Complément sur les quadripôles et les filtres : application de la ...
application de la représentation symbolique d'un quadripôle à une mise en
cascade .... Soit on calcule Vs/Ve directement par le calcul (cf TD E6). - Soit on ...
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Complément sur les quadripôles et les filtres :
application de la représentation symbolique dun quadripôle à une mise en cascade
Représentation dun quadripôle.
1. Définition
Un quadripôle, utilisé pour les filtres ou les amplificateurs, peut se mettre sous la forme la plus générale de la figure 1
Fig. 1 : Schéma global dun quadripôle (les grandeurs sont complexes)
Trois paramètres caractérisent un quadripôle réel :
limpédance dentrée : EMBED Equation.3 . Cest limpédance « vue » par le circuit qui rentre sur le quadripôle. Dans le cas dun amplificateur ou dun filtre audio, cest ce que voit le lecteur qui est connecté à lampli ou au filtre.
limpédance de sortie : EMBED Equation.3 . Cest limpédance vue par le circuit qui vient après le quadripôle. Si le quadripôle est un filtre ou un ampli audio, cest limpédance que voit le haut-parleur.
une source de tension, liée à la fonction de transfert à vide du quadripôle : V=Ve ( H. Dans le cas dun ampli audio, cest le gain de lampli ; dans le cas dun filtre audio, cest la fonction de transfert du filtre.
2. Détermination des paramètres.
Les équations qui suivent sont liées à la convention choisie sur le schéma.
Limpédance dentrée est facile à déterminer : cest le rapport de la tension dentrée sur le courant qui rentre dans le circuit :
EMBED Equation.3 QUOTE
En ce qui concerne les paramètres de sortie, il sagit dun modèle de Thevenin équivalent : le circuit qui vient après le quadripôle le voit comme un modèle de Thevenin équivalent, c'est-à-dire une source de tension en série avec une résistance. Le montage équivalent est alors beaucoup plus simple, car il se résume à 2 dipôles, quel que soit le nombre de composants réels constituant le quadripôle.
Écrivons la loi des mailles en sortie :
EMBED Equation.3
Pour déterminer H (la fonction de transfert), il faut annuler le second terme : il faut donc annuler is, c'est-à-dire être en circuit ouvert (à vide). Cela revient à considérer quil ny a pas de montage après le quadripôle. Cest ce que lon fait lorsquon met en équation un filtre afin de chercher sa fonction de transfert (on considère que lon ne connecte pas le haut-parleur, dans le cas dune application audio par exemple)
On a donc :
EMBED Equation.3 QUOTE
Pour déterminer Zout, il faut se « débarasser » de H(Ve : il faut donc annuler lentrée. Doù la définition de limpédance de sortie :
EMBED Equation.3
Cest donc limpédance vue par le montage suivant, en ayant annulé la tension dentrée.
On va voir quun quadripôle idéal devrait avoir Zin infini et Zout nul : on retrouve alors le cadre de létude des filtres.
3. Exemple
Prenons un filtre passe-bas passif RC 1er ordre.
Le générateur voit comme impédance dentrée :
EMBED Equation.3 QUOTE
Pour déterminer Zout, il faut annuler Ve : R et C se retrouvent alors en parallèle (faites un schéma). Limpédance de sortie est donc équivalente à :
EMBED Equation.3
Pour déterminer H, il faut assurer is=0 : on doit alors calculer la fonction de transfert « classique ».
On obtient :
EMBED Equation.3 QUOTE
Mise en cascade des filtres
Etude théorique
Mettons deux quadripôles en série (en cascade), caractérisés par les fonctions de transfert H1 et H2. Si les quadripôles étaient idéaux, on aurait la fonction de transfert globale : H =H1 H2
Considérons maintenant les modèles réels de ces quadripôles, en leur associant une impédance dentrée (Zin1 et Zin2) et une impédance de sortie (Zout1 et Zout2), comme le montre la figure 2.
Fig. 2
Calculons la fonction de transfert de lensemble, en supposant que le second quadripôle nest pas suivi dun autre montage (il est à vide, ie is2= 0, et donc limpédance de sortie Zout2 na pas dinfluence : Vs2=H2.Ve2) :
On voit donc que la fonction de transfert globale nest pas le produit des fonctions de transfert dans le cas général : il y a un pont diviseur de tension (dû aux impédances Zin2 et Zout1) qui perturbe ce produit par rapport au cas idéal.
En effet, lorsque lon considère que H=H1.H2, on suppose que les fonctions de transfert H1 et H2 sont calculées pour chaque circuit de manière indépendante : on suppose donc que le courant de sortie des quadripôles est nul. On ne prend donc pas en compte les impédances dentrée et de sortie. Or, lorsquon les connecte, le second montage va « prélever » du courant au premier montage : le simple calcul de H1 et H2 ne suffit plus à déterminer la fonction globale. Une autre vision est de considérer que lorsquon connecte le montage H2, on rajoute des impédances en parallèle avec H1 : la fonction de transfert H1 est alors modifiée et ne peut plus être alors calculée seule.
Trois méthodes existent pour gérer cette mise en cascade :
on isole les deux quadripôles par un montage prélevant la tension Vs2 sans appeler de courant au premier montage : cest un montage tampon appelé « suiveur ». Dans ce cas, on aura bien H=H1.H2. Cest une méthode simple mais qui nécessite un composant supplémentaire (le suiveur).
on prend en compte les impédances de H2 dans le calcul de H1 : on voit alors le montage comme un seul quadripôle (un seul filtre) et non une mise en cascade. Cela est facile à faire pour deux montages en cascade, plus complexe dans le cas dun plus grand nombre. En outre, si on veut changer un élément du montage, il faut tout recalculer. On a alors H`"H1.H2
on utilise le modèle présenté ici, et on aura bien sûr H`"H1.H2
L équation précédente montre que si l on souhaite avoir H=H1.H2 (sans utiliser de suiveur) il faut respecter une condition : Zin2>>Zout1 : c est une condition d adaptation dimpédance.
Ainsi, un quadripôle idéal devra avoir une forte impédance dentrée et une très faible impédance de sortie.
Exemple de la cellule RC-RC.
Considérons deux filtres RC mis en cascade.
Fig. 3
Pour déterminer la fonction de transfert de lensemble, on a plusieurs solutions :
Soit on calcule Vs/Ve directement par le calcul (cf TD E6)
Soit on applique le modèle des quadripôles
Daprès les équations précédentes (II), on a montré que :
avec (cf I.) :
EMBED Equation.3
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