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Multiplier ou diviser un nombre par 10, 100, 1000. ..... intervenir le produit de
deux nombres en écritures fractionnaires (en relation avec différentes
significations ...
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Mathématiques
Préambule pour le collège
Ce préambule complète lintroduction commune à lensemble des disciplines scientifiques et technologique à laquelle il convient de se référer.
1. Finalités et objectifs
À lécole primaire, une proportion importante délèves sintéresse à la pratique des mathématiques et y trouve du plaisir. Le maintien de cet intérêt pour les mathématiques doit être une préoccupation du collège. Il est en effet possible de se livrer, à partir dun nombre limité de connaissances, à une activité mathématique véritable, avec son lot de questions ouvertes, de recherches pleines de surprises, de conclusions dont on parvient à se convaincre. Une telle activité, accessible aux élèves, a une valeur formatrice évidente et leur permet dacquérir les savoirs et savoir-faire qui leur seront nécessaires.
1.1. Les mathématiques comme discipline de formation générale
Au collège, les mathématiques contribuent, avec dautres disciplines, à entraîner les élèves à la pratique dune démarche scientifique. Lobjectif est de développer conjointement et progressivement les capacités dexpérimentation et de raisonnement, dimagination et danalyse critique. Elles contribuent ainsi à la formation du futur citoyen.
À travers la résolution de problèmes, la modélisation de quelques situations et lapprentissage progressif de la démonstration, les élèves prennent conscience petit à petit de ce quest une véritable activité mathématique : identifier et formuler un problème, conjecturer un résultat en expérimentant sur des exemples, bâtir une argumentation, contrôler les résultats obtenus en évaluant leur pertinence en fonction du problème étudié, communiquer une recherche, mettre en forme une solution.
1.2. Loutil mathématique
Les méthodes mathématiques sappliquent à la résolution de problèmes courants. Elles ont cependant leur autonomie propre et lefficacité des concepts quelles étudient, due à leur universalité, leur permet dintervenir dans des domaines aussi divers que les sciences physiques, les sciences de la vie et de la Terre, la technologie, la géographie... Certaines de ces disciplines entretiennent des liens très étroits avec la discipline mathématique qui leur apporte lefficacité de ses outils et, en retour, nourrit sa réflexion des problèmes quelles lui soumettent.
Lenseignement tend à la fois à développer la prise de conscience de cette autonomie par les élèves et à montrer que léventail des utilisations est très largement ouvert. Au collège, est visée la maîtrise de techniques mathématiques élémentaires de traitement (organisation de données, représentations, mises en équation) et de résolution (calculs et équations bien sûr, mais aussi constructions). Leur emploi dans la prévision et laide à la décision est précieux dans de multiples circonstances, de la gestion familiale à lactivité scientifique ou professionnelle.
1.3 Les mathématiques comme discipline dexpression
Les mathématiques participent à lenrichissement de lemploi de la langue par les élèves, en particulier par la pratique de largumentation. Avec dautres disciplines, les mathématiques ont également en charge lapprentissage de différentes formes dexpression autres que la langue usuelle (nombres, symboles, figures, tableaux, schémas, graphiques) ; elles participent ainsi à la construction de nouveaux langages. Lusage largement répandu des moyens actuels de traitement de linformation et de communication exige une bonne maîtrise de ces formes variées dexpression.
1.4. Les mathématiques et lhistoire des arts
Lenseignement des mathématiques contribue à sensibiliser lélève à lhistoire des arts dans la continuité de lenseignement assuré à lécole primaire. Situées dans une perspective historique, les uvres appartiennent aux six grands domaines artistiques définis dans le programme dhistoire des arts. Ces uvres permettent deffectuer des éclairages et des croisements en relation avec les autres disciplines : au sein des « arts de lespace », peuvent, par exemple, être abordés certains principes géométriques utilisés dans larchitecture et dans lart des jardins; « les arts du visuel » permettent, par exemple, daborder la question de la perspective, les constructions en pavages ; dans les « arts du langage » certains procédés de construction littéraire sappuient sur des principes mathématiques. Les thématiques proposées dans lenseignement de lhistoire des arts, par exemple « Arts, espace, temps » ou « Arts et innovations techniques », permettent dintroduire quelques grands repères dans lhistoire des sciences, des techniques et des arts.
2. Le socle commun
Le socle commun de connaissances et de compétences recouvre en mathématiques la quasi totalité des champs du programme, la différence entre le programme proprement dit et le socle commun résidant surtout dans le degré dapprofondissement et dans lexpertise attendue. De plus, pour la maîtrise de nombreux concepts, un temps dappropriation plus important est laissé aux élèves.
Certes, quelques connaissances inscrites dans les programmes ne figurent pas dans les compétences du socle (trigonométrie, équation, fonctions,
) mais cest essentiellement au niveau des capacités attendues et des activités proposées que la différence entre les exigibles apparaît. Elles sont identifiées dans les programmes par un recours aux caractères italiques, signalé systématiquement.
Sur deux points importants, le socle commun se démarque de façon importante du programme :
- dans le domaine du calcul littéral, les exigences du socle ne portent que sur les expressions du premier degré à une lettre et ne comportent pas les techniques de résolution algébrique ou graphique de léquation du premier degré à une inconnue ;
- dans le domaine géométrique, les élèves doivent apprendre à raisonner et à argumenter, mais lécriture formalisée dune démonstration de géométrie nest pas un exigible du socle.
De plus, il faut prendre en compte, à propos des connaissances et capacités relatives aux nombres en écriture fractionnaire, que le travail sur les quotients est exigeant et doit être conduit sur les quatre années de collège. Au niveau des exigibles du socle commun, toute technicité est exclue, puisque dans lesprit général du socle on se limite à des problèmes simples, proches de la vie courante, utilisant des nombres en écriture fractionnaire.
3. Organisation des contenus
Les quatre parties des programmes des classes du collège sorganisent autour des objectifs suivants :
organisation et gestion de données, fonctions
- maîtriser différents traitements en rapport avec la proportionnalité ;
- approcher la notion de fonction (exemples des fonctions linéaires et affines) ;
- sinitier à la lecture, à lutilisation et à la production de représentations, de graphiques et à lutilisation dun tableur ;
- acquérir quelques notions fondamentales de statistique descriptive et se familiariser avec les notions de chance et de probabilité.
nombres et calcul
- acquérir différentes manières décrire des nombres (écriture décimale, écriture fractionnaire, radicaux) et les traitements correspondants ;
- se représenter la droite graduée complète, avec son zéro séparant les valeurs positives et négatives et apprendre à y localiser les nombres rencontrés ;
- poursuivre lapprentissage du calcul sous toutes ses formes : mental, posé, instrumenté ;
- assimiler progressivement le langage algébrique et son emploi pour résoudre des problèmes (en particulier distinguer égalité, identité et équation).
géométrie
- passer de lidentification perceptive (la reconnaissance par la vue) de figures et de configurations à leur caractérisation par des propriétés (passage du dessin à la figure) ;
- isoler dans une configuration les éléments à prendre en compte pour répondre à une question ;
- être familiarisé avec des représentations de lespace, notamment avec lutilisation de conventions usuelles pour les traitements permis par ces représentations ;
- découvrir quelques transformations géométriques simples : symétries : symétries axiales et centrales ;
- se constituer un premier répertoire de théorèmes et apprendre à les utiliser.
Grandeurs et mesure
- se familiariser avec lusage des grandeurs les plus courantes (longueurs, angles, aires, volumes, durées) ;
- connaître et utiliser les périmètres, aires et volumes des figures planes et des solides étudiés ;
- calculer avec les unités relatives aux grandeurs étudiées, ainsi quavec les unités de quelques grandeurs quotients et grandeurs produits.
Ces programmes sont construits de manière à permettre une acquisition et un approfondissement progressifs des notions sur toute la durée du collège. Leur mise en oeuvre est enrichie par lemploi des instruments actuels de calcul, de dessin et de traitement (calculatrices, ordinateurs).
4. Organisation des apprentissages et de lenseignement
Les enseignants ont le libre choix de lorganisation de leur enseignement, dans le respect des programmes. Il importe cependant déviter lémiettement des savoirs et des méthodes et de faciliter leur bonne structuration, en particulier en vue dune initiation progressive au raisonnement déductif.
Une difficulté de lenseignement au collège vient de la double nécessité de traiter la totalité du programme et dassurer à tous les élèves la maîtrise des éléments du socle. En mathématiques, cest à travers une pédagogie différenciée basée sur la résolution de problèmes et la mise en activité de la totalité des élèves que ce double objectif peut être atteint.
Il est nécessaire dentretenir les capacités développées dans les classes antérieures, indispensables à la poursuite des apprentissages et à la maîtrise du socle commun par tous les élèves. Cet entretien doit être assuré non par des révisions systématiques mais par des activités appropriées, notamment des résolutions de problèmes.
4.1. Une place centrale pour la résolution de problèmes
La compréhension et lappropriation des connaissances mathématiques reposent sur lactivité de chaque élève qui doit donc être privilégiée. Pour cela, et lorsque cest possible, sont choisies des situations créant un problème dont la solution fait intervenir des « outils », cest-à-dire des techniques ou des notions déjà acquises, afin daboutir à la découverte ou à lassimilation de notions nouvelles. Lorsque celles-ci sont bien maîtrisées, elles fournissent à leur tour de nouveaux « outils », qui permettent un cheminement vers une connaissance meilleure ou différente. Ainsi, les connaissances peuvent prendre du sens pour lélève à partir des questions quil se pose et des problèmes quil résout. Les situations choisies doivent :
- prendre en compte les objectifs visés et une analyse préalable des savoirs en jeu, ainsi que les acquis et les conceptions initiales des élèves ;
- permettre un démarrage possible pour tous les élèves, donc ne reposer que sur des consignes simples et nexiger, au départ, que des connaissances solidement acquises par tous ;
- créer rapidement un problème assez riche pour provoquer des conjectures ;
- rendre possible la mise en jeu, puis la formulation des notions ou des procédures dont lapprentissage est visé ;
- fournir aux élèves, aussi souvent que possible, des occasions de contrôle de leurs résultats, tout en favorisant un nouvel enrichissement ; on y parvient, par exemple, en prévoyant divers cheminements qui permettent de fructueuses comparaisons.
Si la résolution de problèmes permet de déboucher sur létablissement de connaissances nouvelles, elle est également un moyen privilégié den élargir le sens et den assurer la maîtrise. Pour cela, les situations plus ouvertes, dans lesquelles les élèves doivent solliciter en autonomie les connaissances acquises, jouent un rôle important. Leur traitement nécessite initiative et imagination et peut être réalisé en faisant appel à différentes stratégies qui doivent être explicitées et confrontées, sans nécessairement que soit privilégiée lune dentre elles.
Lutilisation doutils logiciels est particulièrement importante et doit être privilégiée chaque fois quelle est une aide à limagination, à la formulation de conjectures ou au calcul. Cette utilisation se présente sous deux formes indispensables, notamment dans le cadre des compétences du socle commun : lusage dun vidéoprojecteur en classe et lutilisation par les élèves dordinateurs « en fond de classe » ou en salle informatique.
4.2. Une prise en compte des connaissances antérieures des élèves
Lenseignement prend en compte les connaissances antérieures des élèves : mise en valeur des points forts et repérage des difficultés de chaque élève à partir dévaluations diagnostiques. Ainsi lenseignement peut-il être organisé au plus près des besoins des élèves, en tenant compte du fait que tout apprentissage sinscrit nécessairement dans la durée et sappuie sur les échanges qui peuvent sinstaurer dans la classe.
Il convient de faire fonctionner les notions et « outils » mathématiques étudiés au cours des années précédentes dans de nouvelles situations, autrement quen reprise ayant un caractère de révision. En sixième, particulièrement, les élèves doivent avoir conscience que leurs connaissances évoluent par rapport à celles acquises à lécole primaire.
4.3. Limportance des mises en cohérence
Pour être efficaces, les connaissances doivent être identifiées, nommées et progressivement détachées de leur contexte dapprentissage.
Dune part, toute activité (qui peut sétendre sur plusieurs séances) doit être complétée par une synthèse. Celle-ci doit porter sur les quelques notions mises en évidence (définitions, résultats, théorèmes et outils de base) que, désormais, les élèves doivent connaître et peuvent utiliser. Elle est aussi loccasion de dégager les méthodes de résolution de problèmes qui mettent en uvre ces notions. Il convient, en effet, de préciser à chaque étape de lapprentissage quelles connaissances sont désormais en place et donc directement utilisables.
Dautre part, il est nécessaire de proposer des situations détude dont le but est de coordonner des acquisitions diverses. Dans cette optique, lenseignant réalise, avec les élèves, des synthèses plus globales, à lissue dune période détude et propose des problèmes dont la résolution nécessite lutilisation de plusieurs connaissances. Le traitement de ces problèmes permet de souligner le sens, lintérêt, la portée des connaissances mathématiques, que ce soit dans dautres disciplines ou dans la vie quotidienne (pourcentages, échelles, représentations graphiques...). Certains problèmes peuvent prendre appui sur des éléments empruntés à lhistoire des mathématiques. Les moyens modernes de communication (informatique, banques de données, audiovisuel
) sont également utilisés chaque fois que leur usage est justifié.
4.4. La nécessité des mémorisations et des réflexes intellectuels.
En mathématiques, les concepts, les connaissances et les méthodes sélaborent et sorganisent progressivement à partir des savoirs antérieurs, pour former un ensemble structuré et cohérent.
Ainsi lactivité mathématique, centrée sur la résolution de problèmes, nécessite-t-elle de sappuyer sur un corpus de connaissances et de méthodes, parfaitement assimilées et totalement disponibles.
En effet, pour être autonome dans la résolution dun problème et donc être en capacité de prendre des initiatives, dimaginer des pistes de solution et de sy engager sans ségarer, lélève doit disposer dautomatismes qui facilitent le travail intellectuel en libérant lesprit des soucis de mise en uvre technique tout en élargissant le champ des démarches susceptibles dêtre engagées.
Ces nécessaires réflexes intellectuels sacquièrent dans la durée sous la conduite du professeur. Ils se développent en mémorisant et en automatisant progressivement certaines procédures, certains raisonnements particulièrement utiles, fréquemment rencontrés et qui ont valeur de méthode. Toutefois un automatisme nest pas un moyen pour comprendre plus vite ; il permet simplement daller plus vite lorsque lon a compris. Si leur acquisition nécessite des exercices dentraînement et mémorisation, référés à des tâches simples, ces exercices ne sauraient suffire. En effet, pour être disponibles, les automatismes doivent être entretenus et régulièrement sollicités dans des situations où ils font sens.
4.5. Une initiation très progressive à la démonstration
La question de la preuve occupe une place centrale en mathématiques. La pratique de largumentation pour convaincre autrui de la validité dune réponse, dune solution ou dune proposition ou pour comprendre un « phénomène » mathématique a commencé dès lécole primaire et se poursuit au collège pour faire accéder lélève à cette forme particulière de preuve quest la démonstration. Si, pour cet objectif, le domaine géométrique occupe une place particulière, la préoccupation de prouver et de démontrer ne doit pas sy cantonner. Le travail sur les nombres, sur le calcul numérique, puis sur le calcul littéral offre également des occasions de démontrer.
À cet égard, deux étapes doivent être clairement distinguées : la première, et la plus importante, est la recherche et la production dune preuve ; la seconde, consistant à mettre en forme la preuve, ne doit pas donner lieu à un formalisme prématuré En effet des préoccupations et des exigences trop importantes de rédaction, risquent docculter le rôle essentiel du raisonnement dans la recherche et la production dune preuve. Cest pourquoi il est important de ménager une grande progressivité dans lapprentissage de la démonstration et de faire une large part au raisonnement, enjeu principal de la formation mathématique au collège. La rédaction et la mise en forme dune preuve gagnent à être travaillées collectivement ,avec laide du professeur, et à être présentées comme une façon convaincante de communiquer un raisonnement aussi bien à loral que par écrit.
Dans le cadre du socle commun, qui doit être maîtrisé par tous les élèves, cest la première étape, « recherche et production dune preuve » qui doit être privilégiée, notamment par une valorisation de largumentation orale. La mise en forme écrite ne fait pas partie des exigibles.
La prise de conscience de ce que sont la recherche et la mise en uvre dune démonstration est également facilitée par le fait que, en certaines occasions, lenseignant se livre à ce travail devant la classe, avec la participation des élèves.
Cette initiation à la démonstration doit en particulier permettre aux élèves de distinguer une propriété conjecturée et vérifiée sur des exemples dune propriété démontrée. En particulier, lenseignant doit préciser explicitement quun résultat mathématique qui nest pas démontré est admis.
4.6. Mathématiques et langages
En mathématiques, les élèves sont conduits à utiliser la langue ordinaire en même temps quun langage spécialisé.
Dans le prolongement de lécole primaire, la place accordée à loral reste importante. En particulier, les compétences nécessaires pour la validation et la preuve (articuler et formuler les différentes étapes dun raisonnement, communiquer, argumenter à propos de la validité dune solution) sont dabord travaillées oralement en sappuyant sur les échanges qui sinstaurent dans la classe ou dans un groupe, avant dêtre sollicitées par écrit individuellement. Par ailleurs, certaines formulations orales peuvent constituer une aide à la compréhension. Par exemple il est plus facile, pour un élève, de concevoir que EMBED Equation.3 plus EMBED Equation.3 égale EMBED Equation.3 en verbalisant sous la forme « deux tiers plus cinq tiers est égal à sept tiers » plutôt quen oralisant lécriture symbolique « 2 sur 3 plus 5 sur 3 égale 7 sur 3 ».
Dans le domaine de lécrit, lobjectif est dentraîner les élèves à mieux lire et mieux comprendre un texte mathématique, et aussi à produire des textes dont la qualité est destinée à être lobjet dune amélioration progressive.
Un moyen efficace pour faire admettre la nécessité dun langage précis, en évitant que cette exigence soit ressentie comme arbitraire par les élèves, est le passage du « faire » au « faire faire ». Cest, lorsque lélève écrit des instructions pour lexécution par autrui (par exemple, décrire, pour la faire reproduire, une figure un peu complexe) ou lorsquil utilise un ordinateur pour un traitement voulu, que lobligation de précision lui apparaît comme une nécessité. Cest également le cas lorsque, dans un débat argumentatif, il doit se faire comprendre des autres élèves.
Le vocabulaire et les notations ne doivent pas être fixés demblée, mais introduits au cours du traitement dune question, en fonction de leur utilité : ils sont à considérer comme des conquêtes de lenseignement et non comme des points de départ. Il convient, en particulier, dêtre attentif au langage et aux significations diverses dun même mot.
Les travaux mathématiques sont loccasion de familiariser les élèves avec lemploi dun nombre limité de notations courantes qui nont pas à faire lobjet dexercices systématiques (le langage doit rester au service de la pensée et de son expression) :
dans le domaine numérique : les symboles dégalité et dinégalité, les symboles dopérations (dont les notations puissance et racine carrée au cycle central) et le symbole de pourcentage ;
dans le domaine géométrique : le symbole dappartenance, la longueur AB dun segment dextrémités A et B, langle , le segment [AB], la droite (AB), et la demi-droite [AB), puis les notations trigonométriques.
4.7. Différents types décrits
Les élèves sont fréquemment placés en situation de production décrits. Il convient à cet égard de développer et de bien distinguer trois types décrits dont les fonctions sont différentes.
Les écrits de type « recherche » (brouillon) qui correspondent au travail « privé » de lélève : ils ne sont pas destinés à être communiqués, ils peuvent comporter des dessins, des schémas, des figures, des calculs. Ils sont un support pour essayer, se rendre compte dune erreur, reprendre, rectifier, pour organiser sa recherche. Ils peuvent également être utilisés comme mémoire transitoire en cours de résolution du problème. Si lenseignant est amené à les consulter pour étudier le cheminement de lélève, il ne doit ni les critiquer, ni les corriger.
Les écrits destinés à être communiqués et discutés : ils peuvent prendre des formes diverses (affiche, transparent, documents informatiques...) et doivent faire lobjet dun souci de présentation, de lisibilité, dexplicitation, tout en sachant que, le plus souvent, ils seront lobjet dun échange entre élèves au cours duquel des explications complémentaires seront apportées.
Les écrits de référence, élaborés en vue de constituer une mémoire du travail de lélève ou de la classe, et donc destinés à être conservés.
4.8. Le travail personnel des élèves
En étude ou à la maison, ce type de travail est nécessaire non seulement pour affermir les connaissances de base et les réinvestir dans des exemples simples mais aussi pour en élargir le champ de fonctionnement et susciter ainsi de lintérêt pour lactivité mathématique. Il contribue aussi à habituer lélève à lindispensable régularité dun travail autonome, complémentaire de celui réalisé avec le professeur.
Il peut prendre diverses formes :
résolution dexercices dentraînement, combinée avec létude de la leçon pour asseoir les connaissances ;
travaux individuels de rédaction pour développer les capacités dexpression écrite et la maîtrise de la langue ;
résolution de problèmes variés (exercices de synthèse, énigmes, jeux mathématiques
) pour mettre en uvre des démarches heuristiques en temps non limité ;
construction dobjets géométriques divers (frises, pavages, solides,
) en utilisant ou non linformatique
lectures ou recherches documentaires, en particulier sur lhistoire de la discipline ou plus généralement des sciences pour enrichir les connaissances ;
constitution de dossiers sur un thème donné.
Pour ces travaux en dehors de la classe, il convient de favoriser laccès des élèves aux ordinateurs de létablissement qui doivent être munis des logiciels adéquats.
La correction individuelle du travail dun élève est une façon den apprécier la qualité et de permettre à son auteur de laméliorer, donc de progresser.
Le travail personnel proposé en classe aux élèves peut prendre chacune des formes décrites ci-dessus, en tenant compte, chaque fois, de la durée impartie. Il faut veiller à un bon équilibre entre ces diverses activités.
Ces travaux doivent être différenciés en fonction du profil et des besoins des élèves, ainsi que des objectifs du socle commun.
Le travail en classe proprement dit doit être complété par des séances régulières en salle informatique où lélève utilise lui-même les logiciels au programme (tableur, grapheur, logiciel de géométrie). Ces séances de travaux pratiques sur ordinateur doivent toujours avoir pour objectif lappropriation et la résolution dun problème mathématique. Tout travail en salle informatique doit aboutir à la production dun écrit, manuscrit ou imprimé.
4.9. Lévaluation
Lévaluation (qui ne se réduit pas au contrôle noté) nest pas un à-côté des apprentissages. Elle doit y être intégrée et en être linstrument de régulation, pour lenseignant et pour lélève. Elle permet détablir un constat relatif aux acquis de lélève, à ses difficultés. Dans cette optique, le travail sur les erreurs constitue souvent un moyen efficace de laction pédagogique. Lévaluation ne doit pas se limiter à indiquer où en est lélève ; elle doit aussi rendre compte de lévolution de ses connaissances, en particulier de ses progrès.
Lévaluation de la maîtrise dune capacité par les élèves ne peut pas se limiter à la seule vérification de son fonctionnement dans des exercices techniques. Il faut aussi sassurer que les élèves sont capables de la mobiliser deux-mêmes, en même temps que dautres capacités, dans des situations où leur usage nest pas explicitement sollicité dans la question posée.
Lévaluation sommative, en mathématiques, est réalisée sous trois formes complémentaires :
- des interrogations écrites courtes dont le but est de vérifier quune notion ou une méthode sont correctement assimilées ;
- des devoirs de contrôle courts et peu nombreux qui permettent de vérifier, de façon plus synthétique, la capacité des élèves à utiliser leurs acquis, à la suite dune phase dapprentissage ;
- certains devoirs de contrôle peuvent être remplacés par un bilan trimestriel qui est loccasion de faire le point sur les acquis des élèves relatifs à une longue période détude.
4.10. Capacités et activités de formation
Le programme décrit, pour chaque contenu, les capacités élaborées dans chacune des classes du collège. Les commentaires qui les accompagnent apportent un éclairage supplémentaire sur les conditions de leur apprentissage.
La définition de ces capacités vise donc à clarifier les attentes, à préciser les priorités et à fournir des repères dans le but daider les enseignants dans leur travail de programmation et dans la mise au point des évaluations qui permettent den baliser la réalisation.
Il importe de bien garder à lesprit que la liste des capacités, si elle fixe les objectifs à atteindre, ne détermine pas pour autant les moyens pédagogiques à utiliser pour cela.
Lordre dexposé des capacités, pour chaque domaine, ne correspond pas nécessairement à celui de leur apprentissage. Dautant plus que, dans la plupart des cas, ces capacités ne sacquièrent ni isolément les unes des autres, ni en une seule fois.
Pour prendre sens pour les élèves, les notions mathématiques et les capacités qui leur sont liées gagnent à être mises en évidence et travaillées dans des situations riches, à partir de problèmes à résoudre, avant dêtre entraînées pour elles-mêmes.
Il faut également prendre en compte le fait que tout apprentissage se réalise dans la durée, dans des activités variées et que toute acquisition nouvelle doit être reprise, consolidée et enrichie. Dans cette perspective, la répétition dexercices vides de sens pour lélève à un moment donné nest pas la meilleure stratégie pour favoriser la maîtrise dune capacité. Il convient denvisager que cest parfois dans le cadre dun travail ultérieur, en travaillant sur dautres aspects de la notion en jeu ou sur dautres concepts, quune capacité non maîtrisée à un certain moment pourra être consolidée.
Classe de sixième
Lenseignement des mathématiques en classe de sixième a une triple visée :
- consolider, enrichir et structurer les acquis de lécole primaire ;
- préparer à lacquisition des méthodes et des modes de pensée caractéristiques des mathématiques (résolution de problèmes et divers moyens daccéder à la vérité) ;
- développer la capacité à utiliser les outils mathématiques dans différents domaines (vie courante, autres disciplines).
Le vocabulaire et les notations nouvelles ( ( , % , ( , [AB] , (AB) , [AB) , AB, ) sont introduits au fur et à mesure de leur utilité, et non au départ dun apprentissage.
Note : les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italiques. Si la phrase en italiques est précédée dun astérisque litem sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. Dire que lexigibilité pour le socle est différée ne veut pas dire que la capacité ne doit pas être travaillée bien au contraire ! mais que les élèves pourront bénéficier de plus de temps pour la maîtriser.
1. Organisation et gestion de données. Fonctions
La résolution de problèmes de proportionnalité est déjà travaillée à lécole primaire. Elle se poursuit en Sixième, avec des outils nouveaux. La proportionnalité fait l'objet d'un apprentissage continu et progressif sur les quatre années du collège et permet de comprendre et de traiter de nombreuses notions du programme.
À lécole primaire, les élèves ont été mis en situation de prendre de linformation à partir de tableaux, de diagrammes ou de graphiques. Ce travail se poursuit au collège, notamment avec lobjectif de rendre les élèves capables de faire une interprétation critique de linformation apportée par ces types de présentation des données, aux natures très diverses, en liaison avec dautres disciplines (géographie, sciences de la vie et de la terre, technologie
).
Objectifs
La résolution de problèmes a pour objectifs :
de mettre en place les principaux raisonnements qui permettent de reconnaître et traiter les situations de proportionnalité,
dinitier les élèves à la présentation, à lutilisation et à linterprétation de données sous diverses formes (tableaux, graphiques
).
ConnaissancesCapacitésCommentaires
1.1. Proportionnalité
Propriété de linéarité.
Tableau de proportionnalité.
- Reconnaître les situations qui relèvent de la proportionnalité et les traiter en choisissant un moyen adapté :
- utilisation dun rapport de linéarité, entier ou décimal,
- utilisation du coefficient de proportionnalité, entier ou décimal,
- passage par limage de lunité (ou « règle de trois »),
- * utilisation dun rapport de linéarité, dun coefficient de proportionnalité exprimé sous forme de quotient.
Les problèmes à proposer (qui relèvent aussi bien de la proportionnalité que de la non proportionnalité) se situent dans le cadre des grandeurs (quantités, mesures). Ils doivent relever de domaines familiers des élèves et rester dune complexité modérée, en particulier au niveau des nombres mis en uvre.
Les rapports utilisés sont, soit des rapports entiers ou décimaux simples *soit des rapports exprimés sous forme de quotient.Pourcentages.- Appliquer un taux de pourcentage.
Les élèves doivent connaître le sens de lexpression «
% de » et savoir lutiliser dans des cas simples où aucune technique nest nécessaire.
ConnaissancesCapacitésCommentaires
1.2. Organisation et représentation de données
Représentations usuelles : tableaux.
- Lire, utiliser et interpréter des données à partir dun tableau.
- Lire interpréter et compléter un tableau à double entrée.
-* Organiser des données en choisissant un mode de présentation adapté :
- tableaux en deux ou plusieurs colonnes,
- tableaux à double entrée.
Il sagit dun premier pas vers la capacité à recueillir des données et à les présenter sous forme de tableau. Repérage sur un axe.- Lire et compléter une graduation sur une demi-droite graduée, à laide dentiers naturels, de décimaux, de fractions simples 1/2, 1/10, 1/4, 1/5 * ou de quotients (placement exact ou approché).
Ce travail doit être loccasion de manier les instruments de tracé et de mesure.Représentations usuelles :
- diagrammes en bâtons,
- *diagrammes circulaires ou demi-circulaires,
- graphiques cartésiens.
- Lire, utiliser et interpréter des informations à partir dune représentation graphique simple.
La capacité visée concerne laptitude à faire une interprétation globale et qualitative de la représentation étudiée (évolution dune grandeur en fonction dune autre).
Dès la classe de 6e, lutilisation de calculatrices et de logiciels permet de familiariser les élèves avec le passage dun type dorganisation, dun type de présentation à un autre.
2. Nombres et Calculs
En continuité avec l'école élémentaire les problèmes doivent permettre aux élèves d'associer à une situation concrète un travail numérique, de mieux saisir le sens des opérations figurant au programme. Les problèmes proposés sont issus de la vie courante, des autres disciplines ou des mathématiques.
Les travaux numériques prennent appui sur la pratique du calcul exact ou approché sous ses différentes formes, souvent utilisées en interaction : calcul mental, calcul à la main ou instrumenté. À la suite de lécole primaire, le collège doit, en particulier, permettre aux élèves d'entretenir et de développer leurs compétences en calcul mental notamment pour la perception des ordres de grandeur.
Objectifs
La résolution de problèmes a pour objectifs :
de consolider le sens des opérations, de développer le calcul mental, le calcul à la main et lutilisation raisonnée des calculatrices, de conforter et détendre la connaissance des nombres décimaux,
de mettre en place une nouvelle signification de lécriture fractionnaire comme quotient de deux entiers,
de savoir choisir lécriture appropriée dun nombre suivant la situation,
de percevoir lordre de grandeur dun nombre.
ConnaissancesCapacitésCommentaires
2.1 Nombres entiers et décimaux
Désignations.
- Connaître et utiliser la valeur des chiffres en fonction de leur rang dans l'écriture d'un entier ou d'un décimal.
- Associer diverses désignations dun nombre décimal : écriture à virgule, fractions décimales.
Lobjectif est dassurer une bonne compréhension de la valeur des chiffres en fonction du rang quils occupent dans lécriture à virgule, sans refaire tout le travail réalisé à lécole élémentaire.
La bonne compréhension sappuie sur le sens et non sur des procédures.
Ordre.
- Comparer deux nombres entiers ou décimaux, ranger une liste de nombres.
- Encadrer un nombre, intercaler un nombre entre deux autres.
- Placer un nombre sur une demi-droite graduée.
- Lire l'abscisse d'un point ou en donner un encadrement.Les procédures utilisées pour comparer, encadrer, intercaler des nombres sont justifiées en sappuyant sur la signification des écritures décimales ou le placement des points sur une demi-droite graduée.
ConnaissancesCapacitésCommentaires*Valeur approchée décimale.
* Donner une valeur approchée décimale (par excès ou par défaut) dun décimal à lunité, au dixième, au centième près.
2.2 Opérations
Addition, soustraction, multiplication et division.
- Connaître les tables d'addition et de multiplication et les résultats qui en dérivent.
- Multiplier ou diviser un nombre par 10, 100, 1000.
- * Multiplier un nombre par 0,1 ; 0,01 ; 0,001.
La maîtrise des tables est consolidée par une pratique régulière du calcul mental sur des entiers et des décimaux simples.
La division décimale est limitée à la division dun décimal par un entier. En calcul posé, le dividende comporte au maximum deux chiffres après la virgule.
Multiples et diviseurs.- Connaître et utiliser les critères de divisibilité par 2, 5 et 10.
- Connaître et utiliser les critères de divisibilité par 3, 4 et 9.
La notion de multiple, introduite à l'école primaire, est rappelée sur des exemples numériques, en même temps qu'est introduite celle de diviseur. Les différentes significations de ce dernier terme doivent être explicitées.
Sens des opérations.
- Choisir les opérations qui conviennent au traitement de la situation étudiée.
Pour les problèmes à étapes, la solution peut être donnée à laide dune suite de calculs,
*ou à laide de calculs avec parenthèses.
Techniques élémentaires de calcul.- Savoir effectuer ces opérations sous les diverses formes de calcul : mental, à la main ou instrumenté.
- Connaître la signification du vocabulaire associé : somme, différence, produit, terme, facteur, dividende, diviseur, quotient, reste.
La capacité à calculer mentalement est une priorité et fait lobjet dactivités régulières.
La maîtrise des différents moyens de calcul doit devenir suffisante pour ne pas faire obstacle à la résolution de problèmes.
Concernant le calcul posé, les nombres doivent rester de taille raisonnable et aucune virtuosité technique nest recherchée.
Ordre de grandeur.
- Établir un ordre de grandeur dune somme, *dune différence, dun produit. Lobjectif est de sensibiliser les élèves à utiliser les ordres de grandeur pour contrôler ou anticiper un résultat.
2.3 Nombres en écriture fractionnaire
Écriture fractionnaire.
À l'école élémentaire, l'écriture fractionnaire est introduite en référence au partage d'une unité. Par exemple EMBED Equation.3 est 7 fois un tiers.
* Quotient exact.
-* Interpréter EMBED Equation.3 comme quotient de lentier a par lentier b, cest-à-dire comme le nombre qui multiplié par b donne a.
- * Placer le quotient de deux entiers sur une demi-droite graduée dans des cas simples.
Le vocabulaire relatif aux écritures fractionnaires est utilisé : numérateur, dénominateur.
*Le programme de la classe de 6e
a pour objectif dinterpréter aussi EMBED Equation.3 comme
- le tiers de 7
- le nombre qui multiplié par 3 donne 7 ;
- un nombre dont une valeur approchée est 2,33.
- Prendre une fraction dune quantité.
*Il sagit de faire comprendre la modélisation de ce type de problème par une multiplication.Lutilisation de quotients, sous forme fractionnaire, permet de gérer plus facilement les raisonnements et de repousser la recherche dune valeur approchée décimale à la fin de la résolution.
* Un quotient ne change pas quand on multiplie son numérateur et son dénominateur par un même nombre.-* Reconnaître dans des cas simples que deux écritures fractionnaires différentes sont celles d'un même nombre.La connaissance des tables de multiplication est notamment exploitée à cette occasion.
3. Géométrie
À lécole élémentaire, les élèves ont acquis une première expérience des figures et des solides les plus usuels, en passant dune reconnaissance perceptive (reconnaissance des formes) à une connaissance plus analytique prenant appui sur quelques propriétés (alignement, perpendicularité, parallélisme, égalité de longueurs, milieu, axes de symétrie), vérifiées à laide dinstruments. Ils ont été entraînés au maniement de ces instruments (équerre, règle, compas, gabarit) sur des supports variés, pour construire des figures, en particulier pour le tracé de perpendiculaires et de parallèles à laide de la règle et de léquerre.
Les travaux conduits en sixième prennent en compte les acquis antérieurs, évalués avec précision et obéissent à de nouveaux objectifs. Ils doivent viser d'une part à stabiliser les connaissances des élèves et d'autre part à les structurer, et peu à peu à les hiérarchiser. L'objectif dinitier à la déduction est aussi pris en compte. À cet effet, les activités qui permettent le développement des capacités à décortiquer et à construire des figures et des solides simples, à partir de la reconnaissance des propriétés élémentaires, occupent une place centrale.
Les travaux géométriques sont conduits dans différents cadres : espace ordinaire (cour de récréation, par exemple), espace de la feuille de papier uni ou quadrillé, écran dordinateur. La résolution des mêmes problèmes dans ces environnements différents, et les interactions quelle suscite, contribuent à une approche plus efficace des concepts mis en uvre.
Les connaissances géométriques permettent de modéliser des situations (par exemple représenter un champ par un rectangle) et de résoudre ainsi des problèmes posés dans lespace ordinaire. Les formes géométriques (figures planes, solides) se trouvent dans de nombreux domaines : architecture, uvres d'art, éléments naturels, objets dusage courant
Ces mises en relation permettent peu à peu de dégager le caractère universel des objets géométriques par rapport à leurs diverses réalisations naturelles ou artificielles.
Objectifs
La résolution de problèmes a pour objectifs :
de compléter la connaissance des propriétés des figures planes et des solides usuels,
de maîtriser les techniques de construction (utilisation des instruments et logiciels adaptés, mobilisation des connaissances dans les raisonnements implicites sous-jacents),
de reconnaître les figures planes usuelles dans une configuration complexe,
de conduire sans formalisme des raisonnements simples utilisant les propriétés des figures usuelles ou de la symétrie axiale,
de passer dun objet de lespace à ses représentations.
ConnaissancesCapacitésCommentaires
3.1. Figures planes
Notions de parallèle, de perpendiculaire.
- Tracer, par un point donné, la perpendiculaire ou la parallèle à une droite donnée.
- Utiliser différentes méthodes.
- Reporter une longueur.
- * Reproduire un angle.
Il est seulement attendu des élèves quils sachent utiliser en situation ces notions, notamment pour la reconnaissance de deux droites parallèles ou pour leur tracé.
Ces capacités prennent leur sens lorsquelles sont mobilisées pour résoudre un problème : reproduire une figure, * en compléter un agrandissement ou une réduction déjà amorcée, construire une figure daprès une de ses descriptions.
* Le rapporteur est, pour les élèves de 6e, un nouvel instrument de mesure dont lutilisation doit faire lobjet dun apprentissage spécifique.
Cercle.- Savoir que, pour un cercle :
tout point qui appartient au cercle est à une même distance du centre ;
tout point situé à cette distance du centre appartient au cercle.
On attend des élèves quils sachent utiliser en situation ces propriétés.- Construire, à la règle et au compas, un triangle connaissant les longueurs de ses côtés.
Capacité déjà travaillée au cycle 3.Propriétés des quadrilatères usuels.
- Connaître les propriétés relatives aux côtés, aux angles, aux diagonales pour le rectangle, le carré et le losange.* La symétrie axiale est mise en jeu pour mettre en évidence certaines propriétés.
ConnaissancesCapacitésCommentairesPropriétés et construction des triangles usuels.
- Connaître les propriétés relatives aux côtés et aux *angles des triangles suivants : triangle isocèle, triangle équilatéral, triangle rectangle.
- Utiliser ces propriétés pour reproduire ou construire des figures simples.
- Construire une figure simple à laide dun logiciel de géométrie dynamique.
On travaillera à la fois les constructions sur papier par les outils de dessin traditionnels et les constructions sur écran à laide dun logiciel de géométrie.
* Médiatrice dun segment.
-* Connaître et utiliser la définition de la médiatrice ainsi que la caractérisation de ses points par la propriété d'équidistance.
* Bissectrice dun angle.
-* Connaître et utiliser la définition de la bissectrice.
- Utiliser différentes méthodes pour tracer :
la médiatrice dun segment ;
la bissectrice dun angle.
*La bissectrice d'un angle est définie en sixième comme la demi-droite qui partage l'angle en deux angles adjacents de même mesure. La justification de la construction de la bissectrice à la règle et au compas est reliée à la symétrie axiale.Constructions géométriques.Reproduction, construction de figures complexes.Ces situations nécessitent de reconnaître des figures simples dans une figure complexe et demandent un travail danalyse utile aux apprentissages ultérieurs.
3.2 Symétrie orthogonale par rapport à une droite (symétrie axiale)
- Construire le symétrique dun point, dune droite, dun segment, dun cercle (que laxe de symétrie coupe ou non la figure).
- Construire ou compléter la figure symétrique d'une figure donnée ou de figures possédant un axe de symétrie à l'aide de la règle (graduée ou non), de l'équerre, du compas, * du rapporteur.
- Effectuer les tracés de limage dune figure par symétrie axiale à laide des instruments usuels (règle, équerre, compas).
Lélève peut utiliser la méthode de son choix.
Dans la continuité du travail entrepris à l'école élémentaire, les activités s'appuient encore sur un travail expérimental (pliage, papier calque) permettant d'obtenir un inventaire abondant de figures simples, à partir desquelles sont dégagées les propriétés de « conservation » de la symétrie axiale (conservation des distances, de l'alignement, des angles et des aires).
* Le rôle de la médiatrice comme axe de symétrie dun segment est mis en évidence.
3.3 Parallélépipède rectangle : patrons, représentation en perspective
- Fabriquer un parallélépipède rectangle de dimensions données, à partir de la donnée du dessin de lun de ses patrons.
- Reconnaître un parallélépipède rectangle de dimensions données à partir
- du dessin dun de ses patrons,
- dun dessin le représentant en perspective cavalière.
- Reconnaître dans une représentation en perspective cavalière du parallélépipède rectangle les arêtes de même longueur, les angles droits, les arêtes, les faces parallèles ou perpendiculaires.
- Dessiner ou compléter un patron dun parallélépipède rectangle.
À lécole élémentaire les élèves ont déjà travaillé sur des solides droits de lespace (description, construction, patron). Cette étude est poursuivie en 6e en mettant laccent sur un aspect nouveau : la représentation en perspective cavalière, dont certaines caractéristiques sont précisées aux élèves.
Lusage doutils informatiques permet une visualisation de différentes représentations dun même objet de lespace.
Même si les compétences attendues ne concernent que le parallélépipède rectangle, les travaux portent sur différents objets de lespace et sappuient sur létude de solides amenant à passer de lobjet à ses représentations et inversement.
4. Grandeurs et mesures
En continuité avec le travail effectué à lécole élémentaire, cette rubrique sappuie sur la résolution de problèmes souvent empruntés à la vie courante. Elle permet daborder lhistoire des sciences, dassurer des liens avec les autres disciplines, en particulier la technologie et les sciences de la vie et de la Terre, de réinvestir les connaissances acquises en mathématiques, mais aussi den construire de nouvelles. Par exemple, le recours aux longueurs et aux aires permet d'enrichir le travail sur les nombres non entiers et les opérations étudiées en classe de sixième. Il est important que les élèves disposent de références concrètes pour certaines grandeurs et soient capables destimer une mesure (ordre de grandeur). Lutilisation d'unités dans les calculs sur les grandeurs est légitime. Elle est de nature à en faciliter le contrôle et à en soutenir le sens. À travers les activités sur les longueurs, les aires et les volumes, les élèves peuvent se construire et utiliser un premier répertoire de formules.
Objectifs
La résolution de problèmes a pour objectifs :
de compléter les connaissances relatives aux longueurs, aires, masses et durées,
de savoir choisir une unité appropriée et effectuer des changements dunités,
de consolider la notion dangle, dassurer la maîtrise des notions daire et de périmètre,
de mettre en place la notion de volume et de commencer létude du système dunités de mesure des volumes.
ConnaissancesCapacitésCommentaires
4.1 Longueurs, masses, durées
- Effectuer, pour les longueurs et les masses, des changements dunités de mesure.
- Comparer géométriquement des périmètres.
- Calculer le périmètre dun polygone.
- Connaître et utiliser la formule donnant la longueur dun cercle.
Il sagit dentretenir les connaissances acquises à lécole élémentaire, de compléter et consolider lusage dinstruments de mesure, en sappuyant sur les équivalences entre les différentes unités.
La comparaison de périmètres sans avoir recours aux formules est particulièrement importante pour affermir le sens de cette notion.
Le travail sur les périmètres permet aussi une initiation aux écritures littérales.
- Calculer des durées, calculer des horaires.
4.2 Angles
- Comparer des angles sans avoir recours à leur mesure.
-* Utiliser un rapporteur pour :
- déterminer la mesure en degré dun angle,
- construire un angle de mesure donnée en degré.
* Le rapporteur est un nouvel instrument de mesure quil convient dintroduire à loccasion de la construction et de létude des figures.
4.3 Aires : mesure, comparaison et calcul daires
- Comparer géométriquement des aires.
- Déterminer laire dune surface à partir dun pavage simple.
- Différencier périmètre et aire.
- Calculer laire dun rectangle dont les dimensions sont données.
- Connaître et utiliser la formule donnant laire dun rectangle.
- Calculer laire dun triangle rectangle, *dun triangle quelconque dont une hauteur est tracée.
- Connaître et utiliser la formule donnant laire dun disque.
- Effectuer pour les aires des changements dunités de mesure.
Poursuivre le travail effectué à lécole élémentaire, en confrontant les élèves à des problèmes.
La comparaison daires sans avoir recours à des formules est particulièrement importante pour affermir le sens de cette notion.
Certaines activités proposées conduisent les élèves à comprendre notamment que périmètre et aire ne varient pas toujours dans le même sens.
Une démarche expérimentale permet de vérifier la formule de laire du disque.
4.4 Volumes- Déterminer le volume dun parallélépipède rectangle en se rapportant à un dénombrement dunités,* en utilisant une formule.
- Connaître et utiliser les unités de volume et les relier aux unités de contenance.
- Savoir que 1 L = 1 dm3.
- Effectuer pour les volumes des changements dunités de mesure.
Comme pour les longueurs et les aires, lutilisation des équivalences entre diverses unités est préférée à celle systématique d'un tableau de conversion.
Classe de cinquième
Note : les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italiques. Si la phrase en italiques est précédée dun astérisque litem sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. Dire que lexigibilité pour le socle est différée ne veut pas dire que la capacité ne doit pas être travaillée bien au contraire ! mais que les élèves pourront bénéficier de plus de temps pour la maîtriser.
Organisation et gestion de données, fonctions
En classe de cinquième, la proportionnalité occupe toujours une place centrale. Les méthodes de résolution des problèmes de proportionnalité évoluent avec les connaissances des élèves, notamment avec une meilleure maîtrise de la notion de quotient.
La partie relative au traitement et à la représentation de données a pour objectif dinitier à la lecture, à linterprétation, à la réalisation et à lutilisation de diagrammes, tableaux et graphiques et de mettre en évidence la relativité de linformation représentée. Les travaux correspondants sont conduits à partir dexemples et en liaison, chaque fois quil est possible, avec lenseignement des autres disciplines et létude des thèmes de convergence.
Objectifs
La résolution de problèmes a pour objectifs
daffermir la maîtrise des principaux raisonnements qui permettent de traiter les situations de proportionnalité,
dinitier les élèves au repérage sur une droite graduée ou dans le plan muni dun repère,
dacquérir et interpréter les premiers outils statistiques (organisation et représentation de données, fréquences) utiles dans dautres disciplines et dans la vie de citoyen, de se familiariser avec des écritures littérales.
ConnaissancesCapacitésCommentaires
1.1. Proportionnalité
Propriété de linéarité.
Tableau de proportionnalité.
Passage à lunité ou « règle de trois ».
- Compléter un tableau de nombres représentant une relation de proportionnalité, en particulier déterminer une quatrième proportionnelle.
- Reconnaître si un tableau complet de nombres est ou non un tableau de proportionnalité.
Le travail sur des tableaux de nombres sans lien avec un contexte doit occuper une place limitée. Les activités numériques et graphiques font le plus souvent appel à des situations mettant en relation deux grandeurs.
Il est possible denvisager, dans une formule, des variations dune grandeur en fonction dune autre grandeur mais toute définition de la notion de fonction est exclue.
Les procédures utilisées pour traiter une situation de proportionnalité sont de même nature quen classe de sixième.
Lusage du « produit en croix » est exclu en classe de cinquième.
Pour les coefficients de proportionnalité ou les rapports de linéarité exprimés sous forme de quotient, on choisira des nombres qui évitent des difficultés techniques inutiles. En particulier les quotients de nombres décimaux ne sont pas exigibles.
Pourcentage.
Échelle.
[Thèmes de convergence]- Mettre en uvre la proportionnalité dans les cas suivants :
comparer des proportions,
utiliser un pourcentage,
* calculer un pourcentage,
* utiliser léchelle dune carte ou dun dessin,
calculer léchelle dune carte ou dun dessin,
Un travail doit être conduit sur la comparaison relative deffectifs dans des populations différentes ou de proportions dans un mélange. Il sarticule avec lutilisation de lécriture fractionnaire pour exprimer une proportion.
1.2. Expressions littérales
[Thèmes de convergence]
Utiliser une expression littérale.
Produire une expression littérale.
De nombreux thèmes du programme, notamment dans le domaine grandeurs et mesures, conduisent à utiliser des expressions littérales (formules).
ConnaissancesCapacitésCommentaires
1.3. Activités graphiques
Repérage sur une droite graduée.
Sur une droite graduée :
- lire labscisse dun point donné,
- placer un point dabscisse donnée (exactement ou approximativement, en fonction du contexte),
- déterminer la distance de deux points dabscisses données.
Les nombres utilisés dans ces activités peuvent être des entiers, des décimaux ou des quotients simples.
Les activités graphiques conduisent :
- à établir la correspondance entre nombres et points dune droite graduée (une même droite peut être graduée de plusieurs façons),
- à interpréter labscisse dun point dune droite graduée en termes de distance et de position par rapport à lorigine,
- à choisir léchelle permettant de placer une série de nombres sur une portion de droite graduée.
Repérage dans le plan.
[Thèmes de convergence]Dans le plan muni dun repère orthogonal :
lire les coordonnées dun point donné,
placer un point de coordonnées données,
Connaître et utiliser le vocabulaire : origine, coordonnées, abscisse, ordonnée.
Le repérage est à relier avec des situations de la vie quotidienne, le vocabulaire nest pas un objet dapprentissage pour lui-même.
Des activités dans lesquelles les élèves ont eux-mêmes à graduer une droite ou à produire un graphique sont proposées.
1.4 Représentation et traitement de données
Effectifs.
*Fréquences.
Classes.
Calculer des effectifs,
* Calculer des fréquences.
Regrouper des données en classes dégale amplitude.
Les élèves sont entraînés à lire, interpréter et représenter des données en utilisant un vocabulaire adéquat dans des contextes qui leur sont familiers.
Le calcul deffectifs cumulés nest pas un attendu.
* Les écritures 4/10, 2/5, 0,4 40 % sont utilisées pour désigner une fréquence : elles permettent dinsister sur les diverses représentations dun même nombre.
Tableau de données, représentations graphiques de données.
[Thèmes de convergence]- Lire et interpréter des informations à partir dun tableau ou dune représentation graphique (diagrammes divers, histogramme).
- Présenter des données sous la forme dun tableau, les représenter sous la forme dun diagramme ou dun histogramme (dans ce cas les classes sont toujours de même amplitude).
Le choix de la représentation est lié à la nature de la situation étudiée.
Lutilisation dun tableur permet denrichir ce travail en le prolongeant à des situations plus complexes que celles qui peuvent être traitées « à la main ».
2. Nombres et Calculs
Les problèmes proposés associant à une situation donnée une activité numérique, renforcent le sens des opérations et des diverses écritures numériques et littérales. Ils sont principalement issus de la vie courante, des autres disciplines ou des mathématiques. Il convient de ne pas multiplier les activités purement techniques. Toutes les travaux numériques fournissent des occasions de pratiquer le calcul exact ou approché sous toutes ses formes, utilisées en interaction : calcul mental, à la main ou instrumenté.
ObjectifsLa résolution de problèmes a pour objectifs :
dentretenir et développer la pratique du calcul mental, du calcul à la main et lutilisation raisonnée des calculatrices ;
dassurer la maîtrise des calculs dexpressions numériques sur les nombres décimaux positifs et prévoir lordre de grandeur dun résultat ;
dinitier aux nombres relatifs et aux calculs sur les nombres en écriture fractionnaire ;
de familiariser les élèves aux raisonnements conduisant à des expressions littérales ;
dapprendre à choisir et interpréter lécriture appropriée dun nombre ou dune expression littérale suivant la situation, dapprendre à effectuer des transformations simples décriture ;
dinitier à la notion déquation.
ConnaissancesCapacitésCommentaires
2.1. Nombres entiers et décimaux positifs : calcul, divisibilité sur les entiers
*Enchaînement dopérations.
Effectuer une succession dopérations donnée sous diverses formes (par calcul mental, à la main ou instrumenté), uniquement sur des exemples numériques.
- Écrire une expression correspondant à une succession donnée dopérations.
Lacquisition des priorités opératoires est un préalable au calcul algébrique. Les questions posées à propos de résultats obtenus à laide de calculatrices peuvent offrir une occasion de dégager les priorités opératoires usuelles.
La capacité visée dans le socle commun concerne uniquement un calcul isolé. Pour construire la capacité : « savoir quand et comment utiliser les opérations élémentaires pour résoudre un problème », la succession dopérations, si elle est nécessaire, se fait étape par étape.
Distributivité de la multiplication par rapport à laddition.
Sur des exemples numériques, utiliser les égalités EMBED Equation.3 et
EMBED Equation.3 dans les deux sens.
- * Sur des exemples littéraux, utiliser les égalités
EMBED Equation.3 et
EMBED Equation.3 dans les deux sens.Dans le cadre du socle commun il convient de privilégier lexploitation de cette propriété sur des exemples numériques.
Lintégration des lettres dans ce type dégalités est une difficulté quil faut prendre en compte. Elle sappuie sur des situations empruntées aux cadres numérique ou géométrique.
Division par un décimal.
- Ramener une division dont le diviseur est décimal à une division dont le diviseur est entier.Ce travail est à conduire en relation avec les égalités décritures fractionnaires. Il se conçoit essentiellement dans le cadre de la résolution de problème.
Multiples et diviseurs, divisibilité.
Reconnaître, dans des cas simples, si un nombre entier positif est multiple ou diviseur dun autre nombre entier positif.
Les notions de multiple et diviseur sont entretenues. La reconnaissance de multiples ou de diviseurs est faite soit en utilisant les critères de divisibilité installés en classe de sixième, soit en ayant recours au calcul mental ou à la division.
ConnaissancesCapacitésCommentaires
2.2. Nombres positifs en écriture fractionnaire :
sens et calculs
Sens de lécriture fractionnaire.
- Utiliser lécriture fractionnaire comme expression dune proportion, dune fréquence.
La classe de cinquième sinscrit, pour le travail sur les écritures fractionnaires, dans un processus prévu sur toute la durée du collège. En classe de 6e, lécriture fractionnaire a deux significations :
- le « partage » ( EMBED Equation.3 , cest 3 fois EMBED Equation.3) ;
- le quotient: EMBED Equation.3 désigne le cinquième de 3 (le nombre dont le produit par 5 est égal à 3).
Lutilisation dune écriture fractionnaire pour exprimer une proportion, une fréquence est à relier à la notion de quotient.
Dans le traitement mathématique des problèmes de la vie courante, les fractions interviennent rarement en tant que nombre. Lutilisation des nombres décimaux est souvent suffisante et doit être privilégiée tout particulièrement dans le cadre du socle commun.- Utiliser sur des exemples numériques des égalités du type EMBED Equation.3.Légalité EMBED Equation.3 fait lobjet dune justification à laide dun exemple générique.
Addition et soustraction.
*Multiplication.
- Additionner et soustraire deux nombres en écriture fractionnaire dans le cas où les dénominateurs sont les mêmes *et dans le cas où le dénominateur de lun est un multiple du dénominateur de lautre.
- *Effectuer le produit de deux nombres écrits sous forme fractionnaire ou décimale, le cas dentiers étant inclus.
Des oralisations du type « 3 quarts plus 5 quarts » permettent deffectuer directement des opérations sans mobiliser explicitement le statut de nombre.
Le travail porte à la fois sur les situations dont le traitement fait intervenir le produit de deux nombres en écritures fractionnaires (en relation avec différentes significations de ces écritures) et sur la justification du procédé de calcul.
2.3. Nombres relatifs entiers et décimaux :
sens et calculs
Notion de nombre relatif.
*Ordre.
- Utiliser la notion dopposé.
- *Ranger des nombres relatifs courants en écriture décimale.
La notion de nombre relatif est introduite à partir dun problème qui en montre la nécessité (par exemple pour rendre la soustraction toujours possible).
Une relation est faite avec la possibilité de graduer entièrement la droite, puis de repérer le plan Les nombres utilisés sont aussi bien entiers que décimaux.
*Addition et soustraction de nombres relatifs.
[Thèmes de convergence]
- *Calculer la somme ou la différence de deux nombres relatifs.
- Calculer, sur des exemples numériques, une expression dans laquelle interviennent uniquement les signes +, - et éventuellement des parenthèses.
- Sur des exemples numériques, écrire en utilisant correctement des parenthèses, un programme de calcul portant sur des sommes ou des différences de nombres relatifs.
Les règles de suppression de parenthèses à lintérieur dune somme algébrique sont étudiées en classe de quatrième.
ConnaissancesCapacitésCommentaires
2.4. Initiation à la notion déquation
- *Tester si une égalité comportant un ou deux nombres indéterminés est vraie lorsquon leur attribue des valeurs numériques.
Une attention particulière est apportée à lintroduction dune lettre pour désigner un nombre inconnu dans des situations où le problème ne peut pas être facilement résolu par un raisonnement arithmétique.
Les programmes du collège prévoient une initiation progressive à la résolution déquations, de manière à éviter la mise en uvre dalgorithmes dépourvus de véritable sens.
*La classe de cinquième correspond à une étape importante avec le travail sur des égalités vues comme des assertions dont la vérité est à examiner. La notion déquation ne fait pas partie du socle commun.
III. Géométrie
En classe de cinquième, létude de la symétrie centrale permet de réorganiser et de compléter les connaissances sur les figures.
Les travaux de géométrie plane prennent toujours appui sur des figures dessinées, suivant les cas, à main levée, à laide des instruments de dessin et de mesure, ou dans un environnement informatique. Ils sont conduits en liaison étroite avec létude des autres rubriques. Les diverses activités de géométrie habituent les élèves à expérimenter et à conjecturer, et permettent progressivement de sentraîner à des justifications mettant en uvre les outils du programme et ceux déjà acquis en classe de sixième.
Objectifs
La résolution de problèmes a pour objectifs de connaître et utiliser les propriétés conservées par symétrie (axiale ou centrale), les propriétés relatives aux figures usuelles (triangles, parallélogrammes, cercles), dentretenir la pratique des constructions géométriques (aux instruments et à laide dun logiciel de géométrie) et des raisonnements sous-jacents quelles mobilisent, de conduire sans formalisme des raisonnements géométriques simples, de familiariser les élèves avec les représentations de figures de lespace.
ConnaissancesCapacitésCommentaires
3.1 Figures planes
Parallélogramme.
- Connaître et utiliser une définition et les propriétés (relatives aux côtés, aux diagonales et aux angles) du parallélogramme.
Le travail entrepris sur la symétrie centrale permet de justifier des propriétés caractéristiques du parallélogramme que les élèves doivent connaître.
Dans le cadre du socle commun il est seulement attendu des élèves quils sachent utiliser en situation ces propriétés, notamment pour la reconnaissance dun parallélogramme, dun rectangle, dun losange ou pour leur tracé.
Construire, sur papier uni, un parallélogramme donné (et notamment dans les cas particuliers du carré, du rectangle, du losange) en utilisant ses propriétés.
Les connaissances relatives aux quadrilatères usuels sont sollicitées dans des problèmes de construction et permettent de justifier les procédures utilisées pour construire ces quadrilatères.
Figures simples ayant un centre de symétrie ou des axes de symétrie.
Connaître et utiliser une définition et les propriétés (relatives aux côtés, aux diagonales, aux éléments de symétrie) du carré, du rectangle, du losange.
Un travail de synthèse est réalisé, faisant apparaître chacune de ces figures (rectangle, losange, carré) comme un parallélogramme doté de propriétés particulières, notamment en ce qui concerne les diagonales.
Angles.
[Reprise du programme de 6e]Reproduire un angle.
Pour la reproduction dun angle : usage dun gabarit ou du rapporteur. Lusage du rapporteur doit faire lobjet dun approfondissement.
ConnaissancesCapacitésCommentaires
Propriétés des triangles usuels.
[Reprise du programme de 6e]
Connaître les propriétés relatives aux angles des triangles suivants : triangle isocèle, triangle équilatéral, triangle rectangle.
La connaissance ainsi développée des figures ci-contre conduit à les situer les unes par rapport aux autres en mettant en évidence leurs propriétés communes et des propriétés différentes.Caractérisation angulaire du parallélisme.
- Connaître et utiliser les propriétés relatives aux angles formés par deux parallèles et une sécante et leurs réciproques.
À cette occasion, le vocabulaire suivant est également utilisé : angles opposés par le sommet, angles alternes-internes, angles correspondants, angles adjacents, angles complémentaires, angles supplémentaires.
Les propriétés sont formulées et utilisées dans les deux sens (direct et réciproque), mais certaines réciproques peuvent être déclarées admises sans démonstration.Triangle, somme des angles dun triangle.
- Connaître et utiliser, dans une situation donnée, le résultat sur la somme des angles dun triangle. Savoir lappliquer aux cas particuliers du triangle équilatéral, dun triangle rectangle, dun triangle isocèle.
La symétrie centrale ou la caractérisation angulaire du parallélisme qui en découle permettent de démontrer que la somme des angles dun triangle est égale à 180 degrés.
Construction de triangles et inégalité triangulaire.- Connaître et utiliser linégalité triangulaire.
- Construire un triangle connaissant :
la longueur dun côté et les deux angles qui lui sont adjacents,
les longueurs de deux côtés et langle compris entre ces deux côtés,
les longueurs des trois côtés.
Sur papier uni, reproduire un angle au compas.
Dans chaque cas où la construction est possible, les élèves sont invités à remarquer que lorsquun côté est tracé, on peut construire plusieurs triangles, deux à deux symétriques par rapport à ce côté, à sa médiatrice et à son milieu.
L inégalité triangulaire est mise en évidence à cette occasion et son énoncé est admis :
AB + BC e" AC.
Le cas de l égalité AB + BC = AC est reconnu comme caractéristique de l appartenance du point B au segment [AC].
Médiatrice dun segment.
[Reprise du programme
de 6e]
- Connaître et utiliser la définition de la médiatrice ainsi que la caractérisation de ses points par la propriété déquidistance.
- Utiliser différentes méthodes pour tracer la médiatrice dun segment.
Au niveau des exigibles du socle, il suffit de connaître une méthode de construction.Cercle circonscrit à un triangle.
- Construire le cercle circonscrit à un triangle.
La construction doit être justifiée.Médianes et hauteurs dun triangle.
- Connaître et utiliser la définition dune médiane et dune hauteur dun triangle.
Ces notions sont à relier au travail sur laire dun triangle. La démonstration des propriétés de concours nest pas envisageable en classe de cinquième. La notion de hauteur dun triangle ne fait pas partie du socle.
ConnaissancesCapacitésCommentaires
3.2 Symétries
Symétrie axiale.
[Reprise du programme
de 6e]
- Construire le symétrique dune droite.
Le rôle de la médiatrice comme axe de symétrie dun segment est mis en évidence.
Symétrie centrale.
- Construire le symétrique dun point, dun segment, dune droite, dun cercle.
- Construire le symétrique, dune demi-droite.
- Construire ou compléter à laide des instruments usuels la figure symétrique dune figure donnée.
Comme en classe de sixième, un travail expérimental permet dobtenir un inventaire abondant de figures simples.
Les propriétés invariantes dans une symétrie centrale sont ainsi progressivement dégagées et comparées avec les propriétés invariantes dans une symétrie axiale.
Ces travaux conduisent à :
- lénoncé et lutilisation de propriétés caractéristiques du parallélogramme,
- la caractérisation angulaire du parallélisme et son utilisation.
3.3 Prismes droits,cylindres de révolution
- Fabriquer un prisme droit dont la base est un triangle ou un parallélogramme et dont les dimensions sont données, en particulier à partir dun patron.
- Fabriquer un cylindre de révolution dont le rayon du cercle de base est donné.
- Dessiner à main levée une représentation en perspective cavalière de ces deux solides.
- Reconnaître dans une représentation en perspective cavalière dun prisme droit les arêtes de même longueur, les angles droits, les arêtes, les faces parallèles ou perpendiculaires.
Comme en classe de sixième, lobjectif est dentretenir et dapprofondir les acquis : représenter, décrire et construire des solides de lespace, en particulier à laide de patrons. Passer de lobjet à ses représentations (et inversement) constitue encore lessentiel du travail.
Lobservation et la manipulation dobjets usuels sont des points dappui indispensables.
Lusage doutils informatiques (logiciels de géométrie dans lespace) peut se révéler utile pour une meilleure découverte de ces solides.
4. Grandeurs et mesures
Cette rubrique sappuie notamment sur la résolution de problèmes empruntés à la vie courante. Comme en classe de sixième, lutilisation dunités dans les calculs sur les grandeurs est légitime. Elle est de nature à en faciliter le contrôle et à en soutenir le sens. Les questions de changement dunités sont reliées à lutilisation de la proportionnalité de préférence au recours systématique à un tableau de conversion.
Objectifs
La résolution de problèmes a pour objectifs de compléter les connaissances relatives aux longueurs, aux angles, aux masses et aux durées, de calculer les aires ou volumes attachés aux figures planes ou solides usuels, de poursuivre létude du système dunités de mesure des volumes, dapprendre à choisir les unités adaptées et à effectuer des changements dunité.
ConnaissancesCapacitésCommentaires
4.1 Longueurs, masses, durées
- Calculer le périmètre dune figure.
- Calculer des durées, des horaires.
Pour les polygones (dont le parallélogramme), la compréhension de la notion de périmètre suffit à la détermination de procédés de calcul (les formules sont donc inutiles).
Le calcul sur des durées ou des horaires, à laide de procédures raisonnées, se poursuit.
4.2 Angles
Maîtriser lutilisation du rapporteur.
4.3 Aires
Parallélogramme, triangle, disque.
- Calculer laire dun parallélogramme.
- Calculer laire dun triangle connaissant un côté et la hauteur associée.
- Calculer laire dune surface plane ou celle dun solide, par décomposition en surfaces dont les aires sont facilement calculables.
La formule de laire du parallélogramme est déduite de celle de laire du rectangle.
Le fait que chaque médiane dun triangle le partage en deux triangles de même aire est justifié.
Dans le cadre du socle les élèves peuvent calculer ainsi laire dun parallélogramme.
Les élèves peuvent calculer laire latérale dun prisme droit ou dun cylindre de révolution à partir du périmètre de leur base et de leur hauteur.
4.4 Volumes
Prisme, cylindre de révolution.
- Calculer le volume dun parallélépipède rectangle.
- Calculer le volume dun prisme droit, dun cylindre de révolution.
- Effectuer pour des volumes des changements dunités de mesure.
Une relation est établie entre les calculs de volume du prisme droit et du cylindre : dans les deux cas, laire de la surface de base du solide est multipliée par sa hauteur.
On travaillera les changements dunités de volume dans des situations de la vie courante.
Classe de quatrième
Note : les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italiques. Si la phrase en italiques est précédée dun astérisque litem sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. Dire que lexigibilité pour le socle est différée ne veut pas dire que la capacité ne doit pas être travaillée bien au contraire ! mais que les élèves pourront bénéficier de plus de temps pour la maîtriser.
Organisation et gestion de données, fonctions
Comme en classe de cinquième, le mot « fonction » est employé, chaque fois que nécessaire, en situation, et sans quune définition formelle de la notion de fonction soit donnée.
Les tableurs-grapheurs, dont lusage a été introduit dès la classe de cinquième, donnent accès à une façon particulière de désigner une variable : par lemplacement de la cellule où elle se trouve dans le tableau. Cette nouveauté est un enrichissement pour le travail sur la notion de variable, effectué sur des exemples variés.
Objectifs
La résolution de problèmes a pour objectifs :
de consolider et denrichir les raisonnements pour traiter des situations de proportionnalité, pour produire ou interpréter des résumés statistiques (moyennes, graphiques), pour analyser la pertinence dun graphique au regard de la situation étudiée,
dorganiser des calculs ou créer un graphique avec un tableur.
ConnaissancesCapacitésCommentaires
1.1 Utilisation de la proportionnalité
Quatrième proportionnelle.
- Déterminer une quatrième proportionnelle.
Aux diverses procédures déjà étudiées sajoute le « produit en croix » qui doit être justifié.
Calculs faisant intervenir des pourcentages.
[Thèmes de convergence]- Déterminer le pourcentage relatif à un caractère dun groupe constitué de la réunion de deux groupes dont les effectifs et les pourcentages relatifs à ce caractère sont connus.
Des situations issues de la vie courante ou des autres disciplines permettent de mettre en uvre un coefficient de proportionnalité exprimé sous forme de pourcentage.
Dans le cadre du socle commun, utiliser léchelle dune carte pour calculer une distance, calculer un pourcentage deviennent exigibles.
1.2. Proportionnalité
* Représentations graphiques.
[Thèmes de convergence]
-* Utiliser dans le plan muni dun repère, la caractérisation de la proportionnalité par lalignement de points avec lorigine.
Cette propriété caractéristique de la proportionnalité prépare lassociation, en classe de troisième, de la proportionnalité à la fonction linéaire.
1.3. Traitement des données
Moyennes pondérées.
[Thèmes de convergence]
- Calculer la moyenne dune série de données.
- Créer, modifier une feuille de calcul, insérer une formule.
- Créer un graphique à partir des données dune feuille de calcul.
Les élèves sont confrontés à des situations familières où deux procédés de calcul différents de la moyenne sont mis en uvre :
- somme des n données divisée par n,
- moyenne pondérée des valeurs par leurs effectifs.
Les élèves doivent savoir calculer, pour de petits effectifs, une moyenne par la procédure de leur choix. Pour des effectifs plus grands, cette procédure est basée sur lusage du tableur ou de la calculatrice.
2. Nombres et Calculs
La pratique du calcul numérique (exact ou approché) sous ses différentes formes en interaction (calcul mental, calcul à la main, calcul à la machine ou avec un ordinateur) permet la maîtrise des procédures de calcul effectivement utilisées, lacquisition de savoir-faire dans la comparaison des nombres ainsi que la réflexion et linitiative dans le choix de lécriture appropriée dun nombre suivant la situation.
Le calcul littéral qui a fait lobjet dune première approche en classe de cinquième, par le biais de la transformation décritures, se développe en classe de quatrième, en veillant à ce que les élèves donnent du sens aux activités entreprises dans ce cadre, en particulier par lutilisation de formules issues des sciences et de la technologie.
Objectifs
La résolution de problèmes a pour objectifs :
dentretenir et denrichir la pratique du calcul mental, du calcul à la main et lutilisation raisonnée des calculatrices ;
dassurer la maîtrise des calculs sur les nombres relatifs et les expressions numériques ;
de conduire les raisonnements permettant de traiter diverses situations (issues de la vie courante, des différents champs des mathématiques et des autres disciplines, notamment scientifiques) à laide de calculs numériques, déquations ou dexpressions littérales ;
de savoir choisir lécriture appropriée dun nombre ou dune expression littérale suivant la situation.
ConnaissancesCapacitésCommentaires
2.1. Calcul numérique
Opérations (+, , ´ð , :) sur les nombres relatifs en écriture décimale.
Produit de nombres positifs en écriture fractionnaire.
* Opérations (+, , ´ð ) sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire (non nécessairement simplifiée).
- Calculer le produit de nombres relatifs simples.
- Déterminer une valeur approchée du quotient de deux nombres décimaux (positifs ou négatifs).
- * Multiplier, additionner et soustraire des nombres relatifs en écriture fractionnaire.
Les élèves ont une pratique de la multiplication des nombres positifs en écriture décimale ou fractionnaire. Les calculs relevant de ces opérations sont étendus au cas des nombres relatifs.
*Laddition de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire demande un travail sur la recherche de multiples communs à deux ou plusieurs nombres entiers dans des cas où un calcul mental est possible.
Savoir additionner et soustraire des entiers relatifs et multiplier deux nombres positifs écrits sous forme décimale ou fractionnaire deviennent des capacités exigibles dans le cadre du socle commun.
Division de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire.- Diviser des nombres relatifs en écriture fractionnaire.
- Connaître et utiliser légalité : EMBED Equation.3.
* Un travail est mené sur la notion dinverse dun nombre non nul ; les notations EMBED Equation.3 et
x1 sont utilisées, ainsi que les touches correspondantes de la calculatrice.Enchaînement dopérations.- Sur des exemples numériques, écrire en utilisant correctement des parenthèses, des programmes de calcul portant sur des sommes ou des produits de nombres relatifs.
- Organiser et effectuer à la main ou à la calculatrice les séquences de calcul correspondantes.
À la suite du travail entrepris en classe de cinquième les élèves sont familiarisés à lusage des priorités ainsi quà la gestion dun programme de calcul utilisant des parenthèses. En particulier, la suppression des parenthèses dans une somme algébrique est étudiée.Puissances dexposant entier relatif.
[Thèmes de convergence]
- Comprendre les notations an et a n et savoir les utiliser sur des exemples numériques, pour des exposants très simples et pour des égalités telles que : a2 ´ð a3 = a5 ; (ab)2 = a2b2 ; EMBED Equation.3a 3, où a et b sont des nombres relatifs non nuls.
- Utiliser sur des exemples numériques les égalités :
10m ´ð 10n = 10 m+n ; EMBED Equation.3 ; (10 m)n = 10 m ´ð n
où m et n sont des entiers relatifs.Pour des nombres autres que 10, seuls des exposants très simples sont utilisés. Les résultats sont obtenus en sappuyant sur la signification de la notation puissance et non par lapplication de formules.
ConnaissancesCapacitésCommentairesNotation scientifique.
[Thèmes de convergence]- Sur des exemples numériques, écrire et interpréter un nombre décimal sous différentes formes faisant intervenir des puissances de 10.
- Utiliser la notation scientifique pour obtenir un encadrement ou un ordre de grandeur du résultat d un calcul.
Par exemple, le nombre 25 698,236 peut se mettre sous la forme :
2,569 823 6 ×ð 10 4 ou 25 698 236 ×ð 10-3 ou 25,698 236 ×ð 10 3.
2.2. Calcul littéral
Développement.
- Calculer la valeur d une expression littérale en donnant aux variables des valeurs numériques.
Lapprentissage du calcul littéral est conduit très progressivement à partir de situations qui permettent aux élèves de donner du sens à ce type de calcul.
Le travail proposé sarticule autour de trois axes :
- utilisation dexpressions littérales donnant lieu à des calculs numériques ;
- utilisation du calcul littéral pour la mise en équation et la résolution de problèmes divers ;
- utilisation du calcul littéral pour prouver un résultat général (en particulier en arithmétique).
- Réduire une expression littérale à une variable, du type : 3x (4x 2) , 2x2 3x + x2
Les situations proposées doivent exclure tout type de virtuosité et viser un objectif précis (résolution dune équation, gestion dun calcul numérique, établissement dun résultat général).
- Développer une expression de la forme (a + b) (c + d).Lobjectif reste de développer pas à pas puis de réduire lexpression obtenue. Les identités remarquables ne sont pas au programme.
Les activités de factorisation se limitent aux cas où le facteur commun est du type a, ax ou x2.
Comparaison de deux nombres relatifs.
- Comparer deux nombres relatifs en écriture décimale ou fractionnaire, en particulier connaître et utiliser :
. léquivalence entre EMBED Equation.3 et ad = bc (b et d étant non nuls) ;
. l équivalence entre a e" b et a b e" 0 ;
. l équivalence entre a > b et a b > 0.
- Utiliser le fait que des nombres relatifs de l une des deux formes suivantes sont rangés dans le même ordre que a et b : a + c et b + c ; a c et b c
- Utiliser le fait que des nombres relatifs de la forme ac et bc sont dans le même ordre (respectivement lordre inverse) que a et b si c est strictement positif (respectivement négatif).
- Écrire des encadrements résultant de la troncature ou de larrondi à un rang donné dun nombre positif en écriture décimale ou provenant de laffichage dun résultat sur une calculatrice (quotient
).La première équivalence est notamment utile pour justifier la propriété dite « dégalité des produits en croix », relative aux suites de nombres proportionnelles.
Le fait que x est strictement positif (respectivement x strictement négatif) se traduit par x > 0 (respectivement x üA
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