Droites - Maths-et-tiques
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DROITES
Equation de droites
Caractérisation analytique dune droite
Propriété :
Soit (O, EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ) un repère du plan.
Soit D une droite du plan.
- Si D est parallèle à laxe des ordonnées :
alors léquation de D est de la forme x = c,
où c est un nombre réel.
- Si D nest pas parallèle à laxe des ordonnées :
alors léquation de D est de la forme y = ax + b,
où a et b sont deux nombres réels.
Vocabulaire :
a est appelé le coefficient directeur de la droite D.
b est appelé lordonnée à lorigine de la droite D.
Démonstration :
Soit A EMBED Equation.3 et B EMBED Equation.3 deux points distincts dune droite D.
Dire quun point M de coordonnées EMBED Equation.3 appartient à la droite D revient à dire que les vecteurs EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.3 et EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.3 sont colinéaires.
Daprès la condition de colinéarité : EMBED Equation.3 .
- Si D est parallèle à laxe des ordonnées, alors xA = xB.
La condition de colinéarité peut sécrire : EMBED Equation.3
Ce qui équivaut à EMBED Equation.3 car EMBED Equation.3 , les points A et B étant distincts.
D vérifie une équation de la forme EMBED Equation.3 avec c = xA .
- Si D nest pas parallèle à laxe des ordonnées, alors EMBED Equation.3 .
La condition de colinéarité peut sécrire : EMBED Equation.3
D vérifie une équation de la forme EMBED Equation.3 avec EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 .
Exercice : Donner le coefficient directeur et lordonnée à lorigine de chacune des droites déquations : a) EMBED Equation.DSMT4 b) EMBED Equation.DSMT4 c) EMBED Equation.DSMT4
Coefficient directeur : -2 b) Coefficient directeur : 0
Ordonnée à lorigine : 3 Ordonnée à lorigine : 5
Léquation peut sécrire : EMBED Equation.DSMT4
Coefficient directeur : -2
Ordonnée à lorigine : EMBED Equation.DSMT4
Exemples :
La droite D a pour équation x = 3
La droite D a pour équation y = 3x + 2.
Son ordonnée à lorigine est 2 et son coefficient directeur est +3.
Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir
Ex 1, 2 (page 10)
p201 n°1 à 4
p208 n°65p207 n°62p200 n°1 à 4
p211 n°101
p206 n°61p200 n°5 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
Activité conseillée Activité conseillée
p184 n°1 : Équations de droitesp184 n°1 : Équations de droites ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
Méthode : Représenter graphiquement une droite déquation donnée
Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/cUdhxkaTqqk" https://youtu.be/cUdhxkaTqqk
Soit (O, EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ) un repère du plan.
Dans ce repère, tracer les droites d1, d2 et d3 déquations respectives :
y = 2x + 3,
y = 4,
x = 3.
- La droite d1 déquation y = 2x + 3 a pour ordonnée à lorigine 3. Donc le point A de coordonnée EMBED Equation.3 appartient à la droite d1.
Soit B le point dabscisse -2 appartenant à la droite d1. Les coordonnées de B vérifient léquation de d1, donc :
yB = 2x(-2) + 3 = -1.
Le point B de coordonnées EMBED Equation.3 appartient à la droite d1.
On peut ainsi tracer la droite d1 passant par A et B.
- La droite d2 déquation y = 4 est lensemble des points dont lordonnée est égale à 4. La droite d2 est donc la droite parallèle à laxe des abscisses coupant laxe des ordonnées au point de coordonnées EMBED Equation.3 .
Pour tracer la droite d2, on aurait également pu remarquer que son coefficient directeur est nul.
- La droite d3 déquation x = 3 est lensemble des points dont labscisse est égale à 3. La droite d3 est donc la droite
parallèle à laxe des ordonnées coupant
laxe des abscisses au point de coordonnées
EMBED Equation.3 .
Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir
p201 n°5 à 7
p202 n°8, 10*
p207 n°61
p208 n°66*Ex 3 (page 10)
p200 n°7 à 11
p206 n°61
p208 n°81, 82p200 n°6 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
TP conseillé TP conseillé
TP TICE 1 p194 : Un réseau de droites
TP Algo 1 p197 : Rechercher une équation de droitep194 TP2 : Un réseau de droites
p194 TP1 : Rechercher une équation de droite ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
Conséquence :
Propriété :
Si A EMBED Equation.3 et B EMBED Equation.3 sont deux points distincts dune droite D tel que EMBED Equation.3 alors la droite D a pour coefficient directeur EMBED Equation.3
Méthode : Déterminer une équation de droite dont on connaît deux points
Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/tfagLy6QRuw" https://youtu.be/tfagLy6QRuw
Soit (O, EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ) un repère du plan.
Soit A EMBED Equation.3 et B EMBED Equation.3 deux points dune droite d.
Déterminer une équation de la droite d.
Les points A et B sont dabscisses différentes donc la droite d nest pas parallèle à laxe des ordonnées. Elle est donc de la forme y = ax + b, où a et b sont deux nombres réels.
Le coefficient directeur de d est EMBED Equation.3
Comme A EMBED Equation.3 appartient à la droite d, ses coordonnées vérifient léquation de d soit :
-1 = -6 x 4 + b. Doù b = -1 + 6 x 4 = 23
Une équation de d est donc : y = 6x + 23.
Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir
p202 n°18, 19, 20, 22*p202 n°17p201 n°19, 21
p206 n°63p201 n°20 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
Propriété réciproque :
Propriété :
Soit (O, EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ) un repère du plan et a, b, c trois nombres réels, a étant non nul.
Lensemble des points M du plan dont les coordonnées EMBED Equation.3 sont tels que :
y = ax + b ou x = c, est une droite.
Méthode : Vérifier si un point appartient à une droite déquation donnée
Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/XA0YajthETQ" https://youtu.be/XA0YajthETQ
Soit (O, EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ) un repère du plan.
Les points A EMBED Equation.3 et B EMBED Equation.3 appartiennent-ils à la droite d déquation EMBED Equation.DSMT4 ?
- Dire que le point A EMBED Equation.3 appartient à la droite d déquation EMBED Equation.DSMT4 revient à dire que les coordonnées de A vérifient léquation de la droite d.
Ce qui nest pas le cas, puisque 42 `" 7 x 6,4 3 = 41,8.
Le point A n appartient donc pas à la droite d.
- Les coordonnées de B EMBED Equation.3 vérifient l équation de la droite d. En effet :
2419 = 7 x 346 3 donc le point B appartient à la droite d.
Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir
Ex 4 (page 10)
p202 n°11, 12, 13, 14, 15Ex 5 (page 10)
p200 n°13 à 17
p206 n°65p200 n°12 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
Position relative de deux droites
Propriété :
Soit (O, EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ) un repère du plan.
Soit D et D deux droites non parallèles à laxe des ordonnées.
Dire que D et D sont parallèles entre-elles équivaut à dire quelles ont le même coefficient directeur.
Démonstration :
La droite D admet une équation du type y = ax + b.
La droite D admet une équation du type y = ax + b.
Soit A et B deux points distincts de D dabscisses respectives 0 et 1 alors
A et B ont pour coordonnées EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.3 .
De même, A et B deux points de D , ont pour coordonnées EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 .
Dire que les droites D et D sont parallèles équivaut à dire que les vecteurs EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.3 et EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.3 sont colinéaires, c'est-à-dire 1 x a 1 x a = 0, soit a = a.
Tableau récapitulatif :
Equation de Dx = cy = ax + by = ax + bEquation de Dx = cx = cy = ax + bPosition de D et DD // DD et D sont sécantesSi a = aSi a `" a D // D D et D sont sécantesReprésentation
Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/gTUPGw7Bulc" https://youtu.be/gTUPGw7Bulc
Exemples :
Dans un repère du plan, d1, d2 et d3 admettent pour équations respectives :
y = 3x + 4, y = 3x + 9, x = 8
Les droites d1 et d2 sont parallèles car elles ont un coefficient directeur égal à 3.
Les droites d1 et d3 sont sécantes.
Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir
Ex 6 à 8 (page 10)
p203 n°28, 29, 27Ex 9 (page 10)
p202 n°26, 28 à 30
p204 n°54
p206 n°68, 67
p207 n°70, 71p202 n°27
p206 n°69 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
Vecteur directeur dune droite
Définition :
D est une droite du plan.
On appelle vecteur directeur de D tout vecteur non nul EMBED Equation.DSMT4 qui possède la même direction que la droite D.
Méthode : Déterminer graphiquement un vecteur directeur dune droite
Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/6VdSz-0QT4Y" https://youtu.be/6VdSz-0QT4Y
Soit (O, EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ) un repère du plan.
Donner des vecteurs directeurs des
droites d1, d2, d3 et d4.
Pour d1 : EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ou encore EMBED Equation.DSMT4 .
Pour d2 : EMBED Equation.DSMT4
Pour d3 : EMBED Equation.DSMT4
Pour d4 : EMBED Equation.DSMT4 ou encore EMBED Equation.DSMT4 .
Propriété :
Soit (O, EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ) un repère du plan.
- Si D est parallèle à laxe des ordonnées
alors EMBED Equation.DSMT4 est un vecteur directeur de D.
- Si D nest pas parallèle à laxe des ordonnées,
alors le vecteur EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.3 est un vecteur directeur
de D, où y = ax + b est une équation de la droite D.
Démonstration :
La droite D déquation y = ax + b passe par les points A EMBED Equation.DSMT4 et B EMBED Equation.DSMT4 .
Les points A et B étant distincts, le vecteur EMBED Equation.DSMT4 de coordonnées EMBED Equation.DSMT4 soit EMBED Equation.DSMT4 est un vecteur directeur de la droite D.
Exemple :
La droite D déquation y = -2x + 3 admet le vecteur EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.3 pour vecteur directeur.
Le vecteur EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.3 est également un vecteur directeur de D car EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 sont colinéaires.
Méthode : Déterminer une équation de droite dont on connaît un point et un vecteur directeur
Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/4NXgsUSKrrk" https://youtu.be/4NXgsUSKrrk
Soit (O, EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ) un repère du plan.
Soit A EMBED Equation.3 un point dune droite d admettant EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.3 comme vecteur directeur.
Déterminer une équation de la droite d.
On considère un point M EMBED Equation.3 de la droite d.
Les vecteurs EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.3 et EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.3 sont colinéaires. En effet, EMBED Equation.DSMT4 est également un vecteur directeur de d.
Daprès le critère de colinéarité : -(x + 3) 2(y 4) = 0
Soit : -x 3 2y + 8 = 0
Soit encore : -2y = x 5
Une équation de d est : y = -0,5x + 2,5.
Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir
p202 n°23
p203 n°24, 26, 30, 32, 25
p206 n°52 à 55p203 n°31
p201 n°22 à 24
p204 n°53
p207 n°72, 73p201 n°25 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
Donner le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine des droites suivantes :
d1 : y = 2x+1 d2 : y = 5x-3 d3 : y = -2x-7 d4 : y = 7x d5 : y = -5
Même exercice :
d1 : y + 3 = 5x d2 : 3y = 9x-6 d3 : x = -2y+1 d4 : y = 7(x+5)
Représenter dans un repère les droites suivantes :
d1 : y = -3x+5 d2 : y = 4x-2 d2 : y = 5
Soit d la droite d'équation y = 9x-11. Les points A(12 ; 97) et
B(-6 ; 65) appartiennent-ils à la droite d ? Justifier.
Soit d et d' les droites d'équation respective y = -3 et x = 3.
Parmi les points A(3 ; -3), B(3 ; 3), C(-3 ; 3) et D(-3 ; -3) lesquels appartiennent à la droite d ? à la droite d' ?
Dans chaque cas, dire si les droites d1 et d2 sont parallèles.
a) d1 : y = 3x+5 et d2 : y = 3x-2 b) d1 : y = -3x+7 et d2 : y = 3x+8
c) d1 : y = 4x+1 et d2 : y = 4x d) d1 : y = 5 et d2 : y = 5x
Même exercice :
a) d1 : y = 2x+3 et d2 : y = 3x+2 b) d1 : y = 5x+1 et d2 : y = 1+5x
c) d1 : y = 5 et d2 : y = 7 d) d1 : x = 3 et d2 : x = -1
Pour chacune des affirmations indiquer si elle est vraie ou fausse.
1) La droite d'équation y = 2 est parallèle à l'axe des ordonnées.
2) La droite d'équation y = x est parallèle à l'axe des abscisses.
3) Les droites d'équations y = x et y = -x sont parallèles.
4) Les droites d'équation y = 3 et x = 2 sont sécantes.
1) Donner l'équation de la droite d1 passant par le point A(0 ; 2) et parallèle à la droite d2 d'équation y = -2x+5.
2) Donner l'équation de la droite d3 passant par le point A(0 ; -1) et parallèle à l'axe des abscisses.
3) Donner l'équation de la droite d4 passant par le point A(3 ; 2) et parallèle à l'axe des ordonnées.
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Yvan Monka Académie de Strasbourg HYPERLINK "http://www.maths-et-tiques.fr" www.maths-et-tiques.fr
y
D
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EMBED Equation.DSMT4
y
D
a
b
1
EMBED Equation.DSMT4
O
EMBED Equation.DSMT4
x
x
EMBED Equation.DSMT4
O
EMBED Equation.DSMT4
3
2
+3
D
D
1
B
A
EMBED Equation.DSMT4
O
EMBED Equation.DSMT4
d1
d3
d2
D
D
c
c'
EMBED Equation.DSMT4
O
EMBED Equation.DSMT4
D
D
c'
b
EMBED Equation.DSMT4
O
EMBED Equation.DSMT4
D
D
b
b'
EMBED Equation.DSMT4
O
EMBED Equation.DSMT4
D
D
b
b'
EMBED Equation.DSMT4
O
EMBED Equation.DSMT4
D
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
O
EMBED Equation.DSMT4
D
a
1
EMBED Equation.DSMT4
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