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Est-il possible de rénover le plafond de cet amphithéâtre afin de permettre la tenue de conférences dans de bonnes conditions acoustiques en utilisant l'un des ...




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EXERCICE III : RÉNOVATION D’UN AMPHITHEÂTRE (5 POINTS)

1. Montrer que la valeur de l’aire équivalente A de l’amphithéâtre avant travaux est égale à 88 m2.
1ère méthode :
On cherche l’aire équivalente, connaissant le temps de réverbération. La formule de Sabine  EMBED Equation.DSMT4  permet de répondre. Il faut trouver le volume V de l’amphithéâtre.

















Le volume V de l’amphithéâtre est égal à celui Vpara du parallélépipède ABCDEFGH auquel on soustrait le volume Vpri du prisme EFGHJK.
V = Vpara – Vpri
V = AB×AC×BF –  EMBED Equation.DSMT4 
Dans GJH rectangle en J, tan( 21°) =  EMBED Equation.DSMT4  avec JH = L
GJ =L . tan(21°)
V = L × l × h –  EMBED Equation.DSMT4 
V = L × l × h –  EMBED Equation.DSMT4 
V = 15,0 × 11,0 × 8,5 –  EMBED Equation.DSMT4 
V = 9,3×102 m3 valeur non arrondie stockée en mémoire

On peut maintenant trouver A en modifiant la formule de Sabine A =  EMBED Equation.DSMT4 
A =  EMBED Equation.DSMT4  = 87 m²
Calcul effectué avec V non arrondi.


L’énoncé indique 88 m2, soit on a commis une erreur de calcul, soit cette faible différence est due à un arrondi sur l’angle réel.
2nde méthode :
A =  EMBED Equation.DSMT4 
A = ±sol-mur . Ssol-murs + ±béton . Splafond
A = ±sol-mur . (Stotale  Splafond) + ±béton . Splafond
A = 0,17 × (634  15,0× 11,0) + 0,050 × 15,0 × 11,0
A = 87,98 m², soit 88 m2 en ne conservant que deux chiffre significatifs.


2. Est-il possible de rénover le plafond de cet amphithéâtre afin de permettre la tenue de conférences dans de bonnes conditions acoustiques en utilisant l’un des matériaux proposés dans la liste ci-après ? Justifier de façon précise la réponse.

Le temps de réverbération avant rénovation vaut TR = 1,7 s.

Le graphique présentant les temps de réverbération optimaux montre que pour une salle de conférences de volume V = 9,3×102 m3 (déterminé précédemment), on doit avoir TR égal à 0,81 s.

Détermination graphique rigoureuse du temps de réverbération :



6,2 cm ( 2,5 s
2,0 cm ( TR s


 EMBED Equation.DSMT4  = 0,81 s







Il est donc nécessaire de réduire le temps de réverbération d’environ 1 s.

D’après la formule de Sabine,  EMBED Equation.DSMT4 , donc pour réduire TR il faut augmenter l’aire équivalente de l’amphithéâtre. Comme A =  EMBED Equation.DSMT4  avec S constante, le plafond en béton doit être recouvert d’un matériau avec un coefficient d’absorption ± plus élevé que celui du béton.

Reprenons le raisonnement utilisé précédemment (2ème méthode), en choisissant de recouvrir le plafond avec de la mousse.
A = ±sol-mur . (Stotale  Splafond) + ±mousse . Splafond
A = 0,17 × (634  15,0× 11,0) + 0,60 × 15,0 )67YZno¦§¨ª«

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A = 178,73 m², soit 1,8×102 m2 en ne conservant que deux chiffre significatifs.

Calculons le nouveau temps de réverbération  EMBED Equation.DSMT4  avec A et V non arrondis
 EMBED Equation.DSMT4  = 0,83 s.

Conclusion :
En recouvrant le plafond avec le matériau le plus absorbant à notre disposition, nous avons réussi à atteindre un temps de réverbération très proche de celui attendu.
On peut penser que si l’on prenait en compte l’absorption dar les fauteuils, alors le temps de réverbération serait tout à fait acceptable.
A B



C
E D



G K F




J H

6,2 cm

2,0 cm


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