MathADoc - Collège Alain Fournier
Steiner Anne-Claude. Boucherine Omar. IRIS ... effectués après chaque unité d'
apprentissage (feedback) et aidera chaque élève à les corriger en lui proposant
...
part of the document
3 ) ( x 1 )
E = ( 2x + 3 ) [ ( 2x 3 ) + ( x 1 ) ]
E = ( 2x + 3 ) ( 3x 4 )
2. E = 4x 2 ( 9 + 2x 2 ( 2x + 3 x 3
E = 6x 2 + x 12
3. ( 2 x + 3 ) ( 3 x ( 4 ) = 0
Un produit de facteurs est nul si (et seulement si) l'un au moins de ses facteurs est nul.
2 x + 3 = 0 ou 3 x ( 4 = 0 c'est à dire x = EQ \s\do1(\f((3;2)) ou x = EQ \s\do1(\f(4;3))
Exercice 4
x est le prix en francs d'un iris et y le prix en francs d'une rose jaune.
Mise en équations du problème :
EQ \b\lc\{( \s(3 x + 4 y = 9 ; ;5 x + 6 y = 14)) EQ \b\lc\{( \s(3 x + 4 y = 9 ( ( ( 3 ) ; ;5 x + 6 y = 14 ( 2)) EQ \b\lc\{( \s(( 9 x ( 12 y = ( 27 ; ;10 x + 12 y = 28))
Additionnons les deux égalités membre à membre on obtient x = 1.
Comme 3 x + 4 y = 9 on a : 3 ( 1 + 4 y = 9 4 y = 9 ( 3 = 6 y = 1, 5
Conclusion : Donc le prix d'un iris est de 1 ¬ et celui d'une rose jaune de 1,50 ¬ .
Activités géométriques : 12 points
Exercice 1 :
1.Le triangle CAB est rectangle en A. Donc : sinEQ \o(\s\up2( SYMBOL 97 \fSymbolGD\s12 );ABC) = EQ \s\do1(\f(AB;BC))
= EQ \s\do1(\f(5;7, 5))
= EQ \s\do1(\f(2;3)) On obtient EQ \x(EQ \o(\s\up2( SYMBOL 97 \fSymbolGD\s12 ); ABC ) ( 42 °)
2. Les droites (AC) et (AB) sont sécantes en A.
M ( (AB) et N ( (AC).
De plus , les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
Alors , d'après le théorème de Thalès on a EQ \s\do1(\f(AM;AB)) = EQ \s\do1(\f(MN;BC))
et donc MN = BC ( EQ \s\do1(\f(AM;AB)) MN = 7, 5 ( EQ \s\do1(\f(2;5)) EQ \x(MN= 3 cm)
Exercice 2 :
1. En posant OA = R et SO = h, on a :
V1 = EQ \s\do1(\f(( R 2 h;3)) V1 = EQ \s\do1(\f(( 25 ( 9;3)) V 1 = 75 ( V 1 = 236 cm 3 ( au cm 3 par excès )
2. Le petit cône est une réduction du grand à l'échelle EQ \s\do1(\f(1;3)) et donc :
V 2 = EQ \b( EQ \s\do1(\f(1;3)) ) EQ \o(3) V 2 = EQ \s\do1(\f(V 1 ;27)) V 2 = EQ \s\do1(\f(236;27)) V 2 = 9 cm 3 ( au cm 3 par excès )
Exercice 3 :
3. L'angle EQ \o(\s\up2( SYMBOL 97 \fSymbolGD\s12 ); AOC ) est un angle au centre, et EQ \o(\s\up2( SYMBOL 97 \fSymbolGD\s12 ); ABC ) est l'angle inscrit qui intercepte le même arc.
donc EQ \o(\s\up2( SYMBOL 97 \fSymbolGD\s12 ); AOC ) = 2 ( EQ \o(\s\up2( SYMBOL 97 \fSymbolGD\s12 ); ABC )
et donc EQ \o(\s\up2( SYMBOL 97 \fSymbolGD\s12 ); AOC ) = 120 °.
Problème : 12 points
1. b. Démontrer que ABC est un triangle rectangle.
On a : AB 2 = 9 2 = 81 AC 2 = 12 2 = 144
BC 2 = 15 2 = 225
On constate que AB 2 + AC 2 = BC 2 donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
2. b. D et E appartiennent au cercle de diamètre [ AB ] donc les triangles ABD et ABE sont des triangles rectangles respectivement en D et en E.
3. b. Les segments [ BC ] et [ EF ] ont le même milieu M. Dans le quadrilatère BECF, les diagonales [ BC ] et [ EF ] ont le même milieu donc le quadrilatère BECF est un parallélogramme.
c. Si BECF est un parallélogramme, alors ( BE ) // ( CF ).
On sait que ( BE ) ( ( AE ) car ABE triangle rectangle et que ( BE ) // ( CF ) donc ( CF ) ( ( AE ) et donc ( CF ) ( ( AF ) ( A, F, E alignés).
4. a. Dans le triangle ABM, ( AD ) et ( BE ) sont des hauteurs.
Leur point d'intersection H est l'orthocentre du triangle ABM, donc la droite ( HM ) est la troisième hauteur du triangle ABM, d'où ( AB ) ( ( HM ).
De la même manière, dans le triangle AKC, les droites ( AF ) et ( CD ) sont des hauteurs, et M leur point d'intersection est l'orthocentre du triangle AKC, ( KM ) est la troisième hauteur de ce triangle, on a donc: ( KM ) ( ( AC ).
b. On a ( AB ) ( ( AC ) et ( KJ ) ( ( AC ) donc ( AB ) // ( KJ ) On a ( MI ) ( ( AB ) et ( JA ) ( ( AB ) donc ( JA ) // ( MI ) Donc le quadrilatère AIMJ est un parallélogramme. De plus l'angle EQ \o(\s\up4(a);BAC) est droit, donc AIMJ est un rectangle.
Donc ( KJ ) ( ( IM ) d'où EQ \o(\s\up4(a);HMK) angle droit et donc HMK est un triangle
rectangle en M.
Problème : figure
