Exercice : (Créteil 96)
un bouquet composé de 8 iris et de 5 roses, pour un prix total de 142 francs ; ...
Pour cela, vous appellerez x le prix d'un iris et y celui d'une rose, puis vous ...
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s
donc 5x + 7y = 143
On obtient donc le système d équations suivant :
INCORPORER Equation.3
La méthode la plus "simple" est ici la méthode de combinaisons linéaires :
INCORPORER Equation.3
Vérification :
8(9 + 5(14 = 72 + 70 = 142
5(9 + 7(14 = 45 + 98 = 143
Le prix d'un iris est de 9F et celui d'une rose est de 14F.
Exercice FORMTEXTE : (Lyon 96)
Au restaurant la famille Metz a payé 224 F pour trois menus « Adulte » et un menu « Enfant ». La famille Walter a payé 188 F pour deux menus « Adulte » et deux menus « Enfant ».
1) En appelant x le prix d'un menu « Adulte » et y le prix d'un menu « Enfant », écrire un système d'équations qui permet de trouver le prix de chacun des menus.
2) Résoudre le système.
3) Donner le prix du menu « Adulte » et celui du menu « Enfant ».
Correction :
1)Soit x le prix d'un menu « Adulte » et y le prix d'un menu « Enfant»
Au restaurant la famille Metz a payé 224 F pour trois menus « Adulte » et un menu «Enfant».
Donc 3x + y = 224
La famille Walter a payé 188 F pour deux menus « Adulte » et deux menus « Enfant ».
Donc 2x + 2y = 188 soit x + y = 94
On obtient donc le système :
INCORPORER Equation.3
2)Par substitution de y :
INCORPORER Equation.3
Vérification :
65 + 29 = 94
3(65 + 29 = 195+29 = 224
3) le prix du menu « Adulte » est de 65F et celui du menu « Enfant » est de 29F.
Exercice FORMTEXTE : (Limoges 98)
Le périmètre d'un rectangle de longueur x et de largeur y est 140 mm.
En doublant la largeur initiale et en retranchant 7 mm à la longueur initiale, on obtient un nouveau rectangle dont le périmètre est égal à 176 mm.
Quelles sont les dimensions x et y du rectangle initial ?
Correction :
Soit x la longueur du rectangle et y sa largeur (longueurs exprimées en mm)
Le périmètre d'un rectangle de longueur x et de largeur y est 140 mm.
Donc 2(x + 2(y = 140 soit x + y = 70
En doublant la largeur initiale et en retranchant 7 mm à la longueur initiale, on obtient un nouveau rectangle dont le périmètre est égal à 176 mm.
2((2x) + 2((y - 7) = 176
soit 4x + 2y - 14 = 176 ou encore 4x + 2y=190 soit 2x + y = 95.
On obtient donc le système :
INCORPORER Equation.3
On le résout par substitution :
INCORPORER Equation.3
Le rectangle a donc pour largeur 25mm et pour longueur 45mm
Vérification :
2(25 + 2(45 = 50 + 90=140
2(50 + 2((45-7)=100 + 76=176
Exercice FORMTEXTE : (Antilles 99)
Chez le fleuriste, un bouquet composé de 5 roses et de 3 glaieuls coûte 136 F. Un autre bouquet, composé de 2 roses et de 6 glaieuls, coûte l12 F.
Calculer le prix d'une rose et celui d'un glaieul.
Correction :
Soit x le prix d'une rose et y celui d'un glaieul.
Chez le fleuriste, un bouquet composé de 5 roses et de 3 glaieuls coûte 136 F.
Donc 5x + 3y = 136
Un autre bouquet, composé de 2 roses et de 6 glaieuls, coûte l12 F.
Donc 2x + 6y = 112 soit x + 3y = 56
On obtient donc le système suivant :
INCORPORER Equation.3
On le résout par combinaisons linéaires :
INCORPORER Equation.3
Vérification :
20 + 3(12 = 20 + 36 = 56
5(20 + 3(12 = 100 + 36= 136
le prix d'une rose est de 20F et celui d'un glaieul est de 12F.
Exercice FORMTEXTE : (Rouen 98)
La somme de deux nombres est 134 ; leur différence est 126.
Trouver ces deux nombres en expliquant vos calculs.
(On peut appeler x et y les nombres cherchés et résoudre le système
obtenu.)
Correction :
Soient x et y les nombres cherchés (x étant plus grand que y)
La somme de deux nombres est 134 ;
Donc x + y = 134
leur différence est 126.
Donc x - y=126
On a donc le système :
INCORPORER Equation.3
On le résout par combinaisons linéaires :
INCORPORER Equation.3
Vérification :
130+4=134
130-4=126
Les 2 nombres sont donc 134 et 126.
Exercice FORMTEXTE : (Asie 99)
Deux cahiers et trois stylos coûtent 60 F.
Trois cahiers et deux stylos coûtent 10 F de plus.
Calculer le prix d'un cahier et le prix d'un stylo.
Correction :
Soit x le prix d'un cahier et y celui d'un stylo.
Deux cahiers et trois stylos coûtent 60 F.
Donc 2x + 3y = 60
Trois cahiers et deux stylos coûtent 10 F de plus.
Donc 3x + 2y = 60 + 10 = 70
On obtient donc le système suivant :
INCORPORER Equation.3
On résout ce système par combinaisons linéaires :
INCORPORER Equation.3
Vérification :
2(18 + 3(8 = 36 + 24 = 60
3(18 + 2(8 = 54 + 16 = 70
Le prix d'un cahier est de 18F et le prix d'un stylo est de 8F.
Exercice FORMTEXTE : (Lille 97)
Il manque deux lames à un petit « métallophone» : celle donnant le ré et celle donnant le si.
Les lames sont découpées dans une barre plate.
Les longueurs des lames et les notes correspondantes sont données dans le tableau suivant :
Notedorémifasollasi doLongueur (mm)1241101071019588La longueur totale des lames est égale à 832 mm et la lame du ré a pour longueur 1,3 fois celle du si.
Trouver les longueurs des lames correspondant aux notes ré et si.
Correction :
Soit x la longueur de lame correspondant à ré et y la longueur des lame correspondant à si.
La longueur totale des lames est égale à 832 mm
Donc 124 + x + 110 + 107 + 101 + 95 + y + 88 = 832
Soit x + y + 625 = 832 ou encore : x + y = 832 - 625 = 207
La lame du ré a pour longueur 1,3 fois celle du si.
Donc x = 1,3y
On obtient donc le système suivant :
INCORPORER Equation.3
Vérification :
90 + 117 = 207
1,3 ( 90 = 117
La longueur de lame correspondant à ré est 117mm et la longueur des lame correspondant à si est 90mm.
Exercice FORMTEXTE : (Caen 97)
Déterminer deux nombres sachant que leur somme est 286 et que si l'on divise le plus grand par le plus petit, le quotient est 4 et le reste est 21.
Correction :
Soit x le plus grand nombre et y le plus petit.
Leur somme est 286.
Donc x + y = 286
Si l'on divise le plus grand par le plus petit, le quotient est 4 et le reste est 21.
Donc 4(y + 21 = x soit 4y - x = -21
On obtient donc le système :
INCORPORER Equation.3
On résout ce système par combinaisons linéaires :
INCORPORER Equation.3
Vérification :
233 + 53 = 286
Si je divise 233 par 53, "il y va" 4 fois et il reste 21.
Les 2 nombres sont 233 et 53.
Exercice FORMTEXTE : (Japon 97)
Le périmètre d'un rectangle est égal à 36 cm. Si on triple sa longueur et que l'on double sa largeur, son périmètre augmente de 56 cm.
Déterminer la longueur et la largeur du rectangle.
Correction :
Soit x la longueur du rectangle et y sa largeur.
Le périmètre d'un rectangle est égal à 36 cm.
Don 2x + 2y = 36 soit x + y = 18
Si on triple sa longueur et que l'on double sa largeur, son périmètre augmente de 56 cm.
2(3x + 2(2y = 36+56 = 92 soit 6x + 4y = 92 ou encore 3x + 2y = 46
On obtient donc le système :
INCORPORER Equation.3
On le résout par substitution de x :
INCORPORER Equation.3
Vérification :
2(10 + 2(8 = 20 + 16 = 36
2(30 + 2(16 = 60 + 32 = 92
Le rectangle a pour longueur 10 cm et pour largeur 8cm.
Exercice FORMTEXTE : (Grenoble 99)
Les employés d'une petite entreprise sont classés en quatre catégories A, B, C et D.
Pour chaque catégorie, le salaire mensuel en francs de chaque employé, ainsi que le nombre d'employés, est donné dans un tableau.
Voici le tableau pour les mois de janvier et de février :
Catégorie ACatégorie BCatégorie CCatégorie DSalaire mensuel
en francs700090001000012000Nombre d'employés en janvier3485Nombre d'employés
en février6xy71. Calculer le salaire mensuel moyen des employés de cette entreprise en janvier.
2. On sait quen février, il y a quatre fois plus d'employés dans la catégorie C que dans la catégorie B et que le montant total des salaires est de 273 000 F.
a) Exprimer y en fonction de x.
b) Calculer x et y.
Correction :
1)
INCORPORER Equation.3
Le salaire moyen en Janvier est de 9850 F.
2)
a) y=4x
b) Le montant total des salaires est de 273 000 F
Donc 6(7000 + x(9000 + y(10000 + 7(12000 = 273000
Soit 9000x + 10000y = 273000-42000-84000=147000
En divisant par 1000, on obtient : 9x + 10y = 147
Finalement, on obtient le système suivant :
INCORPORER Equation.3
On le résout par substitution de y :
INCORPORER Equation.3
Vérification :
12 = 3(4
9(3 + 10(12 = 27 + 120 = 147
En Février, il y a donc 3 employés de la catégorie B et 12 employés de la catégorie C.
