Td corrigé Exercices TS - Devoir.tn pdf

Exercices TS - Devoir.tn

Espaces fonctionnels : exemples classiques, théorème de Baire, .... Algorithme pour l'analyse des primitives du chiffrement symétrique .... Un polycopié de ce cours ainsi qu'une liste d'exercices corrigés seront mis à disposition des étudiants.




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Terminale S

Arithmétique exercices

 TOC \o "1-5" \h \z  HYPERLINK \l "_Toc298841344" 1.  Exercices de base  PAGEREF _Toc298841344 \h 2
 HYPERLINK \l "_Toc298841345" 1. 1.  Division Euclidienne - 1 (c)  PAGEREF _Toc298841345 \h 2
 HYPERLINK \l "_Toc298841346" 1. 2.  Division Euclidienne-2  PAGEREF _Toc298841346 \h 2
 HYPERLINK \l "_Toc298841347" 1. 3.  Division Euclidienne-3 (c)  PAGEREF _Toc298841347 \h 2
 HYPERLINK \l "_Toc298841348" 1. 4.  Multiples - 1  PAGEREF _Toc298841348 \h 2
 HYPERLINK \l "_Toc298841349" 1. 5.  PGCD - 1 (c)  PAGEREF _Toc298841349 \h 3
 HYPERLINK \l "_Toc298841350" 1. 6.  PPCM et PGCD - 2  PAGEREF _Toc298841350 \h 3
 HYPERLINK \l "_Toc298841351" 1. 7.  PPCM et PGCD - 3  PAGEREF _Toc298841351 \h 3
 HYPERLINK \l "_Toc298841352" 1. 8.  Théorème de Gauss-1  PAGEREF _Toc298841352 \h 3
 HYPERLINK \l "_Toc298841353" 1. 9.  Bases de numération-1  PAGEREF _Toc298841353 \h 3
 HYPERLINK \l "_Toc298841354" 1. 10.  Bases de numération-2  PAGEREF _Toc298841354 \h 3
 HYPERLINK \l "_Toc298841355" 1. 11.  Bases de numération-3  PAGEREF _Toc298841355 \h 3
 HYPERLINK \l "_Toc298841356" 1. 12.  Ecriture répétée  PAGEREF _Toc298841356 \h 3
 HYPERLINK \l "_Toc298841357" 1. 13.  Congruences-1 (c)  PAGEREF _Toc298841357 \h 3
 HYPERLINK \l "_Toc298841358" 1. 14.  Congruences-2  PAGEREF _Toc298841358 \h 4
 HYPERLINK \l "_Toc298841359" 1. 15.  Congruences-3 (c)  PAGEREF _Toc298841359 \h 4
 HYPERLINK \l "_Toc298841360" 1. 16.  Divers-1  PAGEREF _Toc298841360 \h 4
 HYPERLINK \l "_Toc298841361" 1. 17.  Divers-2  PAGEREF _Toc298841361 \h 4
 HYPERLINK \l "_Toc298841362" 1. 18.  Divers-3  PAGEREF _Toc298841362 \h 4
 HYPERLINK \l "_Toc298841363" 1. 19.  Divers-4  PAGEREF _Toc298841363 \h 4
 HYPERLINK \l "_Toc298841364" 1. 20.  Divers-5 (QCM) (c)  PAGEREF _Toc298841364 \h 4
 HYPERLINK \l "_Toc298841365" 1. 21.  Nombres Premiers-1  PAGEREF _Toc298841365 \h 5
 HYPERLINK \l "_Toc298841366" 1. 22.  Nombres Premiers-2  PAGEREF _Toc298841366 \h 5
 HYPERLINK \l "_Toc298841367" 1. 23.  Nombres Premiers-3  PAGEREF _Toc298841367 \h 5
 HYPERLINK \l "_Toc298841368" 1. 24.  Démonstration de Fermat  PAGEREF _Toc298841368 \h 5
 HYPERLINK \l "_Toc298841369" 1. 25.  La classe…  PAGEREF _Toc298841369 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc298841370" 1. 26.  Un  PAGEREF _Toc298841370 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc298841371" 2.  Bézout  PAGEREF _Toc298841371 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc298841372" 2. 27.  Bezout-1  PAGEREF _Toc298841372 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc298841373" 2. 28.  Bezout-2  PAGEREF _Toc298841373 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc298841374" 2. 29.  Bezout-3  PAGEREF _Toc298841374 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc298841375" 2. 30.  Bezout-4  PAGEREF _Toc298841375 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc298841376" 2. 31.  Bezout-5  PAGEREF _Toc298841376 \h 7
 HYPERLINK \l "_Toc298841377" 3.  Anciens exos bac  PAGEREF _Toc298841377 \h 7
 HYPERLINK \l "_Toc298841378" 3. 32.  Somme et produit  PAGEREF _Toc298841378 \h 7
 HYPERLINK \l "_Toc298841379" 3. 33.  Quadratique  PAGEREF _Toc298841379 \h 7
 HYPERLINK \l "_Toc298841380" 3. 34.  Divisibilité  PAGEREF _Toc298841380 \h 7
 HYPERLINK \l "_Toc298841381" 3. 35.  Equation diophantienne  PAGEREF _Toc298841381 \h 7
 HYPERLINK \l "_Toc298841382" 3. 36.  Base de numération 1  PAGEREF _Toc298841382 \h 8
 HYPERLINK \l "_Toc298841383" 3. 37.  Base de numération 2  PAGEREF _Toc298841383 \h 8
 HYPERLINK \l "_Toc298841384" 3. 38.  Somme des cubes  PAGEREF _Toc298841384 \h 8
 HYPERLINK \l "_Toc298841385" 3. 39.  Somme des diviseurs  PAGEREF _Toc298841385 \h 8
 HYPERLINK \l "_Toc298841386" 3. 40.  Racines rationnelles (méthode de Descartes)  PAGEREF _Toc298841386 \h 9
 HYPERLINK \l "_Toc298841387" 3. 41.  QCM, Banque exercices 2004 - 29  PAGEREF _Toc298841387 \h 9
 HYPERLINK \l "_Toc298841388" 3. 42.  Cryptographie, Banque exercices 2004 - 30  PAGEREF _Toc298841388 \h 9
 HYPERLINK \l "_Toc298841389" 3. 43.  Repunits 1, Banque exercices 2004 - 31  PAGEREF _Toc298841389 \h 10
 HYPERLINK \l "_Toc298841390" 3. 44.  Repunits 2, Banque exercices 2004 - 32  PAGEREF _Toc298841390 \h 10
 HYPERLINK \l "_Toc298841391" 3. 45.  Recherche, Banque exercices 2005 - 26  PAGEREF _Toc298841391 \h 11
 HYPERLINK \l "_Toc298841392" 3. 46.  Cryptographie, Banque exercices 2005 - 38  PAGEREF _Toc298841392 \h 11
 HYPERLINK \l "_Toc298841393" 4.  Exercices Baccalauréat  PAGEREF _Toc298841393 \h 12
 HYPERLINK \l "_Toc298841394" 4. 47.  Puissances de 7, Polynésie 2010  PAGEREF _Toc298841394 \h 12
 HYPERLINK \l "_Toc298841395" 4. 48.  QCM, Liban 2010  PAGEREF _Toc298841395 \h 12
 HYPERLINK \l "_Toc298841396" 4. 49.  Bézout+spirale, Amérique du Nord 2010  PAGEREF _Toc298841396 \h 13
 HYPERLINK \l "_Toc298841397" 4. 50.  Carrés et cubes+espace, Pondicherry, 2010  PAGEREF _Toc298841397 \h 14
 HYPERLINK \l "_Toc298841398" 4. 51.  Surface+équation, Antilles Guyane 2009  PAGEREF _Toc298841398 \h 15
 HYPERLINK \l "_Toc298841399" 4. 52.  Equation diophantienne, Nelle Calédonie, 2009  PAGEREF _Toc298841399 \h 15
 HYPERLINK \l "_Toc298841400" 4. 53.  Puissance de 2, France & La Réunion, 2009  PAGEREF _Toc298841400 \h 16
 HYPERLINK \l "_Toc298841401" 4. 54.  Puissances de 3, Liban 2009  PAGEREF _Toc298841401 \h 16
 HYPERLINK \l "_Toc298841402" 4. 55.  Divisibilité + espace, La Réunion 2009  PAGEREF _Toc298841402 \h 16
 HYPERLINK \l "_Toc298841403" 4. 56.  Divisibilité par 7, France 2009  PAGEREF _Toc298841403 \h 17
 HYPERLINK \l "_Toc298841404" 4. 57.  Bézout+espace, Centres étrangers 2009  PAGEREF _Toc298841404 \h 17
 HYPERLINK \l "_Toc298841405" 4. 58.  Restes chinois, Asie 2009  PAGEREF _Toc298841405 \h 18
 HYPERLINK \l "_Toc298841406" 4. 59.  QCM, Antilles 2009  PAGEREF _Toc298841406 \h 18
 HYPERLINK \l "_Toc298841407" 4. 60.  Th. de Wilson, Am du Nord 2009  PAGEREF _Toc298841407 \h 19
 HYPERLINK \l "_Toc298841408" 4. 61.  ROC+Base 12, N. Calédonie, mars 2008 (c)  PAGEREF _Toc298841408 \h 19
 HYPERLINK \l "_Toc298841409" 4. 62.  QCM, Polynésie, juin 2008  PAGEREF _Toc298841409 \h 20
 HYPERLINK \l "_Toc298841410" 4. 63.  QCM, Liban, juin 2008  PAGEREF _Toc298841410 \h 21
 HYPERLINK \l "_Toc298841411" 4. 64.  Réseau, Asie, juin 2008  PAGEREF _Toc298841411 \h 22
 HYPERLINK \l "_Toc298841412" 4. 65.  Codage affine, Antilles, juin 2008  PAGEREF _Toc298841412 \h 23
 HYPERLINK \l "_Toc298841413" 4. 66.  Surface+Eq. dioph., Am Nord, juin 2008 (c)  PAGEREF _Toc298841413 \h 24
 HYPERLINK \l "_Toc298841414" 4. 67.  Bézout+Fermat, National, sept 2007  PAGEREF _Toc298841414 \h 25
 HYPERLINK \l "_Toc298841415" 4. 68.  Bézout, N. Calédonie, mars 2007  PAGEREF _Toc298841415 \h 26
 HYPERLINK \l "_Toc298841416" 4. 69.  Codage affine, N. Calédonie, mars 2007  PAGEREF _Toc298841416 \h 26
 HYPERLINK \l "_Toc298841417" 4. 70.  Surface+éq. dioph., Polynésie juin 2007  PAGEREF _Toc298841417 \h 27
 HYPERLINK \l "_Toc298841418" 4. 71.  QCM, Liban juin 2007  PAGEREF _Toc298841418 \h 27
 HYPERLINK \l "_Toc298841419" 4. 72.  Bézout, National septembre 2006  PAGEREF _Toc298841419 \h 28
 HYPERLINK \l "_Toc298841420" 4. 73.  ROC+Congruences, Am. du Sud nov. 2006 (c)  PAGEREF _Toc298841420 \h 28
 HYPERLINK \l "_Toc298841421" 4. 74.  QCM, Polynésie, juin 2006 (c)  PAGEREF _Toc298841421 \h 29
 HYPERLINK \l "_Toc298841422" 4. 75.  Restes chinois, National, juin 2006 (c)  PAGEREF _Toc298841422 \h 30
 HYPERLINK \l "_Toc298841423" 4. 76.  Fermat, Centres étrangers, juin 2006  PAGEREF _Toc298841423 \h 31
 HYPERLINK \l "_Toc298841424" 4. 77.  Eq. diophantienne, Asie, juin 2006  PAGEREF _Toc298841424 \h 32
 HYPERLINK \l "_Toc298841425" 4. 78.  Similitude & suite, Am. du Sud, sept. 2005  PAGEREF _Toc298841425 \h 32
 HYPERLINK \l "_Toc298841426" 4. 79.  QCM, National, sept. 2005  PAGEREF _Toc298841426 \h 33
 HYPERLINK \l "_Toc298841427" 4. 80.  Restes de puissances, Antilles, juin 2005  PAGEREF _Toc298841427 \h 34
 HYPERLINK \l "_Toc298841428" 4. 81.  Eq. dioph., Centres étrangers, juin 2005 (c)  PAGEREF _Toc298841428 \h 34
 HYPERLINK \l "_Toc298841429" 4. 82.  Bézout+Fermat, Liban, juin 2005  PAGEREF _Toc298841429 \h 36
 HYPERLINK \l "_Toc298841430" 4. 83.  Suite de restes, Polynésie, juin 2005 (c)  PAGEREF _Toc298841430 \h 36
 HYPERLINK \l "_Toc298841431" 4. 84.  PGCD dans suite, La Réunion, juin 2005  PAGEREF _Toc298841431 \h 37
 HYPERLINK \l "_Toc298841432" 4. 85.  Fibonacci, Nelle-Calédonie, nov 2004 (c)  PAGEREF _Toc298841432 \h 38
 HYPERLINK \l "_Toc298841433" 4. 86.  QCM, Antilles, sept 2004 (c)  PAGEREF _Toc298841433 \h 39
 HYPERLINK \l "_Toc298841434" 4. 87.  Congruences, Asie, juin 2004  PAGEREF _Toc298841434 \h 39
 HYPERLINK \l "_Toc298841435" 4. 88.  Repunit, Centres étrangers, juin 2004  PAGEREF _Toc298841435 \h 39
 HYPERLINK \l "_Toc298841436" 4. 89.  Fermat et Bézout, National, juin 2004 (c)  PAGEREF _Toc298841436 \h 40
 HYPERLINK \l "_Toc298841437" 4. 90.  Fermat, La Réunion, juin 2004  PAGEREF _Toc298841437 \h 41
 HYPERLINK \l "_Toc298841438" 4. 91.  Restes chinois + plan, N. Calédonie, sept 2003  PAGEREF _Toc298841438 \h 41
 HYPERLINK \l "_Toc298841439" 4. 92.  Eq. dioph., Antilles, sept 2003  PAGEREF _Toc298841439 \h 41
 HYPERLINK \l "_Toc298841440" 4. 93.  Bézout, France, sept 2003  PAGEREF _Toc298841440 \h 42
 HYPERLINK \l "_Toc298841441" 4. 94.  Congruences, Polynésie, sept 2003  PAGEREF _Toc298841441 \h 42
 HYPERLINK \l "_Toc298841442" 4. 95.  Suite, Antilles, juin 2003 (c)  PAGEREF _Toc298841442 \h 42
 HYPERLINK \l "_Toc298841443" 4. 96.  PGCD, Asie, juin 2003  PAGEREF _Toc298841443 \h 43
 HYPERLINK \l "_Toc298841444" 4. 97.  Congruences, Liban, mai 2003  PAGEREF _Toc298841444 \h 43
 HYPERLINK \l "_Toc298841445" 4. 98.  Repunit, Am. du Sud, décembre 2002  PAGEREF _Toc298841445 \h 44
 HYPERLINK \l "_Toc298841446" 4. 99.  Eq. dioph., N. Calédonie, nov. 2002  PAGEREF _Toc298841446 \h 44
 HYPERLINK \l "_Toc298841447" 4. 100.  Bézout+rotation, France, sept. 2002  PAGEREF _Toc298841447 \h 44
 HYPERLINK \l "_Toc298841448" 4. 101.  Bézout & suites, Asie, juin 2002  PAGEREF _Toc298841448 \h 45
 HYPERLINK \l "_Toc298841449" 4. 102.  Triplets pythag., C. étrangers, juin 2002  PAGEREF _Toc298841449 \h 45
 HYPERLINK \l "_Toc298841450" 4. 103.  Bézout, France, juin 2002  PAGEREF _Toc298841450 \h 46
 HYPERLINK \l "_Toc298841451" 4. 104.  PGCD, Polynésie, juin 2002  PAGEREF _Toc298841451 \h 46
 HYPERLINK \l "_Toc298841452" 4. 105.  Calendrier, Am. du Nord, mai 2002  PAGEREF _Toc298841452 \h 47
 HYPERLINK \l "_Toc298841453" 4. 106.  Divisibilité, N. Calédonie, déc. 2001  PAGEREF _Toc298841453 \h 47
 HYPERLINK \l "_Toc298841454" 4. 107.  PGCD & PPCM, Antilles, sept 2001  PAGEREF _Toc298841454 \h 48
 HYPERLINK \l "_Toc298841455" 4. 108.  PGCD, Am. du Sud, sept 2001  PAGEREF _Toc298841455 \h 48
 HYPERLINK \l "_Toc298841456" 4. 109.  Similitude & Bézout, France, juin 2001  PAGEREF _Toc298841456 \h 48
 HYPERLINK \l "_Toc298841457" 4. 110.  Calendrier, C. étrangers, juin 2001  PAGEREF _Toc298841457 \h 48
 HYPERLINK \l "_Toc298841458" 4. 111.  Bézout, Antilles, juin 2001  PAGEREF _Toc298841458 \h 49
 HYPERLINK \l "_Toc298841459" 4. 112.  Bézout, Am. du Nord, juin 2001  PAGEREF _Toc298841459 \h 49
 HYPERLINK \l "_Toc298841460" 4. 113.  Repunit, Pondicherry, juin 2001 (c)  PAGEREF _Toc298841460 \h 50
 HYPERLINK \l "_Toc298841461" 4. 114.  PGCD & PPCM, N. Calédonie, juin 2001  PAGEREF _Toc298841461 \h 51
 HYPERLINK \l "_Toc298841462" 4. 115.  Bézout, Polynésie, juin 2001 (c)  PAGEREF _Toc298841462 \h 51
 HYPERLINK \l "_Toc298841463" 4. 116.  Bézout & rotation, Antilles, juin 2000  PAGEREF _Toc298841463 \h 51
 HYPERLINK \l "_Toc298841464" 4. 117.  PGCD, La Réunion, juin 2000  PAGEREF _Toc298841464 \h 52
 HYPERLINK \l "_Toc298841465" 4. 118.  Bézout, Polynésie, juin 2000  PAGEREF _Toc298841465 \h 52
 HYPERLINK \l "_Toc298841466" 4. 119.  Bézout et plans, Asie juin 2000  PAGEREF _Toc298841466 \h 53
 HYPERLINK \l "_Toc298841467" 4. 120.  Homothétie & multiples, Liban, mai 2000 (c)  PAGEREF _Toc298841467 \h 53
 HYPERLINK \l "_Toc298841468" 4. 121.  Congruences, Pondicherry, mai 2000 (c)  PAGEREF _Toc298841468 \h 54
 HYPERLINK \l "_Toc298841469" 4. 122.  PGCD & parité, N. Calédonie, déc. 1999  PAGEREF _Toc298841469 \h 55
 HYPERLINK \l "_Toc298841470" 4. 123.  Bases, Am. du Sud, nov. 1999  PAGEREF _Toc298841470 \h 56
 HYPERLINK \l "_Toc298841471" 4. 124.  Bézout, Liban, juin 1999 (c)  PAGEREF _Toc298841471 \h 56
 HYPERLINK \l "_Toc298841472" 4. 125.  Bézout & plan, C. étrangers, juin 1999  PAGEREF _Toc298841472 \h 57
 HYPERLINK \l "_Toc298841473" 4. 126.  Bézout, Asie, juin 1999  PAGEREF _Toc298841473 \h 58
 HYPERLINK \l "_Toc298841474" 4. 127.  Bézout, Antilles - Guyane, juin 1999  PAGEREF _Toc298841474 \h 58
 HYPERLINK \l "_Toc298841475" 4. 128.  Th. de Wilson, Am. du Nord, juin 1999  PAGEREF _Toc298841475 \h 58
 HYPERLINK \l "_Toc298841476" 4. 129.  Premiers, France, juin 1999  PAGEREF _Toc298841476 \h 59
 HYPERLINK \l "_Toc298841477" 4. 130.  Congruences, Polynésie, juin 1999  PAGEREF _Toc298841477 \h 59
 HYPERLINK \l "_Toc298841478" 4. 131.  Eq. dioph., Pondicherry, mai 1999 (c)  PAGEREF _Toc298841478 \h 59
 HYPERLINK \l "_Toc298841479" 4. 132.  Diviseurs+pgcd, Bac C, Lyon, 1981  PAGEREF _Toc298841479 \h 61
 HYPERLINK \l "_Toc298841480" 4. 133.  Bézout + ppcm, Bac C, Japon 1980  PAGEREF _Toc298841480 \h 61
 HYPERLINK \l "_Toc298841481" 4. 134.  Base et diviseurs, Bac C, Inde, 1979  PAGEREF _Toc298841481 \h 61
 HYPERLINK \l "_Toc298841482" 4. 135.  Bases+congruences, Bac C, Aix, 1976  PAGEREF _Toc298841482 \h 61
 HYPERLINK \l "_Toc298841483" 4. 136.  Nombres de Farey et approximation d’un rationnel par un rationnel  PAGEREF _Toc298841483 \h 61

Exercices de base
Division Euclidienne - 1 (c)
Dans une division euclidienne entre entiers naturels quels peuvent être le diviseur et le quotient lorsque le dividende est 320 et le reste 39 ?
Correction
On a  EMBED Equation.DSMT4 . Cherchons les diviseurs de 281 : 1 et 281. Ce sont les seules valeurs possibles de q et b.
Division Euclidienne-2
Quel est le nombre de diviseurs de 2880 ?
Division Euclidienne-3 (c)
1. Écrire l'ensemble des entiers relatifs diviseurs de 6.
2. Déterminer les entiers relatifs n tels que n " 4 divise 6.
3. Déterminer les entiers relatifs n tels que n " 4 divise n + 2.
4. Déterminer les entiers relatifs n tels que n + 1 divise 3n " 4.
Correction
1. L'ensemble des diviseurs de 6 est D = {"6 ; "3 ; "2 ; "1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 6}.
2. n " 4 divise 6 si n " 4 appartient à D, soit si n appartient à D + 4 = {"2 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 10}.
3. On peut remarquer que n + 2 = n " 4 + 6. Puisqu'il est évident que n " 4 divise n " 4, le résultat du 2. permet alors d'affirmer que si n " 4 divise n + 2, alors n " 4 divise n + 2 " (n " 4) c'est-à-dire n " 4 divise 6.
Réciproquement si n " 4 divise 6 alors n " 4 divise 6 + n " 4 c'est-à-dire n " 4 divise n + 2. On a donc démontré que n " 4 divise n + 2 si et seulement si n " 4 divise 6.
4. On peut raisonner en utilisant le même principe qu'à la question précédente. On remarque que
3n " 4 = 3(n + 1) " 7,
et puisqu'il est immédiat que n + 1 divise 3(n + 1), on peut écrire :
- si n + 1 divise 3n " 4, alors n + 1 divise 3n " 4 " 3(n + 1) c'est-à-dire n + 1 divise "7 ;
réciproquement : si n + 1 divise "7 alors n + 1 divise "7 + 3(n + 1) c'est-à-dire n + 1 divise 3n " 4.
L'ensemble des diviseurs de "7 (ou de 7) étant {"7 ; "1 ; 1 ; 7}, on en déduit que n + 1 divise 3n " 4 si et seulement si n + 1 appartient à {"7 ; "1 ; 1 ; 7} soit n appartient à {"8 ; "2 ; 0 ; 6}.
Multiples - 1
a et b sont deux entiers relatifs. Démontrez que si a2 + b2 est divisible par 7 alors a et b sont divisibles par 7.
PGCD - 1 (c)
Trouvez le PGCD des nombres 1640 et 492 en utilisant la décomposition en facteurs premiers, puis en utilisant l’algorithme d’Euclide.
Correction
Avec l’aide de Maple on a immédiatement :
> ifactor(1640); ifactor(492);


et le PGCD :  EMBED Equation.DSMT4 . Avec Euclide :  EMBED Equation.DSMT4  donc…
PPCM et PGCD - 2
Trouvez les deux nombres a et b sachant que leur PGCD est 24 et leur PPCM est 1344.
PPCM et PGCD - 3
Trouvez deux entiers dont la différence entre leur PPCM et leur PGCD est 187.
Théorème de Gauss-1
1. a est un entier naturel. Montrez que a5  a est divisible par 10.
2. a et b sont des entiers naturels avec  EMBED Equation.DSMT4 . Démontrez que si a5 " b5 est divisible par 10 alors a2  b2 est divisible par 20.
Bases de numération-1
Trouvez toutes les valeurs des chiffres x et y telles que le nombre  EMBED Equation.DSMT4  dans le système décimal soit divisible par 3 et 11.
Bases de numération-2
A est le nombre qui s’écrit 16524 dans le système à base 7. Ecrivez ce nombre en bases 10, puis 2 et enfin 16 (tous les calculs doivent apparaître).
Bases de numération-3
Le nombre N s’écrit 23 dans le système décimal. Peut-il s’écrire 27 dans une autre base ?
Ecriture répétée
Soit n un entier naturel qui s’écrit dans le système décimal  EMBED Equation.DSMT4  avec a EMBED Equation.DSMT4 0.
1. a. Déterminer n tel que les deux conditions suivantes soient vérifiées :
* n est divisible par 5,
* L’entier EMBED Equation.DSMT4  est le double de a.
b. Décomposer le nombre ainsi obtenu en produit de facteurs premiers.
2. Etude du cas général
a. Montrer que n est divisible par  EMBED Equation.DSMT4 . En déduire qu’il est divisible par 7, 11 et 13.
b. Montrer que n ne peut pas être un carré parfait (c’est à dire le carré d’un entier naturel).
3. Montrer que 121 et 140 sont premiers entre eux.
4. On pose n1 = 121121 et n2 = 140140. On appelle (E) l équation  EMBED Equation.DSMT4  d inconnues les entiers relatifs x et y.
a. Déterminer une solution particulière de (E)
b. Résoudre (E) dans Zð2.
Congruences-1 (c)
Quel est le reste de la division par 7 du nombre (32)45
Correction
Le reste de 32 dans la division par 7 est 4 ; 42 donne 2, 43 donne 8, soit 1 ; comme 45 = 15.3, on a :
 EMBED Equation.DSMT4 .
Le reste est donc 1.
Congruences-2
Démontrez que le nombre  EMBED Equation.DSMT4  est divisible par 3 pour tous les entiers relatifs a et b.
Congruences-3 (c)
1. Déterminer les restes de la division de 5p par 13 pour p entier naturel.
2. En déduire que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, le nombre N = 314n+1 + 184n"1 est divisible par 13.
Correction
1. p = 0 : 1, p = 1 : 5, p = 2 : "1 ou 12, p = 3 : "5 ou 8, p = 4 : 1 donc
pour  EMBED Equation.DSMT4  le reste est 1,
pour  EMBED Equation.DSMT4  le reste est 5,
pour  EMBED Equation.DSMT4  le reste est 12 ou "1,
pour  EMBED Equation.DSMT4  le reste est 8 ou "5.
2.  EMBED Equation.DSMT4  :  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  ; on a donc
 EMBED Equation.DSMT4 .
Divers-1
Un nombre qui s écrit avec 4 chiffres identiques peut-il être un carré parfait (carré d un nombre entier) ?
Divers-2
Démontrez qu un entier congru à 7 modulo 8 ne peut être égal à la somme de trois carrés.
Divers-3
a et b sont deux entiers positifs premiers entre eux. Montrez que a + b et a " b sont premiers entre eux.
Divers-4
On considère la fraction  EMBED Equation.DSMT4  avec n entier positif.
a. prouvez que tout diviseur commun d à 2n + 1 et n3 + n est premier avec n.
b. Déduisez en que d divise n2 + 1, puis que d = 1 ou d = 5.
c. Quelles sont les valeurs de n pour lesquelles la fraction est irréductible ?
Divers-5 (QCM) (c)
Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
Proposition 1 : « l ensemble des couples d entiers relatifs (x ; y) solutions de l équation 12x " 5y = 3 est l ensemble des couples (4 + 10k ; 9 + 24k) où k "  EMBED Equation.DSMT4  ».
Proposition 2 : Pour tout entier naturel n non nul : « 56n+1 + 23n+1 est divisible par 5 ».
Proposition 3 : Pour tout entier naturel n non nul : « Si un entier naturel n est congru à 1 modulo 7 alors le PGCD de 3n + 4 et de 4n + 3 est égal à 7 ».
Proposition 4 : « x2 + x + 3  EMBED Equation.DSMT4  si et seulement si x  EMBED Equation.DSMT4  ».
Proposition 5 : Deux entiers naturels M et N sont tels que M a pour écriture abc en base dix (M vaut 100a+10b+c où a, b, c sont des chiffres entre 0 et 9) et N a pour écriture bca en base dix.
« Si l’entier M est divisible par 27 alors l entier M " N est aussi divisible par 27 ».
Correction
Proposition 1 : Faux. 12 et 5 sont premiers entre eux, l équation  EMBED Equation.DSMT4  a des solutions ; particulièrement le couple (3, 7) donc le couple (9, 21) est solution de  EMBED Equation.DSMT4 . On opère de manière standard :
 EMBED Equation.DSMT4  ;
les couples (4 + 10k ; 9 + 24k) ne son qu’une partie des couples solutions (la solution 9, 21 n’en fait même pas partie…).
Proposition 2 : Faux. 56n+1 + est évidemment divisible par 5 ; 23n+1 n’est formé que de puissances de 2, aucun de ces nombres ne sont divisibles par 5.
Proposition 3 : Vrai. Prenons  EMBED Equation.DSMT4  et remplaçons :  EMBED Equation.DSMT4  puis  EMBED Equation.DSMT4  ; si le PGCD vaut 7, alors  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  doivent être premiers entre eux : on doit trouver u et v tels que
 EMBED Equation.DSMT4 . Ok.
Proposition 4 : Faux. On teste tous les restes modulo 5 :
x01234x2 + x + 330403donc faux puisqu’on a aussi 3 comme solution possible.
Proposition 5 : Vrai
 EMBED Equation.DSMT4 . Si  EMBED Equation.DSMT4  est un multiple de 27, comme  EMBED Equation.DSMT4 , on a  EMBED Equation.DSMT4 . Pour que  EMBED Equation.DSMT4  soit divisible par 27 il faut que  EMBED Equation.DSMT4  soit divisible par 3, ce qui est le cas.
Nombres Premiers-1
Le nombre 401 est-il premier ? Résolvez en entiers naturels l’équation  EMBED Equation.DSMT4 .
Nombres Premiers-2
p et q sont des entiers naturels.
1. Démontrez que  EMBED Equation.DSMT4  est divisible par  EMBED Equation.DSMT4  et par  EMBED Equation.DSMT4 .
2. Déduisez en que pour que  EMBED Equation.DSMT4  soit premier, il faut que n soit premier.
3. Prouvez à l’aide d’un contre-exemple que la condition « n est premier » n’est pas suffisante pour que  EMBED Equation.DSMT4  soit premier.
Nombres Premiers-3
Soit p un entier premier. Montrer que si  EMBED Equation.DSMT4  alors 24 divise  EMBED Equation.DSMT4 .
Démonstration de Fermat
Soit p, un entier naturel premier.
1. a. Démontrer que si k est un entier naturel tel que  EMBED Equation.DSMT4 , le nombre  EMBED Equation.DSMT4  est divisible par p.
1. b. En déduire que, quel que soit l'entier n, le nombre (n + 1)p – np –1 est divisible par p.
2. Démontrer que, quel que soit l'entier naturel n, np – n est divisible par p (on pourra faire un raisonnement par récurrence).
3. Montrer que pour tout entier n premier avec p, np"1  1 est divisible par p.
La classe&
Dans une Terminale S, la taille moyenne des élèves est de 167 cm, la taille moyenne des filles est de 160 cm et la taille moyenne des garçons est de 173,5 cm. Quel est l effectif de la classe (inférieur à 40& ) ?
Correction
Appelons f le nombre de filles et g le nombre de garçons :
 EMBED Equation.DSMT4  donc il y a 13 filles et 14 garçons (ou 26 filles et 28 gars, mais le total dépasse 40).
Un
Les nombres entiers de 1 à 9999 sont écrits en français : un, deux, trois, quatre, …dix, onze, …, vingt, …, mille deux cent trente quatre, … puis rangés par ordre alphabétique.
1. Quels sont les deux premiers et les deux derniers de la liste ?
2. Quelle est la position de « un » dans la liste ?
Bézout
Bezout-1
1. En utilisant l algorithme d Euclide, déterminer le PGCD des nombres 28 et 31. Trouver alors deux nombres x et y entiers relatifs tels que 31x " 28y = 1.
2. Résoudre dans l ensemble des entiers relatifs l équation 31x " 28y = 414.
3. Le plan est rapporté au repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4 .
On donne les points A("30 ;   48) et B(82 ; 76). On appelle (D) la droite (AB).
a. Trouver l ensemble des points M(x ; y) de (D) dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs.
b. Le repère utilisé pour le graphique est gradué de –10 à +10 en abscisses et de –14 à +14 en ordonnées. Vérifiez et expliquez pourquoi il n’y a pas de point de (D) à coordonnées entières visible sur le graphique.
c. Pour remédier à l’inconvénient du 3.b. on décide d’agrandir la fenêtre à ["40 ; +40] en abscisses et à ["50 ; +10] en ordonnées. Combien y-a-t-il de points de (D) à coordonnées entières sur ce nouveau graphique ? Faire la figure.
Bezout-2
1. Résoudre dans  EMBED Equation.DSMT4 x EMBED Equation.DSMT4  l équation 13x " 23y = 1.
2. Résoudre dans  EMBED Equation.DSMT4 x EMBED Equation.DSMT4  l équation  156x + 276y = 24.
Bezout-3
1. Démontrer que, pour que la relation suivante  EMBED Equation.DSMT4  soit satisfaite, pour x et y entiers naturels, il faut prendre x et y de la forme :  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  avec k entier naturel.
2. Démontrer que le PGCD de x et y ne peut être qu’un diviseur de 108.
3. On pose m = PPCM(x ; y) et on envisage la décomposition de m en facteurs premiers. Comment faut il choisir k pour que :
a. m ne contienne pas le facteur 2 ?
b. m contienne le facteur 2 ou le facteur 22 ?
c. m ne contienne pas le facteur 3 ?
d. m contienne le facteur 3, ou le facteur 32 , ou le facteur 33 ?
4. Comment faut-il choisir x et y de telle façon que l’on ait PGCD(x ; y) = 18 ?
Bezout-4
1. Décomposer 319 en facteurs premiers.
2. Démontrer que si x et y sont deux entiers naturels premiers entre eux, il en est de même pour les nombres 3x + 5y et x + 2y.
3. Résoudre dans  EMBED Equation.DSMT4  le système d’inconnues a et b :
 EMBED Equation.DSMT4  où m est le PPCM de a et b.
Bezout-5
Au 8° siècle, un groupe composé d’hommes et de femmes a dépensé 100 pièces de monnaie dans une auberge. Les hommes ont dépensé 8 pièces chacun et les femmes 5 pièces chacune. Combien pouvait-il y avoir d’hommes et de femmes dans le groupe ?
Anciens exos bac
Somme et produit
On considère deux entiers naturels, non nuls, x et y premiers entre eux.
On pose S = x + y et P = xy.
1. a. Démontrer que x et S sont premiers entre eux, de même que y et S.
b. En déduire que S et P sont premiers entre eux.
c. Démontrer que les nombres S et P sont de parités différentes (l’un pair, l’autre impair).
2. Déterminer les diviseurs positifs de 84 et les ranger par ordre croissant.
3. Trouver les nombres premiers entre eux x et y tels que : SP = 84.
4. Déterminer les deux entiers naturels a et b vérifiant les conditions suivantes :
 EMBED Equation.DSMT4  avec d = PGCD(a ; b)
(On pourra poser a = dx et b = dy avec x et y premiers entre eux.)
Quadratique
1. Soit x un entier impair. Quel est le reste de la division de x2 par 8 ?
2. Résoudre dans  EMBED Equation.DSMT4  x  EMBED Equation.DSMT4  l’équation  EMBED Equation.DSMT4 .
3. On veut tracer sur l’écran d’une calculatrice comportant 320 points de large sur 200 points de haut les points à coordonnées entières de la courbe d’équation  EMBED Equation.DSMT4 .
Le repère choisi a son origine en bas à gauche de l’écran, et chaque point de l’écran a pour coordonnées sa position à l’écran – 1 (par exemple, le point en haut à droite aura pour coordonnées (319 ; 199)). Combien de points pourra-t-on tracer ?
Divisibilité
Le nombre n est un entier naturel non nul. On pose a = 4n + 3 et b = 5n + 2. On note d le PGCD de a et b.
1. Donner la valeur de d dans les cas suivants : n=1, n=11, n=15.
2. Calculer 5a – 4b et en déduire les valeurs possibles de d.
3. a. Déterminer les entiers naturels n et k tels que 4n + 3 = 7k.
b. Déterminer les entiers naturels n et k’ tels que 5n + 2 = 7k’.
4. Soit r le reste de la division euclidienne de n par 7. Déduire des questions précédentes la valeur de r pour laquelle d vaut 7. Pour quelles valeurs de r, d est-il égal à 1 ?
Equation diophantienne
1. On admet que 1999 est un nombre premier. Déterminer l’ensemble des couples (a, b) d’entiers naturels tels que a + b = 11994 et dont le PGCD vaut 1999.
2. On considère l’équation (E) : n2 –Sn+11994 = 0 où S est un entier naturel. On s’intéresse à des valeurs de S telles que (E) admette deux solutions dans  EMBED Equation.DSMT4 
a. Peut on trouver S tel que 3 soit solution de (E) ? Si oui, préciser la deuxième solution.
b. Même question avec 5 ?
c. Montrer que tout entier n solution de (E) est un diviseur de 11994. En déduire toutes les valeurs possibles de S.
Base de numération 1
1. Résoudre dans  EMBED Equation.DSMT4  l’équation 5242 + 13x = 6y.
2. Soit N le nombre dont l’écriture dans le système de numération de base 13 est  EMBED Equation.DSMT4 . Pour quelles valeurs de x :
* N est-il divisible par 6 ?
* N est-il divisible par 4 ?
* N est-il divisible par 24 ? (24 est écrit en décimal…).
Base de numération 2
1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 32n – 1 est divisible par 8.
En déduire que 32n+2 + 7 est un multiple de 8 et que 32n+4 – 1 est un multiple de 8.
2. Déterminer les restes de la division par 8 des puissances de 3.
3. Le nombre p étant un entier naturel, on considère le nombre Ap défini par : Ap = 3p + 32p + 33p + 34p.
a. Si p = 2n, quel est le reste de la division de Ap par 8 ?
b. Démontrer que, si p = 2n + 1, Ap est divisible par 8.
4. On considère les nombres a et b écrits dans le système "base 3" :
a =  EMBED Equation.DSMT4 trois .
b =  EMBED Equation.DSMT4  trois .
Les nombres a et b sont-ils divisibles par 8 ?
5. De même, on considère le nombre c =  EMBED Equation.DSMT4 trois . Démontrer que c est divisible par 16.
Remarque : pour les questions 4 et 5, on raisonnera sans utiliser la valeur numérique en base dix des nombres a, b, c.
Somme des cubes
1. Calculer, en fonction de n, la somme des n premiers entiers naturels non nuls.
2. Démontrer par récurrence que  EMBED Equation.DSMT4 . Exprimer  EMBED Equation.DSMT4  en fonction de n.
3. Soit Dn le PGCD des nombres sn et sn+1 . Calculer Dn lorsque
a. n= 2k,
b. n = 2k+1.
En déduire que sn, sn+1 et sn+2 sont premiers entre eux.
Somme des diviseurs
1. On considère le nombre  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Combien n a-t-il de diviseurs ? En utilisant un arbre, calculez les tous et faites leur somme s.
b. Vérifiez que  EMBED Equation.DSMT4 .
2. On considère maintenant le nombre  EMBED Equation.DSMT4  où a et b sont deux nombre premiers,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  des entiers.
a. Quel est le nombre de diviseurs de N ?
b. Soit S la somme des diviseurs de N. Montrez que  EMBED Equation.DSMT4 .
Déduisez en une expression « simple » de S.
c. Montrez alors que pour ( et ( suffisamment grands on a  EMBED Equation.DSMT4 .
3. Application numérique :  EMBED Equation.DSMT4  ; trouver une valeur approchée de S.

Rappel : la somme des n premiers termes d’une suite géométrique de premier terme  EMBED Equation.DSMT4  et de raison q est  EMBED Equation.DSMT4 .
Correction : voir Antisèches TS.
Racines rationnelles (méthode de Descartes)
1. Montrer que si p et q sont deux entiers relatifs premiers entre eux, il en est de même de p et q3.
2. On se propose de trouver les solutions rationnelles de l’équation :
(1) :  EMBED Equation.DSMT4 .
On rappelle qu’un nombre rationnel est le quotient de deux entiers relatifs.
a. Soit  EMBED Equation.DSMT4  un nombre rationnel écrit sous forme irréductible. Montrer que s’il est solution de (1) alors a divise 4 et b divise 3.
b. Montrer qu une solution de (1) ne peut pas être négative.
c. Déduire de ce qui précède que la seule solution rationnelle de (1) est  EMBED Equation.DSMT4 .
3. Résoudre dans Qð l équation  EMBED Equation.DSMT4 .
QCM, Banque exercices 2004 - 29
L exercice propose cinq affirmations numérotées de 1 à 5.
Pour chacune de ces affirmations, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, en justifiant le choix effectué.
1. Si un nombre est divisible par 4, alors il est divisible par 8.
2. Si un nombre est divisible par 2 et par 3, alors il est divisible par 6.
3. Si un nombre est divisible par 4 et par 6, alors il est divisible par 24.
4. Si deux entiers a et b sont premiers entre eux, alors les entiers a + b et a " b sont premiers entre eux.
5. Si deux entiers a et b sont premiers entre eux, alors les entiers 2a + b et 3a + 2b sont
premiers entre eux.
Cryptographie, Banque exercices 2004 - 30
1. a. Déterminer deux entiers relatifs u et v tels que 7u " 13v = 1.
b. En déduire deux entiers relatifs u0 et v0 tels que 14u0 " 26v0 = 4.
c. Déterminer tous les couples (a, k) d entiers relatifs tels que 14a " 26k = 4.
2. On considère deux entiers naturels a et b. Pour tout entier n, on note ((n) le reste de la division euclidienne de an + b par 26.
On décide de coder un message, en procédant comme suit : à chaque lettre de l’alphabet on associe un entier compris entre 0 et 25, selon le tableau :

LettreABCDEFGHIJKLMNombre0123456789101112LettreNOPQRSTUVWXYZNombre13141516171819202122232425
Pour chaque lettre ( du message, on détermine l’entier n associé puis on calcule ((n). La lettre ( est alors codée par la lettre associée à ((n).
On ne connaît pas les entiers a et b, mais on sait que la lettre F est codée par la lettre K et la lettre T est codée par la lettre O.
a. Montrer que les entiers a et b sont tels que :  EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire qu il existe un entier k tel que 14a " 26k = 4.
c. Déterminer tous les couples d entiers (a, b), avec 0 d" a d" 25 et 0 d" b d" 25, tels que
 EMBED Equation.DSMT4 .
3. On suppose que a = 17 et b = 3.
a. Coder le message « GAUSS ».
b. Soit n et p deux entiers naturels quelconques. Montrer que, si ((n) = ((p), alors 17(n " p) = 0 modulo 26.
En déduire que deux lettres distinctes de l alphabet sont codées par deux lettres distinctes.
4. On suppose que a = 17 et b = 3.
a. Soit n un entier naturel. Calculer le reste de la division euclidienne de 23((n) + 9 " n par 26.
b. En déduire un procédé de décodage.
c. En déduire le décodage du message « KTGZDO ».
Repunits 1, Banque exercices 2004 - 31
Des nombres étranges (part one)!
Les nombres 1 ; 11 ; 111 ; 1111 ; etc. sont des nombres que l’on appelle rep-units (répétition de l’unité). Ils ne s’écrivent qu’avec des chiffres 1. Ces nombres possèdent de nombreuses propriétés qui passionnent des mathématiciens.
Cet exercice propose d’en découvrir quelques-unes.
Pour k entier strictement positif, on note Nk le rep-unit qui s’écrit à l’aide de k chiffres 1.
Ainsi N1 = 1, N2 = 11, N3 = 111, …
1. Citer deux nombres premiers inférieurs à 10 n’apparaissant jamais dans la décomposition d’un rep-unit. Justifier brièvement la réponse.
2. A quelle condition sur k le nombre 3 apparaît-il dans la décomposition du rep-unit Nk ? Justifier brièvement la réponse.
3. Pour k > 1, le rep-unit Nk est défini par  EMBED Equation.DSMT4 .
Justifier l’égalité :  EMBED Equation.DSMT4  pour tout entier k > 1.
4. Le tableau ci-dessous donne les restes de la division par 7 de 10k, pour k entier compris entre 1 et 8.
k12345678Reste de la division de 10k par 732645132Soit k un entier strictement positif. Démontrer que : «  EMBED Equation.DSMT4 » équivaut à « k est multiple de 6 ».
En déduire que 7 divise Nk si et seulement si k est multiple de 6.
Repunits 2, Banque exercices 2004 - 32
Des nombres étranges (part two)!
Les nombres 1 ; 11 ; 111 ; 1111 ; etc. sont des nombres que l’on appelle rep-units (répétition de l’unité). Ils ne s’écrivent qu’avec des chiffres 1. Ces nombres possèdent de nombreuses propriétés qui passionnent des mathématiciens. Cet exercice propose d’en découvrir quelques unes.
Pour k entier strictement positif, on note Nk le rep-unit qui s’écrit à l’aide de k chiffres 1. Ainsi N1 = 1, N2 = 11, N3 = 111, …
1. Citer deux nombres premiers inférieurs à 10 n’apparaissant jamais dans la décomposition d’un rep-unit. Justifier brièvement la réponse.
2. Donner la décomposition en facteurs premiers de N3, N4 et N5.
3. Soit n un entier strictement supérieur à 1. On suppose que l’écriture décimale de n2 se termine par le chiffre 1.
a. Montrer que, dans son écriture décimale, n se termine lui-même par 1 ou par 9.
b. Montrer qu’il existe un entier m tel que n s’écrive sous la forme 10m + 1 ou 10m " 1.
c. En déduire que  EMBED Equation.DSMT4 .
4. a. Soit k > 2. Quel est le reste de la division de Nk par 20 ?
b. En déduire qu un rep-unit distinct de 1 n est pas un carré.
Recherche, Banque exercices 2005 - 26
Pour tout entier  EMBED Equation.DSMT4  on pose  EMBED Equation.DSMT4 
On donne la décomposition en facteurs premiers des dix premiers termes de la suite  EMBED Equation.DSMT4 .
 EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4 
1. Montrer que  EMBED Equation.DSMT4  n’est jamais divisible par 2, par 5 ni par 7.
2. Peut-on affirmer que  EMBED Equation.DSMT4  est divisible par 11 à partir d’un certain rang ?
3. Peut-on affirmer que, à partir d’un certain rang,  EMBED Equation.DSMT4  est divisible par 32 mais pas par 33 ?
Cryptographie, Banque exercices 2005 - 38
On considère les dix caractères A, B, C, D, E, F, G, H, I et J auxquels on associe dans l’ordre les nombres entiers de 1 à 10. On note  EMBED Equation.DSMT4  = {1, 2, . . . , 10}. On appelle message tout mot, ayant un sens ou non, formé avec ces dix caractères.
1. On désigne par f la fonction définie sur  EMBED Equation.DSMT4  par « f(n) est le reste de la division euclidienne de  EMBED Equation.DSMT4  par 11 ».
On désire coder à l’aide de f le message « BACF ». Compléter la grille de chiffrement ci-dessous :
LettreBACFn2136f(n)3LettreC
Peut-on déchiffrer le message codé avec certitude ?
2. On désigne par g la fonction définie sur  EMBED Equation.DSMT4  par « g(n) est le reste de la division euclidienne de 2n par 11 ». Etablir, sur le modèle précédent, la grille de chiffrement de g. Permet-elle le déchiffrement avec certitude de tout message codé à l’aide de g ?
3. Le but de cette question est de déterminer des conditions sur l’entier a compris entre 1 et 10 pour que la fonction h définie sur E par « h(n) est le reste de la division euclidienne de an par 11 » permette de chiffrer et déchiffrer avec certitude un message de 10 caractères.
Soit i un élément de  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Montrer, en raisonnant par l’absurde, que si, pour tout  EMBED Equation.DSMT4  , i < 10, ai n’est pas congru à 1 modulo 11, alors la fonction h permet le déchiffrement avec certitude de tous messages.
b. Montrer que s’il existe  EMBED Equation.DSMT4  , i < 10, tel que  EMBED Equation.DSMT4 , alors la fonction h ne permet pas de déchiffrer un message avec certitude.
c. On suppose que i est le plus petit entier naturel tel que  EMBED Equation.DSMT4  vérifiant  EMBED Equation.DSMT4 .
En utilisant la division euclidienne de 10 par i, prouver que i est un diviseur de 10.
d. Quelle condition doit vérifier le nombre a pour permettre le chiffrage et le déchiffrage sans ambiguïté de tous messages à l’aide de la fonction h ? Faire la liste de ces nombres.
Exercices Baccalauréat
Puissances de 7, Polynésie 2010
Les parties A et B sont indépendantes
Partie A
On considère l’équation (E) :  EMBED Equation.DSMT4  où x et y sont des entiers naturels.
1. Donner une solution particulière de l‘équation (E).
2. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers naturels solutions de l’équation (E).
Partie B
Dans cette partie, on se propose de déterminer les couples (n, m) d’entiers naturels non nuls vérifiant la relation
 EMBED Equation.DSMT4  (F).
1. On suppose  EMBED Equation.DSMT4 . Montrer qu’il y a exactement deux couples solutions.
2. On suppose maintenant que  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Montrer que si le couple (n, m) vérifie la relation (F) alors  EMBED Equation.DSMT4 .
b. En étudiant les restes de la division par 32 des puissances de 7, montrer que si le couple (n, m) vérifie la relation (F) alors n est divisible par 4.
c. En déduire que si le couple (n, m) vérifie la relation (F) alors  EMBED Equation.DSMT4 .
d. Pour  EMBED Equation.DSMT4 , existe-t-il des couples (n, m) d’entiers naturels vérifiant la relation (F) ?
3. Conclure, c’est-à-dire déterminer l’ensemble des couples d’entiers naturels non nuls vérifiant la relation (F).
QCM, Liban 2010
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation.
1. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 , le point A d affixe 2 " i et B l image de A par la rotation de centre O et d angle  EMBED Equation.DSMT4 . On note I le milieu du segment [AB].
Proposition 1 : « La similitude directe de centre A qui transforme I en O a pour écriture complexe
 EMBED Equation.DSMT4 . »
2. On appelle S l’ensemble des couples (x ; y) d’entiers relatifs solutions de l’équation 3x " 5y = 2.
Proposition 2 : « L ensemble S est l ensemble des couples
(5k " 1 ; 3k " 1) où k est un entier relatif. »
3. On considère l équation (E) :  EMBED Equation.DSMT4 , où (x ; y) est un couple d entiers relatifs.
Proposition 3 : « Il existe des couples (x ; y) d’entiers relatifs solutions de (E) qui ne sont pas des couples de multiples de 3. »
4. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3.
Proposition 4 : « Pour tout entier naturel k ( EMBED Equation.DSMT4 ), le nombre n! + k n’est pas un nombre premier. »
5. On considère l’équation (E’) :  EMBED Equation.DSMT4 , où x est un entier naturel.
Proposition 5 : « Il existe deux entiers naturels non nuls dont le PGCD et le PPCM sont solutions de l’équation (E’). »
Bézout+spirale, Amérique du Nord 2010
Partie A
On cherche l'ensemble des couples d'entiers relatifs (x ; y) solutions de l'équation (E) :  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Vérifier que le couple (1 ; 4) est une solution particulière de (E).
2. Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).
Partie B
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 . On considère la transformation f du plan, qui à tout point M d'affixe z, associe le point M’ d affixe z’ définie par  EMBED Equation.DSMT4 . On définit une suite de points (Mn) de la manière suivante : le point M0 a pour affixe z0 = i et pour tout entier naturel n,  EMBED Equation.DSMT4 . On note zn l'affixe du point Mn.
Les points M0, M1, M2 et M3 sont placés sur la figure ci-dessous.

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation f.
2. On note g la transformation  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation g.
b. En déduire que pour tout entier naturel n  EMBED Equation.DSMT4  et que  EMBED Equation.DSMT4  où k est un entier relatif.
c. Compléter la figure en construisant les points M4, M5 et M6.
3. Démontrer que pour tout entier naturel n,  EMBED Equation.DSMT4 .
4. Soient deux entiers naturels n et p tels que  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Exprimer en fonction de n et p une mesure de  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Démontrer que les points O, Mp et Mn sont alignés si et seulement si n"p est un multiple de 8.
5. Déterminer l'ensemble des entiers naturels n tels que le point Mn appartienne à la demi-droite [Ox). On pourra utiliser la partie A.
Carrés et cubes+espace, Pondicherry, 2010
Les parties A et B peuvent, dans leur quasi-totalité, être traitées de façon indépendante.
Partie A
Dans cette partie, on se propose d’étudier des couples (a, b) d’entiers strictement positifs, tels que : a2 = b3.
Soit (a, b) un tel couple et d = PGCD(a, b).On note u et v les entiers tels que a = du et b = dv.
1. Montrer que u2 = dv3.
2. En déduire que v divise u, puis que v = 1.
3. Soit (a, b) un couple d’entiers strictement positifs.
Démontrer que l’on a a2 = b3 si et seulement si a et b sont respectivement le cube et le carré d’un même entier.
4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse. sera prise en compte dans l’évaluation.
Montrer que si n est le carré d’un nombre entier naturel et le cube d’un autre entier, alors  EMBED Equation.DSMT4  ou  EMBED Equation.DSMT4 .
Partie B
Dans l’espace muni d’un repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4 , on considère la surface S d’équation  EMBED Equation.DSMT4 .
Pour tout réel  EMBED Equation.DSMT4 , on note  EMBED Equation.DSMT4  la section de S par le plan d’équation  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Les graphiques suivants donnent l’allure de  EMBED Equation.DSMT4  tracée dans le plan d’équation  EMBED Equation.DSMT4 , selon le signe de  EMBED Equation.DSMT4 .
Attribuer à chaque graphique l’un des trois cas suivants :  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  et justifier l’allure de chaque courbe.
2. a. Déterminer le nombre de points de C25 dont les coordonnées sont des nombres entiers strictement positifs.
b. Pour cette question, on pourra éventuellement s’aider de la question 3 de la partie A.
Déterminer le nombre de points de C2010 dont les coordonnées sont des nombres entiers strictement positifs.
(pas de courbe visible)graphique 1graphique 2graphique 3Surface+équation, Antilles Guyane 2009
L’espace est muni d’un repère orthonormé  EMBED Equation.DSMT4 .
On considère la surface S1 d’équation z = x2 + y2, et la surface S2 d’équation z = xy + 2x.
Partie A
On note P le plan d’équation x = 2, E1 l’intersection de la surface S1 et du plan P et E2 l’intersection de la surface S2 et du plan P.
1. a. Déterminer la nature de l’ensemble E1.
b. Déterminer la nature de l’ensemble E2.
2. a. Représenter les ensembles E1 et E2 dans un repère  EMBED Equation.DSMT4  du plan P où A est le point de coordonnées (2 ; 0 ; 0).
b. Dans le repère  EMBED Equation.DSMT4  donner les coordonnées des points d’intersection B et C des ensembles E1 et E2.
Partie B
L’objectif de cette partie est de déterminer les points d intersection M(x ; y ; z) des surfaces S1 et S2 où y et z sont des entiers relatifs et x un nombre premier. On considère un tel point M(x ; y ; z).
1. a. Montrer que y(y " x) = x(z " x).
b. En déduire que le nombre premier x divise y.
2. On pose y = kx avec  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Montrer que x divise 2, puis que x = 2.
b. En déduire les valeurs possibles de k.
3. Déterminer les coordonnées possibles de M et comparer les résultats avec ceux de la PARTIE A, question 2. b.
Equation diophantienne, Nelle Calédonie, 2009
Les questions 1 et 2 sont indépendantes.
Soit n un entier naturel non nul.
1. On considère l’équation notée (E) : 3x + 7y = 102n où x et y sont des entiers relatifs.
a. Déterminer un couple (u ; v) d’entiers relatifs tels que 3u +7v = 1.
En déduire une solution particulière (x0 ; y0) de l’équation (E).
b. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs (x ; y) solutions de (E).
2. On considère l’équation notée (G) 3x2 + 7y2 = 102n où x et y sont des entiers relatifs.
a. Montrer que 100  EMBED Equation.DSMT4  2 (modulo 7). Démontrer que si (x ; y) est solution de (G) alors 3x2  EMBED Equation.DSMT4  2n (modulo 7).
b. Reproduire et compléter le tableau suivant :
Reste de la division euclidienne de x par 70123456Reste de la division euclidienne de 3x2 par 7c. Démontrer que 2n est congru à 1, 2 ou 4 modulo 7. En déduire que l’équation (G) n’admet pas de solution.
Puissance de 2, France & La Réunion, 2009
1. a. Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2009 par 11.
b. Déterminer le reste dans la division euclidienne de 210 par 11.
c. Déterminer le reste dans la division euclidienne de 22009 + 2009 par 11.
2. On désigne par p un nombre entier naturel. On considère pour tout entier naturel non nul n le nombre  EMBED Equation.DSMT4 . On note dn le PGCD de An et An+1.
a. Montrer que dn divise 2n.
b. Déterminer la parité de An en fonction de celle de p. Justifier.
c. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Déterminer la parité de dn en fonction de celle de p.
En déduire le PGCD de 22009 + 2009 et 22010 + 2009.
Puissances de 3, Liban 2009
Le but de l’exercice est de montrer qu’il existe un entier naturel n dont l’écriture décimale du cube se termine par 2009, c’est-à-dire tel que  EMBED Equation.DSMT4 .
Partie A
1. Déterminer le reste de la division euclidienne de  EMBED Equation.DSMT4  par 16.
2. En déduire que  EMBED Equation.DSMT4 .
Partie B
On considère la suite (un) définie sur Nð par :  EMBED Equation.DSMT4  et, pour tout entier naturel n,  EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Démontrer que u0 est divisible par 5.
b. Démontrer, en utilisant la formule du binome de Newton, que pour tout entier naturel n,  EMBED Equation.DSMT4 .
c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un est divisible par  EMBED Equation.DSMT4 .
2. a. Vérifier que  EMBED Equation.DSMT4  puis en déduire que  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Démontrer alors que  EMBED Equation.DSMT4 .
Partie C
1. En utilisant le théorème de Gauss et les résultats établis dans les questions précédentes, montrer que  EMBED Equation.DSMT4  est divisible par 10 000.
2. Conclure, c’est-à-dire déterminer un entier naturel dont l’écriture décimale du cube se termine par 2009.
Divisibilité + espace, La Réunion 2009
L’espace est muni d’un repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Soient F le point de coordonnées  EMBED Equation.DSMT4  et (P) le plan d’équation  EMBED Equation.DSMT4 .
On note d(M, P) la distance d’un point M au plan (P). Montrer que l’ensemble (S) des points M de coordonnées (x ; y ; z) qui vérifient d(M, P) = MF a pour équation  EMBED Equation.DSMT4 .
2. a. Quelle est la nature de l’intersection de l’ensemble (S) avec le plan d’équation z = 2 ?
b. Quelle est la nature de l’intersection de l’ensemble (S) avec le plan d’équation x = 0 ? Représenter cette intersection dans le repère  EMBED Equation.DSMT4 .
3. Dans cette question, x et y désignent des nombres entiers naturels.
a. Quels sont les restes possibles de la division euclidienne de  EMBED Equation.DSMT4  par 7 ?
b. Démontrer que 7 divise  EMBED Equation.DSMT4  si et seulement si 7 divise x et 7 divise y.
4. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Existe-t-il des points qui appartiennent à l’intersection de l’ensemble (S) et du plan d’équation z = 98 et dont toutes les coordonnées sont des entiers naturels ? Si oui les déterminer.
Divisibilité par 7, France 2009
Les trois questions de cet exercice sont indépendantes.
1. a. Déterminer l’ensemble des couples (x, y) de nombres entiers relatifs, solution de l’équation
(E) : 8x – 5y = 3.
b. Soit m un nombre entier relatif tel qu’il existe un couple (p, q) de nombres entiers vérifiant m = 8p +1 et m = 5q +4. Montrer que le couple (p, q) est solution de l’équation (E) et en déduire que m EMBED Equation.DSMT4 9 (modulo 40).
c. Déterminer le plus petit de ces nombres entiers m supérieurs à 2 000.
2. Soit n un nombre entier naturel.
a. Démontrer que pour tout nombre entier naturel k on a : 23k EMBED Equation.DSMT4 1(modulo 7).
Quel est le reste dans la division euclidienne de 22009 par 7 ?
3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Soient a et b deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 9 avec  EMBED Equation.DSMT4 .
On considère le nombre  EMBED Equation.DSMT4 . On rappelle qu’en base 10 ce nombre s’écrit sous la forme  EMBED Equation.DSMT4 .
On se propose de déterminer parmi ces nombres entiers naturels N ceux qui sont divisibles par 7.
a. Vérifier que 103  EMBED Equation.DSMT4  –1(modulo 7).
b. En déduire tous les nombres entiers N cherchés.
Bézout+espace, Centres étrangers 2009
1. On note (E) l'équation 3x + 2y = 29 où x et y sont deux nombres entiers relatifs.
a. Déterminer un couple d'entiers solution de l'équation (E).
b. Déterminer tous les couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).
c. Préciser les solutions de l'équation (E) pour lesquelles on a à la fois x > 0 et y > 0.
2. Intersections d'un plan avec les plans de coordonnées.
L'espace est muni du repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4  et on désigne par (P) le plan d'équation 3x + 2y = 29.
a. Démontrer que (P) est parallèle à l'axe (Oz) de vecteur directeur  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Déterminer les coordonnées des points d'intersection du plan (P) avec les axes (Ox) et (Oy) de vecteurs directeurs  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
c. Faire une figure et tracer les droites d'intersection du plan (P) avec les trois plans de coordonnées.
d. Sur la figure précédente, placer sur la droite d'intersection des plans (P) et (xOy), les points dont les coordonnées sont à la fois entières et positives.
3. Étude d'une surface.
(S) est la surface d'équation 4z = xy dans le repère  EMBED Equation.DSMT4 .
Les figures suivantes représentent les intersections de y avec certains plans de l'espace.






figure n° 1figure n° 2figure n° 3figure n° 4a. S1 désigne la section de la surface (S) par le plan (xOy). Une des figures données représente S1, laquelle ?
b. S2 désigne la section de la surface (S) par le plan (R) d’équation  EMBED Equation.DSMT4 . Une des figures données représente S2, laquelle ?
c. S3 désigne la section de la surface (S) par le plan d’équation  EMBED Equation.DSMT4 . Une des figures données représente S3, laquelle ?
d. S4 désigne la section de la surface (S) par le plan (P) d'équation 3x + 2y = 29 de la question 2.
Déterminer les coordonnées des points communs à S4 et (P) dont l'abscisse x et l'ordonnée y sont des entiers naturels vérifiant l'équation 3x + 2y = 29.
Restes chinois, Asie 2009
1. On se propose, dans cette question, de déterminer tous les entiers relatifs N tels que  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Vérifier que 239 est solution de ce système.
b. Soit N un entier relatif solution de ce système. Démontrer que N peut s’écrire sous la forme  EMBED Equation.DSMT4  où x et y sont deux entiers relatifs vérifiant la relation 17x " 13y = 4.
c. Résoudre l équation 17x " 13y = 4 où x et y sont des entiers relatifs.
d. En déduire qu il existe un entier relatif k tel que N = 18 + 221k.
e. Démontrer l équivalence entre  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
2. Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiative,même infruxtueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
a. Existe-t-il un entier naturel k tel que  EMBED Equation.DSMT4  ?
b. Existe-t-il un entier naturel l tel que  EMBED Equation.DSMT4  ?
QCM, Antilles 2009
Dans chacun des cas suivants, indiquer si l’affirmation proposée est vraie ou fausse et justifier la réponse.
1. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4 . On considère l’application f du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’ telle que  EMBED Equation.DSMT4 . On note A le point d’affixe 2i.
Affirmation : f est la similitude directe, de centre A, d’angle  EMBED Equation.DSMT4  et de rapport 2.
2. Affirmation :  EMBED Equation.DSMT4 .
3. a et b sont deux entiers relatifs quelconques, n et p sont deux entiers naturels premiers entre eux.
Affirmation :  EMBED Equation.DSMT4  si et seulement si  EMBED Equation.DSMT4 .
4. L’espace est muni d’un repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4 . E est l’ensemble des points M de l’espace dont les coordonnées (x; y; z) vérifient l’équation :  EMBED Equation.DSMT4 . On note S la section de E par le plan d’équation y = 3.
Affirmation : S est un cercle.
5. L’espace est muni d’un repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4 . P est la surface d’équation  EMBED Equation.DSMT4 .
Affirmation : O(0 ; 0 ; 0) est le seul point d’intersection de P avec le plan (yOz) dont les coordonnées sont des nombres entiers.
Th. de Wilson, Am du Nord 2009
Soit A l’ensemble des entiers naturels de l’intervalle [1 ; 46].
1. On considère l’équation (E) : 23x + 47y = 1 où x et y sont des entiers relatifs.
a. Donner une solution particulière (x0, y0) de (E).
b. Déterminer l’ensemble des couples (x, y) solutions de (E).
c. En déduire qu’il existe un unique entier x appartenant à A tel que  EMBED Equation.DSMT4 .
2. Soient a et b deux entiers relatifs.
a. Montrer que si  EMBED Equation.DSMT4  alors  EMBED Equation.DSMT4  ou  EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire que si  EMBED Equation.DSMT4 , alors  EMBED Equation.DSMT4  ou  EMBED Equation.DSMT4 .
3. a. Montrer que pour tout entier p de A, il existe un entier relatif q tel que  EMBED Equation.DSMT4 .
Pour la suite, on admet que pour tout entier p de A, il existe un unique entier, noté inv(p), appartenant à A tel que  EMBED Equation.DSMT4 .
Par exemple : inv(1)= 1 car  EMBED Equation.DSMT4 , inv(2)= 24 car  EMBED Equation.DSMT4 , inv(3)= 16 car  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Quels sont les entiers p de A qui vérifient p =inv(p) ?
c. Montrer que  EMBED Equation.DSMT4 .
ROC+Base 12, N. Calédonie, mars 2008 (c)
5 points
Partie A : Question de cours
Quelles sont les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l’addition, la multiplication et les puissances ?
Démontrer la propriété de compatibilité avec la multiplication.
Partie B
On note 0, 1, 2, . . . , 9,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 , les chiffres de l’écriture d’un nombre en base 12. Par exemple :
 EMBED Equation.DSMT4  en base 10.
1. a. Soit N1 le nombre s’écrivant en base 12 :  EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer l’écriture de N1 en base 10.
b. Soit N2 le nombre s’écrivant en base 10 :  EMBED Equation.DSMT4 .
Déterminer l’écriture de N2 en base 12.
Dans toute la suite un entier naturel N s’écrira de manière générale en base 12 :  EMBED Equation.DSMT4 .
2. a. Démontrer que  EMBED Equation.DSMT4 . En déduire un critère de divisibilité par 3 d’un nombre écrit en base 12.
b. À l’aide de son écriture en base 12, déterminer si N2 est divisible par 3. Confirmer avec son écriture en base 10.
3. a. Démontrer que  EMBED Equation.DSMT4 . En déduire un critère de divisibilité par 11 d’un nombre écrit en base 12.
b. À l’aide de son écriture en base 12, déterminer si N1 est divisible par 11. Confirmer avec son écriture en base 10.
4. Un nombre N s’écrit  EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer les valeurs de x et de y pour lesquelles N est divisible par 33.
Correction
Partie A : Question de cours
Les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l’addition, la multiplication et les puissances sont  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  alors  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
Propriété de compatibilité avec la multiplication :
on pose que  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  d’où  EMBED Equation.DSMT4 .
Partie B
1. a.  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Il faut diviser par 12 plusieurs fois :  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 , donc
 EMBED Equation.DSMT4 .
2. a.  EMBED Equation.DSMT4 . Si le dernier chiffre est 0 modulo 3, soit un multiple de 3 le nombre sera divisible par 3.
b. N2 se termine par 3 en base 12, il est divisible par 3. En base 10 la somme des chiffres est 6, il est donc divisible par 3.
3. a. Chaque puissance de 12 est congrue à 1 modulo 11 donc  EMBED Equation.DSMT4 . Si la somme des chiffres est un multiple de 11, ce nombre sera divisible par 11.
b. La somme des chiffres de N1 en base 12 est  EMBED Equation.DSMT4  donc N1 est divisible par 11. En base 10 on fait la somme des termes de rang pair moins la somme des termes de rang impair : 12"1=11 qui est divisible par 11.
4.  EMBED Equation.DSMT4 . N est divisible par 33 si N est divisible par 3 :  EMBED Equation.DSMT4 , et par 11 :  EMBED Equation.DSMT4 .
On résoud :  EMBED Equation.DSMT4  ; les valeurs possibles de k sont 0, 1, 2, 3 :

kyxk NN (b. 10)0011k "4k =1 soit x=7 EMBED Equation.DSMT4 10561311k "7k =1 soit x=4 EMBED Equation.DSMT4 6272611k "10k =1 soit x=1 EMBED Equation.DSMT4 1983911k "13k =2 soit x=9 EMBED Equation.DSMT4 1353
QCM, Polynésie, juin 2008
Pour chacune des propositions suivantes indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

1.  Proposition 1 : « Pour tout entier naturel n non nul, n et 2n + 1 sont premiers entre eux. »
2. Soit x un entier relatif.
Proposition 2 : «  EMBED Equation.DSMT4  si et-seulement si  EMBED Equation.DSMT4 . »
3. Soit N un entier naturel dont l’écriture en base 10 est  EMBED Equation.DSMT4 .
Proposition 3 : « Si N est divisible par 7 alors  EMBED Equation.DSMT4  est divisible par 7. »
4. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 .
Proposition 4 : « La similitude directe de rapport 2, d'angle  EMBED Equation.DSMT4  et de centre le point d'afïixe  EMBED Equation.DSMT4  a pour écriture complexe  EMBED Equation.DSMT4 . »
5. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 . On considère un point A. On désigne par a son affixe. On note s la réflexion d'axe  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  la symétrie centrale de centre A.
Proposition 5 : « L'ensemble des nombres complexes a tels que  EMBED Equation.DSMT4  est l'ensemble des nombres réels. »
QCM, Liban, juin 2008
Pour chacune des six propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 , on considère la similitude directe f d'écriture complexe  EMBED Equation.DSMT4 .
Proposition 1 : «  EMBED Equation.DSMT4  où h est l’homothétie de rapport  EMBED Equation.DSMT4  et de centre le point  EMBED Equation.DSMT4  d'affixe  EMBED Equation.DSMT4  et où r est la rotation de centre  EMBED Equation.DSMT4  et d'angle  EMBED Equation.DSMT4  ».
2. Pour tout entier naturel n non nul :
Proposition 2 : «  EMBED Equation.DSMT4  est divisible par 5 ».
Proposition 3 : «  EMBED Equation.DSMT4  est divisible par 7 ».
3. Dans le plan muni d'un repère, (D) est la droite d'équation  EMBED Equation.DSMT4 .
Proposition 4 : « les points de (D) à coordonnées entières sont les points de coordonnées  EMBED Equation.DSMT4  où  EMBED Equation.DSMT4 .
4. L'espace est rapporté à un repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4 .
La surface  EMBED Equation.DSMT4  ci-dessous a pour équation  EMBED Equation.DSMT4 .
Proposition 5 : « la section de la surface  EMBED Equation.DSMT4  et du plan d'équation  EMBED Equation.DSMT4 , où  EMBED Equation.DSMT4  est un réel, est une hyperbole ».
Proposition 6 : « le plan d'équation  EMBED Equation.DSMT4  partage le solide délimité par  EMBED Equation.DSMT4  et le plan d'équation z = 9 en deux solides de même volume ».
 EMBED Chamois.Document 
Rappel : Soit V le volume du solide délimité par  EMBED Equation.DSMT4  et les plans d'équations z = a et z=b où  EMBED Equation.DSMT4 .
V est donné par la formule  EMBED Equation.DSMT4  où S(k) est l'aire de la section du solide par le plan d'équation z=k où  EMBED Equation.DSMT4 .
Réseau, Asie, juin 2008
Soit a et b deux entiers naturels non nuls ; on appelle « réseau » associé aux entiers a et b l’ensemble des points du plan, muni d’un repère orthononnal, dont les coordonnées (x ; y) sont des entiers vérifiant les conditions :  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 . On note  EMBED Equation.DSMT4  ce réseau.
Le but de l’exercice est de relier certaines propriétés arithmétiques des entiers x et y à des propriétés géométriques des points correspondants du réseau.
A. Représentation graphique de quelques ensembles
Dans cette question, les réponses sont attendues sans explication, sous la forme d’un graphique qui sera dûment complété sur la feuille annexe à rendre avec la copie.
Représenter graphiquement les points M(x ; y) du réseau  EMBED Equation.DSMT4  vérifiant :
1.  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 , sur le graphique 1 ;
2.  EMBED Equation.DSMT4 , sur le graphique 2 ;
3.  EMBED Equation.DSMT4 , sur le graphique 3.
B. Résolution d’une équation.
On considère l’équation (E) :  EMBED Equation.DSMT4 , où les inconnues x et y sont des entiers relatifs.
1. Déterminer un couple d’entiers relatifs  EMBED Equation.DSMT4  solution de l’équation (E).
2. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs solutions de l’équation (E).
3. Démontrer que l’équation (E) admet une unique solution (x ; y) pour laquelle le point M(x ; y) correspondant appartient au réseau  EMBED Equation.DSMT4 .
C. Une propriété des points situés sur la diagonale du réseau.
Si a et b sont deux entiers naturels non nuls, on considère la diagonale [OA] du réseau  EMBED Equation.DSMT4 , avec O(0 ; 0) et A(a ; b).
1. Démontrer que les points du segment [OA] sont caractérisés par les conditions :
 EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 .
2. Démonter que si a et b sont premiers entre eux, alors les points O et A sont les seuls points du segment [OA] appartenant au réseau  EMBED Equation.DSMT4 .
3. Démontrer que si a et b ne sont pas premiers entre eux, alors le segment [OA] contient au moins un autre point du réseau. (On pourra considérer le pgcd d des nombres a et b et poser a = da’ et b = db’.)
 EMBED Chamois.Document  EMBED Chamois.Document  EMBED Chamois.Document Graphique n°1Graphique n°2Graphique n°3
Codage affine, Antilles, juin 2008
Partie A
On considère l’équation (E) : 11x " 26y = 1, où x et y désignent deux nombres entiers relatifs.
1. Vérifier que le couple ( "7 ; "3 ) est solution de (E).
2. Résoudre alors l équation (E).
3. En déduire le couple d entiers relatifs (u ; v) solution de (E) tel que  EMBED Equation.DSMT4 .
Partie B
On assimile chaque lettre de l’alphabet à un nombre entier comme l’indique le tableau ci-dessous :
ABCDEFGHIJKLM0123456789101112NOPQRSTUVWXYZ13141516171819202122232425On « code » tout nombre entier x compris entre 0 et 25 de la façon suivante :
– on calcule 11x + 8,
– on calcule le reste de la division euclidienne de 11x + 8 par 26, que l’on appelle y.
x est alors « codé » par y.
Ainsi, par exemple, la lettre L est assimilée au nombre 11 ;  EMBED Equation.DSMT4  ; 25 est le reste de la division euclidienne de 129 par 26. Au nombre 25 correspond la lettre Z. La lettre L est donc codée par la lettre Z.
1. Coder la lettre W.
2. Le but de cette question est de déterminer la fonction de décodage.
a. Montrer que pour tous nombres entiers relatifs x et j , on a :
 EMBED Equation.DSMT4  équivaut à  EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire un procédé de décodage.
c. Décoder la lettre W.
Surface+Eq. dioph., Am Nord, juin 2008 (c)
L’espace est rapporté au repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4 .
On nomme (S) la surface d’équation  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Montrer que la surface (S) est symétrique par rapport au plan (xOy).
2. On nomme A et B les points de coordonnées respectives (3 ; 1 ; "3) et ("1 ; 1 ; 1).
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D) passant par les points A et B.
b. Démontrer que la droite (D) est incluse dans la surface (S).
3. Determiner la nature de la section de la surface (S) par un plan parallèle au plan (xOy).
4. a. On considère la courbe (C), intersection de la surface (S) et du plan d’équation z = 68. Préciser les éléments caractéristiques de cette courbe.
b. M étant un point de (C), on désigne par a son abscisse et par b son ordonnée.
On se propose de montrer qu’il existe un seul point M de (C) tel que a et b soient des entiers naturels vérifiant a < b et ppcm(a ; b)= 440, c’est-à-dire tel que (a, b) soit solution du système
(1) :  EMBED Equation.DSMT4 .
Montrer que si (a, b) est solution de (1) alors pgcd(a ; b) est égal à 1 ou 5. Conclure.
Dans cette question toute trace de recherche même incomplete ou d’initiative, même non fructueuse sera prise en compte dans l’évaluation.
Correction
1. Si  EMBED Equation.DSMT4  appartient à  EMBED Equation.DSMT4 , alors on a  EMBED Equation.DSMT4 , soit  EMBED Equation.DSMT4 , c’est-à-dire que le point  EMBED Equation.DSMT4  de coordonnées  EMBED Equation.DSMT4  appartient également à  EMBED Equation.DSMT4  et réciproquement.
Par conséquent, le plan d’équation  EMBED Equation.DSMT4 , c’est-à-dire le plan  EMBED Equation.DSMT4 , est un plan de symétrie de la surface  EMBED Equation.DSMT4 .
2. a.  EMBED Equation.DSMT4 .
b. On remplace x, y et z dans l’équation de  EMBED Equation.DSMT4  :
 EMBED Equation.DSMT4 , ce qui est toujours vrai.
On en déduit que tout point de  EMBED Equation.DSMT4  appartient à  EMBED Equation.DSMT4 , la droite est incluse dans la surface  EMBED Equation.DSMT4 .
3. Soit  EMBED Equation.DSMT4  un plan parallèle au plan  EMBED Equation.DSMT4 .  EMBED Equation.DSMT4  a alors une équation de la forme  EMBED Equation.DSMT4  où c est un réel, soit  EMBED Equation.DSMT4  qui est l’équation d’un cercle de centre  EMBED Equation.DSMT4  et de rayon  EMBED Equation.DSMT4 , tracé dans  EMBED Equation.DSMT4 . La section de la surface  EMBED Equation.DSMT4  par un plan parallèle au plan  EMBED Equation.DSMT4  est un cercle.
4. a. Soit  EMBED Equation.DSMT4  la courbe d’intersection de la surface  EMBED Equation.DSMT4  et du plan d’équation  EMBED Equation.DSMT4 .
D’après la question précédente  EMBED Equation.DSMT4  est le cercle de centre  EMBED Equation.DSMT4  et de rayon  EMBED Equation.DSMT4 , tracé dans le plan d’équation  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Soit  EMBED Equation.DSMT4  une solution de  EMBED Equation.DSMT4 . Alors :  EMBED Equation.DSMT4 .
d le PGCD de a et b divise a (et aussi  EMBED Equation.DSMT4 ) et divise b (et aussi  EMBED Equation.DSMT4 ), d’où d divise  EMBED Equation.DSMT4  ; d divise 4625.
De plus, d divise le PPCM de a et b. Donc d divise 440, d est un diviseur commun de 440 et de 4625.
Or les diviseurs de 4625 sont : 1 ; 5 ; 25 ; 37 ; 125 ; 185 ; 925 et 4625.
Les diviseurs de 440 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ; 10 ; 11 ; 20 ; 22 ; 40 ; 44 ; 55 ; 88 ; 110 ; 220 et 440.
d ne peut être égal qu’à 1 ou à 5.
*  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 , c’est-à-dire  EMBED Equation.DSMT4 .
a et b sont donc des diviseurs de 440 dont la somme des carrés est égale à 4625 et le produit à 440.
Or  EMBED Equation.DSMT4  ; ce qui est impossible car  EMBED Equation.DSMT4  est un entier naturel (en tant que somme de deux entiers naturels). Il n’y a dans ce cas aucun couple solution de ce système.
* Supposons que  EMBED Equation.DSMT4  ; alors  EMBED Equation.DSMT4 , c’est-à-dire  EMBED Equation.DSMT4 .
a et b sont donc des diviseurs de 440 dont la somme des carrés est égale à 4625 et le produit à 2200.
Or  EMBED Equation.DSMT4 , soit  EMBED Equation.DSMT4 .
Seul le couple  EMBED Equation.DSMT4  est solution de ce système dans ce cas.
Il existe un seul point M de  EMBED Equation.DSMT4  tel que a et b soient des entiers naturels vérifiant  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
Bézout+Fermat, National, sept 2007
1. On considère l’ensemble  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Pour tout élément a de  EMBED Equation.DSMT4  écrire dans le tableau ci-dessous l’unique élément y de  EMBED Equation.DSMT4  tel que  EMBED Equation.DSMT4  (soit modulo 7).
a123456y
b. Pour x entier relatif, démontrer que l’équation  EMBED Equation.DSMT4  équivaut à  EMBED Equation.DSMT4 .
c. Si a est un élément de  EMBED Equation.DSMT4 , montrer que les seuls entiers relatifs x solutions de l’équation  EMBED Equation.DSMT4  sont les multiples de 7.
2. Dans toute cette question p est un nombre premier supérieur ou égal à 3.
On considère l’ensemble  EMBED Equation.DSMT4  des entiers naturels non nuls et strictement inférieurs à p. Soit a un élément de  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Vérifier que  EMBED Equation.DSMT4  est une solution de l’équation  EMBED Equation.DSMT4 .
b. On note r le reste dans la division euclidienne de  EMBED Equation.DSMT4  par p. Démontrer que r est l’unique solution dans  EMBED Equation.DSMT4  de l’équation  EMBED Equation.DSMT4 .
c. Soient x et y deux entiers relatifs. Démontrer que  EMBED Equation.DSMT4  si et seulement si x est un multiple de p ou y est un multiple de p.
d. Application : p = 31.
Résoudre dans  EMBED Equation.DSMT4  les équations  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
A l’aide des résultats précédents résoudre dans  EMBED Equation.DSMT4  l’équation  EMBED Equation.DSMT4 .
Bézout, N. Calédonie, mars 2007
1. a. Quel est le reste de la division euclidienne de 610 par 11 ? Justifier.
b. Quel est le reste de la division euclidienne de 64 par 5 ? Justifier.
c. En déduire que  EMBED Equation.DSMT4  et que  EMBED Equation.DSMT4 .
d. Démontrer que 640 " 1 est divisible par 55.
2. Dans cette question x et y désignent des entiers relatifs.
a. Montrer que l équation (E) 65x " 40y = 1 n a pas de solution.
b. Montrer que l équation (E ) 17x " 40y = 1 admet aumoins une solution.
c. Déterminer à l aide de l algorithme d Euclide un couple d entiers relatifs solution de l’équation (E’).
d. Résoudre l’équation (E’).
En déduire qu’il existe un unique naturel x0 inférieur à 40 tel que  EMBED Equation.DSMT4 .
3. Pour tout entier naturel a, démontrer que si  EMBED Equation.DSMT4  et si  EMBED Equation.DSMT4 , alors  EMBED Equation.DSMT4 .
Codage affine, N. Calédonie, mars 2007
Pour coder un message, on procède de la manière suivante : à chacune des 26 lettres de l’alphabet, on commence par associer un entier n de l’ensemble  EMBED Equation.DSMT4 = {0 ; 1 ; 2 ; . . . ; 24 ; 25} selon le tableau ci-dessous :
ABCDEFGHIJKLM0123456789101112NOPQRSTUVWXYZ13141516171819202122232425
a et b étant deux entiers naturels donnés, on associe à tout entier n de  EMBED Equation.DSMT4  le reste de la division euclidienne de (an + b) par 26 ; ce reste est alors associé à la lettre correspondante.
Exemple : pour coder la lettre P avec a = 2 et b = 3, on procède de la manière suivante :
étape 1 : on lui associe l’entier n = 15 ;
étape 2 : le reste de la division de 2 EMBED Equation.DSMT4 15 + 3 = 33 par 26 est 7 ;
étape 3 : on associe 7 à H.
Donc P est codé par la lettre H.
1. Que dire alors du codage obtenu lorsque l’on prend a = 0 ?
2. Montrer que les lettres A et C sont codées par la même lettre lorsque l’on choisit a = 13.
3. Dans toute la suite de l’exercice, on prend a = 5 et b = 2.
a. On considère deux lettres de l’alphabet associées respectivement aux entiers n et p. Montrer, que si 5n + 2 et 5p + 2 ont le même reste dans la division par 26 alors n " p est un multiple de 26. En déduire que n = p.
b. Coder le mot AMI.
4. On se propose de décoder la lettre E.
a. Montrer que décoder la lettre E revient à déterminer l élément n de  EMBED Equation.DSMT4  tel que 5n " 26y = 2, où y est un entier.
b. On considère l équation 5x " 26y = 2, avec x et y entiers relatifs.
i. Donner une solution particulière de l équation 5x " 26y = 2.
ii. Résoudre alors l équation 5x " 26y = 2.
iii. En déduire qu’il existe un unique couple (x ; y) solution de l’équation précédente, avec 0  EMBED Equation.DSMT4  x  EMBED Equation.DSMT4  25.
c. Décoder alors la lettre E.
Surface+éq. dioph., Polynésie juin 2007
Partie A
Dans l’espace muni d’un repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4  on considère les points  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  et le cône ( EMBED Equation.DSMT4 ) d’axe  EMBED Equation.DSMT4 , de sommet O et contenant le point A.
1. Montrer qu’une équation de ( EMBED Equation.DSMT4 ) est  EMBED Equation.DSMT4 .
2. Soit (P) le plan parallèle au plan (xOy) et contenant le point B.
a. Déterminer une équation de (P).
b. Préciser la nature de l’intersection (C1) de (P) et de ( EMBED Equation.DSMT4 ).
3. Soit (Q) le plan d’équation  EMBED Equation.DSMT4 . On note (C2) l’intersection de (Q) et de ( EMBED Equation.DSMT4 ). Sans justification reconnaître la nature de (C2) parmi les propositions suivantes :
* deux droites parallèles ;
* deux droites sécantes ;
* une parabole ;
* une hyperbole ;
* un cercle.
Partie B
Soient x, y et z trois entiers relatifs et M le point de coordonnées  EMBED Equation.DSMT4 . Les ensembles (C1) et (C2) sont les sections définies dans la partie A.
1. On considère l’équation (E) :  EMBED Equation.DSMT4  où x et y sont des entiers relatifs.
a. Résoudre l’équation (E).
b. En déduire l’ensemble des points de (C1) dont les coordonnées sont des entiers relatifs.
2. a. Démontrer que si le point M de coordonnées  EMBED Equation.DSMT4 , où x, y et z sont des entiers relatifs, est un point de ( EMBED Equation.DSMT4 ) alors z est divisible par 2 et  EMBED Equation.DSMT4  est divisible par 10.
b. Montrer que si M est un point de (C2) alors  EMBED Equation.DSMT4 .
c. Résoudre dans l’ensemble des entiers relatifs l’équation  EMBED Equation.DSMT4 .
d. Déterminer un point de (C2), distinct de A, dont les coordonnées sont des entiers relatifs.
QCM, Liban juin 2007
Pour chacune des 5 propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie.Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
1. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 . On considère la transformation du plan qui à tout point d’affixe z associe le point d’affixe z’ définie par :  EMBED Equation.DSMT4 .
Proposition 1 : « Cette transformation est la similitude directe de centre A d’affixe  EMBED Equation.DSMT4 , d’angle  EMBED Equation.DSMT4  et de rapport 2 ».
2. Dans l’espace muni du repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4 , on note S la surface d’équation  EMBED Equation.DSMT4 .
Proposition 2 : « La section de S avec le plan d’équation z = 5 est un cercle de centre A de coordonnées ("1 ; 0 ; 5) et de rayon 5 ».
3. Proposition 3 : « 5750 " 1 est un multiple de 7 ».
4. Proposition 4 : « Si un entier naturel n est congru à 1 modulo 7 alors le PGCD de 3n +4 et de 4n +3 est égal à 7 ».
5. Soient a et b deux entiers naturels.
Proposition 5 : « S il existe deux entiers relatifs u et v tels que au+bv = 2 alors le PGCD de a et b est égal à 2 ».
Bézout, National septembre 2006
1. On considère l équation (E) : 17x " 24y = 9 où (x, y) est un couple d entiers relatifs.
a. Vérifier que le couple (9 ; 6) est solution de l’équation (E).
b. Résoudre l’équation (E).
2. Dans une fête foraine, Jean s’installe dans un un manège circulaire représenté par le schéma. Il peut s’installer sur l’un des huit points indiqués sur le cercle.
Le manège comporte un jeu qui consiste à attraper un pompon qui se déplace sur un câble formant un carré dans lequel est inscrit le cercle.
Le manège tourne dans le sens des aiguilles d’une montre, à vitesse constante. Il fait un tour en 24 secondes. Le pompon se déplace dans le même sens à vitesse constante. Il fait un tour en 17 secondes.
Pour gagner, Jean doit attraper le pompon, et il ne peut le faire qu’aux points de contact qui sont notés A, B, C et D sur le dessin.
À l’instant t = 0, Jean part du point H en même temps que le pompon part du point A.a. On suppose qu’à un certain instant t Jean attrape le pompon en A. Jean a déjà pu passer un certain nombre de fois en A sans y trouver le pompon.
À l’instant t, on note y le nombre de tours effectués depuis son premier passage en A et x le nombre de tours effectués par le pompon. Montrer que (x, y) est solution de l’équation (E) de la question 1.
b. Jean a payé pour 2 minutes ; aura-t-il le temps d’attraper le pompon ?
c. Montrer, qu’en fait, il n’est possible d’attraper le pompon qu’au point A.
d. Jean part maintenant du point E. Aura-t-il le temps d’attraper le pompon en A avant les deux minutes ?
ROC+Congruences, Am. du Sud nov. 2006 (c)
Rappel : Pour deux entiers relatifs a et b, on dit que a est congru à b modulo 7, et on écrit  EMBED Equation.DSMT4  lorsqu’il existe un entier relatif k tel que a = b +7k.
1. Cette question constitue une restitution organisée de connaissances
a. Soient a, b, c et d des entiers relatifs.
Démontrer que : si  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  alors  EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire que : pour a et b entiers relatifs non nuls si  EMBED Equation.DSMT4  alors pour tout entier naturel n,  EMBED Equation.DSMT4 .
2. Pour a = 2 puis pour a = 3, déterminer un entier naturel n non nul tel que  EMBED Equation.DSMT4 .
3. Soit a un entier naturel non divisible par 7.
a. Montrer que :  EMBED Equation.DSMT4 .
b. On appelle ordre de a mod 7, et on désigne par k, le plus petit entier naturel non nul tel que  EMBED Equation.DSMT4 .
Montrer que le reste r de la division euclidienne de 6 par k vérifie  EMBED Equation.DSMT4 . En déduire que k divise 6. Quelles sont les valeurs possibles de k ?
c. Donner l’ordre modulo 7 de tous les entiers a compris entre 2 et 6.
4. A tout entier naturel n, on associe le nombre  EMBED Equation.DSMT4 . Montrer que  EMBED Equation.DSMT4 .
Correction
1. a. On écrit que  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  d’où
 EMBED Equation.DSMT4 .
b. Par récurrence : vrai pour n = 1. Supposons  EMBED Equation.DSMT4 , alors  EMBED Equation.DSMT4 .
2. Pour a = 2 puis pour a = 3, déterminer un entier naturel n non nul tel que  EMBED Equation.DSMT4 .
On cherche les restes de  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  modulo 7 :
n123456 EMBED Equation.DSMT4 241241 EMBED Equation.DSMT4 326 ou "14 ou "35 ou "21Donc pour 2 la première valeur de n est 3, pour 3 c est 6.
3. a. Théorème de Fermat : si p premier ne divise pas a, alors  EMBED Equation.DSMT4  d’où avec p = 7 :  EMBED Equation.DSMT4 .
b. On a donc  EMBED Equation.DSMT4  ; comme  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4 . Comme k est le plus petit entier tel que  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  donc k divise 6, soit k=1, 2, 3 ou 6.
c.
a EMBED Equation.DSMT4 mod 7 EMBED Equation.DSMT4  mod 7 EMBED Equation.DSMT4  mod 71 (k=1)1112 (k=3)4113 (k=6)2614 (k=3)2115 (k=6)4616 (k=2)161
4.  EMBED Equation.DSMT4 , et  EMBED Equation.DSMT4  ; on a donc
 EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,
 EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 
d’où enfin  EMBED Equation.DSMT4 .
QCM, Polynésie, juin 2006 (c)
Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
Proposition 1 : « Pour tout entier naturel n, 3 divise le nombre 22n " 1 ».
Proposition 2 : « Si un entier relatif x est solution de l équation  EMBED Equation.DSMT4  alors  EMBED Equation.DSMT4  ».
Proposition 3 : « L ensemble des couples d entiers relatifs (x ; y) solutions de l équation 12x " 5y = 3 est l ensemble des couples (4+10k ; 9+24k) où  EMBED Equation.DSMT4  ».
Proposition 4 : « Il existe un seul couple (a ; b) de nombres entiers naturels, tel que a ? @ A [ \ ] w x y z { | } ~  › œ  ž º » ¼ Ö × Ø Ù Ú Û Ü Ý Þ ú û òéäÚäÍÚÈÚò¼òé¸é¨òéäÚä›ÚÈÚò¼òé¸é‹òéäÚä~ÚÈÚò¼òé¸éjG h#K*UjÊh1}h#K*0JUjMh#K*UjÐh1}h#K*0JUh#K*h#K*CJOJQJaJ h¢aƁjSh#K*Ujh#K*U h#K*h1}h#K*0Jjh1}h#K*0JU/û ü ý    6 7 8 9 : ; < = > Z [ \ ] z { | – — ˜ ™ š › œ  ž º » ¼ ½ Õ Ö × ñ ò ó ô õ ö ïâÙÔÊԽʸÊâ¬â٨٘âÙÔÊԋʸÊâ¬âÙ¨Ù{âÙÔÊÔnʸÊâj5 h#K*Uj¸ h1}h#K*0JUj; h#K*Uj¾
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