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Illustration par diagrammes de Venn : Préliminaires mathématiques et logiques :
Logique et théorie des ensembles 0.1. C. Eléments de logique et théorie des ...
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ce probabiliste nest quune évidence quil suffit délucider.
Cette citation ne fait pas justice à la découverte par Blaise Pascal, non pas des probabilités le principe du calcul élémentaire de ces dernières avait été découvert plus de 4 siècles auparavant par Omar Khayyan et sans doute deux siècles plus tôt encore en Chine par Chu Shih Chei , mais plutôt de leur usage pratique dans le détermination des droits moraux des joueurs sur les enjeux dune partie.
Et, bon gré, mal gré, nous sommes tous joueurs, engagés dans une « partie »dont Pascal disait : « Tout ce que je connais à propos de lavenir, cest que je vais bientôt mourir. » (fr. 681).
Pascal avait compris les possibilités infinies de lutilisation des probabilités. Car, comme il lécrit lui-même : «
lincertitude de gagner est proportionnée à la certitude de ce que lon hasarde, selon la proportion des hasards de gains et des hasards de pertes. » (fr 680)
Cest là, une prise de conscience dune fracture dans lévolution de la pensée humaine ; la découverte quil est possible dagir en tant quhomme face au hasard, quil y a moyen, non de subir, mais de faire face rationnellement à lincertitude.
Dans son histoire personnelle, Blaise Pascal a inventé lassurance avant de risquer son pari. Il avait cependant une conscience parfaite des enjeux de sa découverte qui fait que les probabilités sont aujourdhui un des facteurs damélioration du bien-être de lhumanité.
Bibliographie
Vigneron C., Logak E., Probabilité et statistiques, Tome 1, Paris, Diderot, Arts et Sciences, 1995.
Ross S.M., A first course in probability, Macmillan, 4th ed., 1994.
Traduction française : Initiation aux probabilités, Lausanne, Presses polytechniques et universitaires romandes, 1994.
Lipschutz S., Probability, Mc Graw Hill, Schaums outline Series, 1965.
Gaultier M., Probabilités, Paris, Vuibert, 1997.
Mc Coll J.H., Probability, London, Edward Arnold, 1995.
Approche pédagogique
Voir le cours de statistique générale (à lexception dun test de mi-semestre qui nest pas organisé dans le cas présent.).
Note sur le syllabus et son étude : la mise en page de ce texte est conçue de façon à ce que (presque) chaque page forme un tout cohérent et contienne un ou plusieurs messages unifiés, donc sans report explicite sur la page suivante.
Contenu du cours
Introduction
Chapitre 0 : Préliminaires mathématiques et logiques
Chapitre 1 : Probabilités élémentaires
Chapitre 2 : Conditionnement, compatibilité et dépendance
Chapitre 3 : La loi des probabilités totales et le théorème de Bayes
Chapitre 4 : Variables aléatoires discrètes
Chapitre 5 : Moments
Chapitre 6 : Lois discrètes
Exercices récapitulatifs
INTRODUCTION
Cette introduction a pour objectif de mettre en place des CONCEPTS et Démarches fondamentaux qui sont basés sur la reconnaissance de lincertitude comme composante essentielle de la réalité.
Quelques remarques préliminaires :
Lincertitude ne doit pas être confondue avec lignorance.
Létude des probabilités constitue une démarche perturbatrice.
« Students often arrive in their first probability course with seriously deficient or confused intuitive ideas about the random phenomena being studied. Perhaps this is partly due to the human tendency to seek patterns even where none exist, and partly due to the vested interests of the gambling industry in cultivating erroneous impressions about chance events. Whatever the source of these misconceptions, the teacher of an elementary course in probability has the difficult task of eradicating them and helping to build the sound intuition that leads to self-confidence in understanding theory and making applications. »
Lobjet de létude des probabilités :
A laide de certains éléments connus caractérisant un phénomène, inférer dautres éléments inconnus en leur associant une mesure de vraisemblance doccurrence.
Il sagira donc de modéliser lincertitude.
Exemple : la valeur affichée après le lancer dun dé honnête : Eléments connus : Un dé a six faces toutes distinguables les unes des autres par la valeur quelles affichent. Le dé est honnête, cest-à-dire est correctement et également équilibré. Elément inconnu : La valeur de la face supérieure après le lancer. Mesures de vraisemblance associées : la fréquence dobservation attendue dune valeur donnée sur un grand nombre de lancers, une conclusion de la réflexion a priori sur les propriétés de lexpérience, etc.
Modéliser lincertitude : Pourquoi ? Comment ?
Modéliser lincertitude : Pourquoi ? : quelques applications pratiques.
Lexercice inconscient du calcul probabiliste :
Prendre ou non son parapluie.
Souscrire un contrat dassurance.
« Passer » des sections dun cours pendant le blocus.
Etc.
Le calcul probabiliste (souvent implicite) fait partie du quotidien :
Cfr journaux : conjectures dans les relations de certains faits,
Jeux : lotto, pronostics,
Conduite automobile,
Etc.
Le calcul des probabilités consiste à étudier SYSTématiquement lincertitude :
Depuis deux siècles, les probabilités sont utilisées EFFICACEMENT dans de nombreux domaines et fournissent des résultats opérationnels indéniables.
Exemples dans différents domaines :
Médecine :
La lutte contre le cancer est organisée en fonction de modèles probabilistes de mécanismes de transmission et de développement des affections.
Lépidémiologie, basée sur létude probabiliste du développement des maladies transmissibles, (poliomyélite, grippe, sida, hépatites,
) permet un meilleur diagnostic, une meilleure prévention et une meilleure planification de la recherche médicale.
Physique : la théorie quantique de lunivers décrit lorganisation subatomique des particules élémentaires comme une structure aléatoire.
Biologie : la théorie moderne de lhérédité décrit comment les gènes sont transmis aléatoirement des parents à leur descendance.
Assurances : la modélisation du risque du crédit, du risque daccident, de la probabilité de sinistre, permet un calcul plus juste (« équitable ») des primes et des frais.
Judiciaire : les enquêtes de la police scientifique sont de plus en plus guidées par un raisonnement probabiliste et linférence bayesienne.
Etc.
Modéliser lincertitude : Comment ? : Probabilités et modélisation mathématique
Un modèle probabiliste est une représentation abstraite, mathématique dune expérience aléatoire.
Il ne peut, bien entendu, être aussi riche de détails que la réalité, il simplifie cette dernière.
Mais, pour être dune certaine utilité pratique, il doit représenter fidèlement les caractéristiques de lexpérience qui sont importantes dans la détermination et la production du résultat.
ATTENTION !
La construction des modèles de probabilité :
nest pas une matière de déduction mathématique précise,
cest une démarche intuitive, inductive, construite à partir de notre propre raisonnement, notre propre expérience et notre propre culture et ceux des autres.
( Importance des exemples, des exercices, des lectures
CHAPITRE 0 :
PRELIMINAIRES MATHEMATIQUES ET LOGIQUES
Section 1 : Eléments de logique
Section 2 : Introduction au dénombrement
Section 3 : Techniques de dénombrement
Section 1 : Eléments de logique
A. Implication, négation, équivalence
Une proposition, p, est une affirmation qui, suivant certaines conditions, peut être vraie ou fausse.
Implication
Si p et q sont deux propositions, p implique q, signifie que si p est vraie, alors q est vraie.
On dit alors que : p est une condition suffisante pour q et que q est une condition nécessaire pour p. On note : p ( q.
Contraposée ou négation
Si p est une proposition, ~p (non-p) est une proposition qui est vraie quand p est fausse, et fausse quand p est vraie.
p ( q est synonyme de sa contraposée ~q ( ~p (non-q ( non-p).
Equivalence
Si p ( q et q ( p, alors les deux propositions sont dites équivalentes.
p est une condition nécessaire et suffisante pour q, on note : p ( q.
Exemples
a) Soit p : « Il pleut.» et q : « Le sol est mouillé. » :
p ( q : « Sil pleut, le sol est mouillé. »
et
~q ( ~p : « Si le sol est sec, il ne pleut pas. ».
b) Soit p : « La température de leau passe sous 0°C.» et q : « Leau est en train de geler. » : p ( q, p est une condition nécessaire et suffisante pour q, ou « Leau gèlera si et seulement si sa température passe sous 0°C. ».
B. Ensembles et applications
Ensemble des parties dun ensemble : P et éléments de logique
P (E) désignera lensemble des parties de lensemble E : A ( P (E) ( A ( E.
Si E et F sont deux ensembles, E = F ( E ( F et F ( E.
Deux ensembles sont inclus lun dans lautre si et seulement sils sont égaux (équivalents).
Réunion et intersection
Définitions
Soit un ensemble E avec A et B ( P (E) , on définit les ensembles suivants, aussi des parties de E :
EMBED Equation.3 = {x ( E : x (A}, le complémentaire de A ;
A(B = {x ( E : x ( A ou x ( B}, lunion (la réunion) de A et B ;
A(B = {x ( E : x ( A et x ( B}, lintersection de A et B ;
A\B = {x ( E : x ( A et x ( B}, la différence de A et B.
On dit que les ensembles A et B sont disjoints si A(B = (
Généralisations
I est un ensemble dindices, soit Ai et Aj ( P (E), i et j (I ; on dira que les parties Ai et Aj sont deux à deux disjointes si pour i ( j, Ai ( Aj = (.
Lensemble des Ai est une partition de E si les Ai sont disjointes deux à deux et EMBED Equation.3 = E.
Donc une partition de E nest pas un sous-ensemble de E, mais un ensemble de parties de E dont la réunion reconstitue E.
Exemples
EMBED Equation.3
A\B = [-1, 1]
EMBED Equation.3 . Propriétés
Lois de lidempotence
A(A = A A(A=A
Lois associatives
(A(B) ( C = A ( (B(C) (A(B) ( C = A ( (B(C)
Lois commutatives
A(B = B(A A(B = B(A
Lois distributives
A ( (B(C) = (A(B) ( (A(C) A ( (B(C) = (A(B) ( (A(C)
Lois didentité (soit U = lensemble universel)
A(( = A A(( = (
A(U = U A(U = A
Lois du complémentaire
A( EMBED Equation.3 = U A( EMBED Equation.3 = (
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = ( EMBED Equation.3 = U
EMBED Equation.3
Lois de De Morgan
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
N.B.
A\B = A( EMBED Equation.3 A(B = ( ( B ( EMBED Equation.3
A(B(C est bien défini. A(B(C est bien défini.
A(B(C = ? car pas de priorités entre opérateurs ( et (.
soit (A(B)(C
qui diffèrent le plus souvent.
ou A((B(C)
Applications
E et F étant deux ensembles non vides, une application f de E dans F associe à tout élément x de E un unique élément de F, noté f(x) et appelé image de x par f.
Si y est un élément de F (y ( F), on appelle antécédent de y par f, tout élément x ( E tel que f(x) = y.
Injection, surjection, bijection
Soit f une application de E dans F :
f est injective si tout élément de F a au plus un antécédent.
f est surjective si tout élément de F a au moins un antécédent.
f est bijective si tout élément de F a exactement un antécédent.
Dans ce dernier cas, avec f(x)=y, x ( E et y ( F, il est possible de définir une application de F dans E, notée f-1, bijective également et appelée bijection réciproque de f.
f(x) = y ( x = f-1(y)
Illustration par diagrammes de Venn :
C. Eléments de logique et théorie des ensembles
Soit S un ensemble et A et B deux sous-ensembles inclus dans S.
1. Implication et inclusion
On dit que A ( B si A ( B ; en effet, (x ( A, x ( B.
2. Vérification de la proposition contraposée
A ( B donc EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ; en effet, si A ( B, alors EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 .
Preuve via représentation en diagrammes de Venn
3. Autres conclusions : Lois de De Morgan
EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 , preuves graphiques similaires à supra.
4. Logique et théorie ensembliste : un exemple
On lance un dé honnête. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Soit A, lensemble des diviseurs de 4 = {1, 2, 4}
et B, lensemble des nombres entiers non supérieurs à 4 = {1, 2, 3, 4}.
A ( B donc A ( B ; en effet, tous les diviseurs de 4 sont non supérieurs à 4.
Vérification de la proposition contraposée :
EMBED Equation.3 : lensemble des non-diviseurs de 4 dans S = {3, 5, 6}.
EMBED Equation.3 : lensemble des nombres supérieurs à 4 dans S = {5, 6}.
EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ; en effet, les nombres supérieurs à 4 ne peuvent être diviseurs de 4.
et pas EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ; en effet, parmi les non-diviseurs de 4, on trouve un nombre (3) qui nest pas supérieur à 4. Donc EMBED Equation.3 nimplique pas EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 .
Section 2 : Introduction au dénombrement
A. Ensembles finis et dénombrables
Un ensemble fini est un ensemble contenant 0 ou n éléments, n ( N+.
Le nombre déléments dun ensemble fini E est appelé son cardinal, noté #E.
N.B. : #E = 0 ( E = (
Un ensemble est dit dénombrable si on peut indexer ses éléments par les entiers naturels, cest-à-dire sil existe une injection de N+ dans E.
B. Propriétés des cardinaux
Soit E un ensemble fini et A et B des parties de E :
#(A(B) = #A + #B - #( A(B).
Si A(B = (, #(A(B) = #A + #B.
# EMBED Equation.3 = #E - #A.
#(A\B) = #A - #( A(B).
Si B ( A, #(A\B) = #A - #B.
Si {A1, A2, A3,
, Am} est une partition de E, #E = EMBED Equation.3 .
C. Produit cartésien et cardinal de ce produit cartésien
Soit deux ensembles E et F, leur produit cartésien, noté E x F, est lensemble des couples (x, y) avec x ( E et y ( F. Formellement E x F = {(x, y) : x ( E et y ( F}.
Si E et F sont deux ensembles finis, leur produit cartésien est aussi un ensemble fini et #(E x F) = #E.#F.
Généralisations :
((((( n fois
En = E x E x
x E et # En = (#E)n.
Soit n ensembles E1, E2, E3,
, En :
E1x E2x E3x
x En = {( x1, x2, x3,
, xn), xi (Ei, (i, i = 1,
, n},
et #( E1x E2x E3x
x En ) = #E1.#E2.#E3
#En .
D. Modes de tirages
Très souvent, les épreuves (expériences stochastiques) impliquent la sélection aléatoire dun élément ou dun sous-ensemble déléments tirés dun ensemble plus vaste. Cette sélection est appelée tirage.
On distingue :
Les tirages avec remise
Lélément ou les éléments sélectionnés sont analysés après tirage PUIS réintègrent lensemble de départ reconstituant le cardinal original de cet ensemble avant un prochain tirage.
N.B. :
Si lensemble est composé de symboles comme les chiffres ou les lettres, etc. reproductibles à linfini, les tirages sont considérés comme « avec remise ».
Si la taille de E est très grande (#E = n ( () alors que p (le nombre déléments sélectionnés) est relativement faible : n >> p, les tirages seront considérés avec remise sans trop dimpacts sur les résultats.
Le nombre de résultats possibles associés à un tirage avec remise de p éléments dans les n éléments de lensemble est égal au nombre de p-listes (voir infra) distinctes que lon peut générer à partir de lensemble soit (voir infra) : np.
Les tirages sans remise
Se caractérisent par le fait que le cardinal de lensemble à partir duquel le tirage est effectué, diminue au fur et mesure des tirages. (Attention au calcul des probabilités !).
Les tirages groupés
Le tirage groupé, appelé aussi « poignée », de p éléments est considéré comme une succession de p tirages sans remise.
Mais attention, dans ce cas des tirages groupés, le calcul des probabilités nest pas identique au calcul des probabilités dans le cas des tirages sans remise car les méthodes de dénombrement diffèrent (voir exemples infra).
Section 3 : Techniques de dénombrement
Objectif : déterminer le cardinal densembles finis.
A. Listes
On appelle p-liste de E, un ensemble à n éléments, toute suite de p éléments de E : (x1, x2, x3,
, xp), avec xi (E, (i, i = 1,
, p.
Exemples :
E = {R, V, B} : (R, B, B, V, V, R) est une 6-liste de E.
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} : (1, 1, 2, 5, 4) est une 5-liste de E.
( ) est la 0-liste de E.
Dénombrement des p-listes de E :
Il y a : - n façons de choisir le 1er élément ;
n façons de choisir le 2ème élément ;
n façons de choisir le 3ème élément ;
n façons de choisir le pème élément, donc np possibilités.
Généralisation : les principes de multiplication et daddition :
Soit une expérimentation complexe qui peut être divisée en une séquence détapes (1, (2, (3,
et :
(1 a N1 résultats possibles,
nimporte quel résultat de (1 peut être suivi par N2 résultats de (2,
nimporte quelle combinaison de résultats de (1 et (2 peut être suivie par N3 résultats de (3,
et ainsi de suite
alors lexpérience composée : (1 suivie de (2 suivie de (3,
a N1 x N2 x N3 x
résultats possibles (principe de multiplication).
Soit une situation où les épreuves (1, (2, (3,
ont respectivement N1, N2, N3,
résultats possibles différents, aucune de ses épreuves ne pouvant se dérouler simultanément à une autre, alors lexpérience composée : (1 ou (2 ou (3,
a N1 + N2 + N3 +
résultats possibles (principe daddition).
B. Arrangements :
E étant un ensemble à n éléments, on appelle arrangement de p éléments de E, toute suite de p éléments distincts de E. On le note EMBED Equation.3 .
Exemples :
E = [1, 6] ;
(1, 3, 5, 6) est un EMBED Equation.3 de E ; (4, 1, 6, 2, 5, 3) est un EMBED Equation.3 de E.
(3, 1, 3, 4, 2, 5, 6) nest pas un A de E ; (1, 2, 5) et (5, 1, 2) sont 2 EMBED Equation.3 de E.
E = {R, V, B} ;
(R), (B) et (V) sont les 3 EMBED Equation.3 possibles.
(R, B), (B, V ), (R, V), (B, R), (V, B) et (V, R)
sont les 6 EMBED Equation.3 possibles de E.
(R, B, V), (R, V, B), (V, R, B), (V, B, R), (B, V, R) et (B, R, V)
sont les 6 EMBED Equation.3 possibles.
Dénombrement :
Il y a n façons de choisir le 1er élément, (n-1) façons de choisir le 2ème élément,
, [n-(p-1)] façons de choisir le pème
donc EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 si p ( n et EMBED Equation.3 = 0 si p > n.
EMBED Equation.3 = 1 ; EMBED Equation.3 = n ; EMBED Equation.3 = n !.
C. Permutations
E étant un ensemble à n éléments, on appelle permutation, tout arrangement des n éléments de E.
Il y a n ! permutations de E si les n éléments sont distinguables entre eux.
N. B. :Quand il sagit de classer N « objets », rangés en t groupes dont les éléments sont considérés comme indistinguables entre eux à lintérieur de chaque groupe, il faut trouver le nombre de permutations distinctes de N objets quand N1 sont dune sorte, N2 dune autre,
, Nt de la tème sorte, avec N1 + N2 +
+ Nt = N. Ce nombre est alors : EMBED Equation.3 .
(Voir infra exemple 7 pour une application de cette formule.)
Exemples :
E = [1, 6] : (4, 5, 6, 1, 2, 3) est une permutation de E ;
mais (3, 1, 3, 2, 4, 5) et (1, 5, 6, 2, 3) ne sont pas des permutations de E.
D. Combinaisons
E étant un ensemble à n éléments, on appelle combinaison de p éléments de E, toute collection non ordonnée (partie) de p éléments distincts de E.
On la note EMBED Equation.3 ou EMBED Equation.3 (notation anglo-saxonne).
Exemples :
E = [1, 6] ; (1, 3, 5, 6) est une EMBED Equation.3 de E ; (1, 5, 3) et (3, 1, 5) est une EMBED Equation.3 de E.
E = {R, V, B} ; (R, B), (B, V ) et (R, V) sont les 3 EMBED Equation.3 possibles de E.
Dénombrement :
Il y a p! façons dordonner dans une suite p éléments distincts de E. Donc, à chaque combinaison de p éléments de E correspondent p ! arrangements de ces p éléments.
EMBED Equation.3 = p!. EMBED Equation.3 donc EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
Formules usuelles :
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = 1
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = n
p. EMBED Equation.3 = n. EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 (formule de Pascal)
(x + y)n = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 x k.y n-k (formule du binôme)
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (formule de Vandermonde)
N.B. (Voir supra p. 0.8)
EMBED Equation.3 : est le nombre de tirages distincts sans remise de p éléments dans E.
EMBED Equation.3 : est le nombre de tirages groupés (poignées) distincts de p éléments dans E.
E. Diagrammes en arbre
Un diagramme en arbre est un moyen utilisé fréquemment pour énumérer tous les résultats possibles dune séquence dépreuves.
La technique du diagramme en arbre pour la résolution de problèmes est antérieure à lutilisation de lanalyse combinatoire et a été utilisée dans le développement de celle-ci jusquau milieu du XIXè siècle, quand elle a été définitivement fixée.
Si le nombre dépreuves consécutives ainsi que le nombre de résultats (le cardinal de lespace déchantillonnage) associés à chaque épreuve individuelle ne sont pas trop élevés, la technique savère très utile pour visualiser le résultat du produit cartésien de deux ou plusieurs ensembles.
La construction des arbres est illustrée dans lexemple infra.
Exemple
Justine et Kim vont jouer un tournoi amical de tennis. La première à gagner deux parties de suite ou un total de trois parties aura remporté le tournoi.
Quel est le nombre de et quelles sont les configurations possibles du tournoi ?
Avec J (K) = « Justine (Kim) a gagné la partie. ».
Donc 10 configurations possibles du tournoi, en 2, 3, 4 ou 5 manches.
F. Exemples
Exemple 1 : 4 chemins relient le point A au point B, et 3 chemins relient B à C. Combien y a-t-il ditinéraires pour aller de A à C ?
Il sagit dune succession dépreuves élémentaires, donc le principe de multiplication peut sappliquer, il existe donc 4 fois 3, soit 12 itinéraires reliant A à C. (N.B. Un diagramme en arbre peut également être utilisé).
Exemple 2 : On veut constituer une délégation de 4 personnes dans un groupe de 15. Combien y a-t-il de délégations possibles ?
EMBED Equation.3 délégations.
Exemple 3 : Combien de tiercés dans lordre potentiels pour une course de 20 chevaux tous partants ? Idem, pour des tiercés dans le désordre ?
Pour les tiercés dans lordre : EMBED Equation.3 tiercés.
Pour les tiercés dans le désordre : EMBED Equation.3 tiercés.
Exemple 4 : 10 hommes et 6 femmes sont présents à une soirée.
Combien de pistes différentes (formées de couples) est-il possible de constituer pour danser ?
EMBED Equation.3 pistes différentes.
N.B. Ici cest le principe de multiplication qui sapplique, menant à une formule darrangement, et non pas une déduction directe danalyse combinatoire.
Exemple 5 : 6 personnes se séparent. Combien de poignées de mains?
EMBED Equation.3 poignées de mains.
N.B. ! Il est possible darriver au même résultat par une application directe du principe daddition : en effet, la 1ère personne doit serrer la main à 5 autres puis partir ; la 2ème, à 4 autres puis partir ; , la 3ème , à 3 autres ; la 4ème à deux autres et enfin la 5ème à la 6ème. Soit 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 poignées de mains.
Exemple 6 : Un jeu standard de dominos compte 28 pièces. Justifiez.
7 figures sont utilisées : blanc et les nombres de 1 à 6, et sont combinées deux à deux, donc on a déjà EMBED Equation.3 , auxquelles il faut ajouter les « doubles » au nombre de 7. On obtient bien 28 pièces.
Exemple 7 : Dans une compétition sportive, on retrouve en finale quatre Français, trois Italiens et trois Espagnols.
Combien existe-t-il de possibilités de classement des sportifs ?
Combien existe-t-il de possibilités de classement des nationalités ?
P10 = 10 ! possibilités.
EMBED Equation.3 possibilités.
N.B. ! Parmi les 10 ! classements possibles de sportifs, il en existe un certain nombre qui sont indistinguables les uns des autres si la nationalité des sportifs qui importe pas leur individualité. Dans ce point b), il sagit de classer les 10 sportifs, rassemblés en trois groupes (les nationalités), chaque citoyen dune nationalité étant considéré comme indistinguable davec un citoyen de la même nationalité. Il faut donc trouver le nombre de permutations différentes de N (10) sportifs quand N1 (4) sont français, N2 (3) italiens et N3 (3) espagnols.
Ce nombre est alors : EMBED Equation.3 . (Formule des permutations avec répétitions)
Annexe au chapitre 0 : Exercices récapitulatifs
Exercice 0.1 :
Un cadre doit visiter cinq ateliers (A, B, C, D, E) chaque semaine. Il visite un (et seul) atelier différent chaque jour, du lundi au vendredi. Il choisit lordre de ses visites AU HASARD tous les dimanches.
De combien de façons différentes peut-il organiser ses tournées ?
Idem sur deux semaines ?
Exercice 0.2 :
Pour me rendre à mon travail, je dispose du métro, je peux marcher et trois bus peuvent me mener à destination.
De combien de possibilités de me rendre à mon travail puis-je bénéficier ?
Exercice 0.3 :
Soit les ensembles M={Albert, Charles, Bernard} et F={Danielle, Françoise}. Ecrire M x F en extension et via deux représentations du diagramme en arbre.
Exercice 0.4 :
Trouver P(S) avec S={a, b, c}. Quel est le #P (S) ?
Exercice 0.5 :
Ecrire en extension :
A={x : x²-x-2 =0}.
B={x : x est une lettre dans le mot « PROBABILITES »}.
C={x : x² = 9, x-3 = 5}.
Exercice 0.6 :
Vrai ou faux :
{2, 5, 4} = {4, 5, 2}.
{4, 2, 3} ( {2, 3, 4}.
{4} ( {{4}}.
Ø ( {{4}}.
{4} ( {{4}}.
1 ( {1, 2, 3, 4}.
Exercice 0.7 :
Un homme qui possède 1 ¬ joue aux dés. A chaque fois qu il joue, soit il gagne 1 ¬ si le résultat est pair, soit il perd 1 ¬ si le résultat est impair. Il peut jouer au maximum cinq fois et arrête de jouer avant la fin s il a tout perdu ou s il a gagné 3 ¬ (donc s il possède 4 ¬ ). De combien de façons les paris peuvent-ils s établir ?
Peut-il terminer le jeu avec la même somme qu au départ, soit 1 ¬ ?
Résolvez par le diagramme en arbre.
Exercice 0.8 :
Soit le plan suivant d un parc à allées rectilignes. Un homme sy promène tous les jours, commence toujours sa promenade en allant de X en R et se déplace (sur le plan) horizontalement ou verticalement une étape à la fois. Il sarrête quand il ne peut continuer à marcher sans passer deux fois sur le même point. Il modifie sa promenade tous les jours. Combien de promenades différentes sont-elles possibles ?
A B C
R S T
X Y Z
Exercice 0.9 :
Une femme dispose de deux bagues identiques. Elle décide de les mettre, soit à lindex, soit au majeur, soit à lannulaire de la main droite. Elle change chaque jour la disposition de ses bagues.
Combien de temps maximum se passe-t-il entre deux dispositions identiques ?
Quid si les bagues sont différentes ?
Exercice 0.10 :
Le titulaire dune classe de 11 garçons et 9 filles doit choisir 3 dentre eux pour représenter sa classe à un concours inter-écoles.
De combien de façons peux-il constituer léquipe ?
Idem sil simpose de choisir un garçon et deux filles ?
Idem sil simpose de choisir une fille et deux garçons ?
Exercice 0.11 :
Madame A. Lamode dispose aujourdhui de 3 vases de Chine, de deux cristaux de Bohème et dun saladier du Val-Saint-Lambert, tous ces objets sont différents. Elles les expose fièrement sur une planche de la vitrine de son salon et se donne comme règle de disposer différemment ces objets chaque fois quelle reçoit ses amies pour le thé.
Combien de fois peut-elle inviter ses amies sans répéter une disposition déjà réalisée :
si aucune restriction nest mise sur la disposition ?
si les vases de Chine doivent être rangés ensemble et les cristaux de Bohème également ?
si seuls les vases de Chine doivent se trouver ensemble ?
Monsieur Lamode a promis à son épouse de lui offrir un nouveau Val-Saint-Lambert quand la situation de répétition dune disposition se produira.
Après cet événement, que deviennent les prévisions du nombre dinvitations dans les trois cas ?(Pour cette question, on supposera quau point b) les vases Val-Saint-Lambert restent groupés ensemble.)
Exercice 0.12 :
Dans les « Noces de Figaro », W.A. Mozart à composé une uvre où les ensembles de taille variable amènent tous les protagonistes à se rencontrer. Il rompait, se faisant, avec la tradition de lopéra classique et, en innovant de la sorte, produisait un chef duvre absolu de la culture.
Le célèbre chef dorchestre P.Avaroti a contacté cinq chanteurs et sept chanteuses qui seraient susceptibles dêtre retenus pour la distribution de la nouvelle production des « Noces » que lOpéra National lui a demandé de diriger la saison prochaine. Deux chanteurs sont nécessaires et 3 chanteuses.
Combien de distributions différentes peut-il envisager ?
Parmi les chanteuses pressenties, la diva C. Astafiore refuse absolument de partager la scène avec L. Acallas dont elle est très jalouse. P.Avaroti nenvisage donc pas de les faire chanter ensemble. Combien de possibilités de distribution lui reste-t-il ?
CHAPITRE 1 :
PROBABILITéS éLéMENTAIRES
Introduction : les deux modes dinférence
La modélisation et le calcul des probabilités visent à réduire lincertitude dans des situations marquées par un résultat aléatoire, et cela, selon deux modes possibles dinférence : la méthode classique et lapproche bayesienne.
A. La méthode classique
Cette méthode met en relation la population avec léchantillon selon deux approches possibles.
De la population vers léchantillon
De léchantillon vers la population
Exemples :
Soit un échantillon représentatif dont k% de leffectif possèdent une caractéristique précise :
Quelles sont les chances dobserver un certain pourcentage dans léchantillon alors que n% de la population possèdent cette caractéristique ?
Etant donné k% dans léchantillon, quel pourcentage de cette caractéristique pourra-t-on observer dans la population ?
B. La méthode bayesienne (Thomas Bayes 1702-1761)
Utilise linformation a priori et lintègre à linformation observée sur léchantillon. (Voir infra chapitre 3.)
C. Plan du chapitre :
Section 1 : Vocabulaire de base du langage probabiliste
Section 2 : Définitions alternatives de la probabilité
Annexes au Chapitre 1 : Exemples et exercices
Section 1 : Vocabulaire de base du langage probabiliste
Définitions : univers, expérience, épreuve, tirage, événement élémentaire, événement composé.
A. Expérience, épreuve, univers
Une expérience ou un tirage est une opération qui consiste à faire le relevé de différents résultats.
Lexpérience (ou le tirage) est dite aléatoire et porte alors le nom dépreuve si son résultat est un élément imprévisible dun ensemble bien déterminé appelé univers (des possibles) (ou encore espace déchantillonnage ou encore ensemble élémentaire). On le représente usuellement par S, E ou (.
Donc, dans le cas dune épreuve, la connaissance que lon possède des conditions initiales ne permet pas de prévoir avec certitude le résultat final.
Exemple : le lancer dun dé honnête.
Epreuve ou expérience stochastique : notions
Définition : une épreuve ou expérience stochastique est une expérience dont les conditions connues de réalisation ne permettent pas de prévoir un résultat unique.
On utilise également les expressions : expériences aléatoires ou expérimentations stochastiques.
Exemples :
Enregistrer le sexe du prochain bébé qui va naître à la maternité voisine.
Interroger 100 clients au supermarché, enregistrer le nombre de ceux qui ont entendu parler dune nouvelle marque de poudre à lessiver.
Tester les composants électroniques qui sortent de chaîne, enregistrer le nombre de composants corrects jusquau premier composant défectueux.
Cultiver une nouvelle sorte de tomate, enregistrer la production dun plan.
Opérer quelquun du cancer du poumon, enregistrer le temps qui sécoule avant une rechute.
Enregistrer le poids de jumeaux à la naissance.
Commentaires :
Dans le cas des expériences aléatoires c), d) et e) , le chercheur peut exercer un contrôle sur certains paramètres.
Dans les cas a), b) et f), le chercheur ne peut quobserver passivement.
Lobservation qui résulte de lexpérience sappelle le résultat (outcome). Le résultat peut être : qualitatif ou quantitatif ; unique ou multiple.
Les expériences des 6 exemples sont toutes stochastiques ou aléatoires. En effet, dans chaque cas, lexpérience pouvait donner un résultat parmi les multiples possibles :
Fille ou garçon
0 ou 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou
ou 100
?
etc., sans pouvoir le prévoir avec certitude.
Dans le cas contraire, on parle dexpériences déterministes, cest-à-dire dexpériences dont les conditions de réalisation déterminent à coup sûr le résultat.
Lensemble élémentaire ou lespace déchantillonnage : notions
Définition : lespace déchantillonnage est la liste des tous les résultats possibles dune expérience aléatoire.
Il est décrit mathématiquement comme un ensemble ; en conséquence, on le désigne également comme lensemble élémentaire.
Formellement lespace déchantillonnage est un ensemble S (ou E) dans lequel chaque résultat de lexpérience est représenté par un et un seul élément.
Exemples :
Enregistrer le nombre dampoules lumineuses défectueuses dans une boîte dune douzaine.
S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} ou S = {x : 0 ( x ( 12, x ( (}
Estimer le nombre de jours de la semaine durant lesquels il pleut.
S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ou S = {x : 0 ( x ( 7, x ( (}
Le 15 août, enregistrer le nombre dautomobiles passant dans le tunnel Léopold II en direction du littoral.
S = {0, 1, 2, 3,
} ou S = {x : x ( (}
N.B. : Cet ensemble est a priori dénombrable ; a posteriori, il sera fini.
Enregistrer la hauteur (en m.) dun arbre dans la forêt.
S = {x : x > 0, x ( (}
Enregistrer le poids (en grs) de jumeaux à la naissance.
S = {(x,y) : x > 0 et y > 0, x ( (}
Enregistrer le sexe des enfants dans une famille de trois enfants.
Plusieurs possibilités :
S = {FFF, FFG, FGF, GFF, GGF, GFG, FGG, GGG}
: la plus informative : ordre et nombre de filles (F) et de garçons (G).
ou
S = {0, 1, 2, 3}
: la moins informative : seulement le nombre de représentants dun sexe.
Exercices :
Ecrire les espaces déchantillonnages associés aux expériences aléatoires suivantes :
Le nombre de parties de dames que vous gagnez dans une série de trois jeux avec un ami.
Le nombre de visites chez le médecin en un an.
Le temps en minutes que met un service durgence pour se trouver à lendroit voulu après avoir reçu un coup de téléphone urgent.
La différence de taille (en cms) entre époux.
Le temps en minutes que vous devez attendre à la poste pour être servi.
Le nombre de réponses correctes données lors dun test de connaissance générales
par un candidat à qui on soumet 100 questions ;
par chacun des deux candidats à qui on a posé à chacun séparément 100 questions.
B. Evénements élémentaires, événements et événements composés
Chaque résultat individuel possible dune épreuve est appelée événement élémentaire. Cet événement élémentaire ne peut être décomposé en dautres événements.
On le note ei (i = 1, 2,
, n) et, par conséquent : S= { e1, e2 e3
, en}1.
Les événements élémentaires réalisent une partition de S : ei ( ej = (, (i `" j et
EMBED Equation.3 .
Exemples : pile ou face ;
un, deux, trois, quatre, cinq ou six après le lancer d un dé honnête.
Un événement (définition générale) est un sous-ensemble de l ensemble élémentaire S. C est donc un élément de P (S).
a) Propriétés des événements et événements composés
Si S est fini ou dénombrable, lensemble des événements étudiés lors dune épreuve est P (S).
Si S nest pas dénombrable, lensemble des événements étudiés est seulement inclus dans P (S).
Evénements composés : (cfr. infra, ch. 2, le cas des probabilités composées.)
Si A et B désignent deux événements associés à une épreuve ( :
A ( B désigne la réalisation simultanée de A et B, on parle aussi du produit des événements A et B.
A ( B désigne la réalisation dun au moins des événements A ou B, on parle aussi de la somme des événements A et B.
Un exemple : le lancer dun dé honnête :
S = {1, 2, 3 , 4 , 5 , 6},
on définit : A : « Obtenir 1 ou 2. »,
B : « Obtenir 3 ou 4 ou 5. »,
C : « Obtenir 2 ou 3 ou 6. »,
G : « Obtenir un résultat ( 5. »,
H : « Obtenir 1 ou 2 ou 3 ou 6. ».
Somme dévénements :
A = e1 ( e2 , B = e3 ( e4 ( e5 et C = e2 ( e3 ( e6 sont trois événements composés dévénements élémentaires de lespace S.
G = A ( B ou H = A ( C sont des événements composés à partir dautres événements composés.
Produits dévénement ou événements joints :
K : « Obtenir 2 » = A ( C.
R : « Obtenir un résultat ( 3 » = G ( H.
b) Evénements : un exemple
Soit 100 ménages répartis selon 3 classes de revenus :
La classe M : revenus modestes : ( 12.500 ¬ ;
La classe I : revenus intermédiaires : > 12.500 ¬ , ( 25.000 ¬ ;
La classe E : revenus élevés : > 25.000 ¬ .
Soit l épreuve ( : « Tirer aléatoirement trois ménages ».
#S = 27, car on peut dénombrer 27 événements élémentaires composant S, l espace déchantillonnage de lépreuve (.
En effet par le principe de multiplication, on peut décomposer lépreuve en trois épreuves plus simples (i (i = 1, 2, 3) : « Tirer aléatoirement un ménage » successives, pour chacune desquelles il existe trois résultats possibles : M ou I ou E, avec :
M, lévénement élémentaire de lépreuve (i : « Tirer un ménage à revenu modeste » ;
I, lévénement élémentaire de lépreuve (i : « Tirer un ménage à revenu intermédiaire » ;
E, lévénement élémentaire de lépreuve (i : « Tirer un ménage à revenu élevé ».
A chacune de ces épreuves (i (i = 1, 2, 3) est associé un espace déchantillonnage Si = {M, I, E}, avec # Si = 3 .
Et donc # S = S1 . S2 . S3 = 3³ = 27.
Schématiquement :
Dans cet arbre, un ième tirage est considéré comme une épreuve simple (i :
Avec quatre événements élémentaires de lespace déchantillonnage S.
c) Evénements et langage probabiliste
Le vocabulaire particulier utilisé pour caractériser certains types dévénements est parallèle au et inspiré du langage ensembliste.
Lévénement impossible : la partie vide de S, ( ( P (S).
Lévénement certain : S.
Lévénement contraire ou complémentaire de A : EMBED Equation.3 S\ A, cest-à-dire lévénement qui se réalise quand A ne se réalise pas.
Deux événements incompatibles A et B sont des parties disjointes de P (S) sans éventualités communes, ( A ( B = (.
« Lévénement A implique lévénement B » est équivalent à « la partie A (de S) est incluse dans la partie B (de S) », ( A ( B. Si A est réalisé, alors B est également réalisé.
Exemples : on lance un dé honnête (non pipé), lévénement :
« On obtient un nombre entier » est un événement certain ;
« On obtient un sept» est un événement impossible ;
« On obtient un multiple pair de trois » est un événement élémentaire : {6} ;
« On obtient un nombre impair » est un événement complémentaire de lévénement « On obtient un nombre pair » : {1, 3, 5} ( {2, 4, 6} = ( et {1, 3, 5} ( {2, 4, 6} = S ;
« On obtient un multiple de trois » implique lévénement « On obtient un nombre supérieur ou égal à trois » : {3, 6} ( {3, 4, 5, 6} ;
« On obtient trois » est incompatible avec lévénement « On obtient un » :
{3} ( {1} = (.
C. Exemples et exercices
Exemple 1 : On lance un dé honnête, donc S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
On note A et B les événements :
A : « on obtient un nombre pair » ( A = {2, 4, 6} ;
B : « on obtient un multiple de trois» ( B = {3, 6} .
A ( B est lévénement « on obtient un multiple pair de trois » = {6}.
A ( B est lévénement « on obtient un nombre pair ou un multiple de trois » = {2, 3, 4, 6}.
Exemple 2 : On lance trois fois un dé honnête, et on note la suite (x, y, z) des nombres obtenus, donc S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}³.
Soit Ai lévénement : « on obtient un as au ième lancer, i = 1, 2, 3 ».
A1 ( A2 ( A3 est lévénement « on obtient un as aux trois lancers »,
A1 ( A2 ( A3 est lévénement « on obtient un as au moins au cours des trois lancers ».
Exemple 3 : Soit un jeu de hasard consistant à lancer à la fois une pièce équilibrée et un dé honnête. Soit Sp = {P, F} et Sd = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, les ensembles élémentaires de chaque épreuve séparée. Décrire Sj , lensemble élémentaire du jeu.
Sj = {(P,1), (P,2), (P,3), (P,4), (P,5), (P,6), (F,1), (F,2), (F,3), (F,4), (F,5), (F,6)}, le produit cartésien des espaces déchantillonnage Sp et Sd.
Exemple 4 : Un médecin doit rendre visite à trois patients : Albert (A), Béatrice (B) et Charles (C). Il (Elle) est libre de choisir lordre des visites.
Lespace déchantillonnage des choix possibles, S, peut sécrire : S = {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA} avec #S = 6.
Définissons les événements :
E : « Le médecin visite A avant B », donc E = {ABC, ACB, CAB} ;
F : « Le médecin visite B avant C », donc F = {ABC, BAC, BCA} ;
G : « Le médecin visite C avant A », donc G = {BCA, CAB, CBA }.
EMBED Equation.3 , lévénement complémentaire de E, = {BAC, BCA, CBA} représente lévénement : « Le médecin visite A après B » ou « Le médecin ne visite pas A avant B » ou encore « E ne se produit pas ».
E ( F = {A, B, C}
représente lévénement : « Le médecin visite A avant B et B avant C ».
Similairement, F ( G = {B, C, A} et G ( E = {C, A, B}.
E ( F ( G = (, en effet lévénement : « Le médecin visite A avant B et visite B avant C et visite C avant A » est impossible.
E ( F ( G = S, en effet lévénement : « Le médecin visite soit A avant B, soit B avant C, soit C avant A » est un événement certain.
E ( F = {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB}, représente lévénement : « Le médecin visite soit A avant B, soit B avant C ».
Exercice 1.7 :
Pour un lot dune douzaine dampoules à tester, représentez lespace déchantillonnage S :
ainsi que les événements suivants comme des sous-ensembles de lespace déchantillonnage S :
« Une ampoule est défectueuse. » : A ;
« Au moins une ampoule est défectueuse. » : B ;
« Au plus une ampoule est défectueuse. » : C.
Exercice 1.8 :
Voici une liste dévénements associés aux épreuves décrites dans une série précédente dexercices. Décrivez chaque événement comme un sous-ensemble de lespace déchantillonnage adéquat :
« Vous gagnez au moins deux parties de dames. » : A ;
« Votre ami gagne au moins deux parties de dames. » : B :
« Vous ne rendez pas visite au médecin plus de deux fois par an. » : C ;
« Lambulance arrive en moins de cinq minutes. » : D ;
« Lambulance met plus de dix minutes pour arriver. » : E ;
« Lépouse est plus grande que son mari. » : F ;
« Le premier candidat donne au moins 75 réponses correctes. » : G ;
« Le second candidat donne au moins 75 réponses correctes. » : H ;
« A eux deux, les candidats donnent au moins 150 réponses correctes. » : I.
Exercice 1.9 : Vous allez lancer une pièce de monnaie trois fois de suite. Ecrivez les espaces déchantillonnage correspondant :
aux résultats des lancers dans lordre où ils se présentent :
au nombre total de « faces » obtenues :
au nombre de « piles » obtenues avant la première face :
Exercice 1.10 :
Soit un dé honnête.
Ecrivez lespace déchantillonnage S correspondant à lépreuve du lancer unique de ce dé :
Ensuite écrivez les événements suivants comme des sous-ensembles de lespace déchantillonnage S :
« Le score obtenu est un nombre impair. » : A :
« Le score obtenu est au plus 2. » : B :
« Le score obtenu est 6. » : C :
Ensuite, écrivez les sous-ensembles suivants de S avec une brève description des évènements quils représentent (si possible) :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Section 2 : Définitions de la probabilité
Cinq approches et quatre définitions :
approche intuitive ;
approche et définition fréquentiste ;
approche et définition classique ;
approche et définition subjective ;
approche et définition axiomatique.
A. Approche intuitive
Soit une urne U contenant 10 boules blanches, 20 boules rouges, 70 boules bleues, indistinguables au toucher.
Si on tire une boule au hasard, on dit quil y a plus de chances, quil est plus probable, de tirer une boule bleue. De même on dit quil est plus probable de tirer une boule rouge quune boule blanche.
En formalisant lintuition en fonction de linformation disponible, on dira que P(Bl) = 0,7, P(W) = 0,1 et P(R) = 0,2,
avec, Bl = « Tirer une boule bleue. » ;
W = « Tirer une boule blanche. » ;
R = « Tirer une boule rouge. ».
B. Approche et définition fréquentiste
B.1. La probabilité comme limite de la fréquence dobservation
Soit E, une épreuve dont lensemble élémentaire est S et A, un événement associé à E. (A ( P (S)). On montre par lexpérience que lapproche intuitive tend à être vérifiée.
Exemple : (une expérience à réaliser soi-même.)
Le tirage répété dune boule de lurne U. A chaque tirage, on note le résultat.
Lépreuve est répétée (dans les mêmes conditions) n (10) fois, puis n (100) fois, puis n (100.000) fois, et enfin n (1.000.000) fois. Notons nA, nA, nA, nA, le nombre de réalisations de A au cours de ces quatre séries dépreuves.
On constate que les fréquences (fA, fA, fA, fA) se rapprochent quand le nombre dépreuves augmente et tendent vers les proportions dans lesquelles les couleurs sont effectivement représentées dans lurne.
Résultats dune expérience similaire à celle qui est décrite supraAnAfAnAfAnAfAnAfAW10,1150,1510.1020,101100.9730,101R10,1220,2220.9440,209203.4520,203Bl80,8630,6368.9540,690695.5750,696Total1011001100.00011.000.0001nnnn
Cette expérience, et toutes celles qui lui sont similaires, laisse penser que sur une série illimitée (et donc hypothétique) dépreuves, la fréquence de A sur les n premières épreuves, tendra, pour n tendant vers linfini, vers un nombre déterminé, attaché à lévénement et indépendant de la série dépreuves considérée, cest ce nombre dont la valeur exacte demeure inconnue que nous appelons probabilité de lévénement A.
EMBED Equation.3 P (A) = EMBED Equation.3 (inconnue).
Cette définition nest quapproximative, mais va permettre une définition mathématique précise en se basant sur certaines propriétés caractéristiques des fréquences.
On nomme ce phénomène de convergence de la fréquence vers un nombre stable, la régularité statistique, principe fondamental de lapproche fréquentiste des probabilités.
Une expérience réelle (cfr Mc Coll)
Sur son chemin de retour de lécole, chaque élève dune classe sarrête quelque part et observe le passage de 20 automobiles. Il note le nombre de véhicule bleus parmi les 20. Le relevé suivant recense les observations des 16 élèves de la classe : {6, 5, 4, 5, 5, 9, 3, 4, 5, 5, 4, 7, 5, 6, 6, 5}.
Calculer les fréquences cumulées de lévénement : « La voiture est bleue » après lenregistrement des données de chaque élève.
En faire le graphique et montrer la régularité statistique.
Quelle est la probabilité dans cette localité quune voiture choisie au hasard ne soit pas bleue ?
élèvenb d'obs.nb bleuescumul obs.cumul bleuesfréquencecumul non bleuesfréquence12062060,3000140,7000220540110,2750290,7250320460150,2500450,7500420580200,2500600,75005205100250,2500750,75006209120340,2833860,71677203140370,26431030,73578204160410,25631190,74389205180460,25561340,744410205200510,25501490,745011204220550,25001650,750012207240620,25831780,741713205260670,25771930,742314206280730,26072070,739315206300790,26332210,736716205320840,26252360,7375
EMBED Excel.Chart.8 \s B.2. Propriétés élémentaires dune probabilité
La probabilité dun événement A quelconque, notée P(A), est un nombre (une mesure) : 0 ( P(A) ( 1.
Si P(A) = 0, alors A est un événement impossible.
Si P(A) = 1, alors A est un événement certain .
Exemple : le lancer dune pièce équilibrée :
A = « Obtenir pile ou face » est un événement certain, P(P(F) = 1,
A = « Obtenir pile et face » est un événement impossible, P(P(F) = 0.
Soit A = {ek1, ek2, ek3,
, ekp}, un événement associé à lensemble élémentaire S.
Si A est la réunion disjointe des événements élémentaires ek1, ek2, ek3,
, ekp, deux à deux incompatibles,
A = {ek1, ek2, ek3,
, ekp} = ek1 ( ek2 ( ek3 (
( ekp,
alors P(A) = P(ek1) + P(ek2) + P(ek3) +
+ P(ekp) .
Lorsque e1, e2, e3,
, en sont les n événements élémentaires qui réalisent la partition de lespace déchantillonnage S, alors EMBED Equation.3 (ei) = 1 et donc P(S) = 1.
Soit deux événements A et EMBED Equation.3 , avec A = e1 ( e2 ( e3 (
( ek
et EMBED Equation.3 = ek+1 ( ek+2 ( ek+3 (
( en et EMBED Equation.3 ei = S.
Donc EMBED Equation.3 = S\A, A et EMBED Equation.3 réalisent une partition de S, A ( EMBED Equation.3 = S, A ( EMBED Equation.3 = ( et EMBED Equation.3 est appelé le complémentaire de A,
alors P( EMBED Equation.3 ) = 1 P(A)
puisque P(S) = P(A) + P( EMBED Equation.3 ) = 1.
B.3. Limite épistémologique de la définition fréquentiste
La définition fréquentiste ne donne pas de valeur précise à la probabilité dun événement, cest donc une définition approximative peu satisfaisante.
En effet, on na jamais pu effectuer (même avec les ordinateurs les plus modernes) un nombre infini dépreuves. On observe seulement la tendance de la limite de la fréquence vers la proportion dans la population,
Donc il est « PROBABLE » que cette proportion soit la valeur limite de la fréquence.
La « circularité » de la définition fréquentiste est peu acceptable.
C. Approche et définition classique
Lapproche classique prend sa source dans létude des jeux de hasard qui sont toujours utilisés à titre pédagogique (lancer dune pièce, dun dé honnête, tirage de cartes).
C.1. définition : la formule de Laplace
Sil y a dans, dans un univers donné U, #P résultats possibles pour une épreuve E, mutuellement exclusifs, épuisant toutes les possibilités, équiprobables, dont #F sont favorables (à la réalisation de lévénement A) et donc #P - #F qui sont défavorables, alors on peut calculer la probabilité de A comme :
EMBED Equation.3
C.2. Un exemple de probabilité de sélection dans un sondage
Soit notre échantillon de 100 ménages avec #M = 70, #I = 20, #E = 10. On demande la probabilité de « Tirer lors de notre épreuve trois ménages qui ont le même niveau de revenu » : A.
A = ((M( M( M) ( (I( I( I) ( (E( E( E)) = (M ( I ( E )
Soit F, lensemble des tirages favorables =
{{M(M(M} ( {I(I(I} ( {E(E(E}} ou {M ( I (E }.
#P = EMBED Equation.3 cas possibles.
#F = #M + #I + #E = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 cas favorables.
Donc EMBED Equation.3
C.3. Les limites de lapproche classique (outre la circularité de la définition)
Lénumération (le dénombrement) des cas est fastidieux et lapplication de la formule classique nest pas possible en cas de non équiprobabilité. D. Définition subjective
La probabilité subjective est la mesure du « degré de confiance » quun individu a dans la survenance dun événement particulier, compte tenu de linformation dont il dispose.
Exemples : la probabilité de vivre jusquà 150 ans dans le demi-siècle qui sannonce, de gagner la prochaine coupe du monde de football,
Limite : la contrainte de cohérence est difficile à respecter.
E. Approche et définition axiomatique
Lapproche axiomatique des probabilités essaie de surmonter les limites des approches précédentes (peu de rigueur ou de cohérence dans les approches intuitives et subjectives, circularité de la définition dans les approches fréquentistes et classiques) au prix dune abstraction plus grande.
Ses fondements ont été établis par Kolmogorov vers 1920.
Cette approche, la plus rigoureuse, permet de traiter les cas dunivers non seulement finis mais aussi seulement dénombrables ou même non dénombrables.
E.1. Définition
La probabilité dun événement élémentaire ei , parmi tous les résultats possibles, dénombrables ou non, dune épreuve, est un nombre qui satisfait aux axiomes suivants :
0 ( P(ei) ( 1.
P(S) = 1, avec S, lensemble élémentaire de lépreuve.
P(A) = P(ei) + P(ej) si A = ei ( ej et ei ( ej = (.
E.2. Extension de la définition aux événements : tribus et (-algèbre
Cette extension de la définition mène au concept de (-algèbre, encore connu sous lexpression despace probabilisable.
Soit E, une épreuve et S, son ensemble élémentaire associé, on appelle tribu ou (-algèbre dévénements, tout sous-ensemble A inclus dans P (S), contenant S, stable par passage au complémentaire et par union finie ou dénombrable. Cest-à-dire (
A ( P (S) ;
S ( A ;
E ( A ( ~E = S\E ( A ;
Ei ( A, i ( I alors (i(IEi ( A .
Le couple (S, A) sera alors appelé espace probabilisable.
E.3. Algèbre de Kolmogorov ou espace probabilisé
Définition :
Soit E une épreuve, S, son ensemble élémentaire associé, A une tribu ou (-algèbre dévénements,
on appelle probabilité sur (S, A) toute application P : A ( R telle que :
0 ( P(E) ( 1, E ( A.
P(S) = 1, avec S, lensemble élémentaire de lépreuve.
Pour toute famille finie ou dénombrable (Ei) i(I dévénements de A, deux à deux incompatibles, P((i(IEi ) = ( i(IP(Ei).
Le triplet (S, A, P) est alors appelé espace probabilisé ou parfois algèbre de Kolmogorov.
Conclusion au Chapitre 1
Il y a désaccord à propos de ce que signifie vraiment le concept précis de probabilité.
Il y a accord sur son interprétation générale (mesure de la vraisemblance doccurrence dun événement lors dune épreuve) et sur la façon dont les probabilités doivent être manipulées pour donner des résultats opérationnellement adéquats.
Annexe 1 au chapitre 1 : Exemples
Exemple 1 : Révision de lapproche classique à partir de lépreuve E : « On tire une carte dun jeu non marqué de 32 cartes ». (Jeu non marqué = cartes non distinguables à la vue et au toucher si leur face est cachée.)
P.N. : S={32 éventualités équiprobables},
donc lapproche classique peut sappliquer.
Soit les événements : H = « Tirer un habillé ».
A = « Tirer un as ».
C = « Tirer un cur ».
Une représentation graphique :
1RDV10987`&1RDV10987c&1RDV10987f&1RDV10987e&Questions :
P(H) ? (Quelle est la probabilité de tirer un habillé ?)
P(C) ? (Quelle est la probabilité de tirer un cSur ?)
P(H(C) ? (Quelle est la probabilité de tirer un cSur habillé ?)
P(H(A) ? (Quelle est la probabilité de tirer un as habillé ?)
P(H(A) ? (Quelle est la probabilité de tirer un habillé ou un as?)
P(H(C) ? (Quelle est la probabilité de tirer un habillé ou un cur ?)
P(~H) ? (Quelle est la probabilité de tirer un non-habillé ?)
N.B. : Réfléchir à la qualification des événements (somme, produit, incompatibles, certains, impossibles,
) et des épreuves (élémentaires, complexes,
) permet dassurer une bonne modélisation et/ou un bon contrôle de la solution
P(H) ? (Quelle est la probabilité de tirer un habillé ?)
P(H) EMBED Equation.3 .
P(C) ? (Quelle est la probabilité de tirer un cur ?)
P(C) EMBED Equation.3 .
P(H(C) ? (Quelle est la probabilité de tirer un cur habillé ?)
P(H(C) EMBED Equation.3 .
N.B. Cet événement est un événement produit : dans le cas de cet exemple simple : P(H(C) = P(C).P(H) EMBED Equation.3 . Cependant pour que cette formule soit applicable, des conditions particulières dindépendance doivent être respectées (comme dans lexemple présent), voir infra chapitre 2.
P(H(A) ? (Quelle est la probabilité de tirer un as habillé ?)
P(H(A) = 0 ; EMBED Equation.3 .
En effet, P(H(A) est un événement impossible, H(A = (, H et A sont incompatibles.
N.B. Cet événement est un événement produit : dans le cas de cet exemple simple : P(H(A) = 0 ( P(H).P(A) EMBED Equation.3 . Dans cet exemple, les conditions particulières dindépendance mentionnées supra ne sont pas respectées. (Voir infra chapitre 2.)
P(H(A) ? (Quelle est la probabilité de tirer un habillé ou un as?)
P(H(A) EMBED Equation.3 .
N.B. Cet événement est un événement somme : dans le cas de cet exemple simple : P(H(A) = P(A) + P(H) EMBED Equation.3 . Cependant pour que cette formule soit applicable, des conditions particulières dincompatibilité doivent être respectées (comme dans lexemple présent), voir également infra chapitre 2.
P(H(C) ? (Quelle est la probabilité de tirer un habillé ou un cur ?)
N.B. Cet événement est un événement somme : dans le cas de cet exemple simple : P(H(C) ( P(H) + P(C). car les conditions particulières dincompatibilité ne sont pas respectées ici. En effet, dans le jeu de 32 cartes, il existe trois cartes qui soit à la fois des cartes de cur et habillées (R(, D(,V(). On dit alors que les événements H et C sont compatibles. Pour traiter ce cas par formule, voir infra chapitre 2.
A ce stade, seuls le dénombrement et la formule classique peuvent permettre de répondre à la question.
P(H(C) EMBED Equation.3
P(~H) ? (Quelle est la probabilité de tirer un non-habillé ?)
~H est lévénement complémentaire à H dans S. Autrement dit, lévénement (~H (H) = S. On dit que ~H et H forment toujours un système complet dévénements (S.C.E.). (Voir infra chapitre 3.)
Or S est un événement certain, donc P(S) = 1.
Et par définition, ~H et H sont incompatibles,
donc P(~H(H) = P(~H) + P(H) ( P(S) = P(~H) + P(H) ( 1 = P(~H) + P(H) ( P(~H) = 1 - P(H) = 1 - EMBED Equation.3 .
Le dénombrement et la formule classique permettent également de répondre à la question.
P(H(C) EMBED Equation.3 . Exemple 2 : Tirages groupés ou non
Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher, numérotées de 1 à 10.
On tire 2 boules, lune après lautre, sans remise. Calculer la probabilité de lévénement A : « La somme des numéros égale 10 ».
Calculer la probabilité de lévénement A si les deux boules sont tirées simultanément, cest-à-dire par poignées.
Calculer la probabilité de lévénement A si les deux boules sont tirées lune après lautre avec remise.
P.N. Il ny a pas que lévénement considéré qui influe sur la mesure de la probabilité, la façon dont lépreuve se produit la détermine également.
#P = EMBED Equation.3 = 10 . 9 = 90
et F = {(1, 9), (9, 1), (2, 8), (8, 2), (3, 7), (7, 3), (4, 6), (6, 4)} donc #F = 8.
Donc P(A) = EMBED Equation.3 = 0,0889.
#P = EMBED Equation.3 .
et F = {(1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6)}, lordre dans chaque paire étant non important, donc #F = 4.
Donc P(A) EMBED Equation.3 = 0,0889.
#P = 10 . 10 = 100 (principe de multiplication).
et F = {(1, 9), (9, 1), (2, 8), (8, 2), (3, 7), (7, 3), (4, 6), (6, 4), (5, 5)}, car il est maintenant possible de tirer deux fois de suite la boule numéro 5,
donc #F = 9.
Donc P(A) = EMBED Equation.3 .
Exemple 3 : Définitions et qualifications dévénements
Soit lépreuve : « On lance deux fois un dé honnête ». S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}².
Quel est le libellé correct de lévénement A correspondant à la partie P de S = {(1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} ?
A = « On obtient deux fois de suite le même résultat ».
A quelle partie P de S correspond lévénement B = « La somme des deux numéros obtenus est inférieure ou égale à 4 » ?
P = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1)}.
Calculer la probabilité des événements : A, B, A(B, A(B, A\B, B\A ; donner un libellé à ceux qui nen ont pas.
P(A) = EMBED Equation.3 .
P(B) = EMBED Equation.3 .
P(A(B)= EMBED Equation.3 : P(« La somme des deux numéros identiques est inférieure ou égale à 4 »).
P(A(B)= EMBED Equation.3 : P(« On obtient deux numéros, soit identiques, soit dont la somme est inférieure ou égale à 4 »).
P(A\B)= EMBED Equation.3 : P(« La somme des deux numéros identiques est supérieure à 4 »).
P(B\A)= EMBED Equation.3 : P(« La somme des deux numéros différents est inférieure ou égale à 4 »).
Exemple 4 : Contrôle de qualité.
Une boîte contient 30 objets dont 10 sont défectueux.
On prélève 5 objets en une fois, quelle est la probabilité que, parmi ces 5 objets, 2 soient défectueux , P(2D) ?
On prélève successivement 5 objets avec remise, quelle est la probabilité dobtenir, dans lordre, 2 défectueux puis 3 non défectueux, P(2D_3ND) ? Et deux défectueux dans le lot de 5, P(2D) ?
#P = EMBED Equation.3 possibilités.
Et pour #F, il faut tirer 2 objets parmi les 10 objets défectueux présents : soit EMBED Equation.3 possibilités de cas favorables, que lon doit combiner (principe de multiplication) aux 3 objets non défectueux tirés parmi les 20 non défectueux : soit, EMBED Equation.3
et donc #F = EMBED Equation.3 .1.440 = 51.300. Donc P(2D) EMBED Equation.3 .
Soit Di : « Lobjet i est défectueux », donc P(Di) = 1/3 et P(~Di)= 2/3, (i.
Donc P(2D_3ND) = P(D1 et D2 et ~D3 et ~D4 et ~D5 ) = P(D1 ( D2 ( ~D3 ( ~D4 ( ~D5 ) = P(D1).P(D2).P(~D3).P(~D4).P(~D5 ) = (1/3)².(2/3)³ = EMBED Equation.3 = 0,0329.
Quand lordre nimporte pas, il existe plus de possibilités dobtenir 2 objets défectueux sur les 5, en fait toute permutation distinguable de la séquence supra devient un cas favorable. Nos 5 objets sont répartis en deux groupes respectivement de 2 et 3 objets indistinguables à lintérieur de chacun de ces deux groupes. On dispose donc de EMBED Equation.3 possibilités de permutation sans que la probabilité de lune diffère de nimporte quelle autre. Nous sommes en fait dans le cas dune distribution binomiale. (Voir infra, chapitre 6.) Donc P(2D) = EMBED Equation.3 . Annexe 2 au chapitre 1 : Exercices récapitulatifs
Exercice 1.11 :
Soit lépreuve : « On lance trois fois de suite un dé honnête ».
Donc S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}³.
A quelles parties de S correspondent les événements :
A : « On nobtient pas das aux trois lancers. » ;
B : « On obtient exactement un as. » ;
C : « On obtient au moins un as. » ;
D : « On obtient un as au deuxième et au troisième lancer. » ?
Calculer la probabilité de ces événements.
Exercice 1.12 :
Sur les 10 filles assises au premier rang, 3 ont les yeux bleus. On en désigne 2 au hasard.
Quelle est la probabilité :
quelles aient toutes deux des yeux bleus ?
quaucune nait des yeux bleus ?
au moins une ait des yeux bleus ?
Exercice 1.13 :
Trois étudiants Albert, Bernard et Charles disputent une compétition de natation. Albert et Bernard ont la même probabilité a priori de gagner et chacun deux a deux fois plus de chance de gagner que Charles.
Quelle est la probabilité :
pour chacun de gagner ?
que Bernard ou Charles gagne ?
quAlbert et Bernard perdent ?
quAlbert ou Bernard perde ?
Exercice 1.14 :
Cinq couples mariés se trouvent réunis.
Si deux personnes sont désignées au hasard, quelle est la probabilité quelles soient mariées ?
Si deux personnes sont désignées au hasard, quelle est la probabilité quune delles soit une femme et lautre un homme ?
Si quatre personnes sont désignées au hasard, quelle est la probabilité que deux couples mariés aient été choisis ?
Si quatre personnes sont désignées au hasard, quelle est la probabilité quaucun couple marié ne se trouve parmi les quatre personnes ?
Si quatre personnes sont désignées au hasard, quelle est la probabilité quexactement un couple marié soit présent dans les quatre ?
Si les dix personnes sont divisées au hasard en 5 paires, quelle est la probabilité que chaque paire soit mariée ?
Si les dix personnes sont divisées au hasard en 5 paires, quelle est la probabilité que chaque paire comprenne un homme et une femme ?
Exercice 1.15 :
On a établi que la probabilité quune caissière de grand magasin reçoive k clients entre 15 et 16 heures est : EMBED Equation.3 .
Calculez ( .
Quelle est la probabilité que la caissière reçoive moins de 5 clients ? P(C 0, sont incompatibles entre eux, cest-à-dire P(A (B) = 0, alors ils ne sont pas indépendants.
Preuve (voir également infra exemple 4) :
Sils étaient indépendants, P(A/B) = P(A) ; or P(A/B) = P(A(B)/P(B), donc dans le cas présent dincompatibilité entre A et B, P(A(B)=0 (P(A/B) = 0.
Ce qui est impossible puisque P(A) est supposé > 0.
D. Exemples
Lurne bicolore
Soit U une urne contenant r boules blanches numérotées de 1 à r et s boules bleues numérotées de 1 à s.
Les boules sont indiscernables au toucher. On tire au hasard une boule de U.
Sachant que cette boule est blanche, quelle est la probabilité quelle porte le numéro 1 ?
#S = r + s, tous les résultats de lexpérience stochastique sont équiprobables.
Soient les événements : - A : « La boule tirée porte le n°1 ».
B : « La boule tirée est blanche ».
On cherche P(A/B).
Or P(A/B) = P(A(B)/P(B) avec P(A(B) = EMBED Equation.3 et P(B) = EMBED Equation.3 .
Donc P(A/B) = EMBED Equation.3 .
Lâge des époux (cfr. supra Chapitre 2 Section 1)
Soient les événements :
A : « Lâge de lépoux se trouve dans lintervalle 30 - 35 ans. » ;
B : « Lâge de lépouse se trouve dans lintervalle 25 - 30 ans. ».
Or P(A (B) = 11/669 = 0,0164 (probabilité jointe)
et P(B) = 65/669 = 0 ,0972 (probabilité marginale).
Donc P(A/B) = P(A(B)/ P(B) = EMBED Equation.3
(probabilité conditionnelle)
Le parapluie perdu
Monsieur Dupont vient de visiter 3 immeubles A, B, C. Il saperçoit quil y a oublié son parapluie. A son avis, nayant aucun souvenir précis, il juge équiprobable la présence de son parapluie dans chacun des trois immeubles.
Il retourne à limmeuble A et entreprend de fouiller ses n étages. Il arrive au dernier sans avoir découvert son parapluie dans les n-1 étages précédents.
Quelle est alors la probabilité que le parapluie se trouve au nième étage de limmeuble A ?
Soient les événements : - A : « Le parapluie se trouve dans limmeuble A. ».
- Ei : « Le parapluie se trouve au ième étage de limmeuble A. ».
On a P(A) = 1/3 et P(Ei/A) = 1/n ((i, i ([1, 2, 3,
, n]).
On cherche :
EMBED Equation.3
en effet :
EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 .
Lancers de dés
a) On lance deux dés honnêtes, un rouge et un bleu, soit :
A : « La somme des résultats fait 6 » ;
B : « Le dé rouge donne un numéro pair ».
A et B sont-ils indépendants ?
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}2 A= {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}
B = {2, 4, 6}x{1, 2, 3, 4, 5, 6} A(B = {(2,4), (4,2)}
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
or EMBED Equation.3 .
donc A et B ne sont pas indépendants.
b) Même épreuve mais :
A : « La somme des résultats fait 8 » ;
B : « Le dé bleu donne las ».
A et B sont-ils indépendants ?
A et B sont incompatibles, donc P(A(B) = 0.
Mais P(A) et P(B) différent de 0, donc A et B ne sont pas indépendants.
Un résumé des lois de probabilité usuelles pour deux événements E et F de probabilité non nulle
E et F incompatibles
E ( F = ( E et F compatibles
E ( F ( (IndépendantsNon indépendantsP(E ( F) = 0P(E ( F) = P(E).P(F) P(E ( F) = P(E/F).P(F)
ou
P(E ( F) = P(F/E).P(E)P(E ( F) = P(E) + P(F)P(E ( F) = P(E) + P(F) - P(E).P(F)P(E ( F) = P(E) + P(F) - P(E ( F)P(E/F) = 0P(E/F) = P(E)P(E/F) = P(E ( F)/P(F)P(F/E) = 0P(F/E) = P(F)P(F/E) = P(E ( F)/P(E)
Annexe au chapitre 2 : Exercices récapitulatifs
Exercice 2.1 :
On tire une carte dun jeu de 32 cartes. Soit A = « Tirer un cur » et B = «Tirer un as ».
Prouver que A et B sont indépendants.
Exercice 2.2 :
Une usine fabrique des pièces en grande série, en deux phases indépendantes. La première phase est susceptible de faire apparaître un défaut X et la seconde un défaut Y. Une pièce peut présenter le défaut X dans 2% des cas et le défaut Y dans 8% des cas.
Quelle est la probabilité quune même pièce tirée au hasard :
présente les deux défauts ? P(A) ?
présente au moins lun des deux défauts ? P(B) ?
présente un et un seul des deux défauts ? P(C) ?
ne présente aucun des deux défauts ? P(D) ?
Exercice 2.3 :
Une machine industrielle comprend trois organes de fonctionnement. Si lun dentre eux présente une défaillance, la machine tombe en panne. Les défaillances possibles de ces organes sont indépendantes et les probabilités de défaillance sont respectivement 0,02, 0,05 et 0,10.
Quelle est la probabilité que la machine tombe en panne ? P(D) ?
Exercice 2.4 :
Une machine automatique comprend trois organes notés O1, O2 et O3. Les organes O1 et O2 sont interchangeables : si lun deux est défectueux, lautre prend le relais ; par contre, lorgane O3 est indépendant de O1 et O2. La machine tombe en panne si O1 et O2 ou O3 sont défectueux. On désigne par A, B, C respectivement les événements suivants « O1, O2, O3 est défectueux ».
Calculer la probabilité que la machine tombe en panne, P(D), en fonction des probabilités dévénements qui soient des réunions des événements élémentaires A, B et C.
Exercice 2.5 :
Un système de chauffage central au fioul comporte une pompe et un brûleur montés en série. Ces deux éléments peuvent tomber en panne durant lhiver. Tout le système sarrête si lun des deux éléments est en panne.
Supposons que le système ait été activé pendant un hiver et quun résultat (x,y) soit enregistré : x = 0 si la pompe fonctionne durant tout lhiver sans défaillance, autrement x = 1 ; de même y = 0 si le brûleur fonctionne correctement, autrement y = 1.
Décrivez et représentez graphiquement :
en compréhension et en extension lespace déchantillonnage associé à cette épreuve ;
en extension, les événements suivants :
P = « La pompe tombe en panne durant lhiver. » ;
B = « Le brûleur tombe en panne durant lhiver. » ;
C= « Le système de chauffage passe lhiver sans panne. ».
Donnez en plus de la description en extension, la signification et/ou la définition des événements suivants :
P(B ;
P(B ;
C(P;
P( EMBED Equation.3 .
La probabilité de panne de la pompe est P(P) et celle du brûleur, P(B) ; les pannes sont indépendantes. Si P(P) = 0,10 et P(B) = 0,05 :
Quelle est la probabilité :
que lon ait froid pendant lhiver ?
que lon doive réparer simultanément les deux composants du système ?
Exercice 2.6 :
Dans une population de jeunes, il y a 40% de fumeurs et 30% atteints par une maladie respiratoire. Parmi les fumeurs 60% sont atteints par la maladie.
Quelle est la probabilité pour que quelquun atteint par la maladie soit également fumeur ? (N.B. Modélisez la résolution du problème dau moins deux façons différentes).
Exercice 2.7 :
Un circuit particulier dans un système de sécurité dun avion ne fonctionne que si les composants C1 et C2 ne tombent pas en panne. Il suffit quun seul soit en panne pour que le circuit ne fonctionne pas. C1 tombe en panne avec une probabilité (1 (0
