INTRODUCTION A L'ANALYSE DE FOURIER
Dans le calcul tensoriel, on veut exprimer la façon dont se transforment dans un
changement de base les composantes des éléments d'un espace vectoriel et ...
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x espaces réciproques en cristallographie, en passant bien sûr par l'électricité. Pour cette seconde partie du chapitre, nous nous bornons à la définition de la transformation de Fourier où l'on aborde la notion de spectre d'un signal. Pour plus vaste information, nous conseillons au lecteur de se reporter à une introduction au traitement de signal, domaine où cet outil mathématique est indispensable. Voir par exemple : "Théorie et traitement de signaux", HYPERLINK "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/biblio/biblio2.html" [12].
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PLAN DE LA LEÇON VI
I SERIES DE FOURIER
1.1. Série de Fourier complexe 1.2. Spectre fréquentiel 1.3. Exemple : décomposition d'un train d'impulsions 1.4. Séries de Fourier réelles 1.5. Taux de distorsion harmoniqueII TRANSFORMATION DE FOURIER
2.1. Transformation de Fourier : définition 2.2. Spectre d'amplitude et spectre de phase 2.3. Exemple 2.4. Remarques 2.5. Fonction de transfert 2.6. Exemple : cellule RC excitée par un échelon unité 2.6. Table illustrée, transformées de Fourier 2.6. Opérations dans les domaines temporel et fréquentielIII EXERCICES ET CORRIGES
3.1. Spectre unilatéral 3.2. Développement de Fourier d'un signal carré 3.3. Distorsion harmonique _________________________________________________________________
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______________________________________________________ 1. LES SERIES DE FOURIER
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Nous avons déjà signalé que la linéarité du système rendait pertinente l'analyse harmonique et ses diagrammes de Bode ; ici on voit qu'effectivement, un signal périodique quelconque se décompose en une somme de signaux sinusoïdaux, c'est une propriété remarquable.
1.1. Série de Fourier complexe La fonction INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image1013.gif" \* MERGEFORMATINET , définie sur l'intervalle INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image1014.gif" \* MERGEFORMATINET , peut être exprimée comme une série de fonctions :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image1015.gif" \* MERGEFORMATINET
L'ensemble des fonctions :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image1016.gif" \* MERGEFORMATINET
constitue une base de l'espace vectoriel contenant la fonction x, et les coefficients INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image1194.gif" \* MERGEFORMATINET constituent les projections de la fonction x sur cette base.
On utilise le produit scalaire usuel et on obtient, pour le calcul de ces coefficients :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image1018.gif" \* MERGEFORMATINET
1.2. Spectre fréquentiel
Les différentes fréquences de la décomposition en série de Fourier sont données par :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image221.gif" \* MERGEFORMATINET
Le spectre fréquentiel et donné par le graphe :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image1020.gif" \* MERGEFORMATINET
soit physiquement : les amplitudes associées aux différentes fréquences.
Ce spectre fréquentiel est donc une manière de représenter un signal périodique, et cela reste valable dans le cas général d'un signal non périodique (d'énergie finie), ce que nous verrons avec la transformée de Fourier.
Le spectre fréquentiel est ici discret, il contient :
le niveau continu : valeur moyenne du signal
la composante fondamentale, de la fréquence du signal
les harmoniques, de fréquences multiples de celle de la fondamentale
les fréquences négatives, qui n'ont pas de signification physique directe ; on doit mathématiquement leur présence, au développement de la fonction réelle en série complexe. Ces fréquences négatives disparaissent avec l'utilisation de séries de Fourier réelles.
1.3. Exemple : décomposition d'un train d'impulsions
L'impulsion suivante est décomposée en série de Fourier complexe, en choisissant une période T :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image223.gif" \* MERGEFORMATINET
Tous calculs effectués on obtient pour les coefficients :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image980.gif" \* MERGEFORMATINET
En prenant comme variable la fréquence discrète :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image981.gif" \* MERGEFORMATINET
on obtient l'expression suivante :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image982.gif" \* MERGEFORMATINET
On obtient, pour la représentation du spectre de cette impulsion :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image227.gif" \* MERGEFORMATINET
Il convient de remarquer que si on examine la somme de la série de Fourier sur tout l'axe des temps, on obtient un signal périodique :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image228.gif" \* MERGEFORMATINET
Il a donc deux approches possibles : soit on ne s'intéresse qu'à une portion de signal (impulsion sur un intervalle de temps T) et alors la série ne prend de sens que sur cet intervalle, soit on développe sur tout l'axe réel un signal périodique grâce à cette décomposition de Fourier. C'est ce dernier cas qui intéresse en général, car les signaux non périodiques sont traités à l'aide de la transformation de Fourier qui génère un spectre continu (voir plus loin).
1.4. Séries de Fourier réelles
Comme le signal électrique est représenté par une fonction réelle à valeurs réelles, on peut aussi traiter ce cas sans passer par les nombres complexes.
On a le développement suivant, pour les séries de Fourier réelles :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image983.gif" \* MERGEFORMATINET
Les signaux impairs se développent en série de sinus, et les signaux pairs en série de cosinus, ce qui simplifie d'autant les calculs. Le spectre obtenu est unilatéral, d'où l'appellation de séries de Fourier unilatérales.
Dans l'exemple précédant du train d'impulsions rectangulaires :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image228.gif" \* MERGEFORMATINET
on obtient, comme développement de Fourier unilatéral :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image984.gif" \* MERGEFORMATINET
Et pour la représentation graphique du spectre discret (unilatéral) :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image231.gif" \* MERGEFORMATINET
Remarquons que le spectre unilatéral n'est pas la version tronquée du spectre bilatéral : les harmoniques ont le double d'amplitude par rapport à ce dernier. Il faut voir que le spectre bilatéral d'un signal sinusoïdal est donné par les deux fréquences : la positive et la négative, et leur amplitude est la moitié de celle de la fréquence du spectre unilatéral.
1.5. Taux de distorsion harmonique
On peut vouloir qualifier la linéarité de la caractéristique statique d'un quadripôle. Si cette caractéristique est linéaire, le système répond à une sinusoïde par une sinusoïde, sinon il introduit une distorsion et le signal de sortie n'est plus sinusoïdal, mais a acquis des harmoniques. Le taux de distorsion harmonique est défini ainsi :
Pour un signal sinusoïdal de fréquence f0, le système non-linéaire a crée des harmoniques de fréquences :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image1022.gif" \* MERGEFORMATINET
Définition du taux global de distorsion harmonique :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image987.gif" \* MERGEFORMATINET
Pour plus de détails : "Théorie et traitement de signal",
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_________________________ 2. LA TRANSFORMATION DE FOURIER
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En électronique et en traitement de signal, les signaux ne sont pas tous périodiques, cela représente même l'exception. Le développement en séries de Fourier ne représente donc pas forcément l'outil d'analyse privilégié, puisqu'il est nécessaire pour cela d'avoir des signaux périodiques.
2.1. Transformation de Fourier : définition
La transformation de Fourier peut être vue mathématiquement comme un cas particulier de celle de Laplace, en posant INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image988.gif" \* MERGEFORMATINET pour la variable fréquentielle. On définit :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image989.gif" \* MERGEFORMATINET
La fonction INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image990.gif" \* MERGEFORMATINET est la transformée de Fourier de la fonction INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image991.gif" \* MERGEFORMATINET . En traitement de signal, on utilise plus volontiers la variable fréquence INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image992.gif" \* MERGEFORMATINET que la pulsation INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image993.gif" \* MERGEFORMATINET , habituellement utilisée en transformée de Fourier.
2.2. Spectre d'amplitude et spectre de phase
Dans le cas général, la transformée de Fourier d'une fonction produit une fonction à valeurs complexes. INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image994.gif" \* MERGEFORMATINET . Ainsi, on peut obtenir deux informations de la fonction transformée de Fourier :
Le spectre d'amplitude : INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image995.gif" \* MERGEFORMATINET
Le spectre de phase : INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image996.gif" \* MERGEFORMATINET
2.3. Exemple :
On reprend l'impulsion précédante avec la transformée de Fourier :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image241.gif" \* MERGEFORMATINET
Equation de l'impulsion :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image997.gif" \* MERGEFORMATINET
Tous calculs faits, on obtient pour sa transformée de Fourier :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image998.gif" \* MERGEFORMATINET
On constate que dans ce cas, INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image1196.gif" \* MERGEFORMATINET est une fonction réelle. On peut la représenter graphiquement :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image245.gif" \* MERGEFORMATINET
Comme X(f) est réel, son spectre de phase est nul, et son spectre d'amplitude a l'allure suivante :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image246.gif" \* MERGEFORMATINET
2.4. Remarques
Comme pour le développement en séries de Fourier, on assiste à l'apparition de fréquences négatives, qui ne s'interprètent pas directement, mais qui sont néanmoins porteuses d'énergie.
La transformée de Fourier ici correspond à l'enveloppe du spectre discret du développement de Fourier. Dans cette transformation de Fourier, toutes les fréquences sont mises à contribution pour la représentation fréquentielle du signal temporel : le spectre est continu.
Contrairement au développement en séries de Fourier qui génère une fonction périodique sur tout l'axe réel quelles que soient les valeurs prises par cette fonction en dehors de la période considérée, la transformation de Fourier est appliquée à la fonction agissant sur tout l'axe réel. Il est ainsi créé ainsi une correspondance entre l'espace temporel où le signal évolue, et l'espace fréquentiel un peu plus abstrait. Les électriciens appellent cela la dualité temps-fréquence. Les cristallographes parlent d'espace direct et d'espace réciproque, etc...
Comme déjà évoqué précédemment, l'utilité de cette transformation est d'obtenir une autre représentation d'un signal. Cette représentation fréquentielle est essentielle en traitement de signal. Voir à ce sujet "Théorie et traitement des signaux", La situation est analogue à celle prévalant pour la transformation de Laplace, mais ici l'espace donné par la transformation de Fourier est bien repéré: c'est un espace de fréquences :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image247.gif" \* MERGEFORMATINET
2.5. Fonction de transfert
Ici nous présentons un exemple, où l'on emploie la transformée de Fourier, pour résoudre une équation différentielle, comme nous l'avons fait avec la transformation de Laplace. Ce n'est pas l'utilité principale de cet outil, mais cela permet de faire une remarque concernant les fonctions de transfert.
Si on réduit la transformation de Laplace à celle de Fourier, on prend comme variable : INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image1198.gif" \* MERGEFORMATINET . Ainsi, la fonction de transfert de Laplace se transforme en celle de Fourier avec cette substitution. Et cette fonction de transfert de Fourier n'est rien d'autre que celle obtenue avec les nombres complexes et qui correspond en fait à la fonction de transfert en régime harmonique (voir 4.3.5, 10.3.5 et 9.2).
Schéma-bloc du système :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image249.gif" \* MERGEFORMATINET
Dans l'espace temporel, on a :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image1001.gif" \* MERGEFORMATINET
Dans l'espace fréquentiel, on obtient :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image1002.gif" \* MERGEFORMATINET
2.6. Exemple : cellule RC excitée par un échelon unité
Soit une cellule RC, à laquelle on applique un échelon unité :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image252.gif" \* MERGEFORMATINET
Par le diviseur de tension dans le domaine des p, on obtient la fonction de transfert de Laplace :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image1003.gif" \* MERGEFORMATINET
Fonction de transfert de Fourier :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image1004.gif" \* MERGEFORMATINET
Signal d'entrée :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image1005.gif" \* MERGEFORMATINET
Signal de sortie :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image1006.gif" \* MERGEFORMATINET
Transformée inverse du signal de sortie :
(voir plus loin, les tables illustrées des transformations de Fourier)
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image1007.gif" \* MERGEFORMATINET
2.7. Table illustrée, transformées de Fourier (1/3)
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image259.gif" \* MERGEFORMATINET
Table illustrée de transformées de Fourier (2/3)
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image1024.gif" \* MERGEFORMATINET
Table illustrée de transformées de Fourier (3/3)
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image260.gif" \* MERGEFORMATINET
2.8. Opérations dans les domaines temporel et fréquentiel
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image1008.gif" \* MERGEFORMATINET
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______________________________ 3. EXERCICES
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3.1. Spectre unilatéral
ÉNONCÉ---
Dans l'exemple du train d'impulsions rectangulaires :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image228.gif" \* MERGEFORMATINET
on obtient la représentation graphique du spectre discret (unilatéral) :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image231.gif" \* MERGEFORMATINET
Nous avons remarqué que le spectre unilatéral n'est pas la version tronquée du spectre bilatéral : les harmoniques ont le double d'amplitude par rapport à ce dernier. Il faut voir que le spectre bilatéral d'un signal sinusoïdal est donné par les deux fréquences: la positive et la négative, et leur amplitude est la moitié de celle de la fréquence du spectre unilatéral.
Interprétez l'objet de la remarque précédante en termes énergétiques.
3.2. Développement de Fourier d'un signal carré
ÉNONCÉ---
Calculez de développement de Fourier d'un signal périodique carré.
Représentez son spectre fréquentiel et voyez les contributions des premières harmoniques.
3.3. Distorsion harmonique
ÉNONCÉ---
Un signal sinusoïdal est appliqué à l'entrée d'un système à caractéristique statique cubique :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image1009.gif" \* MERGEFORMATINET
Représentez la caractéristique statique du système non-linéaire.
Calculez, représentez le signal de sortie pour des amplitudes de 1V, 2V, 3V. Concluez.
Comment calculer le taux de distorsion harmonique correspondant ?
______________________________________________________ 4. CORRIGÉS
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Exercice 3.1 : Discussion
CORRIGÉ---
Dans le spectre bilatéral, chaque fréquence est représentée par une raie aux fréquences positives et une autre aux fréquences négatives. On peut donc dire que l'énergie d'une fréquence physique est portée par les deux harmoniques: la positive et la négative.
Il apparaît donc intuitivement normal dans un spectre unilatéral les harmoniques portent plus dénergie.
Exercice 3.2 : développement de Fourier d'un signal carré
CORRIGÉ---
Le signal carré se décompose en sinusoïdes :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image533.gif" \* MERGEFORMATINET
On obtient le spectre suivant:
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image534.gif" \* MERGEFORMATINET
Sur le graphique suivant, on peut visualiser un peu les contributions des harmoniques à la constitution du signal:
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image535.gif" \* MERGEFORMATINET
Par cette décomposition on comprend bien quun flanc dans le domaine temporel correspond à des très hautes fréquences dans le domaine fréquentiel.
Exercice 3.3 : distorsion harmonique
CORRIGÉ---
La caractéristique a l'allure suivante:
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image536.gif" \* MERGEFORMATINET
Des entrées de trois amplitudes différentes donnent des formes de sortie différentes, c'est une caractéristique d'un système non-linéaire. A basse amplitude, la forme sinusoïdale semble conservée; on peut considérer le système comme linéaire.
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image537.gif" \* MERGEFORMATINET
Pour calculer le taux de distorsion harmonique, il faut choisir une amplitude de signal sinusoïdal, calculer le spectre du signal de sortie et en déduire la grandeur cherchée.
Note: Comparez la tension de sortie pour une entrée de 3V avec le développement du signal carré: fondamentale + première harmonique
Pour le calcule du taux de distorsion harmonique on considère :
ui = u sin(wð t)
et uo = u3 sin3 (wð t)
On décompose selon Fourier :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image538.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image539.gif" \* MERGEFORMATINET
Le taux de distorsion donne :
INCLUDEPICTURE "http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/lecon06/image540.gif" \* MERGEFORMATINET
