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PS26 - Moodle UTBM

Question 4 : Définir ce que sont une onde électromagnétique plane puis une ... fondamentales des ondes électromagnétiques planes progressives dans le vide. .... On pourra imaginer comme en td que ce disque est en fait une infinité de ...




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PS26 PRINTEMPS 2011

FINAL (première partie) : Cours 30 mn maximum
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Dans cette partie de cours, vous devez rédiger par des phrases très claires et très précises en vous aidant éventuellement de schémas. La notation tiendra grandement compte de la qualité et de la précision des explications et des schémas.

Question 1 : Définir les termes suivants pour un matériau ferromagnétique.

Vecteur aimantation.
Aimantation rémanente.
Cycle d’hystérésis d’un matériau ferromagnétique.

Question 2 : Enoncer la loi d’Ohm généralisée aux phénomènes d’induction pour un conducteur ohmique en précisant clairement la signification de tous les termes intervenant dans l’équation (attention : ne pas confondre avec la loi d’Ohm locale).

Question 3 : Enoncer la loi de Lenz et donner un exemple d’application de cette loi.

Question 4 : Définir ce que sont une onde électromagnétique plane puis une onde électromagnétique sphérique. Quelles formes mathématiques décrivent de telles ondes.

Question 5 : Rappeler toutes les propriétés fondamentales des ondes électromagnétiques planes progressives dans le vide.






PS26 PRINTEMPS 2011

FINAL (deuxième partie) : Exercices 1 H 30 mn minimum Polycopié et calculettes autorisés

Cette partie propose 4 exercices : deux sur l’induction et deux sur les ondes. Il suffira d’en faire 3 entièrement pour avoir la note maximale mais vous pouvez aborder les 4 exercices.

Exercice n°1 : Induction et principe d’un compteur de vitesse de vélo.

Pour simplifier les calculs, on supposera qu’un aimant droit (de section carrée de coté a crée un champ magnétique uniforme  EMBED Equation.DSMT4  de norme B dans la direction de son axe, dans la zone pointillée et un champ nul ailleurs. Cet aimant droit passe à vitesse constante  EMBED Equation.DSMT4  devant une spire (S) carrée de coté b plus grand que le coté a de l’aimant. La spire supposée fixe est orientée par la normale  EMBED Equation.DSMT4 (voir figure ci-dessous vue du dessus).

(S) fixe


a  EMBED Equation.DSMT4 

 SHAPE \* MERGEFORMAT 

S agit-il d induction de Neumann ou de Lorentz (dans le référentiel de la spire)?
Donner le graphe représentant Fð(t) où Fð représente le flux envoyé par l aimant à travers la spire. On supposera qu’à t = 0, le champ magnétique commence à « entrer dans la spire ». On notera clairement sur le graphe les abscisses et ordonnées des points remarquables de la courbe. On distinguera clairement les trois phases du phénomène et on introduira trois temps caractéristiques : tð1, tð2, tð3 correspondant respectivement aux fin d  « entrée » de l aimant, début de « sortie » de l aimant et fin de sortie de l aimant et on exprimera ces trois temps tð1, tð2, tð3 en fonction de a, b et v (voir schémas au tableau).
En déduire le graphe donnant la fem e(t) prenant naissance dans la petite spire en fonction du temps.
Comment utiliser pratiquement cette tension induite pour mesurer la vitesse d’un vélo, l’aimant étant fixé sur un rayon de la roue et la spire sur la fourche ? On tiendra compte du fait qu’en pratique le champ magnétique de l’aimant est beaucoup plus compliqué que le modèle simpliste proposé ici!
Exercice 2 : Principe d’un détecteur de métal.

Cet exercice est surtout un exercice de compréhension d’un phénomène physique et il peut être résolu avec très peu de calculs. Il est donc demandé de faire les explications les plus claires possibles pour avoir les points correspondants.
 SHAPE \* MERGEFORMAT 

On place deux spires de façon coaxiale (figure 1). La spire 1 est traversée par un courant i1 sinusoïdal de fréquence f imposé par un générateur de courant non représenté sur la figure. La spire 2 n’est pas alimentée mais est branchée sur un détecteur de tension d’impédance infinie non représenté sur la figure. On assimilera cette spire à un conducteur ohmique. Cette deuxième spire étant branchée sur un détecteur d’impédance infinie, elle ne sera donc traversée par aucun courant. On négligera l’auto-induction.

Montrer par des considérations qualitatives que le flux magnétique envoyé par la spire 1 sur la spire 2 est proportionnel à i1. On rappelle qu’une grandeur y est proportionnelle à une grandeur x si on peut mettre y sous la forme y = kx où k est une constante !!! Quel nom donne-t-on au coefficient de proportionnalité entre le flux et le courant dans ce cas?
En déduire qu’une force électromotrice va prendre naissance dans la spire 2 et que cette force électromotrice sera déphasée de  EMBED Equation.DSMT4  par rapport au courant dans la spire 1.
Cette force électromotrice sera directement détectée par le détecteur de tension. Expliquer pourquoi en vous aidant de la loi d’Ohm généralisée.
On place maintenant un objet métallique entre les deux spires. Pour simplifier, on suppose que cet objet est un disque de même axe que les deux spires (figure 2). Ce disque est alors traversé par des courants dits courants de Foucault ou courants dans la masse. Expliquer clairement pourquoi. On pourra imaginer comme en td que ce disque est en fait une infinité de spires concentriques et de rayons croissants. Quelle est la phase de ces courants par rapport à i1 ?
Montrer (sans calcul !!!) que la force électromotrice prenant naissance dans la bobine 2 est alors modifiée par ces courants de Foucault. Il n’est demandé aucun calcul mais une explication qualitative claire. Remarque: dans les détecteurs de métaux c’est la variation de cette force électromotrice qui indique la présence du métal.


Exercice 3 : Une onde électromagnétique plane sinusoïdale se propageant dans le vide est décrite par les composantes cartésiennes de son champ électrique dans le système SI :

 EMBED Equation.DSMT4 
Déterminer :
Les unités SI de Ex et Ey ?
La direction et le sens de propagation de cette onde.
Ey (justifier très clairement !).
La fréquence de cette onde.
La longueur d’onde de cette onde (on rappelle que c = 3.108 m.s-1)
Le domaine d’ondes électromagnétiques de cette onde (X, UV, visible, IR, micro-ondes, radio…).
Le type de polarisation de cette onde (indication : calculer Ex² + Ez²).
Les composantes du champ magnétique de cette onde
Le vecteur de Poynting de cette onde.
La puissance reçue par une cellule détectrice placée perpendiculairement à la direction de propagation et de section s = 1 cm².

Exercice 4 : Effet Doppler et big-bang.

Un émetteur S situé au point O d’un axe Ox émet dans la direction des x croissants une onde électromagnétique de fréquence fe. Cette onde est polarisée rectilignement suivant Oy et son champ électrique se met sous la forme:  EMBED Equation.DSMT4 . Un récepteur R se déplace sur l’axe des x ( x > 0) avec une vitesse vo, sa position est donnée par x = vot (v0 > 0). Ce récepteur est sensible au champ électrique de l’onde et génère un signal s(t) qui est proportionnel à l’amplitude Ey du champ électrique s (t) = kEy , k étant une constante. On travaille dans le vide.
Donner s en fonction de k, Eo, fe, vo, c et t.
Montrer que ce signal reçu (vu comme une fonction ne dépendant que de t) a une fréquence fr différente de fe. Donner fr en fonction de fe, vo et c. Cet effet est connu sous le nom d’effet Doppler.
On se propose de retrouver ce dernier résultat par une autre méthode: on suppose maintenant que l’émetteur émet des impulsions très courtes toutes les ðtð  EMBED Equation.DSMT4  secondes. La première impulsion électromagnétique part à t = tð, la deuxième à 2tð, la nième à ntð&
Où se trouve la nième impulsion à l instant t ( t > ntð). On donnera le résultat en fonction de n, t, tð et c (vitesse de la lumière).
A quel instant tn, le récepteur mobile reçoit-il cette impulsion ? On donnera le résultat en fonction de n, vo, tð et c.
Où se trouve la (n+1)ième impulsion à l instant t ( t > (n+1)tð). On donnera le résultat en fonction de n, t, tð et c.
A quel instant tn+1 le récepteur reçoit-il cette (n+1)ième impulsion ? On donnera le résultat en fonction de n, vo, tð et c.
En déduire l intervalle de temps Tr qui sépare la réception des deux impulsions par le récepteur. On donnera le résultat en fonction de tð, voð et c.
En déduire la fréquence du signal reçue par le récepteur en fonction fe, vo et c et montrer qu’on retrouve bien le résultat de la question 2.
L’onde électromagnétique reçue par le récepteur a-t-elle une fréquence plus petite ou plus grande que l’onde émise ?
Analyser vous-même le cas où le récepteur se rapproche de l’émetteur.
Application : rougissement Doppler des spectres stellaires. On constate que les longueurs d’ondes visibles émises par les éléments se trouvant à la surface des étoiles très lointaines sont décalées vers le rouge (donc vers les grandes longueurs d’onde) par rapport aux mêmes éléments émettant sur terre. En quoi cette constatation est-elle un argument fort en faveur du big-bang (l’univers serait né d’une gigantesque explosion il y a environ 15 milliards d’années)?


Correction du final PS26 P2011.


Questions de cours :


Le vecteur aimantation représente le moment dipolaire d’un corps aimanté par unité de volume soit : EMBED Equation.DSMT4 où  EMBED Equation.DSMT4  représente le moment magnétique dipolaire d un petit élément de volume dtð.
L aimantation rémanente représente l aimantation EMBED Equation.DSMT4  qui reste dans un matériau lorsqu il n est plus exposé à aucun champ magnétisant d origine extérieure.

Le cycle d’hystérésis est la courbe qui donne l’aimantation d’un matériau en fonction de l’excitation magnétique extérieure qui lui est imposée (voir cette courbe sur le polycopié)


La loi d’Ohm généralisée donne la différence de potentiel VA-VB entre deux points A et B d’un conducteur ohmique soumis à un phénomène d’induction : VA-VB = RIAB - eAB. Dans cette formule R représente la résistance du conducteur entre A et B, IAB le courant traversant le conducteur, orienté de A vers B et eAB la fem d’induction prenant naissance entre A et B que l’on calculera par la loi de Faraday ou en faisant circuler le champ électromoteur.

La loi de Lenz précise qu’un courant induit par ses effets s’oppose aux causes qui l’ont fait naitre. Par exemple dans un alternateur, un circuit électrique tournant dans le champ magnétostatique d’un stator subira des forces de Laplace dues au courant induit et au champ qui tendront à le ralentir puisque la cause du courant induit est le mouvement du circuit. Dans le cas d’un circuit fixe soumis à un champ magnétique variable, le courant induit créé génèrera un champ magnétique induit opposé à la variation du champ magnétique inducteur, cause de l’induction.

Une onde électromagnétique plane est une onde telle que tous les points d’un plan perpendiculaire à la direction de propagation de cette onde seront dans le même état électromagnétique à un instant donné. D’un point de vue mathématique cette onde se mettra sous la forme d’une fonction f(t-z/c) ou g(t+z/c) si la direction de propagation est l’axe des z. Pour une onde sphérique, tous les points dans le même état électromagnétique à un instant donné se trouveront sur une sphère de rayon r centrée sur l’émetteur par exemple. D’un point de vue mathématique, cette onde fera apparaitre une fonction mathématique de la variable (t - r/c) pour traduire ce type de propagation.

Dans une onde électromagnétique plane progressive dans le vide, les propriétés sont les suivantes :
Les champs électrique et magnétique sont perpendiculaires à la direction de propagation.
Les champs électrique et magnétique sont perpendiculaires entre eux.
Le champ électrique a une norme c fois plus grande que le champ magnétique (c : vitesse de la lumière).
Le trièdre formé par le champ électrique, le champ magnétique et la direction de propagation est direct.
Correction du final PS26 P2011.


Exercice 1 :
Il s’agit d’induction de Neumann puisque la spire ne bouge pas mais est soumise à un champ magnétique variable de la part de l’aimant.

Il faut distinguer trois phases :
L’entrée du champ dans la spire  EMBED Equation.DSMT4 
Le champ est entièrement dans la spire  EMBED Equation.DSMT4 
Le champ quitte la spire  EMBED Equation.DSMT4 
Puis l’aimant est passé  EMBED Equation.DSMT4 .
Ci-dessous les schémas correspondant aux trois phases.
 SHAPE \* MERGEFORMAT 

On a alors de façon évidente :
 EMBED Equation.DSMT4  Fð(t) = -avtB (spire orientée dans le sens trigo).
 EMBED Equation.DSMT4  Fð(t) = -Ba²
 EMBED Equation.DSMT4 = -Ba(a-(vt-b))
L allure générale du graphe sera donc :
 SHAPE \* MERGEFORMAT 
La fem est donnée par la loi de Faraday, donc en prenant la dérivée au signe près de la courbe précédente :
 SHAPE \* MERGEFORMAT 
Pour transformer le dispositif en compteur de vélo, il suffit de fixer l’aimant sur un rayon de la roue, la spire sur la fourche et de mettre un détecteur d’impulsions qui comptera le nombre d’impulsions positives par exemple par seconde ce qui donnera le nombre de tours par seconde puis de remonter à la vitesse connaissant le diamètre du pneu.

Exercice n°2 :

D’après la loi de Biot et Savart, le champ magnétique est proportionnel au courant qui le crée et le flux est proportionnel au champ magnétique par définition, donc le flux sera proportionnel au courant dans la spire 1 CQFD. Le coefficient de proportionnalité est appelé le coefficient de mutuelle entre les circuits.
La fem d’induction mutuelle dans la spire 2 sera donnée par la loi de Faraday . Si le courant i1 est en cosinus, la fem sera donc en sinus donc déphasée de  EMBED Equation.DSMT4 (retard).
On aura d’après la loi d’Ohm généralisée dans la spire 2, U = RI – e. Comme le courant sera nul puisque l’impédance du détecteur est infinie U = - e et le détecteur lira la fem (au signe près).
Chaque spire du disque peut être analysée du point de vue de l’induction comme la spire 2 et sera donc parcourue par un courant induit déphasé de  EMBED Equation.DSMT4 par rapport à i1 puisque la résistance n’est pas infinie.
Les courants de Foucault induits dans le disque vont eux-même créer un champ magnétique dans la spire 2 en plus de celui de la spire 1. Ce champ étant variable, la fem d’induction lue par le détecteur se trouvera donc modifiée ce que l’on détectera par une variation au niveau du détecteur.

Exercice n°3 :

Ex et Ey sont en V/m d’après  EMBED Equation.DSMT4 .
D’après le terme en  EMBED Equation.DSMT4 , l’onde se propage dans la direction de l’axe des y, dans le sens des y décroissants.
L’onde étant plane, le champ est perpendiculaire à la direction de propagation et donc Ey = 0.
On a w = 2pðf = 2pð108 rad.s-1 donc f = 108 Hz = 100 MHz.
On a  EMBED Equation.DSMT4 = 3 m.
Il s agit d ondes radios dans la bande FM. 
On a  EMBED Equation.DSMT4 . La norme du champ électrique est donc constante, le champ électrique décrit donc un cercle ::^_`P Z [ \ ] d š › ± ¼ Å Æ ù ú û 



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