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Exercice I. Ascenceur spatial correction

CM 2 ? Les catégories grammaticales et les fonctions dans le GN. C. Gomila & G. Lamy-Scotto, IUFM Perpignan. Plan CM2 ? Corrigé des exercices.




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Métropole BAC S 09/2013 Correction ©  HYPERLINK "http://labolycee.org" http://labolycee.org
EXERCICE I. L’ASCENSEUR SPATIAL (5 points)
1. Pourquoi utiliser un satellite géostationnaire pour ce projet ?
1.1. (0,25) Un satellite géostationnaire est situé sur une orbite équatoriale, à une altitude de 36 000 kilomètres.
(0,25) Il apparaît immobile dans le référentiel terrestre, sa vitesse y est donc nulle.
La courbe représentative de la vitesse orbitale en fonction de l’altitude permet de dire que dans le référentiel géocentrique sa vitesse est égale à 3 km/s.
Enfin sa période est égale à 24 h.





1.2. (0,5) La deuxième loi de Kepler ou loi des aires énonce que « les aires balayées par le vecteur Terre-Satellite pendant des durées égales sont égales ». Puisque sa trajectoire est circulaire, pour balayer toujours la même aire en un temps donné, le satellite doit avoir une vitesse constante. Son mouvement est circulaire et uniforme.

1.3. (0,5) Pour un mouvement circulaire, l’expression du vecteur accélération dans la base de Frenet est  EMBED Equation.DSMT4  où r est le rayon de l’orbite circulaire.
Si le mouvement est uniforme alors  EMBED Equation.DSMT4  et il vient  EMBED Equation.DSMT4 .
Le vecteur accélération a pour
- direction : le rayon de la trajectoire ; il est radial
- sens : du satellite vers le centre de la Terre ; il est centripète.

Dans le référentiel géocentrique, le satellite n’est soumis qu’à  EMBED Equation.DSMT4  l’attraction gravitationnelle de la Terre.
La deuxième loi de Newton indique  EMBED Equation.DSMT4  = m. EMBED Equation.DSMT4  où m est la masse du satellite, soit  EMBED Equation.DSMT4  =  EMBED Equation.DSMT4 .
Cette loi nous indique également que l’accélération est radiale et centripète tout comme la force d’attraction gravitationnelle.

1.4. (0,5) Le satellite parcourt son orbite de longueur égale à 2À.(RT+h) en une durée égale à sa période de révolution TGéo
v =  EMBED Equation.DSMT4 
v =  EMBED Equation.DSMT4  = 3,1×103 m.s-1 = 3,1 km.s-1

1.5. (0,25) Pour transformer un satellite géostationnaire en ascenseur spatial, il faudrait le relier au sol terrestre avec un câble.
(0,25) L’altitude de 36 000 km permet au satellite de rester toujours à l’aplomb du même point de la surface terrestre.
2. L’ascenseur spatial
2.1. (0,25)











2.2. (0,25)  EMBED Equation.DSMT4  =  EMBED Equation.DSMT4 
D’après cette expression v0(z) est une fonction affine de l’altitude z. Sa représentation est une droite d’ordonnée à l’origine  EMBED Equation.DSMT4  et de coefficient directeur  EMBED Equation.DSMT4 . Ce qui est en accord avec le document 2.

2.3. (0,5) Le document 1 indique que l ascension du satellite aurait une durée ”t égale à cinq jours.
Vitesse moyenne ascensionnelle : vA =  EMBED Equation.DSMT4 
vA =  EMBED Equation.DSMT4  8×101 m.s 1 (ou vA =  EMBED Equation.DSMT4  3×102 km.h-1)

2.4. (0,5) À l’altitude h’ = 20 000 km, on a  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4  = 1,9×103 m.s-1 (ou v0(z) = 6,9×103 km.h-1)
À l’altitude h’, la vitesse moyenne ascensionnelle vA est très inférieure à la vitesse orbitale v0.


2.5.1. (0,25) Pour échapper à l’attraction terrestre, la vitesse de lancement du satellite (égale à la vitesse du point de l’ascenseur où il se trouve) doit être au moins égale à la vitesse de libération.
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