Corrigé DM5
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Corrigé DM5
Exercice 1 :
Dans cet exercice, on peut au choix utiliser le théorème sur les fractions rationnelles ou factoriser par le terme de plus haut degré.
Exemple : EMBED Equation.3
Par le théorème sur les fractions rationnelles :
EMBED Equation.3
De même :
EMBED Equation.3
Par factorisation :
Factorisation de f :
Pour tout EMBED Equation.3
Etude de la limite en + EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3
Par règles dopérations, on en déduit alors :
EMBED Equation.3 et donc EMBED Equation.3
Etude de la limite en EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3
Par règles dopérations, on en déduit alors :
EMBED Equation.3 et donc EMBED Equation.3
En procédant de même pour les autres fonctions, on obtient
2) EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
3) EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
4) EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
5) EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
6) EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
Exercice 2 :
Pour tout EMBED Equation.3
De même,
Pour tout EMBED Equation.3
Par conséquent,
pour tout EMBED Equation.3
Par identification des coefficients du trinôme, on obtient :
EMBED Equation.3 soit EMBED Equation.3
Finalement,
Pour tout EMBED Equation.3
Nous retiendrons cette forme pour la suite de lexercice
2) Asymptotes
Recherche dasymptotes verticales
La seule asymptote verticale possible est en x= -2 (seule valeur hors du domaine de définition)
Or,
EMBED Equation.3 Par règles dopérations EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 Par règles dopérations EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
La droite déquation x =- 2 est donc bien asymptote verticale à la courbe représentative de f.
Recherche dasymptotes horizontales ou obliques :
Etude en EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 Par règles dopérations, on en déduit EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
La droite déquation y =2/3 est donc asymptote horizontale à la courbe représentative de f en + EMBED Equation.3
Etude en EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 Par règles dopérations, on en déduit EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
La droite déquation y =2/3 est donc aussi asymptote horizontale à la courbe représentative de f en - EMBED Equation.3 3) Pour tout EMBED Equation.3
Par conséquent, f est dérivable comme somme et rapport de fonctions dérivables et,
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 -2 + EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 +
+ EMBED Equation.3 -- EMBED Equation.3
Exercice 3
1) Dans chacun des cas on trouve une forme indéterminée de la forme « 0/0 »
Questions 2) et 3)
1) EMBED Equation.3 (factorisation dun trinôme)
EMBED Equation.3
Par conséquent,
EMBED Equation.3 et donc EMBED Equation.3
On procède de même pour les autres limites
On obtient comme limites respectives : 3/2 ; ½, -4/5
Exercice 4
Il sagit de reconnaître le taux daccroissement dune fonction
1) EMBED Equation.3
La fonction sinus étant dérivable en à, on obtient par définition du nombre dérivé :
EMBED Equation.3
2) EMBED Equation.3
Il sagit du taux daccroissement entre 0 et 0+x, de la fonction g donnée par EMBED Equation.3 dont la dérivée est EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
3) En posant x=h+3
EMBED Equation.3
On reconnaît le taux daccroissement entre 3 et 3+h de la fonction EMBED Equation.3 dont la dérivée est EMBED Equation.3
Et donc
EMBED Equation.3
4) De même
EMBED Equation.3
Exercice 5 :
Attention, ce ne sont pas des fractions rationnelles !!! Il faut factoriser par le terme dominant numérateur, dénominateur, puis simplifier la fraction.
On obtient comme limites respective : 0, 0, 0, - EMBED Equation.3
Exercice 6
Le premier barycentre est A, le deuxième est C (cela se démontre en plaçant chaque barycentre par associativité)
L ensemble Gð est la médiatrice du segment [AC] (à démontrer)
Pour tout point M du plan, EMBED Equation.3 .
(à démontrer en utilisant la relation de Chasles ainsi que la configuration du carré)
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