Introduction - Examen corrige
L'examen de l'exposition au risque d'intérêt passe par le calcul de la duration, qui
..... b) Corriger les problèmes rencontrés ... Type III : Loi de Weibull .... que l'on
doit considérer doit être courte pour avoir des résultats raisonnablement fiables.
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Faculté dEconomie, de Gestion et de Sciences Sociales
Syllabus du cours :
Advanced Studies in Banking
Introduction générale
Comment les intermédiaires financiers gèrent-ils leurs portefeuilles et les risques associés ? Les banques maximisent le rendement de ces portefeuilles sous la contrainte du niveau acceptable de risque qu'elles se sont fixé. Elles vont donc calculer la valeur nette des cash flows en les actualisant à un taux r qui est fonction du risque : EMBED Equation.3 . Il sagit dun objectif général de toute entreprise industrielle, commerciale ou financière, auquel les banques ne dérogent pas.
Cependant, lexamen du bilan des banques révèle que celui-ci est constitué en grande partie des éléments suivants :
Actif Passif
Actifs fixesFonds Propres
Dettes à long termeCrédits octroyés
Titres négociables sur le marché (obligations, actions
)
Dépôts (prêts accordés)
Remarques :
D'autres éléments important tels que les swaps ne figurent pas au bilan. En effet, les swaps, futures et autres produits dérivés servant principalement à couvrir les risques financiers n'ont pas de contrepartie immédiate dans le bilan car ils n'ont pas de valeur initiale, mais bien dans le hors bilan. Par contre, les options qui ont une valeur dès le début se retrouvent à l'actif du bilan. Exemple de swap : un investisseur reçoit un certain taux d'intérêt contre un taux flottant. Afin de couvrir sa position, il peut se rendre sur le marché OTC (Over the Counter) et prendre une position inverse, c'est-à-dire qu'il va recevoir des coupons à taux flottant contre le taux d'intérêt (fixe).
Nous ne nous intéressons pas au fonds propres et dettes, bien que ceux ci jouent un rôle important dans le financement des entreprises, car il ne sagit pas dune problématique spécifique au monde bancaire.
Afin de déterminer les éléments susceptibles daffecter le couple rendement-risque des intermédiaires financiers, nous portons notre attention sur les éléments constituants les portefeuilles de l'actif du bilan, à savoir les crédits octroyés et les titres négociables. La différence entre les taux des crédits octroyés et les taux d'intérêts sur les dépôts permet aux banques de réaliser les marges dintermédiation, génératrices de profit.
Il existe deux types de portefeuilles dans lesquels vont figurer les titres détenus par les banques: le portefeuille bancaire et le portefeuille de négociation. Le portefeuille bancaire, constitué des crédits accordés, relève de la pure activité dintermédiation, à savoir la transformation des dépôts en crédits. Le portefeuille de négociation comprend tous les titres négociables qui ne relèvent pas directement du portefeuille bancaire et qui sont principalement liés à de la spéculation, de la couverture ou à lactivité de service financier de la banque. Pour chacune des deux catégories de portefeuille, il existe différents risques auxquels les banques doivent faire face. Le coût du capital intégrera dailleurs les différents risques associés aux actifs et aux contreparties concernées.
Au niveau du portefeuille bancaire, les principaux sont le risque de défaut (ou risque de crédit), le risque d'intérêt et le risque de liquidité. Lorsqu'un dépôt à court terme est utilisé pour financer un prêt à long terme, des problèmes de liquidité peuvent survenir si le déposant réclame le remboursement avant la date de l'échéance du dépôt et que la banque ne dispose pas d'argent à ce moment.
Les risques liés au portefeuille de négociation diffèrent quelque peu : nous retrouvons le risque d'intérêt, mais aussi le risque de marché qui ne concernait pas le portefeuille bancaire. Le risque de marché représente le risque de fluctuation du marché des prix des actifs, mais également le risque de réinvestissement des cash flows.
Plusieurs mesures peuvent être prises afin de minimiser les différents risques associés aux deux portefeuilles. En ce qui concerne le portefeuille bancaire, les autorités de régulation imposent certaines règles dans le but de contrôler certains de ces risques. Parmi ces règles, nous retrouvons :
Des règles prudentielles strictes dont le but est de limiter le risque de liquidité. En Belgique, la commission bancaire et financière vérifie que les établissements de crédit constituent effectivement des provisions où ils mettent une partie de leur fonds propres en guise de garantie contre le risque de liquidité.
Le taux de réserve obligatoire dont le but est d'empêcher l'effet multiplicateur lorsqu'il y a création de monnaie. La banque centrale impose un taux de réserve obligatoire qui oblige les banques à conserver une partie de leurs dépôts et limite l'offre de monnaie lors de la création de monnaie, ce qui permet également de limiter le risque d'inflation.
Les exigences minimales en matière de fonds propres (ratio de Cooke). En 1975, dans un souci d'harmonisation des réglementations applicables aux établissements de crédits, le comité de Bâle met au point le ratio de Cooke, repris dans la Première Directive d'Adéquation du Capital :DAC I. Sur base de ce ratio, les fonds propres devraient représenter 8 % au moins de la somme pondérée des postes de l'actif et du hors bilan qui sont sensés impliquer des risques. La commission bancaire et financière est chargée de veiller à ce que les établissements bancaires respectent ces exigences. Le ratio permet de déterminer le niveau minimal des fonds propres que les banques doivent détenir pour empêcher qu'un établissement ne devienne insolvable dans le cas où certaines créances ne seraient pas remboursées. La pondération du risque varie en fonction du type de créances et de son émetteur. Par exemple une créance notée AAA (émise par le trésor public) et émise par un pays de l'OCDE (le risque pays est donc minime) a une pondération nulle : 0%. Ceci signifie que l'on ne doit pas constituer de fonds propres supplémentaires pour se couvrir contre le risque de solvabilité pour des actifs de ce type. Par contre une créance détenue sur une entreprise du secteur privé présente un risque important et la pondération sera de 100%, ce qui nécessitera des fonds propres correspondant à 100% x 8% = 8% de ces actifs. L'inconvénient de cette norme est que les fonds propres supplémentaires destinés à couvrir les risques ne sont pas productifs. Il serait préférable d'investir dans des actifs plutôt que de mettre de l'argent dans les fonds propres en guise de couverture puisque cet argent ne rapporte rien.
Afin de tirer le meilleur parti possible des actifs et de réduire les exigences en fonds propres, de nombreux établissements de crédit créent des modèles internes. Les modèles internes doivent cependant être suffisamment performants pour convaincre les autorités de tutelle que les ratios qu'elles imposent sont trop élevés et qu'une proportion moindre des fonds propres serait suffisante pour couvrir les crédits octroyés. Le second concordat de Bâle, transcrit dans la directive : DAC II, stipule d'ailleurs que dans certaines circonstances une banque peut faire appel à ses modèles internes pour déterminer les fonds propres nécessaires afin de couvrir le risque de solvabilité.
En ce qui concerne le portefeuille de négociation, les règles de protection sont moins strictes car afin d'attirer des fonds pour le portefeuille de négociation, la banque doit parvenir à convaincre les investisseurs qu'elle est rentable (compétition entre les différents établissements). Pour la plupart des obligations (figurant dans le portefeuille de négociation) le ratio de Cooke est nul. Cela peut parfois avoir des conséquences dramatiques :
Au Japon, de nombreuses banques ont investi dans des obligations pour lesquelles le ratio était nul mais qui étaient néanmoins risquées. Elles ont investi en grande partie dans ces obligations et ont maximisé leur endettement pour financer ces actifs. Cependant, la valeur de marché des actifs a chuté tandis que les dettes sont restées stables et ces banques ont fait ou sont virtuellement en faillite.
La différence entre les deux portefeuilles est de moins en moins visible. Par exemple lorsqu'on titrise une créance, celle-ci devient un actif négociable et passe du portefeuille bancaire au portefeuille de négociation. La titrisation de créance permet donc de diminuer les exigences en fonds propres.
Pour gérer le risque d'intérêt et le risque de liquidité il existe des modèles simples et complexes de gestion des taux. Pour gérer le risque de marché, on utilise des modèles de pricing et pour gérer le risque de crédit on fait appel à des modèles plus complexes.
Le chapitre suivant est consacré aux modèles permettant de gérer le risque d'intérêt.
1ère Partie : Notion de gestion du risque d'intérêt
Chapitre 1 : Introduction
1.1 Importance pour les banques
Le risque d'intérêt est le risque le plus important pour les banques car le business bancaire est un business de taux d'intérêt. Les banques vivent des taux d'intérêt. La différence entre les taux de crédits et les taux de dépôts procure une marge d'intermédiation.
R(T) est le facteur d'actualisation d'un cash flow arrivant à échéance en T.
Si l'on se situe dans un marché compétitif, la marge dintermédiation sur une échéance déterminée est faible ; néanmoins, la structure croissante des taux d'intérêt nous permet de réaliser des profits liés à la fonction de transformation de durée fournie.
L'inflation est également un facteur important qui nécessite que les banques se couvrent contre les fluctuations d'intérêt.
De plus, daprès les règles prudentielles, si la valeur de l'actif varie, il faut modifier les affectations de fonds propres, ce qui va entraîner une variation des encours de crédits et agir sur la rentabilité.
1.2 Modèles de gestion du risque d'intérêt
La gestion du taux d'intérêt correspond à la gestion des actifs, des passifs et du hors bilan (cfr. swaps). Lorsque l'on essaye de gérer tout cela en même temps, il s'agit de l'ALM (Assets Liabilities Management). Avant d'arriver à l'ALM, les banques sont passées par différentes étapes.
Avant les années soixante, l'activité première des banques étaient la transformation de durée. La concurrence était alors oligopolistique. Il n'y avait donc pas de problème pour obtenir des dépôts et l'activité des banques consistait alors à octroyer des crédits de la manière la plus rentable possible. Il s'agissait essentiellement de gestion de l'actif.
Dans les années 1960-1970, la concurrence entre les différents établissements pour l'obtention de fonds et la volatilité des taux d'intérêt (surtout liée à l'inflation) amena les établissements bancaires à vouloir obtenir le contrôle des ressources, à gérer les passifs et non plus les actifs.
Finalement, dans les années 1980, le milieu bancaire a pris conscience que l'on ne pouvait pas gérer isolément actifs et passifs avec efficacité. Il sest donc mis en place une gestion jointe des actifs et passifs, le Funds Management. Avec le funds management la banque est considérée comme un fond qui obéit à différents principes :
Contrôler les actifs et les passifs ensemble
Coordonner les contrôles : travailler sur le spread revenu/coûts
Maximiser les revenus et minimiser les coûts pour la gestion des actifs et des passifs.
Les différents modèles qui permettent de gérer le risque d'intérêt au niveau bilantaire global sont classés en deux catégories principales : les modèles traditionnels et les modèles de simulation
Les modèles traditionnels
Les modèles traditionnels incluent les modèles d'écarts d'échéance et les modèles d'écart de duration.
A. Les écarts d'échéance(GAP Management)
L'idée est de se savoir ce que rapporte Actif et Passif. Le GAP Management est une méthode utile dans le court terme et qui permet de regarder les revenus et non la valeur du portefeuille. Le but est d'étudier la sensibilité des revenus obtenus à la variation des taux d'intérêt. On va donc comparer pour une échéance T les revenus des actifs sensibles aux taux d'intérêt avec les revenus des passifs sensibles aux taux d'intérêt. Il sagit par conséquent dun mode de gestion du risque de réinvestissement.
Ex. : Un investisseur a un revenu de 100£ sur ses actifs (10 % de 1000) et doit payer 80£ (10 % de 800) sur son passif (dépôt). Son exposition sera donc de + 20£ dans un mois aux variations des taux d'intérêt. Cette valeur est le GAP pour 30 jours (GAP30j = + 20£).
Le GAP sera nul si le total des actifs sensibles au taux d'intérêt est égal au total des passifs sensibles. Par contre si les actifs sont supérieurs aux passifs, le GAP est positif.
Ex :
Dans cet exemple le GAP est négatif à court terme. On devra financer 60 dans un an. Dès lors, si les taux d'intérêt augmentent, le montant réinvesti des revenus (20) procurera un intérêt supérieur mais le montant des engagements à financer (80) aura également un coût supérieur : en net, la banque devra refinancer 60 à un coût supérieur.
Dans ce cas, la hausse des taux diminuera la marge de la banque tandis qu'une diminution aura pour effet de réduire la charge nette des dettes.
Au niveau global, la question de savoir si on perd ou gagne suite aux variations des taux dintérêt est résolue par le GAP. Si les actifs qui vont donner un revenu sont supérieurs aux passifs, on les réinvestit. Il y a donc un risque d'intérêt lié à ce GAP :
Ex : GAP 7jours = +20 x (1+r). On investit le GAP au taux r.
Le risque est que r devienne r'.
Si r', alors les revenus seront réinvestis à 20 x (1+r')
Si r' < r on a une perte de 20 x ( r.
Les 20 viennent des 100 de l'actif et 80 du passif. Les 100 sont donc sensibles au taux rA et les 80 au taux rP or le taux d'intérêt octroyé aux dépôts est inférieur au taux sur les crédits. Le différentiel égale rA- rP. rA risque de devenir r'A et rP risque de devenir r'P.
Notre risque de revenu d'intérêt = 100(r'A-rA) - 80(r'P-rP)
Lorsque le GAP est positif, une augmente du taux diminue la valeur des actifs de la banque.
Le GAP management doit être établi pour différentes périodes. Par exemple de 1 à 7 jours ; de 18 à 30 jours ; de 31 à 99 jours ou pour une semaine, un mois, 3 mois, 6 mois,
Ces calculs sont cumulatifs.
Le gap management représente notre exposition au taux d'intérêt à chaque période.
Alternativement, pour estimer le degré de risque d'une banque on peut faire appel au GAP relatif. Le GAP relatif est le rapport GAP sur Actif Total. Il est compris entre -1 et 1.Lorsque le GAP est proche de 1 il indique une forte sensibilité aux taux.
En bref, le Gap Management est un modèle simpliste mais complémentaire à la duration (voir modèle suivant) qui se préoccupe peu du revenu. Il est également utile car il existe encore des règles prudentielles qui sont calquées sur les résultats de ce modèle. En effet, le DAC I utilisait ces écarts pour calculer le ratio et la commission bancaire et financière y a également recours.
B. Les modèles d'écarts de duration (cfr. Duration de Macaulay)
La duration est une construction qui donne une estimation de l'échéance moyenne d'une obligation. Le but de la duration est différent du but du GAP management. Elle ne s'intéresse pas aux revenus mais à la valeur des avoirs et engagements.
Le prix d'une obligation couponnée classique peut sécrire :
EMBED Equation.3
Où rti est le facteur dactualisation dun flux arrivant à échéance en ti. Dans la deuxième égalité, qui est seulement approximative mais qui montre à quoi la duration se rapporte, rD est constant pour tous les cash flows .
Lorsqu'une obligation est une obligation coupon zéro, il n'y a qu'un seul revenu perçu à la fin. Dans ce cas, la duration et l'échéance de l'obligation coïncident.
Si l'obligation a des coupons, échéance et duration diffèrent.
EMBED Equation.DSMT4 La duration est égale à la moyenne pondérée des maturités des différents flux de revenus :
Dans le cas de la duration (la plus courte) D1, on est plus exposé aux mouvements des taux d'intérêt à court terme, tandis que D2 (duration plus longue) montre une exposition supérieure aux variations du taux à long terme.
Comment peut-on neutraliser le risque d'intérêt au niveau du bilan ? Considérons à l'actif deux créances : Bond 1(prêt) et bond 2 (obligation du gouvernement), déchéance longue, et au passif deux titres représentatifs de dette Deposit 1 et Deposit 2, à plus court terme. Lexamen de lexposition au risque dintérêt passe par le calcul de la duration, qui présente une propriété dadditivité très utile :
EMBED Equation.DSMT4 avec X1 = le poids de la première obligation
et X2 = 1-X1
EMBED Equation.DSMT4 avec W1 = le poids du titre 1 (du passif)
et W2 = 1- W1
La différence entre la duration des actifs et des passifs nous montre si les titres sont sensibles aux taux à court terme ou à long terme :
Le graphique indique que si les taux d'intérêt à CT augmentent alors que les taux à LT restent constants, les banques obtiennent un rendement additionnel (elles payent moins car la valeur dune dette émise (deposit 1) diminue, et conservent les mêmes actifs).
Si on égalise la duration des actifs et la duration des passifs, on neutralise l'effet du taux d'intérêt. En principe, l'effet net de la variation du taux est nul, quelle quen soit léchéance. Pour faire en sorte que la différence entre la duration A et duration P soit nulle on fait souvent appel à des swaps. Il s'agit dune application de l'ALM, Assets Liabilities Management. L'avantage de l'utilisation des swaps est qu'ils ont une valeur initiale nulle (ils figurent dans le hors bilan) et ne modifient donc pas la taille du bilan.
Il faut noter quil n'est en fait ni nécessaire, ni suffisant d'avoir une duration nulle pour que le risque dintérêt soit neutralisé : il sagit juste dun principe de gestion permettant dapprocher une couverture globale du taux dintérêt.
La duration est donc une notion complexe mais complémentaire au modèle des écarts d'échéance. On calcule souvent la duration totale et la duration par catégorie de prêt-dépôt. La duration est en première position au niveau des règles prudentielles (CBF et DAC). Cependant, l'emploi de ce modèle est discutable. En effet, la mesure est imparfaite, les obligations n'ont pas toujours le même taux car le risque de défaut intervient. A un risque de défaut plus élevé correspond un rendement plus élevé. Or la duration est calculée ici avec le taux sans risque et ne tient pas compte du risque de crédit. Elle n'est valable que pour le risque d'intérêt.
Alternativement, certains traders préfèrent utiliser la basis point value comme mesure de sensibilité plutôt que la duration. Le modèle basé sur la basis point value est un modèle plus intuitif et plus directement utilisable.
Le point de base (basis point BP) est 1% de 1% = 1/10 000ème. La BPV mesure la sensibilité dun titre quand la structure entière bouge de 0.01%. Il s'agit d'une mesure proche de la duration mais qui n'a pas les mêmes propriétés additives.
Les modèles de simulation
Il existe des modèles plus modernes qui traitent les problèmes de rentabilité et de solvabilité. Ils ont pour but de déterminer pour différents scénarios la variation des valeurs des portefeuilles et des revenus.
Le premier type de modèle répond à une question lancinante dans le domaine bancaire, et principalement au niveau des salles de marché : comment une banque pourrait-elle déterminer sur une base journalière le risque qu'elle prend ?
Mesure de Risque : Value at Risk (VaR)
La value-at-risk est une mesure de risque à très court terme. Elle ne sert donc pas à déterminer la rentabilité d'une banque mais bien à constituer des provisions pour faire face aux éventuelles pertes journalières de la banque.
A.1 Calcul de la VaR
Partons dun modèle de taux d'intérêt ; on fait lhypothèse que lon connaît sa distribution de probabilité.
X représente la valeur future du portefeuille et suit ici une loi normale. f(x) représente la fonction de densité. Pour déterminer le risque d'insolvabilité d'une banque à court terme, on regarde la partie gauche du graphe (en bleu). Cette partie indique la perte la plus importante qui pourrait se produire avec une probabilité de 1%.
D'un point de vue statistique : ( = 1% (seuil de confiance de 1%, on peut se tromper dans un pour-cent des cas).
Z( EMBED Equation.DSMT4
Ex : Vo =100 (valeur initiale du portefeuille)
X suit une loi normale de µ =101 et ( =1 ; dénotée N(101,1)
Quelle est la pire valeur que l'on puisse obtenir avec une probabilité de 1% ?
L'intervalle de confiance est :
101-1.96*( (=1) = 99.04 = la plus petit valeur que le portefeuille peut atteindre (VaR).
Si le portefeuille suit bien une loi normale, notre perte ne sera pas supérieure à 99.04, dans 99% des cas.
EMBED Equation.DSMT4
Ceci est intéressant car cela nous donne un seuil de tolérance et nous renseigne sur la quantité, en termes attendus, que la banque doit mettre en provision pour couvrir les pertes. Dans l'exemple, la provision à réaliser pour garder la valeur initiale (Vo) de 100 est 0.96.(100-99.04)
Comment exécuter la fonction de densité ?
Risk Metrics
Risk Metrics est un algorithme développé par JP Morgan basé sur la méthode variance-covariance. Il fait l'hypothèse que les taux d'intérêt suivent une distribution normale, donc que le rendement d'une obligation suit une loi normale et par conséquent que le rendement d'un portefeuille a une distribution normale multivariée.
Tout d'abord, on va partir d'une obligation :
r( N(µ, ()
Pr(r (VaR) = (
VaR est l'inconnue ; le seuil ( est déterminé par la banque.
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Si µ=0 ,
EMBED Equation.DSMT4
Ensuite, étendre au portefeuille
EMBED Equation.DSMT4 si ri ~ N
si ( ri ~N
EMBED Equation.DSMT4
Si notre portefeuille est constitué de plus de deux titres, on a :
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
On observe donc un effet de diversification et on constate que la VaR d'un portefeuille n'est pas égale à la somme pondérée des VaR des différents actifs de ce portefeuille.
Que faire avec les actifs non-normalement distribués ?
Exemple d'une option call:
Le pay-off d'une option call est :
Le call a une distribution asymétrique = skewed distribution : (C ne suit pas une loi normale N(µ,().
Le portefeuille de négociation inclut des titres de ce type, qui ne suivent pas une distribution normale. Puisque C n'est pas distribué normalement, il faut utiliser une astuce. On pose alors C = f (S)
En utilisant le développement en série de Taylor, on obtient :
EMBED Equation.DSMT4
Dans le premier terme (à droite), ( représente le ratio de couverture ( EMBED Equation.DSMT4 ) et suit une loi normale N(µ,(). ( mesure la volatilité du call ( EMBED Equation.DSMT4 ) et EMBED Equation.DSMT4 suit une loi Chi carré. Le dernier terme tend vers zéro et peut être retiré de l'équation.
La superposition d'une loi normale et d'une loi Chi-carré (toujours positif) explique que la distribution de C soit asymétrique vers la droite. Pour une partie très locale de la fonction, nous pourrons faire l'hypothèse que EMBED Equation.DSMT4 suit une loi normale N(µ2, (²µ).
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Avantages et inconvénients de cette méthode :
Avantages :
Il s'agit d'une méthode facile et analytique
Les données sont simples à collecter (µ,()
Inconvénients :
L'hypothèse de normalité est indispensable (estimation primitive de la VaR)
Ce n'est pas adapté aux produits dérivés
L'hypothèse de stationnarité doit être respectée. Si ce n'est pas le cas, ce qui était valable dans le passé ne le sera plus dans le futur.
Analyse historique
Par exemple, on a N = 1000 observations. On regarde ces 1000 observations et prend les plus basses (les pires). On leur donne un classement de la moins bonne à la moins mauvaise :
Ex : -11.4, -10.5,
,-6.8% (ce qui nous donne la VaR à 1%).
Ces observations servent d'estimation pour le futur.
Avantages de la méthode :
Elle ne repose pas sur l'hypothèse de normalité.
Elle est flexible et peut être utilisée pour des produits dérivés
Inconvénients :
L'hypothèse de stationnarité est toujours présente. On suppose que les rendements vont se comporter de manière identique par rapport à leurs comportements passés.
Tout dépend de la série observée (dépendance à la série).
Monte Carlo
Tout comme l'analyse historique, le modèle de Monte Carlo observe le passé. Par contre, cette méthode va déterminer la distribution des données observées (elle calibre le modèle) et détermine les rendements futurs (distribution simulée).
Les avantages de ce modèle sont :
Sa flexibilité
La dépendance au modèle mais pas aux valeurs particulières de la série qui ne sert qu'à calibrer le modèle.
Les inconvénients sont :
Le risque de modèle
La consommation du temps (time consuming). En effet, le modèle doit être exécuté chaque jour.
Extreme Value Theory
Le principe de ce modèle est de modéliser les valeurs extrêmes. La progression vers la VaR se fait par étapes.
a) Déterminer les distributions extrêmes en fonction des distributions
Ne pas regarder Pr(r EMBED Equation.DSMT4 x)= Fr(x)
où r est le rendement observé
Mais regarder Pr(min(r1, r2,
, rn) EMBED Equation.DSMT4 x)
On prend les rendements futurs les plus faibles parmi les variables aléatoires d'une série.
Distribution du maximum
y = Max(r1, r2,
,rn)
EMBED Equation.DSMT4
Si le Maximum est plus faible que x, alors tous les autres rendements sont plus faibles que x.
Cependant, le modèle fait l'hypothèse que les ri sont iid :
Indépendants. Il n'y a pas d'autocorrélation
Identicallement distribués (modèle de stationnarité pure)
EMBED Equation.DSMT4
2. Distribution du minimum
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Problèmes :
On doit connaître la distribution du Max [Fr (x)]
Etant donné que Fri(x) y (au-dessus du pair), les deux termes de la division sont positifs, et E est donc inférieur à un (car 1-
-DM + CV -
Cas où (y < 0. On sous-estime l'augmentation du prix car DM+CV 0
C=0
biais
t
Taux
t
EMBED Equation.DSMT4
t + n
CF
échéance
EMBED Equation.DSMT4
T
EMBED Equation.DSMT4
Amortissement linéaire
EMBED Equation.DSMT4
n*
20
11
T
CF
(F- amortissement)/10
F/10
Maturité de l'obligation originale
Maturité de la nouvelle obligation
2006
Maturité de l'option
2004
2002
35 35
40
40 40
T*
F
T
P
2
1
y
P
F
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
T
EMBED Equation.DSMT4
EMBED PBrush
T
F
Zone de décote
Zone de prime
2ème stratégie : on investit le prix de l'obligation jusqu'à échéance de l'obligation :
100 x (1,1)² = 121
1ère Stratégie : à échéance on a reçu le coupon et la valeur faciale + le coupon en T-1 capitalisé :
110 +10 x (1,1) = 121
110
10
100
t
Prix net
Prix plein
t=1
k=1/2
0
CF
t
T
R(T)
T
R(T)
T
R(T)
T
R(T)
EMBED MSPhotoEd.3
Ordinaire
t
CF
Perpétuité
CF
t
Coupon-Zéro
t
CF
Hypothécaire
t
CF
EMBED PBrush
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
t
D
Echéance coupon
t
D
CF
n
1 2
y
P
10 %
100
11%
95
y
P
DM+CV
Prix-rdt
DM
y
P
DM+CV
Prix-rdt
OCZt2
OCZt1
y
P
D(2)
EMBED MSPhotoEd.3
EMBED MSPhotoEd.3
Mesure de DM.
Plus dur à trouver
Po est fonction de PNCB et y
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
PNCB
Po
Fig. : Evolution de delta en fonction du prix du sous-jacent
Fig. : Evolution de gamma en fonction du prix du sous-jacent
delta
Prix du sous-jacent
1
0
Prix d'exercice
Prix d'exercice
PNCB
EMBED Equation.DSMT4
1
Fig. : Variation du prix d'une obligation callable en fonction du taux
P
PNCB
y
DMCB = 0
PCB
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
T
rv(0)
2T
3T
connu
?
?
Dv
t
T
T
2T
EMBED Equation.DSMT4
t
C2
Cou1
Coupon 1
T
2T
(
t est le moment où le taux variable est fixé.
T est le moment où le taux variable commence à courir.
R(T)
RAAA(T)
RBBB(T)
sAAA
T
R(T)
rv(0)=5% S(0)=s=1%
F=100
K = 1 (annuel)
Le taux de coupon =6%
Le prix est de 60 et non plus 50. En utilisant le rapport
Coupon/prix on fait l'hypothèse que les obligations à
coupons variables sont perpétuelles.
Coupon (9%) =15% (
Prix
Pente = -DM donc la duration est négative
Et la convexité est négative
Donc, quand y augmente, le prix augmente aussi.
P
y
Dv
t
T
T
2T
t
D
Pour réunir les deux lignes sur un même graphe, lon doit faire face à des problèmes déchelle.
-0,2
-0,1
Ligne 2
Le sous-portfeuille 2 est constitué de 100 obligations. La probabilité que lune fasse défaut avec une perte de 20% est : -0.2
Plus on va vers la droit, plus on perd en cas de défaut
Zone de perte
VaR à 1%
-0,1
Ligne 1
Le sous-portfeuille1 est constitué de 100 obligations. La probabilité que lune fasse défaut avec une perte de 10% est : 0,01 (-10%) + 0,99 0% = -0,1%
Perte moyenne de 10%
Ligne 1
Le graphe représente la fonction de densité de poisson avec une distribution stochastique de (
EMBED Equation.2
5 événements
T
(
0
EMBED Equation.2
T
T
YUS
YAAA
YAA
Pr
PAAA
PAA
PA
PBB
AAA
AA+
AA
EMBED Equation.DSMT4
D
EMBED Equation.DSMT4
La frontière Vb(t)= (FP(t,T)
frontière
(F
T
F
Vb
V(t) des actifs
t
Zone de faillite
Zone de non défaut
T
(
F
V
t
V
Valeur de la dette à maturité
F
F
y(t,T)
T
US T-Bond
Obligation AAA
Obligation AA
SAAA
SAA
S(t,T)
T
10 ans
5 ans
1 an
y(t,T)
T
x
fdu
fdd
fud
fuu
fd
fu
f
rdd
rud
ruu
rd
ru
r
P(2,0,T)
P(2,1,T)
P(2,2,1)
P(1,0,T)
r(t)
P(1,1,T)
P(0,0,T)
Modèles avec plusieurs facteurs
Brennan & Schwartz
Duffie & Kan
Tient compte de la structure à terme des taux
Mixture de modèles de marché et modèles purement économiques
Modèles purement binomiaux mais avec données du marché
Modèles purement économiques
Heath, Jarrow ; Morton (1992)
Black, Derman & Toy (90)
Ho & Lee (86)
Modèle de Marché
Hull & White (90)
Vasicek-CIR,
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
asymptote
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EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
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EMBED Equation.2
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Si les taux augmentent, la force grandit pour les ramener vers la moyenne
Il existe une force qui repousse les taux vers la moyenne
Renversement de moyenne
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