Modèle mathématique. - Lycée Henri BECQUEREL
Une roue de loterie est formée de six secteurs A, B, C, D, E et F associés aux ...
étudiée : 40 % des individus aiment la musique, 60 % aiment le cinéma, ...
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Je suis désolée dêtre absente, mais il marrive aussi dêtre malade
Je ne vous oublie pas, et vous propose dune part une fiche dexercices de révision de première de probabilité (certains ont déjà été traités dailleurs), dautre part le cours de terminale de probabilité conditionnelle à lire et compléter.
De quoi vous occuper les deux heures !
Ne faîtes pas les photocopies pour chaque élève. Faîtes en quelques-unes pour pouvoir travailler indépendamment dun ordinateur ; je ferai les photocopies individuelles pour la prochaine fois.
Bon courage.
TS2- Exercices Révisions probabilités de niveau 1° :
Exercice 1 :
On jette un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on sintéresse au numéro apparaissant sur la face supérieure.
1°/ Définir lensemble des éventualités (. Combien y a-t-il dévénements ?
2°/ Ecrire sous forme de partie de ( les événements :
A : « obtenir un numéro inférieur ou égal à 2 »
B : « obtenir un numéro impair. »
C : « obtenir un numéro strictement supérieur à 4. »
3°/ Ecrire les événements : A SYMBOL 200 \f "Symbol"\h B, A SYMBOL 199 \f "Symbol"\h B, A SYMBOL 200 \f "Symbol"\h C, A SYMBOL 199 \f "Symbol"\h C, B SYMBOL 200 \f "Symbol"\hC, B SYMBOL 199 \f "Symbol"\h C, EQ \o(\s\up4( SYMBOL 45\f"Symbol"\h);A), EQ \o(\s\up4( SYMBOL 45\f"Symbol"\h);A) SYMBOL 200 \f "Symbol"\h C, EQ \o(\s\up4( SYMBOL 45\f"Symbol"\h);A) SYMBOL 199 \f "Symbol"\h C.
Donner pour chacun deux une phrase qui le caractérise.
4°/ Parmi les événements utilisés précédemment, citer deux événements incompatibles qui ne sont pas contraires lun de lautre.
Exercice 2 :
Une urne contient cinq boules : trois boules rouges numérotées 1, 2, 3 et deux boules noires numérotées 1 et 2. On tire au hasard une boule de cette urne. Calculer la probabilité dobtenir :
une boule numérotée 1 ;
une boule rouge ;
une boule portant un numéro impair.
Exercice 3 :
On tire au hasard une carte dun jeu de 32 cartes. On note le nom de cette carte puis on la remet
dans le jeu. On tire alors au hasard une seconde carte dont on note à nouveau le nom. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : « les deux cartes tirées sont rouges » ;
B : « les deux cartes tirées sont deux trèfles » ;
C : « les deux cartes tirées sont de même couleur » ;
D : « les deux cartes tirées sont de même valeur ;
E : « les deux cartes tirées constituent une belote (dame et roi de même couleur ».
Exercice 4 :
On lance trois fois de suite une pièce de monnaie parfaitement équilibrée.
Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : « obtenir exactement une fois pile » ;
B : « obtenir au moins une fois pile » ;
C : « obtenir au plus une fois pile ».
Exercice 5 :
Dans une fête foraine, pour une mise initiale de 3¬ , le joueur est invité à lancer
deux dés équilibrés à six faces, numérotées de 1 à 6.
Si le résultat est un double (double 1, double 2, & ), le joueur empoche le montant en euros égal à la somme des points marqués sur les deux faces.
Si un seul 6 apparaît, le joueur gagne le montant en euros indiqué sur lautre face.
Dans tous les autres cas, la partie est perdue.
En désignant par G la variable aléatoire définie par le gain algébrique du joueur, déterminer la loi de probabilité de G et calculer son espérance. Commenter.
Exercice 6 :
Une roue de loterie est formée de six secteurs A, B, C, D, E et F associés aux
mesures suivantes en degrés :
ABCDEF90°60°30°120°15°45°
Lorsque la roue achève sa rotation, un secteur se retrouve face au repère avec une probabilité proportionnelle à langle associé. Déterminer la loi de probabilité obtenue.
Exercice 7 :
Une association projette dorganiser, pour financer ses projets, une loterie auprès du
public. Les deux formules sont envisagées, pour un prix du billet de 3 ¬ .
Première formule :
Gain du joueur ( en euros)010100Probabilité p EQ \o\al(\s\up-2(i)) 0,940,050,01Seconde formule :
Gain du joueur ( en euros) 0 102040Probabilité p EQ \o\al(\s\up-2(i)) 0,9125 0,050,0250,0125 1°/ Calculer lespérance du gain algébrique dun joueur pour chaque formule. Commenter.
2°/ Lassociation pense pouvoir vendre 2000 billets. Quel est le gain prévisible pour lassociation ?
Exercice 8 :
Deux tireurs à larcs, A et B, ont des performances données par les lois de
probabilité suivantes :
tireur A :
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tireur B:
x EQ \o\al(\s\up-2(i)) 010203050p EQ \o\al(\s\up-2(i)) 0,050,1750,50,2250,05 1°/ Calculer lespérance du nombre de points marqués en un tir pour chacun des joueurs A et B.
2°/ Calculer la variance et lécart type de chacune des lois de probabilité proposées.
3°/ Commenter les résultats.
Exercice 9 :
Suite à une enquête statistique, on peut affirmer que dans la population
étudiée : 40 % des individus aiment la musique, 60 % aiment le cinéma, 15 % aiment à la fois la musique et le cinéma.
On interroge au hasard un individu de la population étudiée ( on assimilera fréquence et probabilité).
Quelle est la probabilité que cet individu :
aime la musique, mais pas le cinéma ?
aime le cinéma, mais pas la musique ?
naime ni le cinéma ni la musique ?
Exercice 10
Un représentant de commerce doit visiter successivement 4 villes A, B, C et D.
1°/ A laide dun arbre, déterminer tous les itinéraires permettant de visiter les quatre villes.
2°/ Le représentant choisit au hasard lun de ces itinéraires.
Calculer la probabilité que, sur cet itinéraire, les villes C et D se suivent dans cet ordre.
Calculer la probabilité que cet itinéraire commence par la ville C et se termine par la ville D.
Calculer la probabilité que, sur cet itinéraire, la ville C soit située avant la ville D.
II Conditionnement (cours !)
1) Probabilité conditionnelle
On considère un univers EMBED Equation.3 dune expérience aléatoire sur lequel sont définis une probabilité p et deux événements A et B. On peut alors construire un arbre de probabilités pondéré à faire :
Définition : Si p(A) EMBED Equation.3 0, on appelle probabilité conditionnelle de B sachant A, notée pA(B), la probabilité
PA(B) = EMBED Equation.3
Propriété : Cette probabilité conditionnelle a toutes les propriétés dune probabilité.
Remarque : Si p(A) et p(B) sont non nulles, on peut calculer p(A EMBED Equation.3 B) de deux manières différentes :
p(A EMBED Equation.3 B) = p(A) × pA(B) = p(B) × pB(A)
2) Probabilités totales
Définition : Une partition de Wð est un ensemble de parties non vides de Wð, deux à deux disjointes et dont la
réunion est Wð.
Remarque : Si A est un événement de Wð différent de l événement impossible, alors A et EMBED Equation.3 forment une partition de Wð.
Formule des probabilités totales : Soit A1, A2, & , An une partition de Wð, et B un événement de Wð.
arbre avec A1, A2, & puis B et EMBED Equation.3 , à faire :
. B = (B EMBED Equation.3 A1) EMBED Equation.3 (B EMBED Equation.3 A2) EMBED Equation.3 ...
donc p(B) = p(B EMBED Equation.3 A1)+ p(B EMBED Equation.3 A2) + ... car les Ai sont 2 à 2 disjoints
Alors p(B) = EMBED Equation.3
Corollaire : Pour tous événements A et B de Wð, p(B) = pA(B) × p(A) + EMBED Equation.3 (B) × p( EMBED Equation.3 )
Exemple : Une entreprise comprend 15 % de cadres et 85 % d employés.
On sait que 65 % des cadres et 20 % des employés parlent anglais.
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Ƹp#1bÄ$d%d&d'dNÆÿOÆÿPÆÿQÆÿgdWE {x1, x2, & xn} et Y(Wð) = {y1, y2, & , ym}.
Définition : On dit que les variables aléatoires X et Y sont indépendantes pour la probabilité p lorsque pour tout i ( {1, & , n} et pour tout j ({1, & , m}, les événements (X = xi) et (Y = yj) sont indépendaV|X|`|v||ø|N}P}}}Æ}È}Þ}à}~÷ðèðèðÞðÞð÷ð÷ðÜðÕ h(hìh¿\IU jÎðh(hìhWE h(hìhWE >* h(hìhWE h(hìhWE H*nts.
