exercices 4 - ULB
Institut d'Optique, 2° année et M2 Examen de Laser 18/12/2008 ... 3) En utilisant
la matrice ABCD pour la lentille mince et la définition du rayon de courbure ...
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és, P0(x), P1(x), P2(x), P3(x)
SYMBOL 183 \f "Symbol" Exprimer à l'aide des Pi(x) le polynôme associé à la table de différences dont la première ligne est 1, 2, 9, 28, 65, 126, ...
1.3. Considérer l'ensemble des matrices EMBED Equation
avec a, b SYMBOL 206 \f "Symbol" R
SYMBOL 183 \f "Symbol" Que peut-on dire de l'addition de 2 de ces matrices ? de leur multiplication par un réel ?
SYMBOL 183 \f "Symbol" On donne: EMBED Equation
Sont-elles linéairement indépendantes ?
# 2. UNE DEFINITION POUR RASSURER CEUX QUI EN ONT BESOIN :
(d'après L. MIRSKY, An Introduction to Linear Algebra, O.U.P. 1955 )
Un ensemble V a une structure de vectoriel réel et sera noté !,V,+, *, s'il est muni de deux opérations notées + et *, vérifiant les conditions suivantes, quels que soient les éléments X, Y, Z dans V et r, s dans ! :
( V,+ est un groupe commutatif :
- X + Y = Y + X (+ est interne, partout définie, commutative)
- X + (Y + Z) = (X + Y) + Z (+ est associative)
- léquation dinconnue Z : Y + Z = X admet une solution et une seule
( compatibilité de la multiplication scalaire avec les autres opérations :
1 . X = X
r . (s . X) = (r . s) . X (compatibilité de . scalaire et de . réelle)
r . (X + Y) = r . X + r . Y (. scalaire distribue laddition vectorielle)
(r + s) . X = r . X + s . X (. scalaire distribue laddition réelle)
3. R, R2, R3, ... Rn, MODELES DE VECTORIELS REELS :
( Notation abrégée: Rn pour R, Rn, +, * )
# a) Combien de vecteurs linéairement indépendants peut-on considérer dans R, R2, +, * ? Et dans R, R3, +, * ? Dans R, R, +, * ? Généraliser.
# b) Combien de vecteurs suffisent à engendrer R, R2 +, * ? Généraliser.
c) Dans R, R3, +, * on donne les 4 vecteurs suivants :
EMBED Equation : (1, 1, 1) EMBED Equation : (2, 0, 0)
EMBED Equation : (0, 0, 2) EMBED Equation : (-1, -1, -1)
- Calculer le vecteur EMBED Equation + EMBED Equation + EMBED Equation + EMBED Equation
- EMBED Equation , EMBED Equation , EMBED Equation , et EMBED Equation sont-il linéairement indépendants ?
- Donner un ensemble de vecteurs formant une base de R3, exprimée dans la base "canonique " (001), (010), (100) et différente de celle-ci.
# d) Quelle est la dimension des vectoriels cités en exemples en (1) ?
Donnez une base "simple" pour chacun et montrez que chacun d'eux est isomorphe à un vectoriel
de type R, Rn, +, *.
e) Relation entre base et coordonnées
EMBED PBrush \s \* MERGEFORMAT
Choisissez une autre base et donnez les nouvelles coordonnées de ces 4 points.
@ 4. DIMENSION : L'INFINI !
a) Considérer l'ensemble des suites réelles ( U1, U2, U3, ..., Un, ...)
Ui SYMBOL 206 \f "Symbol" (
Pouvez-vous donner une base de ce vectoriel ?
b) Considérer l'ensemble des polynômes à coefficients réels ( pn (x) ) avec n SYMBOL 206 \f "Symbol" !. Montrer qu'on peut également lui associer une base de cardinal dénombrable.
c) Par contre, pour l'ensemble des fonctions définies sur l'intervalle SYMBOL 91 \f "Symbol"0, 1SYMBOL 93 \f "Symbol" il serait vain de rechercher une base finie ou dénombrable (pourquoi ?).
Notre "ancien" concept de dimension ne suffit pas pour traiter cet exemple, qui sort du cadre où il était "bien défini" ...
5. APPLICATION LINEAIRE DANS !, !n, +, *
a) Exprimer par équation des applications linéaires de types suivants:
1°) projection de !3 sur !2 dans une direction de droites donnée
2°) projection de !3 sur ! dans une direction de plans donnée
3°) projection de !3 sur 0
b) Dans !2, on donne les images des vecteurs de base e1 et e2 par une application linéaire L; donner ses équations.
EMBED Equation.2
Représenter géométriquement cette situation.
EMBED PBrush \s \* MERGEFORMAT
@ c) Exprimer dans les nouvelles bases Bi suivantes, l'équation de la courbe SYMBOL 103 \f "Symbol" exprimée par EMBED Equation.2 dans la base B0 de départ (EMBED Equation 1, EMBED Equation 2) :
B1 : (2EMBED Equation 1, EMBED Equation 2)
B2 : (3EMBED Equation 1, 3EMBED Equation 2)
B3 : (EMBED Equation 1 + EMBED Equation 2, EMBED Equation 1 - EMBED Equation 2)
d) X désigne la matrice 3 x 3 d'une application linéaire, et on connaît les résultats suivants :
EMBED Equation
SYMBOL 183 \f "Symbol" Déterminer X
SYMBOL 183 \f "Symbol" Calculer X2
SYMBOL 183 \f "Symbol" Déterminer toutes les valeurs de n SYMBOL 206 \f "Symbol" N telles que Xn = I
e) Quelques équivalences
désigne une application (transformation) linéaire dans le vectoriel !, !n, + et M une matrice (n*n) qui la représente (dans une base donnée)
L est une bijection
SYMBOL 219 \f "Symbol" l'image de !n par L est !n, sans perte de dimension
SYMBOL 219 \f "Symbol" M est différent de 0
SYMBOL 219 \f "Symbol" M est inversible
SYMBOL 219 \f "Symbol" le rang de M est maximum
(et vaut n, la dimension du vectoriel !, !n, +)
Les "autres" applications linéaires dans le vectoriel (, (n, +, * sont des projections, font descendre en dimension et sont décrites par des matrices (n*n) dont le déterminant est nul, non inversibles et de rang
r = n-d, où d est le nombre de dimensions perdues. Donnez des exemples!
# 6. CALCUL DU DETERMINANT :
a) Le déterminant EMBED Equation d'une matrice carrée M est un nombre, fonction des éléments de M, obtenu en sommant les "produits signés" comprenant un facteur dans chaque ligne et dans chaque colonne de M :
EMBED Equation = SYMBOL 83 \f "Symbol" (-1)p * ap(1) * bp(2) * ... np(n)
où p est la parité de la permutation des indices (1, 2, 3, ... n) SYMBOL 222 \f "Symbol" (p(1), p(2), ...p(n)).
On en déduit un mode de calcul par récurrence et différentes propriétés.
b) Calcul du déterminant
det EMBED Equation = EMBED Equation.3
= SYMBOL 83 \f "Symbol" (aij SYMBOL 183 \f "Symbol" Aij) avec i fixé et j = 1 à n (développement sur une ligne)
= SYMBOL 83 \f "Symbol" (aij SYMBOL 183 \f "Symbol" Aij) avec i fixé et i = 1 à n (développement sur une colonne)
où Aij, cofacteur de l'élément aij est le "sous-déterminant signé" obtenu en supprimant la ligne et la colonne de aij, et multiplié par (-1)i+j.
c) Propriétés d'un déterminant
SYMBOL 183 \f "Symbol" Si l'on permute deux rangées parallèles d'une matrice, le déterminant est multiplié par (-1).
SYMBOL 183 \f "Symbol" Si l'on multiplie par m tous les éléments d'une rangée, le déterminant est multiplié par m.
SYMBOL 183 \f "Symbol" Si l'on décompose en somme de 2 termes (t1 +t2) chaque élément (t) d'une rangée, on obtient deux déterminants dont la somme vaut le déterminant initial.
SYMBOL 220 \f "Wingdings" ON NE MODIFIE PAS LA VALEUR D'UN DETERMINANT EN AJOUTANT A UNE RANGEE UNE
COMBINAISON LINEAIRE DES AUTRES RANGEES.
d) Effectuer ou vérifier les calculs suivants :
EMBED Equation
EMBED Equation
e) Calculer les déterminants de Vandermonde :
EMBED Equation
Généraliser la formule pour Vn
f) Montrer, dans !, !n, +, * que n vecteurs sont linéairement
indépendants ssi leur déterminant est non nul.
@ 7. RESOLUTION DE SYSTEMES LINEAIRES :
Vous devez être capables de résoudre des systèmes linéaires par une méthode de votre choix : déterminants, élimination, substitution.
a) Système de Cramer, méthode des déterminants
Un système de n équations à n inconnues dont le déterminant D est non nul peut être résolu comme suit :
EMBED Equation
EMBED Equation
Vérifier le cas suivant :
EMBED Equation
Si D est nul, alors il n'y a pas une solution unique :
( si tous les Di sont nuls, il y a une infinité de solutions
( sinon, le système est impossible
b) Cas général, méthode des éliminations successives (réduction du système): GAUSS
Un système d'équations est équivalent à un autre si l'on peut passer de l'un à l'autre par une succession de "transformations élémentaires".
(i) permuter deux équations
(ii) multiplier une équation par un nombre non nul
(iii) ajouter une équation à une autre
La méthode consiste à transformer le système donné (aij) (x) = (b) en un système équivalent "réduit" ayant les mêmes solutions (cf. cours).
Vérifier que la méthode des éliminations successives conduit aux résultats suivants:
EMBED Equation
EMBED Equation
EMBED Equation
Imaginez un système de 3 équations linéaires à 3 inconnues conduisant à SYMBOL 181 \f "Symbol"2 solutions. Imaginez un système comprenant plus d'équations que d'inconnues; que peut-il se passer ?
Envisagez les différents cas possibles.
8 . VALEURS ET VECTEURS PROPRES, INDICATEURS D'EVOLUTION :
a) On donne A = EMBED Equation
1°) Calculer (A ( ; la matrice A est-elle inversible ?
Une application linéaire est-elle nécessairement représentée par une matrice inversible ?
2°) Déterminer k pour que le déterminant | A - k.I | soit nul : k sera une "valeur propre".
3°) Considérer dans !3 l'application linéaire de matrice A : EMBED Equation ' = AEMBED Equation
et calculer les images des vecteurs suivants : EMBED Equation : (1,-1,0)
EMBED Equation : (2,-1,-2)
EMBED Equation : (1,-1,-2)
4°) Connaissez-vous des vecteurs propres pour A ? ( c'est-à-dire tels que AEMBED Equation = kEMBED Equation )
b) Une espèce de microbes se comporte de la manière suivante :
1°) en moyenne, la moitié des microbes meurent la première année et les autres survivent une seconde année.
2°) parmi ceux-ci, les deux-tiers meurent durant cette seconde année et les autres survivent une troisième année.
3°) A la fin de cette année, ils meurent tous, mais auparavant chacun d'eux donne naissance en moyenne à 6 microbes.
a) Partant d'une population de 3.000 microbes dont 1.000 dans chaque groupe d'âge, indiquer comment cette population va évoluer. (faire un tableau)
b) Montrer que cette situation peut-être décrite vectoriellement par une expression du type (A). EMBED Equation.2 = EMBED Equation.2
Quelle est la signification de EMBED Equation , de EMBED Equation ', de la matrice A ?
Déterminer (A (.
c) Calculer les valeurs propres de A.
@ c) La théorie et la pratique
Considérez, globalement, en tenant compte des interactions et des implications, les résultats mathématiques suivants.
La détermination des valeurs propres d'une matrice n*n conduit à la résolution d'une équation
polynomiale de degré n.
Tout polynôme de degré n à coefficients réels possède n racines (réelles ou complexes, distinctes
ou confondues).
Les équations polynomiales générales de degré supérieur à 4 ne sont pas "résolubles par radicaux" (on ne peut exprimer leurs racines au moyen des opérations algébriques (+), (-), (.), (:), (() et des coefficients de l'équation).
ABEL (1824) - GALOIS ( 1832)
Remarque : en outre, certaines valeurs propres peuvent-être confondues (une valeur propre est obtenue plusieurs fois comme solution de l'équation caractéristique). Dans ce cas, il existe des vecteurs propres différents pour cette même valeur propre.
Comparer le cas des matrices M1 = EMBED Equation
et M2 = EMBED Equation
Combien de valeurs propres ? Quelles sont les implications sur les vecteurs propres ?
Il se peut aussi que le polynôme caractéristique conduise à des racines complexes.
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El. math. S. soc. Ex. 4.
Edition 1991
Ex. 5.PAGE 6
El. math. Sc. soc.
Edition 2004-2005
