQ \s\do2(\f(24;7))2475133 EQ \s\do2(\f(44;13))4413 EQ \s\do2(\f(27;11))27115352 EQ \s\do2(\f(39;8))398 EQ \s\do2(\f(43;9))4397474 EQ \s\do2(\f(54;5))545 EQ \s\do2(\f(35;6))35641055 EQ \s\do2(\f(42;7))427 EQ \s\do2(\f(91;3))91306130 EQ \s\do2(\f(17;7))177 EQ \s\do2(\f(65;6))65632510
Exercice 2
2 + EQ \s\do2(\f(7;5)) = EQ \s\do2(\f(17;5)) 3 + EQ \s\do2(\f(1;4)) = EQ \s\do2(\f(13;4)) 3 - EQ \s\do2(\f(1;4)) = EQ \s\do2(\f(11;4)) EQ \s\do2(\f(3;4)) + 5 = EQ \s\do2(\f(23;4)) 7 - EQ \s\do2(\f(1;2)) = EQ \s\do2(\f(13;2)) 10 + EQ \s\do2(\f(1;3)) = EQ \s\do2(\f(31;3))
10 - EQ \s\do2(\f(1;3)) = EQ \s\do2(\f(29;3)) 4 + EQ \s\do2(\f(2;3)) = EQ \s\do2(\f(14;3)) EQ \s\do2(\f(7;4)) - 1= EQ \s\do2(\f(3;4)) 6 + EQ \s\do2(\f(7;3)) = EQ \s\do2(\f(11;3)) 12 - EQ \s\do2(\f(9;5)) = EQ \s\do2(\f(1;5)) 3 + EQ \s\do2(\f(4;7)) = EQ \s\do2(\f(25;7))
(((((
HYPERLINK \l "exo85" 8.5 Valeur dune fraction
Exercice
EMBED Equation.2
(((((
HYPERLINK \l "chap8M2" M2 Placer des fractions sur un axe gradué
Exercice :
(((((
HYPERLINK \l "exo86" 8.6 Fractions égales
Exercice 1
EMBED Equation.2
Exercice 2
EMBED Equation.2
Exercice 3
a) fractions :
EMBED Equation.2
b) écritures fractionnaires :
EMBED Equation.2
c) nombres décimaux:
EMBED Equation.2
(((((
HYPERLINK \l "exo87" 8.7 Comparaison de fractions
Exercice 1
EQ \s\do2(\f(1;25)) < EQ \s\do2(\f(1;11)) < EQ \s\do2(\f(1;10)) < EQ \s\do2(\f(1;8)) < EQ \s\do2(\f(1;7)) < EQ \s\do2(\f(1;5)) < EQ \s\do2(\f(1;4)) < EQ \s\do2(\f(1;3))
Exercice 2
EQ \s\do2(\f(3;42)) < EQ \s\do2(\f(3;16)) < EQ \s\do2(\f(3;10)) < EQ \s\do2(\f(3;8)) < EQ \s\do2(\f(3;7)) < EQ \s\do2(\f(3;6)) < EQ \s\do2(\f(3;5)) < EQ \s\do2(\f(3;2))
EQ \s\do2(\f(3;7)) < EQ \s\do2(\f(4;7)) < EQ \s\do2(\f(5;7)) < EQ \s\do2(\f(7;7)) < EQ \s\do2(\f(12;7)) < EQ \s\do2(\f(16;7)) < EQ \s\do2(\f(23;7))
Exercice 3
Comparer deux à deux ces fractions, en faisant apparaître la partie entière et la partie fractionnaire :
EQ \s\do2(\f(15;7)) = 2 + EQ \s\do2(\f(1;5)) et EQ \s\do2(\f(17;8)) = 2 + EQ \s\do2(\f(1;7)) . EQ \s\do2(\f(1;5)) > EQ \s\do2(\f(1;7)) , donc EQ \s\do2(\f(15;7)) > EQ \s\do2(\f(17;8))
EQ \s\do2(\f(11;3)) = 3 + EQ \s\do2(\f(2;3)) et EQ \s\do2(\f(17;5)) = 3 + EQ \s\do2(\f(2;5)) . EQ \s\do2(\f(2;3 )) > EQ \s\do2(\f(2;5)) , donc EQ \s\do2(\f(11;3)) > EQ \s\do2(\f(17;5))
EQ \s\do2(\f(66;7)) = 9 + EQ \s\do2(\f(3;7)) et EQ \s\do2(\f(84;9)) = 9 + EQ \s\do2(\f(3;9)) . EQ \s\do2(\f(3;7)) > EQ \s\do2(\f(3;9)) , donc EQ \s\do2(\f(66;7)) > EQ \s\do2(\f(84;9))
EQ \s\do2(\f(59;5)) = 11 + EQ \s\do2(\f(4;5)) et EQ \s\do2(\f(103;9)) = 11 + EQ \s\do2(\f(4;9)) . EQ \s\do2(\f(4;5)) > EQ \s\do2(\f(4;9)) , donc EQ \s\do2(\f(59;5)) > EQ \s\do2(\f(103;9))
Exercice 4
Le même dénominateur :
EQ \s\do2(\f(5;8)) = EQ \s\do2(\f(15;24)) , EQ \s\do2(\f(3;4)) = EQ \s\do2(\f(18;24)) et EQ \s\do2(\f(2;3)) = EQ \s\do2(\f(16;24)) , donc EQ \s\do2(\f(5;8)) < EQ \s\do2(\f(2;3)) < EQ \s\do2(\f(3;4))
EQ \s\do2(\f(11;5)) = EQ \s\do2(\f(44;20)) , EQ \s\do2(\f(9;4)) = EQ \s\do2(\f(45;20)) et EQ \s\do2(\f(24;10)) = EQ \s\do2(\f(48;20)) , donc EQ \s\do2(\f(11;5)) < EQ \s\do2(\f(9;4)) < EQ \s\do2(\f(24;10))
EQ \s\do2(\f(19;7)) = EQ \s\do2(\f(285;105)) , EQ \s\do2(\f(8;3)) = EQ \s\do2(\f(280;105)) et EQ \s\do2(\f(14;5)) = EQ \s\do2(\f(294;105)) , donc EQ \s\do2(\f(8;3)) < EQ \s\do2(\f(19;7)) < EQ \s\do2(\f(14;5))
Le même numérateur
EQ \s\do2(\f(16;25)) = EQ \s\do2(\f(32;50)) , EQ \s\do2(\f(8;13)) = EQ \s\do2(\f(32;52)) et EQ \s\do2(\f(32;48)) , donc : EQ \s\do2(\f(8;13)) < EQ \s\do2(\f(16;25)) < EQ \s\do2(\f(32;48))
EQ \s\do2(\f(37;15)) , EQ \s\do2(\f(74;28)) = EQ \s\do2(\f(37;14)) et EQ \s\do2(\f(111;48)) = EQ \s\do2(\f(37;16)) , donc : EQ \s\do2(\f(111;48)) < EQ \s\do2(\f(37;15)) < EQ \s\do2(\f(74;28))
Exercice 5
EQ \s\do2(\f(13;18)) < EQ \s\do2(\f(13;17)) < EQ \s\do2(\f(13;16)) car elles ont le même numérateur.
EQ \s\do2(\f(6;9)) = EQ \s\do2(\f(12;18)) , donc EQ \s\do2(\f(6;9)) < EQ \s\do2(\f(13;18))
EQ \s\do2(\f(3;7)) = EQ \s\do2(\f(6;14)) et EQ \s\do2(\f(6;14)) < EQ \s\do2(\f(6;11)) < EQ \s\do2(\f(6;9)) car elles ont le même numérateur.
Conclusion : EQ \s\do2(\f(3;7)) < EQ \s\do2(\f(6;11)) < EQ \s\do2(\f(6;9)) < EQ \s\do2(\f(13;18)) < EQ \s\do2(\f(13;17)) < EQ \s\do2(\f(13;16))
(((((
HYPERLINK \l "exo88" 8.8 Fraction dune grandeur
Exercice 1
EMBED Equation
Exercice 2
EQ \s\do2(\f(9;4)) h = EQ \s\do2(\f(9;4)) ( 60 = 9 ( EQ \s\do2(\f(60;4)) = 9 ( 15 = 135 min. EQ \s\do2(\f(13;4)) h = 13 ( 15 = 195 min.
EQ \s\do2(\f(1;5)) h = EQ \s\do2(\f(60;5)) = 12 min. . EQ \s\do2(\f(3;4)) h = 45 min. EQ \s\do2(\f(1;30)) h = EQ \s\do2(\f(60;30)) = 2 min.
EQ \s\do2(\f(1;12)) h = EQ \s\do2(\f(60;12)) = 5 min.
(((((
HYPERLINK \l "exo89" 8.9 Addition de fraction décimales
Exercice 1
EMBED Equation.2
Exercice 2
42,9 + 85,3 = 128,2 ou : EMBED Equation.2
5,32 + 17,69 = 23,01 ou : EMBED Equation.2
2,017 + 9,781 = 11,798 ou : EMBED Equation.2
53,25 - 8,76 = 44,49 ou : EMBED Equation.2
365,895 - 69,908 = 295,987 ou : EMBED Equation.2
(((((
HYPERLINK \l "chap8M3"M3 Prévoir quune fraction est décimale
Simplification de la fraction : EQ \s\do2(\f(99;36)) = EQ \s\do2(\f(11;4)). La fraction obtenue est irréductible
Rappelons la règle de transformation des fractions :
On peut multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre.
Transformation de la fraction simplifiée obtenue : EQ \s\do2(\f(11;4)) en fraction décimale, puis en écriture décimale :
EQ \s\do2(\f(11;4)) = EQ \s\do2(\f(11 ( 25;4 ( 25)) = EQ \s\do2(\f(275;100)) = 2,75
De la même manière,
Fraction
initialeSimplificationTransformationFraction décimaleÉcriture décimale EQ \s\do2(\f(21;12)) EQ \s\do2(\f(7;4)) EQ \s\do2(\f(7 ( 25;4 ( 25)) EQ \s\do2(\f(175;100))1,75 EQ \s\do2(\f(63;14)) EQ \s\do2(\f(9;2)) EQ \s\do2(\f(9 ( 5;2 ( 5)) EQ \s\do2(\f(45;10))4,5 EQ \s\do2(\f(99;45)) EQ \s\do2(\f(11;5)) EQ \s\do2(\f(11 ( 2;5 ( 2)) EQ \s\do2(\f(22;10))2,2 EQ \s\do2(\f(18;120)) EQ \s\do2(\f(3;20)) EQ \s\do2(\f(3 ( 5;20 ( 5)) EQ \s\do2(\f(15;100))0,15 EQ \s\do2(\f(99;88)) EQ \s\do2(\f(9;8)) EQ \s\do2(\f(9 ( 125;8 ( 125)) EQ \s\do2(\f(1 125;1 000))1,125 EQ \s\do2(\f(65;80)) EQ \s\do2(\f(13;16)) EQ \s\do2(\f(13 ( 625;16 ( 625)) EQ \s\do2(\f(8 125;10 000))0,8125 EQ \s\do2(\f(104;325)) EQ \s\do2(\f(8;25)) EQ \s\do2(\f(8 ( 4;25 ( 4)) EQ \s\do2(\f(32;100))0,32
10 = 2 ( 5
100 = 2 ( 2 ( 5 ( 5 = 2² ( 5²
1 000 = 2 ( 2 ( 2 ( 5 ( 5 ( 5 = 23 ( 53
10 000 = 2 ( 2 ( 2 ( 2 ( 5 ( 5 ( 5 ( 5 = 24 ( 54
10n = 2 n ( 5 n
Dans une fraction décimale, la décomposition en produit de facteurs premiers du dénominateur ne peut donc comporter que 2 ou des 5
Il faut donc qu'au dénominateur de la fraction initiale (après simplification) on ait un nombre dont la décomposition soit un produit de facteurs égaux à 2 ou à 5.
Par exemples : 2 ou 4(car 4 =
) ou 5 ou 8 (car 8 =
).
Rechercher tous les nombre obtenus comme produit de facteurs tous égaux à 2 ou à 5.(on se limitera aux nombres inférieurs à 50.) Compléter ce tableau :
Nombre de facteurs égaux à 2Nombre de facteurs égaux à 5Produit obtenuCest le nombre1022202 ( 240155302 ( 2 ( 281110401621200225503231401250
Application :
EQ \s\do2(\f(49;28)) = EQ \s\do2(\f(7;4)) = EQ \s\do2(\f(7;2 ( 2)) est décimale.
EQ \s\do2(\f(39;75)) = EQ \s\do2(\f(13;25)) = EQ \s\do2(\f(13;5 ( 5)) est décimale
EQ \s\do2(\f(172;68)) = EQ \s\do2(\f(43;17)) nest pas décimale
EQ \s\do2(\f(36;91)) = EQ \s\do2(\f(9 ( 4;13 ( 7)) nest pas décimale
EQ \s\do2(\f(115;46)) = EQ \s\do2(\f(5;2)) est décimale.
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Corrigés des exercices
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EQ \s\do2(\f(1;4))
x EQ \s\do2(\f(1;3))
EQ \s\do2(\f(1;12))
EQ \s\do2(\f(3;7))
EQ \s\do2(\f(1;7))
EQ \s\do2(\f(2;7))
EQ \s\do2(\f(4;7))
EQ \s\do2(\f(5;7))
EQ \s\do2(\f(6;7))
0
1
EQ \s\do2(\f(1;9))
EQ \s\do2(\f(4;9))
0
1
EQ \s\do2(\f(1;8))
EQ \s\do2(\f(5;8))
0
1
EQ \s\do2(\f(13;6))
0
1
2
3
EQ \s\do2(\f(7;2))
0
1
2
3
4
5
EQ \s\do2(\f(5;4))
EQ \s\do2(\f(5;3))
0
1
2
Pour trouver laire sombre, on compte ce qui nest pas sombre et on le retire à 16. Il reste 7,5 sur 16 ; soit EQ \s\do2(\f(15;32))
EQ \s\do2(\f(6;16))
EQ \s\do2(\f(9;16))
Cest la même quau dessus
EQ \s\do2(\f(1;2))
EQ \s\do2(\f(1;2))
2
1
3
2
1,5
2
1,5
1,5
1
2
3
On compte ce qui nest pas gris : 8. Il reste donc 8 sur 16, soit : EQ \s\do2(\f(1;2))
On compte ce qui nest pas gris : 5. Il reste donc 11 sur 16, soit : EQ \s\do2(\f(11;16))
On compte ce qui nest pas gris : 7,5. Il reste donc 8,5 sur 16, soit : EQ \s\do2(\f(17;32))
0
1
EQ \s\do2(\f(3;10))
EQ \s\do2(\f(4;5))
EQ \s\do2(\f(1;2))
EQ \s\do2(\f(4;9))
0
1
EQ \s\do2(\f(2;3))
0
1
2
3
EQ \s\do2(\f(7;2))
EQ \s\do2(\f(5;2))
0
1
EQ \s\do2(\f(1;2))
EQ \s\do2(\f(1;3))
EQ \s\do2(\f(5;6))
