Exercice 1 (solution) :
... de la table des matières vers l'énoncé et le corrigé de l'exercice considéré. ....
A chaque fois qu'il joue, soit il gagne 1 ? si le résultat est pair, soit il perd 1 ? si ...
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stions ont apporté des améliorations significatives aux énoncés ainsi quà certaines propositions de solution.
Les générations passées détudiants ont inspiré également chaque année des améliorations et leurs réactions ont également permis daffiner le texte.
N.B. Le texte contiendra au fur et à mesure de sa finalisation quelques liens hypertexte de la table des matières vers lénoncé et le corrigé de lexercice considéré.
Table des matières
Chapitre 0
Exercice 0.1
Exercice 0.2
Exercice 0.3
Exercice 0.4
Exercice 0.5
Exercice 0.6
Exercice 0.7
Exercice 0.8
Exercice 0.9
Exercice 0.10
Exercice 0.11
Chapitre 1
Exercice 1.1
Exercice 1.2
Exercice 1.3
Exercice 1.4
Exercice 1.5
Exercice 1.6
Exercice 1.7
Exercice 1.8
Exercice 1.9
Exercice 1.10
Exercice 1.11
Exercice 1.12
Exercice 1.13
Exercice 1.14
Exercice 1.15
Exercice 1.16
Exercice 1.17
Exercice 1.18
Exercice 1.19
Exercice 1.20
Chapitre 2
Exercice 2.1
Exercice 2.2
Exercice 2.3
Exercice 2.4
Exercice 2.5
Exercice 2.6
Exercice 2.7
Exercice 2.8
Exercice 2.9
Exercice 2.10
Exercice 2.11
Exercice 2.12
Chapitre 3
Exercice 3.1
Exercice 3.2
Exercice 3.3
Exercice 3.4
Exercice 3.5
Exercice 3.6
Exercice 3.7
Exercice 3.8
Exercice 3.9
Exercice 3.10
Exercice 3.11
Exercice 3.12
Chapitre 4
Exercice 4.1
Exercice 4.2
Exercice 4.3
Exercice 4.4
Chapitre 5
Exercice 5.1
Exercice 5.2
Exercice 5.3
Exercice 5.4
Exercice 5.5
Exercice 5.6
Exercice 5.7
Exercice 5.8
Chapitre 6
Exercice 6.1
Exercice 6.2
Exercice 6.3
Exercice 6.4
Exercice 6.5
Exercice 6.6
Exercice 6.7
Exercice 6.8
Exercice 6.9
Exercices récapitulatifs
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 5
Exercice 6
Exercice 7
Exercice 8
Exercice 9
Exercice 10
Exercice 11
Exercice 12
Exercice 13
Exercice 14
Exercice 15
Exercice 16
Exercice 17
Exercice 18
Exercice 19
Exercice 20
Exercice 21
Exercice 22
Exercice 23
Exercice 24
Exercice 25
Exercice 26 Annexe au chapitre 0 : Exercices récapitulatifs (solutions)
Exercice 0.1 :
Un cadre doit visiter cinq ateliers (A, B, C, D, E) chaque semaine. Il visite un (et seul) atelier différent chaque jour, du lundi au vendredi. Il choisit lordre de ses visites AU HASARD tous les dimanches.
De combien de façons différentes peut-il organiser ses tournées ?
Pour choisir au hasard, il pourrait inscrire les noms des ateliers sur cinq bouts de papier, mélanger ces derniers dans une urne et les tirer (sans remise) un à un, il visitera le premier nom tiré le lundi, etc.
Donc :
il tire un atelier à visiter le lundi : 5 possibilités,
il tire un atelier à visiter le mardi : 4 possibilités,
il tire un atelier à visiter le mercredi : 3 possibilités, etc.
En tout, il dispose donc de 5.4.3.2.1 = 120 possibilités dorganiser ses visites hebdomadaires. (Application du principe de multiplication.)
Idem sur deux semaines ?
Pour deux semaines successives, il dispose de 120 x 120 = 120² possibilités.
Exercice 0.2 :
Pour me rendre à mon travail, je dispose du métro, je peux marcher et trois bus peuvent me mener à destination.
De combien de possibilités de me rendre à mon travail puis-je bénéficier ?
Je dispose de 1 + 1 + 3 = 5 possibilités.
Exercice 0.3 :
Soit les ensembles M={Albert, Charles, Bernard} et F={Danielle, Françoise}. Ecrire M x F en extension et via deux représentations du diagramme en arbre.
M x F = {(Albert, Danielle), (Albert, Françoise), (Charles, Danielle), (Charles, Françoise), (Bernard, Danielle), (Bernard, Françoise)}.
Danielle Albert
Albert
Françoise Danielle Charles
Danielle Bernard
Charles
Françoise Albert
Danielle Françoise Charles
Bernard
Françoise Bernard
Exercice 0.4 :
Trouver P(S) avec S={a, b, c}. Quel est le # P(S) ?
P(S) = {{a,b,c},{a,b},{a,c},{b,c},{a},{b},{c}, Ø } ;# P(S) = 2³ = 8
Exercice 0.5 :
Ecrire en extension :
A={x : x²-x-2 =0} ( A={-1, 2}.
B={x : x est une lettre dans le mot « PROBABILITES »} (
B={P,R,O,B,A,I,L,T,E,S }.
C={x : x² = 9, x-3 = 5} ( C={ Ø }.
Exercice 0.6 :
Vrai ou faux :
{2, 5, 4} = {4, 5, 2}.
{4, 2, 3} ( {2, 3, 4}.
{4} ( {{4}}.
Ø ( {{4}}.
{4} ( {{4}}.
1 ( {1, 2, 3, 4}.
TOUT EST VRAI SAUF c)
Exercice 0.7 :
Un homme qui possède 1 ¬ joue aux dés. A chaque fois qu il joue, soit il gagne 1 ¬ si le résultat est pair, soit il perd 1 ¬ si le résultat est impair. Il peut jouer au maximum cinq fois et arrête de jouer avant la fin s il a tout perdu ou s il a gagné 3 ¬ (donc s il possède 4 ¬ ). De combien de façons les paris peuvent-ils s établir ? Peut-il terminer le jeu avec la même somme qu au départ, soit 1 ¬ ? Résolvez par le diagramme en arbre. Les nombres représentent l état de la « fortune » du joueur à chaque étape du jeu. Les nombre en rouge indiquent une fin possible du jeu.
0 0
1 1 2
0 2
3 2
4
1 2
0
1 2
2
2
3 3 4
4
( 11 façons de parier et il ne terminera jamais le jeu avec 1 ¬ en poche.
Exercice 0.8 :
Soit le plan suivant d un parc à allées rectilignes. Un homme s y promène tous les jours, commence toujours sa promenade en allant de X en R et se déplace (sur le plan) horizontalement ou verticalement une étape à la fois. Il sarrête quand il ne peut continuer à marcher sans passer deux fois sur le même point. Il modifie sa promenade tous les jours.
Combien de promenades différentes sont-elles possibles ?
A B C
R S T
X Y Z
Résolution par le diagramme en arbre
En rouge, les 10 différentes étapes terminales.
Exercice 0.9 :
Une femme dispose de deux bagues identiques. Elle décide de les mettre, soit à lindex, soit au majeur, soit à lannulaire de la main droite. Elle change chaque jour la disposition de ses bagues.
Combien de temps maximum se passe-t-il entre deux dispositions identiques ?
Soit lépreuve 1 : « Placer une des deux bagues sur un des trois doigts. », #S1 =3 avec S1 son espace déchantillonnage.
Soit lépreuve 2 : « Placer lautre bague sur un des trois doigts. », #S2 =3 avec S2 son espace déchantillonnage.
Donc, par le principe de la multiplication, on dispose de 3 x 3 = 9 possibilités de placement des bagues.
Mais comme les bagues sont identiques, il est impossible de distinguer M I de I M, M A de A M et I A de A I avec X Y, signifiant : « La bague 1 a été placée sur le doigt X (X = I, A, M) et la bague 2 sur le doigt Y (Y = I, A, M) . »
Il faut donc retirer 3 possibilités des 9, il reste six placements conjoints distincts des deux bagues identiques.
Il se passe donc 6 jours au maximum entre deux dispositions identiques.
Quid si les bagues sont différentes ?
Si les bagues sont différentes, leur ordre quand elles sont sur le même doigt importe, or il existe 3 possibilités de présence commune sur chacun des 3 doigts. Quand leur présence est commune, il existe 2 ! = 2 arrangements différents de ces deux bagues.
Donc il existe 6 possibilités denfiler les deux bagues sur un doigt commun.
Il faut les ajouter aux 6 possibilités darrangements distincts des deux bagues sur deux doigts différents.
Il existe donc 12 arrangements différents des deux bagues sur les trois doigts.
Il se passe donc 12 jours au maximum entre deux dispositions identiques.
Exercice 0.10 :
Le titulaire dune classe de 11 garçons et 9 filles doit choisir 3 dentre eux pour représenter sa classe à un concours inter-écoles.
De combien de façons peux-il constituer léquipe ?
EMBED Equation.3 façons.
Idem sil simpose de choisir un garçon et deux filles ?
Il est possible de choisir un garçon de 11 façons différentes.
Il faut encore choisir 2 filles parmi 9, il existe EMBED Equation.3 = 36 possibilités.
Et par le principe de multiplication, le nombre déquipes sera égal à EMBED Equation.3 = 11.36 = 396.
Idem sil simpose de choisir une fille et deux garçons ?
En appliquant la même démarche, on découvre quil existe EMBED Equation.3 = 55.9 = 495 possibilités.
Exercice 0.11 :
Madame A. Lamode dispose aujourdhui de 3 vases de Chine, de deux cristaux de Bohème et dun saladier du Val-Saint-Lambert, tous ces objets sont différents. Elles les expose fièrement sur une planche de la vitrine de son salon et se donne comme règle de disposer différemment ces objets chaque fois quelle reçoit ses amies pour le thé.
Combien de fois peut-elle inviter ses amies sans répéter une disposition déjà réalisée :
si aucune restriction nest mise sur la disposition ?
Il sagit du nombre de permutations de 6 objets = 6 ! = 720 possibilités de rangement.
si les vases de Chine doivent être rangés ensemble et les cristaux de Bohème également ?
Il existe 3 ! possibilités de ranger les 3 vases de Chine côte à côte, de même 2 ! possibilités pour les cristaux de Bohème. Donc par le principe de multiplication 3 !2 !1 ! possibilités de ranger les objets en commençant par les vases de Chine, suivis des cristaux de Bohème, pour terminer par le VSL. Enfin il existe 3 ! possibilités de ranger (cest-à-dire permuter) les trois groupes dobjets (vases de Chine, cristaux de Bohème, VSL). Donc au total 3 !3 !2 !1 ! = 72 possibilités de rangement.
si seuls les vases de Chine doivent se trouver ensemble ?
Dans ce cas, on considère un groupe de trois objets (les vases de Chine) et les trois autres objets forment chacun un groupe. Donc au total, il sagit de ranger quatre groupes. Par le même argument que b) supra, il existe 4 !3 ! = 144 possibilités de rangement.
Monsieur Lamode a promis à son épouse de lui offrir un nouveau Val-Saint-Lambert quand la situation de répétition dune disposition se produira.
Après cet événement, que deviennent les prévisions du nombre dinvitations dans les trois cas ?(Pour cette question, on supposera quau point b) les vases Val-Saint-Lambert restent groupés ensemble.)
7 ! = 5040 possibilités de rangement.
3 !3 !2 !2 ! = 144 possibilités de rangement.
5 !3 ! = 720 possibilités de rangement.
Exercice 0.11 :
Dans les « Noces de Figaro », W.A. Mozart à composé une uvre où les ensembles de taille variable amènent tous les protagonistes à se rencontrer. Il rompait, se faisant, avec la tradition de lopéra classique et, en innovant de la sorte, produisait un chef duvre absolu de la culture.
Le célèbre chef dorchestre P.Avaroti a contacté cinq chanteurs et sept chanteuses qui seraient susceptibles dêtre retenus pour la distribution de la nouvelle production des « Noces » que lOpéra National lui a demandé de diriger la saison prochaine. Deux chanteurs sont nécessaires et 3 chanteuses.
Combien de distributions différentes peut-il envisager ?
Pour les chanteurs : EMBED Equation.3 possibilités et EMBED Equation.3 possibilités pour les chanteuses, donc par le principe de multiplication, : EMBED Equation.3 possibilités.
Parmi les chanteuses pressenties, la diva C. Astafiore refuse absolument de partager la scène avec L. Acallas dont elle est très jalouse. P.Avaroti nenvisage donc pas de les faire chanter ensemble. Combien de possibilités de distribution lui reste-t-il ?
Nombre de groupes possibles ne contenant pas les deux divas = EMBED Equation.3 en effet puisquon exclut les deux divas, il reste 5 chanteuses parmi lesquelles on en choisit trois. EMBED Equation.3 possibilités.
Nombre de groupe possibles contenant exclusivement une seule des deux divas :
Pour une diva donnée (par exemple C.Astafiore) : EMBED Equation.3 en effet puisque sur les sept chanteuses une diva est choisie et lautre exclue, il reste donc 5 chanteuses parmi lesquelles P. Avaroti doit en choisir deux puisque une (la diva) est imposée.
Mais nous avons deux divas, il faut donc multiplier ce nombre par 2.
Donc finalement, dans ce cas P.Avaroti dispose de EMBED Equation.3 possibilités.
Dès lors, P. Avaroti dispose de 10 + 20 = 30 possibilités de choisir les chanteuses, à multiplier par les EMBED Equation.3 possibilités de choisir les chanteurs = EMBED Equation.3 possibilités de composer la distribution.
Exercices :
Ecrire les espaces déchantillonnages associés aux expériences aléatoires suivantes :
Le nombre de parties de dames que vous gagnez dans une série de trois jeux avec un ami.
S = {0, 1, 2, 3} ou S = {x : 0 ( x ( 3, x (N}
Le nombre de visites chez le médecin en un an.
S = {0, 1, 2,
} ou S = {x : x (N}
Le temps en minutes que met un service durgence pour se trouver à lendroit voulu après avoir reçu un coup de téléphone urgent.
S = {x : x > 0, x (R }
La différence de taille (en cms) entre époux.
S = {x : x (R}
Le temps en minutes que vous devez attendre à la poste pour être servi.
S = {x : x ( 0}
Le nombre de réponses correctes données lors dun test de connaissance générales
par un candidat à qui on soumet 100 questions ;
S = {0, 1, 2,
, 100}
par chacun des deux candidats à qui on a posé à chacun séparément 100 questions.
S = {(x,y) : x = 0, 1, 2,
, 100 ; y = 0, 1, 2,
, 100}
Exercice 1.7 :
Pour un lot dune douzaine dampoules à tester, représentez lespace déchantillonnage S : S = {x (N : 0 ( x ( 12}.
ainsi que les événements suivants comme des sous-ensembles de lespace déchantillonnage S :
« Une ampoule est défectueuse. » : A= {1}.
« Au moins une ampoule est défectueuse. » : B = { x (N : 1 ( x ( 12}.
« Au plus une ampoule est défectueuse. » : C = {0, 1}.
Exercice 1.8 : Voici une liste dévénements associés aux épreuves décrites dans une série précédente dexercices. Décrivez chaque événement comme un sous-ensemble de lespace déchantillonnage adéquat :
« Vous gagnez au moins deux parties de dames. » : A = {2, 3}.
« Votre ami gagne au moins deux parties de dames. » : B = {0, 1}.
« Vous ne rendez pas visite au médecin plus de deux fois par an. » : C = {0, 1, 2}.
« Lambulance arrive en moins de cinq minutes. » :
D = {x ( R : 0 (() < x ( 5}.
« Lambulance met plus de dix minutes pour arriver. » :
E = { x ( R : 10 < x}.
« Lépouse est plus grande que son mari. » :
F = {x ( R : x < 0}, avec x = taille du mari taille de lépouse.
« Le premier candidat donne au moins 75 réponses correctes. » :
G = {(x,y) : x = 75, 76,
, 100 ; y = 0, 1, 2,
, 100}.
« Le second candidat donne au moins 75 réponses correctes. » :
H = {(x,y) : x = 0, 1, 2,
, 100 ; y = 75, 76,
, 100}.
« A eux deux, les candidats donnent au moins 150 réponses correctes. » :
I = {(x,y) : x = 0, 1, 2,
, 100 ; y = = 0, 1, 2,
, 100 ; x + y > 149}. Exercice 1.9 :
Vous allez lancer une pièce de monnaie trois fois de suite. Ecrivez les espaces déchantillonnage correspondant :
aux résultats des lancers dans lordre où ils se présentent :
S1 = {FFF, FFP, FPF, FPP, PFF, PFP, PPF, PPP}.
au nombre total de « faces » obtenues : S2 = {0, 1, 2, 3}.
au nombre de « piles » obtenues avant la première face : S3 = S2.
Exercice 1.10 :
Soit un dé honnête. Ecrivez lespace déchantillonnage S correspondant à lépreuve du lancer unique de ce dé : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Ensuite écrivez les événements suivants comme des sous-ensembles de lespace déchantillonnage S :
« Le score obtenu est un nombre impair. » : A = {1, 3, 5}.
« Le score obtenu est au plus 2. » : B = {1, 2}.
« Le score obtenu est 6. » : C = {6}.
Ensuite, écrivez les sous-ensembles suivants de S avec une brève description des évènements quils représentent (si possible) :
EMBED Equation.3 {2, 4, 6}, « le score obtenu est pair (nest pas impair)».
EMBED Equation.3 {3, 4, 5, 6}, « le score obtenu est au moins 3 ».
EMBED Equation.3 {1, 2, 3, 5}, « le score obtenu nest ni 4 ni 6 ».
EMBED Equation.3 {1, 2, 4, 6}, « le score obtenu nest ni 3 ni 5 ».
EMBED Equation.3 {2, 4, 6}, « le score obtenu est un nombre pair ».
EMBED Equation.3 {2}.
EMBED Equation.3 {6}.
EMBED Equation.3 {1}.
EMBED Equation.3 (.
EMBED Equation.3 {4} car (A(B(C) = {1, 2, 3, 5, 6}.
Exercices récapitulatifs sur les probabilités élémentaires (annexe 2 au Ch. 1).
Exercice 1.11 :
Soit lépreuve : « On lance trois fois de suite un dé honnête ».
Donc S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}³.
A quelles parties de S correspondent les événements :
A : « On nobtient pas das aux trois lancers. » = {2, 3, 4, 5, 6}³.
B : « On obtient exactement un as. »
= {{(1, i, i)}( {(i, 1, i)}( {(i, i, 1)}: i ( {2, 3, 4, 5, 6}}.
C : « On obtient au moins un as. » = S\{2, 3, 4, 5, 6}³ ou ~{2, 3, 4, 5, 6}³.
D : « On obtient un as au deuxième et au troisième lancer. »
= {(i, 1, 1) : i ( {1, 2, 3, 4, 5, 6}}.
Calculer la probabilité de ces événements.
P(A) EMBED Equation.3 .
P(B) EMBED Equation.3 .
P(C) = 1 - P(A) = P(~A) = 1 0, 58
( 0,42.
P(D) EMBED Equation.3
Exercice 1.12 :
Sur les 10 filles assises au premier rang, 3 ont les yeux bleus. On en désigne 2 au hasard.
Quelle est la probabilité :
quelles aient toutes deux des yeux bleus ? (P(2) ?)
Il y a EMBED Equation.3 possibilités de désigner deux filles au hasard parmi les 10.
Il y a EMBED Equation.3 possibilités de désigner deux filles parmi les 3 qui ont des yeux bleus.
La probabilité p recherchée se calcule donc par la formule classique p= EMBED Equation.3 .
quaucune naie des yeux bleus ? (P(0) ?)
Il y a EMBED Equation.3 possibilités de désigner deux filles au hasard parmi les 10.
Il y a EMBED Equation.3 possibilités de désigner deux filles parmi les 7 qui nont pas des yeux bleus.
La probabilité p recherchée se calcule donc par la formule classique p EMBED Equation.3 .
au moins une ait des yeux bleus ?(P(>0) ?)
Il y a EMBED Equation.3 possibilités de désigner deux filles au hasard parmi les 10.
Il y a EMBED Equation.3 possibilités de désigner une fille parmi les 7 qui nont pas des yeux bleus.
Il y a EMBED Equation.3 possibilités de désigner une fille parmi les 3 qui ont des yeux bleus.
Donc la probabilité quexactement une fille ait des yeux bleus et pas lautre P(1) = (formule classique) = EMBED Equation.3 .
Mais nous cherchons la probabilité quau moins une ait des yeux bleus : P(>0) = P(1) + P(2) (puisque événements incompatibles) = EMBED Equation.3 .
Exercice 1.13 :
Trois étudiants Albert, Bernard et Charles disputent une compétition de natation. Albert et Bernard ont la même probabilité a priori de gagner et chacun deux a deux fois plus de chance de gagner que Charles.
Quelle est la probabilité :
pour chacun de gagner ?
Soit les événements A, B, C, respectivement : « Albert, Bernard, Charles remporte le concours. ».
Donc {A, B, C} = S, lespace déchantillonnage de cette épreuve. A, B, C, sont incompatibles deux à deux et réalisent une partition de S (voir graphique infra).
Posons P(C) = p = la probabilité que Charles gagne.
Donc la probabilité quAlbert gagne = P(A) = la probabilité que Bernard gagne = P(B) = 2p.
Donc P(A) + P(B) + P(C) = p + 2p + 2p = 5p = 1, donc p = 0,2.
Donc P(A) = 0,4 ; P(B) = 0,4 ; P(C) = 0,2.
que Bernard ou Charles gagne ?
P(B(C) = P(B) + P(C) P(B(C) = 0,4 + 0,2 0 = 0,6.
quAlbert et Bernard perdent ?
P( EMBED Equation.3 ) = P(C) = 0,2.
quAlbert ou Bernard perde ?
P( EMBED Equation.3 ) = 1
car cest un événement certain puisque A ( EMBED Equation.3 ; B ( EMBED Equation.3 ; C ( EMBED Equation.3 .
ou (voir ch.2) P( EMBED Equation.3 ) = P( EMBED Equation.3 ) + P( EMBED Equation.3 ) P( EMBED Equation.3 ) = 0,6 + 0,6 0.2 = 1.
Graphiquement :
S = EMBED Equation.3 B(C = EMBED Equation.3 A(C = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = C
= C = A = B.
Exercice 1.14 :
Cinq couples mariés se trouvent réunis.
Si deux personnes sont désignées au hasard, quelle est la probabilité quelles soient mariées ?
Il y a EMBED Equation.3 = 45 possibilités de choisir 2 personnes parmi 10. (= # de cas possibles).
Il y a 5 couples mariés donc 5 cas favorables.
Donc p = EMBED Equation.3 .
Si deux personnes sont désignées au hasard, quelle est la probabilité quune delles soit une femme et lautre un homme ?
Il y a de nouveau 45 cas possibles.
Comme il y a 5 hommes et 5 femmes, il y a 5 possibilités de choisir une femme fois 5 possibilités de choisir un homme soit : 5² cas favorables.
Donc p = EMBED Equation.3 .
Si quatre personnes sont désignées au hasard, quelle est la probabilité que deux couples mariés aient été choisis ?
Il y a EMBED Equation.3 = 210 possibilités de choisir 4 personnes parmi 10. (= # de cas possibles).
Il y a 5 couples mariés donc EMBED Equation.3 = 10 cas favorables.
Donc p = EMBED Equation.3 .
Si quatre personnes sont désignées au hasard, quelle est la probabilité quaucun couple marié ne se trouve parmi les quatre personnes ?
Il y a EMBED Equation.3 = 210 possibilités de choisir 4 personnes parmi 10. (= # de cas possibles).
Les quatre personnes proviennent de quatre couples différents. Or il y a EMBED Equation.3 = 5 possibilités de choisir 4 couples parmi 5.
Et il y a deux façons de ne tirer quune seule personne de chaque couple : soit lépoux, soit lépouse. Donc en tout 2.2.2.2 .5 = 80 possibilités favorables.
Donc p = EMBED Equation.3 .
Si quatre personnes sont désignées au hasard, quelle est la probabilité quexactement un couple marié soit présent dans les quatre ?
Lévénement considéré est complémentaire aux deux précédents, donc p = 1 - EMBED Equation.3 .
Si les dix personnes sont divisées au hasard en 5 paires, quelle est la probabilité que chaque paire soit mariée ?
Il y a EMBED Equation.3 divisions possibles des 10 personnes en 5 paires. (= # cas possibles).
Il y a 5 ! possibilités de choisir les couples mariés. (= # de cas favorables) .
Donc p = EMBED Equation.3 .
Si les dix personnes sont divisées au hasard en paires, quelle est la probabilité que chaque paire comprenne un homme et une femme ?
Il y a EMBED Equation.3 divisions possibles des 10 personnes en 5 paires. (= # cas possibles).
Il y a 5 ! possibilités de choisir un homme dans chaque paire et 5 ! possibilités de choisir une femme dans chaque paire, donc 120² cas favorables.
Donc p = EMBED Equation.3 .
Exercice 1.15 :
On a établi que la probabilité quune caissière de grand magasin reçoive k clients entre 15 et 16 heures est EMBED Equation.3 .
Calculez ( .
On sait que EMBED Equation.3 , donc EMBED Equation.3 .
Or quelque soit le réel (, on a : EMBED Equation.3 , donc 1 = EMBED Equation.3 , donc ( = EMBED Equation.3 .
Quelle est la probabilité que la caissière reçoive moins de 5 clients ? P(C
