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CORRIGÉ

CORRIGÉ ... On substitue x par 42,30 ? 3y dans L1. D'où x = 42,20 ? 3×9,5 ... K est le centre du parallélogramme BCRO donc c'est le milieu des diagonales, ... OAB est rectangle en O. (Remarque si on n'a pas calculer AB on montre que OMP ...




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CORRIGÉ
ÉPREUVE COMMUNE DE MATHÉMATIQUES
Lundi 21 mai 2007

ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points)

Exercice 1
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 

Exercice 2

On considère l’expression C = (x – 1)(3x + 7) – (x – 1)2.

1. Développer et réduire C.
 EMBED Equation.3 
2. Factoriser C.
 EMBED Equation.3  3. Résoudre l’équation (x – 1)(2x + 8) = 0.
Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul
d’où x – 1= 0 ou 2x + 8 = 0
x= 1 x = –4
Les solutions sont –4 et 1.
Exercice 3

1. Résoudre le système suivant en précisant la méthode employée :
 EMBED Equation.3 
Méthode de substitution
D’après L2 x = 42,20 – 3y
On substitue x par 42,30 – 3y dans L1
 EMBED Equation.3 
D’où x = 42,20 – 3×9,5
x = 13,7
La solution du système est (13,7 ; 9,5)
Méthode de la combinaison linéaire
Pour supprimer les « x » on effectue la combinaison L1 – 3L2
 EMBED Equation.3 
D’où en remplaçant y par 9,5 dans L2 on a :
x + 3×9,5 =42,20
x + 28,5 = 42,20
x = 42,20 – 28,5
x = 13,7
La solution du système est (13,7 ; 9,5)

2. Le problème se traduit par le système précédent où x représente le prix d’un oranger et y représente le prix d’un citronnier. Donc un oranger coûte 13,70 euros et un citronnier 9,50 euros.

ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (12 points)

Exercice 1
1. Les coordonnées du vecteur  EMBED Equation.3  sont ( 4 ; 2).
2. Les coordonnées de R sont (4 ; 2) et celles de C sont (5 ; 6).
3. Par construction de R et C on a  EMBED Equation.3 .
Puisque  EMBED Equation.3  on a que BCRO est un parallélogramme.
4. Recopier et compléter sans justification les égalités :
 EMBED Equation.3  (Relation de Chasles) ;  EMBED Equation.3 (Identité du parallélogramme)
5. K est le centre du parallélogramme BCRO donc c’est le milieu des diagonales, en particulier le milieu de [OC].
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3  Les coordonnées de K sont (2,5 ; 3)

Exercice 2
1. Montrer que les droites (MP) et (AB) sont parallèles.
Les points A, M et O d’une part et B, P et O d’autre part sont aligné dans cet ordre.
D’une part  EMBED Equation.3 
D’autre part  EMBED Equation.3 
Finalement  EMBED Equation.3  donc d’après la réciproque du théorème de Thalès les droites (AB) et (MP) sont parallèles.

2. Calculer la longueur AB.
Les droites (AM) et (PB) sont sécantes en O, les droites (AB) et (MP) sont parallèles donc d’après le théorème de Thalès on a :
 EMBED Equation.3  d’où  EMBED Equation.3 
Donc  EMBED Equation.3  AB = 20

3. Montrer que le triangle OAB est rectangle en O.
Dans le triangle OAB,
d’une part AB2 = 202 = 400, d’autre part OA2 + OB2 = 122 + 162 = 144 + 256 = 400
Finalement AB2 = OA2 + OB2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle OAB est rectangle en O. (Remarque si on n’a pas calculer AB on montre que OMP est rectangle en O)

Exercice 3
1. Justifier que le triangle MAH est un triangle rectangle.
Le triangle MAH est inscrit dans un cercle, un côté de ce triangle est un diamètre de sont cercle circonscrit donc le triangle est rectangle et ce côté est l’hypoténuse.
Conséquence MAH est rectangle en M.
2. Calculer la mesure de l’angle MHA, arrondie à l’unité.
Dans le triangle MAH rectangle en M on a :
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3   EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 

PROBLÈME (12 points)

1. Compléter le tableau suivant :
Durée (en minutes)30456075Abonnement A (en euros)28
30×0,3+1931,5
45×0,3+1937
60×0,3+1941,5
75×0,3+19Abonnement B (en euros)35
30×0,2+2938
45×0,2+2941
60×0,2+2944
75×0,2+292. Exprimer yA et yB en fonction de x.
yA = 19 + 0,3x et yB = 29 + 0,2x
3. Déterminer le nombre de minutes correspondant à un montant de 151 euros pour l’abonnement A.
151 –19 = 132
Les communications ont coûtées 132 euros.
132 : 0,3 = 440
Pour 151 euros on a communiqué 440 minutes.
4. f et g sont deux fonctions affines donc leurs représentations graphiques sont des droites.
On utilise les valeurs du tableau pour établir le graphique ci-contre.






5.a. Résoudre l’équation 19 + 0,3x = 29 + 0,2x.
0,3x – 0,2x = 29 – 19
0,1x = 10
x  EMBED Equation.3 
x= 100


Pour 100 minutes de communication les deux tarifs sont égaux.
b. Quel est le tarif le plus avantageux si l’on consomme moins d’une heure de communication par mois ?
Le tarif A est le plus avantageux car graphiquement pour moins de 60 minutes (une heure) la courbe représentant le tarif A est en dessous de la courbe représentant le tarif B.
6.a. Pour 46 euros on dispose de 90 minutes de communication avec le tarif A.
b. Retrouver ce résultat par le calcul.
46 – 19 = 27
On les communications représentent 27 euros.
27 : 0,3 = 90
Pour 46 euros, on dispose de 90 minutes de communication.
10

90

Communication
en min

0

5

19

29

46

Prix en euros

O

J

I

R

A

K

B

C


 :