echantillonnage - Maths-et-tiques
En réalisant l'expérience un certain nombre de fois (échantillon), on mesure la
fréquence d'apparition du 4. Si la fréquence et la valeur théorique sont trop ...
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ECHANTILLONNAGE
Le principe :
On considère par exemple l'expérience suivante consistant à lancer plusieurs fois un dé et à noter si la face supérieure affichée est un 4 ou un autre nombre.
La valeur supposée et théorique de la probabilité d'obtenir un 4 est EMBED Equation.DSMT4 .
La mise en défaut ou non de cette expérience, nous permettra d'affirmer s'il est raisonnable de penser que le dé est pipé ou ne l'est pas.
En réalisant l'expérience un certain nombre de fois (échantillon), on mesure la fréquence d'apparition du 4. Si la fréquence et la valeur théorique sont trop "éloignées" (dépassent un seuil fixé) alors on peut rejeter la valeur théorique et considérer que le dé est pipé. Dans le cas inverse, on considère qu'il ne l'est pas.
Notion déchantillon
Exemple :
Si, sur lensemble des cartes à puce produites par une entreprise en une semaine, on en prélève 200, on dit que cet ensemble de 200 cartes à puce constitue un échantillon de taille 200 de la population de toutes les cartes à puce produites en une semaine.
Définition :
Un échantillon de taille n est constitué des résultats de n répétitions indépendantes de la même expérience sur lensemble des personnes ou objets sur lesquels porte létude statistique (la population).
Un échantillon issu dune population est donc lensemble de quelques éléments de cette population.
Intervalle de fluctuation
On suppose que 22% des cartes à puce produites par lentreprise sont défectueuses.
La proportion théorique p est donc égale à 22%.
On prélève un échantillon de taille 200 parmi cette production et on compte le nombre de cartes à puce défectueuses parmi cet échantillon. Ce nombre est égal à 41.
Dans ce cas, la fréquence observée f est égale à EMBED Equation.DSMT4 .
Pour un échantillon de taille 200, lintervalle de ûuctuation de la fréquence p des cartes à puce défectueuses au seuil de 95 %, est un intervalle de centre 0,22 tel que les fréquences observées se trouvent dans cet intervalle pour 95 % des échantillons de taille 200.
Définition :
L intervalle de fluctuation au seuil de 95% dune fréquence dun échantillon de taille n est lintervalle centré autour de la proportion théorique p tel que la fréquence observée f se trouve dans lintervalle avec une probabilité égale à 0,95.
Propriété :
Pour 0,2 < p < 0,8 et n > 25, lintervalle de fluctuation au seuil de 95% de f est lintervalle EMBED Equation.3 .
Cela signifie quon a une probabilité de 0,95 pour que la fréquence observée se trouve dans lintervalle EMBED Equation.3 .
Remarque :
Lamplitude de cet intervalle est égale à EMBED Equation.3 .
Dans lexemple précédent, lintervalle de fluctuation au seuil de 95% de p = 0,22 est EMBED Equation.3 soit de façon approchée [0,15 ; 0,29].
Méthode : Prendre une décision à partir dun échantillon
Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/BllBtFIVUAY" https://youtu.be/BllBtFIVUAY
Deux entreprises A et B recrutent dans un bassin d'emploi où il y a autant de femmes que d'hommes, avec la contrainte du respect de la parité.
Dans l'entreprise A, il y a 100 employés dont 43 femmes (soit 43 %).
Dans l'entreprise B, il y a 2500 employés dont 1150 femmes (soit 46 %).
Or, 46 % est plus proche de 50 % que 43 % : les chiffres parlent d'eux-mêmes !
Si on admet que la parité, c'est exactement 50 % de femmes, il est vrai que B est plus proche que A.
Peut-on alors affirmer que l'entreprise B respecte mieux la parité que l'entreprise A ?
(Daprès document ressource « Prob-stat » - Juin 2009)
La proportion théorique p est égale à 0,5 (50% de femmes).
Pour lentreprise A :
La taille de léchantillon n est égale à 100.
La fréquence observée f est égale à 0,43.
Pour lentreprise B :
La taille de léchantillon n est égale à 2500.
La fréquence observée f est égale à 0,46.
Pour chaque entreprise, peut-on affirmer que la fréquence de femmes respecte la parité ?
Pour y répondre, on va vérifier dans chaque cas si la fréquence observée f se situe dans lintervalle de fluctuation au seuil de 95%.
Pour lentreprise A :
Lintervalle de fluctuation au seuil de 95% de p = 0,5 est :
EMBED Equation.3 donc EMBED Equation.DSMT4
Pour lentreprise B :
Lintervalle de fluctuation au seuil de 95% de p = 0,5 est :
EMBED Equation.3 donc EMBED Equation.DSMT4 .
La valeur 43% est donc dans lintervalle de fluctuation de lentreprise A alors que la valeur 46% nest pas dans lintervalle de fluctuation de lentreprise B.
La proportion de 46% sobserve donc dans moins de 5% des échantillons de taille 2500.
On peut alors rejeter lhypothèse que lentreprise B respecte la parité.
Par contre, pour lentreprise A, on peut accepter cette hypothèse.
Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir
Ex 1 à 6, 8, 9 (page 6)
p282 n°30
p283 n°34
p284 n°45Ex 7 (page 6)
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p285 n°21
p292 n°57
p285 n°22, 23
p292 n°54Ex 7 (page 6)
ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
Intervalle de confiance
Exemple :
Un jeu consiste à tirer 100 billes dun sac contenant 300 billes noires et 300 billes blanches.
Lexpérience peut être simulée avec un tableur afin deffectuer rapidement un grand nombre de tirage.
Pour cet échantillon de taille 100, on compte le nombre de billes noires et on calcule la fréquence observée f.
On pourrait ainsi vériûer que, dans 95 % des cas, la fréquence des billes noires dans l échantillon appartient à l intervalle :
EMBED Equation.3 soit : [0,4 ; 0,6] où p = 0,5 et n = 100.
NUAGE DE POINTS DES FREQUENCES OBSERVEES
DES BILLES NOIRES POUR 50 TIRAGES EFFECTUES
Définition :
Soit p la proportion théorique tel que 0,2 *OJQJ^J hÜ-hàU5>*OJQJ^JhàU5>*OJQJ^JhàUOJQJ^JhùhàUOJQJ^Jhùh³uë>*OJQJ^J(h?ÕhàU>*B*CJ OJQJ^Jphÿ h?Õ>*B*OJQJ^Jpháâãäåæÿ
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