Chapitre VII
Ecart Sup. : es = dmaxi - dnom. Arbre. Ecart Inf. : ei = dmini ? dnom. 4 ?
Désignation des tolérances. Un ajustement est désigné par sa dimension
nominale,.
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Chapitre VII
probabilités
variables aléatoires à densité
convergences et approximations
Variables aléatoires absolument continues (ou à densité)
Utilisation de la fonction de répartition de X pour déterminer la loi de Y = ((X). On considère une v. a. a. c. X de densité uniforme sur [-ð1, 1].
l°) Déterminer la loi (c'est-à-dire la densité) de Y = X2 . Application : on choisit un nombre X au hasard entre -ð1 et 1 en suivant la loi uniforme sur [-ð1, 1]. Déterminer la probabilité que le carré Y de ce nombre soit supérieur à 1/2. Déterminer a tel que P(Y ( a) = P(Y > a).
2°) Déterminer la loi de Y = eX.
3°)Déterminer la loi de Y = aX + b (a différent de 0).
l°) Pour n appartenant à N, on considère In = EMBED Equation.3 . Montrer que l'intégrale In est convergente. Calculer I0. Exprimer In+1 en fonction de In et en déduire In en fonction de n.
2°) Pour n appartenant à N, On considère fn(t) = EMBED Equation.3 . Déterminer kn de façon que fn soit "la" densité d'une certaine variable aléatoire absolument continue Xn. Préciser alors E(Xn ) et V(Xn).
Déterminer a appartenant à R de façon que f : x ( a/(l + x2 ) soit la densité d'une certaine v.a.a.c X. X admet-elle une espérance ? une variance ?
Déterminer a appartenant à R de façon que f : x ( EMBED Equation.3 soit la densité d'une v.a. X. Montrer que X admet une espérance (et la calculer), mais pas de variance.
Déterminer a appartenant à R de façon que f : x ( EMBED Equation.3 soit la densité d'une v.a X. Déterminer alors FX, fonction de répartition de X, E(X) et V(X).
Un point X se promène au hasard à l'intérieur d'une sphère de centre 0 et de rayon R. La probabilité que ce point se trouve dans une portion de la sphère est proportionnelle au volume de cette portion. Quelle est la loi de la distance OM ? Espérance de cette v.a. ?
Soit X et Y deux variables aléatoires de loi uniforme sur [0, 1]. On définit les variable aléatoires
U = inf(X, Y) et V = sup(X, Y) en posant, pour tout x réel :
(U > t) = (X > t) ( (Y > t) ; (V ( t) = (X ( t) ( (Y ( t).
1°) Déterminer la fonction de répartition G, puis une densité g de U.
2°) Déterminer la fonction de répartition H, puis une densité h de U.
3°) Calculer l'espérance de U.
4°) Exprimer U + V en fonction de X et Y. En déduire l'espérance de V.
Si vous arrivez à un arrêt de bus à 10 h sachant que le bus arrivera à un certain instant qui est distribué uniformément entre 10 h et 10 h 30, quelle est la probabilité que vous deviez attendre plus de 10 minutes ?
Si à 10 h 15 le bus n'est pas arrivé quelle est la probabilité que vous deviez attendre au moins 10 minutes supplémentaires ?
Un homme tirant sur une cible reçoit 10 points si son coup est à moins de 1 cm du centre de la cible, 5 points s'il s'en éloigne de 1 à 3 cm et 3 points s'il s'en éloigne de 3 à 5 cm. Trouver l'espérance du nombre de points si la distance au centre de la cible est uniformément distribué entre 0 et 10.
1°) Une caserne de pompiers doit être construite sur une route de longueur A (A < (). Si un incendie se déclare en des points uniformément distribués sur [0, A], où doit être située la caserne pour minimiser l'espérance de la distance jusqu'au feu ? Autrement dit, trouver a tel que E((X ( a() soit minimisée lorsque X est distribué uniformément sur [0, A].
2°) Supposer à présent que la route soit de longueur infinie - partant d'un point O vers +(. Si la distance d'un incendie au point O est distribuée selon une loi exponentielle de paramètre (, où doit se trouver la caserne ? Ici, on cherche à minimiser E((X ( a() où X est exponentielle de paramètre (.
Soit X une variable aléatoire strictement positive et ( un réel strictement positif. On définit les variables aléatoires U et V par : U = 1 ( X et EMBED Equation.3 .
1. Déterminer les lois de U et de V si X suit une loi uniforme sur ]0, 1].
2. Déterminer la loi de X pour que V suive une loi exponentielle de paramètre ( ((>0).
Soit X une variable aléatoire de densité f définie par EMBED Equation.3 si x ³ð ð0 et f(x) = 0 sinon.
Vérifier que f est une densité de probabilité.
Montrer que Y = X² est une variable aléatoire dont on donnera une densité.
Calculer l espérance et la variance de Y.
1. Déterminer la fonction de répartition d'une variable aléatoire Y suivant la loi uniforme sur [0, 1].
Trois personnes ont convenu de se retrouver à la gare pour emprunter le même train de banlieue.
L'origine des temps est prise à 17 h et l'unité de temps est l'heure.
Pour k appartenant à {1, 2, 3}, on désigne par Yk l'heure d'arrivée de la personne numéro k. On suppose que les trois variables Yk sont indépendantes et suivent la loi uniforme sur [0, 1] (ce qui signifie que les trois personnes arrivent au hasard entre 17 h et 18 h).
2. On note X la variable aléatoire représentant l'heure d'arrivée de la dernière personne (qui n'est pas forcément la personne numéro 3 !).
a. Soit t un réel appartenant à [0, 1]. Exprimer l'événement ( X ( t ) en fonction des événements
( Y1 ( t) , (Y2 ( t), ( Y3 ( t).
b. En déduire la fonction de répartition de X que l'on notera G.
c. Déterminer une densité de X et l'espérance de X.
3. Les personnes peuvent emprunter trois trains à 17 h 20, 17 h 40 et 18 h (ce qui correspond, dans le repère de temps choisi, aux instants 1/3, 2/3 et 1).
Pour j appartenant à {1, 2, 3} on appelle Ej l'événement : "les trois personnes prennent le j-ième train ".
Exprimer l'événement Ej à l'aide de la variable aléatoire X puis calculer sa probabilité.
4. On désigne par A l'événement : " La première personne arrivée attend moins de 20 minutes avant de monter dans le train avec ses amis".
a. Exprimer les événements A ( E1, A ( E2, A ( E3 en fonction des variables Y1, Y2, Y3.
b. Déterminer alors la probabilité de A.
U désigne une variable aléatoire continue de loi uniforme sur l'intervalle [0; 1].
1. (a) Donner une densité de U .
(b) Déterminer la fonction de répartition F de la variable aléatoire U .
(c) Exprimer, en fonction du réel x, la probabilité: P(U > x) .
2. La compagnie des remontées mécaniques a installé deux guichets au bas des pistes. On estime que le temps de passage d'un skieur à l'un des guichets suit la même loi que la variable aléatoire U . Trois skieurs A, B et C se présentent en même temps aux guichets. A et B s'adressent simultanément aux deux guichets, C attend que A ou B libère un guichet.
On désigne par:
( U1 et U2 les temps de passage respectifs de chacun des deux skieurs A et B ,
( V le temps d'attente du skieur C .
On supposera que les variables aléatoires U1 et U2 sont indépendantes.
(a) Justifier que : pour tout x réel, (V > x) = (U1 > x) EMBED Unknown(U2 > x)
(b) En déduire, pour tout x réel, P(V > x) en fonction de P(U > x) .
(c) Etablir que la variable V admet pour fonction de répartition la fonction G définie par:
EMBED Unknown
(d) En déduire une densité de probabilité g de la variable V.(e) Montrer que V admet une espérance et une variance que l'on calculera .
Bienaymé-Tchebicheff, convergences, approximations
On rappelle l'inégalité de B.T :
( ( > 0 P( (Y -ð m ( ( ( ) ( EMBED Equation.3 , pour Y v.a quelconque d'espérance m et de variance (2.
1°) Démontrer que B.T est équivalente à : ( ( > 0 P( (Y -ð m ( 0 EMBED Equation.3
En supposant les pi égaux entre eux, quel résultat démontrez-vous ?
(hec math 2 99, extrait ; voir chap. VIII.) Soit n et s des entiers supérieurs ou égaux à 2. On considère une urne contenant des boules de couleur C1, ... , Cs. Les boules de couleur Ci sont en proportion pi. On a donc EMBED Equation.3 = 1 et on suppose que, pour tout i, pi > 0. On effectue n tirages successifs d'une boule avec remise. Pour tout i de {1,...,s},on note Xi la v.a égale au nombre de boules de couleur Ci obtenues à l'issue des n tirages (on remarque que la variable Xi dépend de n). On définit la v.a Un par : Un = EMBED Equation.3 .
A. Etude des variables Xi.
1) Déterminer la loi de Xi, son espérance et sa variance.
2) Soit (i, j) ( {1,...,s}2 tel que i ( j. Déterminer la loi de Xi + Xj et sa variance. En déduire que cov(Xi, Xj) = -ðnpipj.
B. On suppose dans cette partie que s = 2.
1) Montrer que Un = Z12 ,où Z1 = EMBED Equation.3
2) Par quelle loi peut-on approcher la loi de Z1 lorsque n est grand ?
C. On suppose dans cette partie que s = 3 et que p1 = p2 = EMBED Equation.3 e t p3 = EMBED Equation.3 .
On pose Z1 = EMBED Equation.3 .
1) Montrer que Un = Z12 + Z22. (On utilisera la relation : X1 + X2 + X3 = n.)
2) Déterminer les espérances et les variances de Z1 et Z2 et cov(Z1, Z2).
3) Par quelle loi peut-on approcher celle de Z1 lorsque n est grand ?
(hec 2001, extrait) On réalise une suite de lancers indépendants d'une pièce de monnaie équilibrée. On associe à cette expérience une suite (Xn)n(N de variables de Bernoulli indépendantes, définies sur un espace probabilisé ((, A, P) et suivant la loi de Bernoulli de paramètre 1/2.
Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on pose Sn = X1 + X2 + ... + Xn.
1°) déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire Sn. Quelles sont l'espérance et la variance de Sn ?
2°) a) Montrer que, pour tout réel ( strictement positif, on peut trouver une constante K( telle que, pour tout entier supérieur ou égal à n, on ait l'égalité EMBED Equation.3 .
b) Déduire de la majoration obtenue que, pour tout réel r vérifiant 0 < r < 1/2, on a :
EMBED Equation.3
3°) Montrer d'autre part, à l'aide du théorème de la limite centrée, que la suite définie pour n supérieur ou égal à 1 par n ( EMBED Equation.3 admet une limite non nulle.
On utilise un dé cubique parfait. Combien faut-il effectuer de lancers pour pouvoir affirmer, avec un risque d'erreur inférieur à 5 %, que la fréquence d'apparition de l'As au cours de ces lancers différera de 1/6 d'au plus 1/100 ? On utilisera deux méthodes :
--Inégalité de B.T.
-- Approximation par une loi normale,
et on comparera les résultats.
Edith essuie les verres au fond du café et dans ce décor banal à pleurer elle a remarqué qu'un client sur quatre lui laissait un pourboire.
l°) On note X le pourcentage de consommateurs qui laissent un pourboire sur 10 consommateurs. Etablir la loi de X. Déterminer E(X) et V(X).
2°) Pour 1000 clients, on note Y le nombre de clients qui laissent un pourboire. Etablir la loi de Y. Par quelle loi peut-on approcher la loi de Y ? Calculer P(245 < Y < 255).
Chaque fois qu'il fait une conférence en Belgique, B.H.L a une chance sur quatre de recevoir une tarte à la crème dans la figure. Combien de visites au plat-pays doit-il faire pour recevoir au moins 5 tartes avec une probabilité supérieure à 0,9 ? (Utiliser une approximation par une loi normale.)
(Les ex. 19 et 20 sont extraits de "exercices de probabilités ordinaires", G. Frugier, ed. Ellipses.)
Une personne sur 100 est daltonienne. Au conseil de révision, la visite médicale permet de recenser les daltoniens. Sur n conscrits, on note Yn le pourcentage de daltoniens. Déterminer une valeur de n à partir de laquelle ce pourcentage se trouve dans l'intervalle [0,009 ; 0,011], avec une probabilité supérieure à 0,9 :
a) en appliquant B.T.
b) en utilisant une approximation par une loi normale.
On construit un immeuble de 600 logements. On estime la probabilité pour une famille de posséder une voiture à 0,4 et on néglige la probabilité de posséder plus d'une voiture. On adjoint un parking à l'immeuble. Quel nombre de places doit-il offrir pour que la probabilité de ne pas satisfaire toutes les demandes soit inférieure à 2 % ? Quelle est-elle si le parking construit possède 240 places ?
Une automobile crève en moyenne tous les 5 000 km. Cela vaut-il la peine de prendre 3 roues de secours pour un raid de 12 000 km ?
20 000 personnes sont rassemblées dans un stade. La probabilité qu'une personne quelconque boive une bière est 0,4. De combien de bières doit-on disposer pour que la probabilité que l'on vienne à en manquer soit inférieure au sens strict à 0, 1 ?
On dispose de 1 000 pots de peinture. La probabilité qu'un pot soit défectueux est 0,2 %. Donner la probabilité qu'au moins quatre pots soient défectueux.
Annales
( (escl 89) Soit un nombre réel a. On considère la fonction f définie sur R par f(x) = a.2x si x < 0 f(x) = a.2-ðx si x ( 0
l°) Déterminer a pour que f soit la densité d'une v. a. X à valeurs réelles. Dans la suite de cet exercice, on prend a = ln(2)/2.
2°) a) Calculer, si elle existe, l'espérance de X. Déterminer la fonction de répartition F de la v.a. X. Tracer la courbe représentative de F.
b) Soit un nombre réel x. Calculer la probabilité conditionnelle de l'événement (X < x) sachant que l'événement (X ( 1) est réalisé.
3°) Déterminer la fonction de répartition G de la v.a. Y = 2X/2.
( (esg 91) A. Soit a un réel > 0. Soit X une v.a.a.c. admettant comme densité la fonction f définie par f(t)= 0 si t < 0, f(t) = a. exp(-ða.t) si t > 0
Déterminer la fonction de répartition de X.
Calculer l'espérance mathématique et la variance de X.
Rappel : une telle variable aléatoire suit une loi exponentielle de paramètre a.
B. Une firme vend des appareils électriques. On admet que la durée de bon fonctionnement de chacun de ces appareils exprimée en mois est une v.a. X qui suit une loi exponentielle de paramètre a. On suppose que chacun de ces appareils a une probabilité p = 0,02 de tomber en panne pendant les 6 premiers mois de son utilisation.
l°) Déterminer le paramètre a de la loi de X. On donne le logarithme népérien de 0,98 = -ð0,02.
2°) Calculer la probabilité de l'événement X ( 8, sachant que X ( 2.
3°) Cette firme a vendu N appareils. Soit Y la v.a. égale au nombre d'appareils qui tombent en panne pendant les 6 premiers mois de leur utilisation. Déterminer la loi de probabilité de Y et calculer l'espérance et la variance de Y.
4°) On suppose N = 100. On admet que Y suit alors approximativement une loi de Poisson de paramètre 2. Calculer alors la probabilité de l'événement (Y = 4), puis de (Y >4).
5°) La firme envisage de vendre ces appareils avec une garantie de 6 mois et pour cela majore de 20 F le prix de chaque appareil. En revanche elle assume durant cette période de garantie les réparations (toujours de même nature) qui lui coûtent 500 F par réparation. La majoration du prix de vente par appareil suffit-elle à couvrir avec une probabilité supérieure ou égale à 0,90 les frais de réparation entraînés par cette politique de vente dans le cas où
a) N = 100 ?
b) N = 200 ? ( On admet alors que Y suit la loi de Poisson de paramètre 4 approximativement.)
( (escp 93) Soit f la fonction numérique définie sur R par les relations : f(x) = EMBED Equation.3
l°) Montrer que f est une densité de probabilité. 2°) Soit X une v.a. à valeurs dans [0, 1], de densité de probabilité f.
a) Déterminer la fonction de répartition F de X.
b) Calculer l'espérance et la variance de X. 3°) a) Montrer qu'à tout élément y de l'intervalle [0, 1], on peut faire correspondre un élément u et un seul de [0, 1] tel que EMBED Equation.3 . On note désormais ((y) ce nombre. De quelle fonction la fonction ( ainsi définie est-elle la réciproque ?
b) Montrer que ( est continue sur [0, 1] et dérivable sur ]0, 1[. Trouver les valeurs de y dans
]0, 1[ telles que ( '(y) = 3/4.
c) Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire Z = 3X2 ( 2X3. Quelle est sa loi de probabilité ?
4°) On considère des v.a. X1 et X2 de même loi que X. On suppose que, pour tout couple (x1, x2) de réels, les événements (X1 ( x1) et (X2 ( x2) sont indépendants. On pose T = sup(X1, X2). (Autrement dit, T est la v.a qui prend la plus grande des valeurs prises par X1 et X2.) Trouver la fonction de répartition de T. En déduire sa densité de probabilité et son espérance.
( (eme 93 ; bon exercice de révision) A. Soit X1 le nombre d'ordres de transactions qui parviennent à un centre de gestion de cartes bancaires, pendant un intervalle de temps d'une minute.
l°) Statistiques : Une étude statistique permet d'observer les fréquences suivantes
xi012345678910fi0.0500.1490.2240.2240.1680.1010.0500.0220.0080.0030.001Calculer la moyenne et la variance du caractère statistique précédent.
2°) v.a. discrète et algorithmique : On suppose désormais que X1 est une v.a. qui suit la loi de Poisson de paramètre 3.
a) Vérifier que, pour tout n de N, on a P(X1 = n + 1) = EMBED Equation.3 P(X1 = n).
b) En déduire un programme, écrit en turbo-pascal, qui calcule et affiche les probabilités
P(X1 = i), pour i variant de 0 à 10.
c) Donner, à l'aide de la calculatrice, les valeurs approchées, à 10-ð4 près au plus proche, des probabilités P(Xi = i), pour i variant de 0 à 10.
B. Soit A, B, C trois ordres de transaction successifs arrivés dans cet ordre. Soit T1 la v.a. égale au temps écoulé entre les arrivées de A et B et T2 la v.a. égale au temps écoulé entre les arrivées de B et C. Soit Xt la v.a. égale au nombre d'ordres de transaction arrivés pendant la durée de t minutes à partir de l'arrivée de A. On suppose que X suit la loi de Poisson de paramètre 3t.
l°) v.a. continue : En remarquant l'égalité des événements (Xt = 0) et (T1 > t), donner l'expression de la fonction de répartition de T1 définie par :
F : t ( F(t) = P(T1 ( t).
Reconnaître la loi de T1 ; rappeler son espérance et sa variance.
2°) v.a. continues et étude de fonction.
a) Justifier l'égalité des deux événements : (T1 + T2 > t), ( (Xt = 0) ou (Xt = 1) ).
b) En déduire que la fonction de répartition G de T1 + T2 est donnée par :
G : t ( EMBED Equation.3
Etudier la fonction G et tracer sa courbe représentative (C) : on étudiera la continuité et la dérivabilité sur R de la fonction G et de sa dérivée, notée g. Déterminer la convexité de G et la nature des branches infinies de (C).
3°) Densité de v.a. continues. Soit f la densité de T1 :
f(t) = 0 si t < 0 , f(t) = 3e(3t si t ( 0.
Soient a un réel fixé, et A la fonction telle que A : x ( A(x) = f(a - x).f(x).
a) Démontrer que, si a est négatif, la fonction A est nulle.
b) Pour a > 0, préciser la fonction A.
c) Comparer la fonction a ( EMBED Equation.3 et la densité de T1 + T2.
( (ecricome 93, problème, deuxième partie) La société ALFDIS distribue de l'essence dont la demande est aléatoire. Elle a procédé à une étude des coûts mensuels de gestion de ce produit.
1) On considère la fonction f définie pour tout réel t par : f(t) = EMBED Equation.3
On appelle C la courbe représentative de f dans un repère (0, i, j) d'unités 4 cm sur l'axe des abscisses et 10 cm sur l'axe des ordonnées.
a. Etudier la dérivabilité de f en 0. Conclure pour la courbe C.
b. Construire le tableau de variation de f
c. Déterminer les coordonnées du point d'inflexion I de C.
d. Tracer la courbe C.
2) Pour tout entier naturel p, on pose Ip = EMBED Equation.3 , et, pour a ( 0 : Ip(a) = EMBED Equation.3
a. Calculer I0(a).
b. Déterminer une relation de récurrence entre Ip+1(a) et Ip(a).
c. En déduire la valeur de I1(a) et de I2(a).
d. Prouver que Ip est une intégrale impropre convergente. Calculer Ip en fonction de p.
e. Démontrer que la fonction f est la densité de probabilité d'une variable aléatoire Y, dont on déterminera la fonction de répartition F.
f. Les statistiques des ventes de la société permettent de considérer dans toute la suite du problème que la variable aléatoire Y représente la demande mensuelle, en millions de litres d'essence. Déterminer la valeur du moment d'ordre p de la variable aléatoire Y. En déduire la demande mensuelle en litres que la société ALFDIS peut espérer, et avec quel écart type (les valeurs seront arrondies à 100 litres près au mieux).
3) Les services de gestion de la société ALFDIS indiquent que pour un niveau s de stock d'essence fixé et réalisé en début de mois (s en millions de litres), le coût de gestion mensuel est une variable gs dépendant du nombre aléatoire t de millions de litres d'essence demandés, et dont la valeur en millions de francs est :
gs(t) = EMBED Equation.3
On admet que l'espérance du coût mensuel est définie par : E(gs) = EMBED Equation.3 .
a. Exprimer EMBED Equation.3 en fonction de E(Y) et de I2(s), pour s > 0.
b. En déduire que l'on a : E(gs) = 5s.F(s) + 2E(Y) - 2s -ð 20.I2(s).
c. Déterminer alors l'expression de E(gs) en fonction de s.
4) On considère la fonction ( définie, pour tout s positif ou nul, par :
((s) = 5.(s + 1).e-ð2s + 3.(s -ð 1)
a. Déterminer ('(s) et ("(s).
b. En déduire que l'équation ('(s) = 0 admet une solution unique s0. Donner l'entier naturel q tel que l'on ait: q/103 < s0 < (q + 1)/103 .
c. Construire le tableau de variation de la fonction (.
d. Conclure que l'espérance du coût mensuel E(gs) admet pour valeur minimale le nombre réel 6s02/(2s0+1).
( (hec 94 ) l°) a) Rappeler la valeur de la quantité EMBED Equation.3 et en déduire la valeur de EMBED Equation.3 .
b) Déterminer la constante k telle que la fonction f définie par : f(x) = k.exp(-ðx2/2) si x > 0, f(x) = 0 si x (/2} )
b) P( {X 3(/2} )
c) P( { ( X -ð ( ( ( (/2 } )
d) P( {X ( ð(/2} / {X ( 3(/2} )
( (escl 96) On note ln le logarithme népérien.
Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = e-ð(x( si -ðln(2) ( x ( ln(2)
f(x) = 0 sinon .
l. Etudier les variations de f et tracer sa représentation graphique dans un repère orthonormé. (Unité : 5 cm.)
2. Montrer que f est une densité de probabilité.
3. Soit X une variable aléatoire réelle admettant f comme densité.
a. Déterminer la fonction de répartition F de X.
b. Montrer que X admet une espérance et calculer l'espérance de X
c. On pose Y = ( X ( . Déterminer la fonction de répartition G de Y. Montrer que Y est une variable aléatoire à densité et déterminer une densité g de Y.
( (ecricome 97) Dans tout le problème (qui comporte deux parties indépendantes), on suppose que la durée, exprimée en minutes, d'une communication téléphonique, est une variable aléatoire réelle D qui suit la loi exponentielle de paramètre (.
1. Comparaison de deux tarifications
Pour ses communications, on propose à l'utilisateur d'une ligne téléphonique deux tarifications T1 et T2, exprimées en francs, définies de la façon suivante :
* T1 = aD, où a est un nombre réel strictement supérieur à 1, qui représente le prix d'une minute de communication ;
* T2 est à valeurs dans N* et, pour tout n entier naturel non nul : {T2 = n} = {n -ð 1 () = EMBED Equation.3 .
4°) Déterminer : limn(+( P(D +In > ().
2.2. Etude de l'encombrement du standard à l'instant (.
Dans cette partie on définit les nombres réels p et q par :
p = EMBED Equation.3 et q = 1 -ð p.
On suppose désormais que la probabilité qu'une communication reçue dans l'intervalle de temps
[0, (] se poursuive au-delà de l'instant ( est égale à p.
On note N( la variable aléatoire réelle égale au nombre de communications reçues dans l'intervalle de temps [0, (] et l'on suppose que N( suit une loi de Poisson de paramètre (.
On note C( la variable aléatoire réelle égale au nombre de communications reçues dans l'intervalle de temps [0, (] qui se poursuivent au-delà de l'instant (.
Les instants aléatoires où les communications se terminent sont mutuellement indépendants.
1°) Loi de probabilité de C(.
a. Soit r un entier naturel. Quelle est la loi conditionnelle de C( sachant que {N( = r} ?
b. Démontrer que l'on a :
(r ( N (k ( [[0, r]] P[{C( = k} ( {N( = r}] = EMBED Equation.3
c. En déduire, pour tout entier naturel k, une expression simple de P(C( = k) en fonction de k, p et (. Quelle est la loi de probabilité de C( ?
2°) Etude de l'espérance de C(
a. Déterminer l'expression de E (C() en fonction de ( et de (.
b. Quelle est la limite de E (C() lorsque ( tend vers +( ? Vérifier qu'elle majore E (C().
( (edhec 97, problème, parties II et III) Partie II. Soit X une variable aléatoire, à valeurs dans R+, de densité f (nulle sur R-ð* ) et de fonction de répartition F. On suppose, de plus, f continue sur R+.
On pose, pour tout réel x positif : ((x) = EMBED Equation.3 .
1) Montrer, grâce à une intégration par parties, que : (x ( R+ ((x) = EMBED Equation.3
2) On suppose, dans cette question, que l'intégrale EMBED Equation.3 converge.
a. Calculer ( '(x) et en déduire que la fonction ( est croissante sur R+.
b. Montrer que ( est majorée et en déduire que X a une espérance.
c. Montrer que : (x ( R+ 0 ( x.P(X > x) ( EMBED Equation.3 .
d. En utilisant le fait que X a une espérance, montrer que limx(+( EMBED Equation.3 = 0.
En déduire limx(+( x P(X > x), puis montrer que : E(X) = EMBED Equation.3 .
Partie III. On considère la fonction Fn, définie par : EMBED Equation.3
1) Montrer que Fn est la fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité Tn.
2) a. Montrer que pour tout entier naturel k, l'intégrale Ik = EMBED Equation.3 converge.
b. Montrer que Ik+1 = (k + 1)Ik, puis donner la valeur de Ik.
3) En déduire, en utilisant la partie II, que Tn a une espérance et que E(Tn) = E(N). (Pour voir la signification de cette question, cf. chap. III, edhec 97, problème, partie I.)
( (escp 98) Toutes les variables aléatoires considérées dans cet exercice sont supposées définies sur un même espace probabilisé, muni d'une probabilité P. Pour tout entier n ( 1, soit Xn une variable aléatoire réelle vérifiant P(Xn = k) = 1/n pour tout entier k tel que 0 ( k ( n -ð 1. On pose Yn = Xn/n.
D'autre part, soit Z une variable aléatoire de loi uniforme sur [0, 1].
1. a) Déterminier l'espérance E(Z) et la variance V(Z) de la variable aléatoire Z.
b) Calculer, pour tout n ( 1, l'espérance et la variance de Yn. Déterminer les limites des suites
( E(Yn) )n(1 et ( V(Yn) )n(1.
2. Pour tout réel x on note Ent(x) la partie entière de x, c'est-à-dire le plus grand nombre entier relatif inférieur ou égal à x.
a) Montrer que, pour tout réel x, EMBED Equation.3 .
b) Soit a et b deux réels vérifiant 0 ( a ( b ( 1 et soit In(a, b) le nombre d'entiers k vérifiant
a 0 tel que, pour tout élément t de R+, ((t) =ct.
2 c) Montrer que, pour tout élément t de R+, on a : -ð ln[ 1 -ð F(t) ] = c EMBED Equation.3 .
2 d) Soit t un élément de R+. Expliciter F(t), puis montrer, en posant ( = EMBED Equation.3 , que
f(t) = EMBED Equation.3
2 e) Montrer enfin que E(T) existe et donner sa valeur en fonction de c.
( (edhec 2000) (également étude de fonction)
1)Déterminer l'ensemble D des réels x tels que ex -ð e-ðx > 0
On définit la fonction f par : (x ( D f(x) = ln(ex -ð e-ðx).
On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (0, i, j).
2) a. Etudier les variations de f et donner les limites de f aux bornes de D.
b. En déduire l'existence d'un unique réel a vérifiant f(a) = 0, puis donner la valeur exacte de a.
c. Montrer que le coefficient directeur de la tangente (T) à la courbe (C) au point d'abscisse a vaut EMBED Equation .
3) a. Calculer lim x(+( ( f(x) ( x ).
b. En déduire l'équation de l'asymptote (() à la courbe (C) au voisinage de +(
c. Donner la position relative de (() et (C).
4)Donner l'allure de la courbe (C) en faisant figurer les droites (() et (T).
On admettra que a ( 0,5 et que (5 ( 2,2.
5) Soit ( un réel, on note g( la fonction définie par : EMBED Equation.3
a. On pose h(x) = f(x) -ð x. Après avoir calculé h'(x), déterminer ( en fonction de a pour que g( soit une densité de probabilité d'une certaine variable aléatoire X.
b. Donner la fonction de répartition G( de X.
( (ecricome 2000) Soit X une variable aléatoire à densité définie sur un espace probabilisé. On note f une densité de X, F sa fonction de répartition. On fait les trois hypothèses suivantes :
i) Si t appartient à]-ð(, 0], f(t) = 0.
ii) Si t appartient à ]0, +([, f(t) est positif ["ou nul", suivant l'énoncé original...]
iii) f est continue sur ]0, +([.
1) Montrer que l'équation F(x) = EMBED Equation.3 admet une solution unique sur ]0, +([. Cet unique réel, que l'on notera m, sera appelé médiane de X.
2) Dans cette question, on suppose que X suit une loi exponentielle de paramètre 1.Montrer que X satisfait aux hypothèses du début de l'exercice et déterminer la médiane de X.
3) On suppose dans cette question que la densité de X est donnée sur [0, +([ par f(t) = t e-ðt et
sur ]-ð(, 0[ par f(t) = 0.
a) Vérifier que f satisfait aux hypothèses du début de l'exercice.
b) Déterminer la fonction de répartition F de X.
c) Montrer, sans chercher à la calculer, que la médiane m de X vérifie 1 ( m ( 2.
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h]aCJ :Ã t) = (T1 > t) ( (T2 > t) ( (T3 > t).
Déterminer la fonction de répartition G de U.
Montrer que U admet une densité et déterminer une densité g de U.
Montrer que U admet une espérance et calculer E(U).
5. On considère la variable aléatoire V = Sup(T1 ,T2,T3) définie par :
(t ( R, (V ( t) = (T1 ( t) ( (T2 ( t) ( (T3 ( t).
Déterminer la fonction de répartition H de V.
Montrer que V admet une densité et déterminer une densité h de V.
La variable aléatoire V admet-elle une espérance ?
( esc 2003 On pose pour a réel strictement positif la fonction EMBED Equation.3 définie sur EMBED Equation.3 par :
Pour tout EMBED Equation.3 .
1. (a) Justifier la dérivabilité de EMBED Equation.3 sur EMBED Equation.3 et calculer sa dérivée. En déduire le tableau des variations de EMBED Equation.3 en précisant les valeurs aux bornes.
(b) Montrer que EMBED Equation.3 réalise une bijection de EMBED Equation.3 sur EMBED Equation.3 . On note EMBED Equation.3 sa bijection réciproque. Donner le tableau des variations de EMBED Equation.3 en précisant les valeurs aux bornes.
(c) Montrer que EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
2. (a) Justifier l'existence de l'intégrale EMBED Equation.3 , notée EMBED Equation.3 .
(b) Déterminer deux constantes ( et ( telles que : EMBED Equation.3 .
En déduire que EMBED Equation.3 .
(c) Montrer grâce au changement de variable EMBED Equation.3 que EMBED Equation.3 .
3. On considère dans ce paragraphe la fonction EMBED Equation.3 définie sur R de la manière suivante :
EMBED Equation.3
(a) Montrer que EMBED Equation.3 est une densité de probabilité. On note EMBED Equation.3 une variable aléatoire réelle admettant une densité égale à ha. On note EMBED Equation.3 la fonction de répartition de la variable EMBED Equation.3 .
(b) Calculer l'espérance EMBED Equation.3 . En déduire l'espérance EMBED Equation.3 .
(c) Calculer l'espérance EMBED Equation.3 . En déduire EMBED Equation.3 puis la variance EMBED Equation.3 .
(d) Soit la variable aléatoire à densité T définie par EMBED Equation.3 . Montrer que pour tout réel t de EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 . En déduire que T suit la même loi que EMBED Equation.3 .
( edhec 2003 Dans cet exercice, n désigne un entier naturel non nul.
1) Soit f n la fonction définie par : f n(x) = EMBED Equation.2
Montrer que f n est une densité de probabilité.
2) On considère une variable aléatoire Xn réelle dont une densité de probabilité est f n. On dit alors que Xn suit la loi monôme d ordre n.
a. Reconnaître la loi de X1.
b. Dans le cas où n est supérieur ou égal à 2, déterminer la fonction de répartition Fn de Xn, ainsi que son espérance E (Xn) et sa variance V (Xn).
3) On considère deux variables aléatoires Un et Vn suivant la loi monôme d ordre n (n ( 2), indépendantes, c est-à-dire qu elles vérifient en particulier l égalité suivante :
(x(IR, P( Un ( x ( Vn ( x ) = P(Un ( x) P(Vn ( x).
On pose Mn = Sup ( Un , Vn).
a. Pour tout réel x, écrire l événement (Mn ( x) à l aide des événements (Un ( x) et (Vn ( x).
b. En déduire une densité de Mn . Vérifier que Mn suit une loi monôme dont on donnera l ordre, puis déterminer sans calcul E(Mn).
c. On pose Tn = Inf (Un , Vn). Exprimer Mn + Tn en fonction de Un et Vn , puis en déduire, sans calcul d intégrale, la valeur de E(Tn).
( ecricome 2003 une entreprise de construction produit des objets sur deux chaînes de montage A et B qui fonctionnent indépendamment l une de l autre.
Soit f la fonction définie sur R par :
EMBED Equation.3
Montrer que f est une densité d une variable aléatoire Z.
Déterminer la fonction de répartition FZ de Z.
Justifier la convergence de l intégrale : EMBED Equation.3 .
La calculer en effectuant le changement de variable u = t + 1.
Prouver que Z admet une espérance et la déterminer.
Z admet-elle une variance ?
Dans cette partie, on suppose que le temps de fabrication, exprimé en minutes, d une pièce de la chaîne A (respectivement de la chaîne B) est une variable aléatoire Z1 (respectivement Z2) où Z1 et Z2 sont deux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi que Z.
On considère les événements :
C = le temps de fabrication d une pièce sur la chaîne B est supérieur à 2 minutes
D = le temps de fabrication d une pièce sur la chaîne B est supérieur à 3 minutes
Calculer les probabilités suivantes : p( C), p(D), p(D/C).
On note T = max(Z1,Z2) et GT la fonction de répartition de T.
Exprimer l événement (T ( x) en fonction des événements (Z1 ( x) et (Z2 ( x).
Montrer que : ( x ( R, GT(x) = [FZ(x)]².
En déduire que T est une variable aléatoire à densité dont on donnera une densité.
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