Td corrigé exercice 1 - Exercices corriges pdf

exercice 1 - Exercices corriges

TD N°5 : CINETIQUE - CALCUL DU MOMENT CINETIQUE ET DE ..... Pour calculer le tenseur d'inertie des formes circulaires, on préfère utiliser les coordonnées .... d'un disque mince de masse M, de rayon r sur un anneau fixe de rayon R.




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TD N°1 : STATIQUE PAR LES TORSEURS

TD N°2 : CINEMATIQUE

TD N°3 : CINETIQUE - CALCUL DU CENTRE DE GRAVITE

TD N°4 : CINETIQUE - APPLICATION AU TENSEUR D’INERTIE

TD N°5 : CINETIQUE - CALCUL DU MOMENT CINETIQUE ET DE
L’ENERGIE INETIQUE

TD N°6 : CINETIQUE - THEOREMES GENERAUX

TD N° 7 : PRINCIPE DU TRAVAIL VRTUEL

TD N°8 : EQUATIONS DE LAGRANGE



























TD N°1
STATIQUE PAR LES TORSEURS


Exercice 1

Pour dégager une voiture en panne prise entre 2 automobiles stationnées, 3 personnes exercent des actions aux points A, B et C.

1- Déterminer le torseur résultant de ces actions au point G.
2- Vérifier que ce torseur est un glisseur et déterminer son axe.

Exercice 2

Déterminer les caractéristiques en A du torseur des efforts appliqués sur cet ensemble.



Exercice 3

Une clé à bougie se compose d'un corps et d'une tige de manœuvre coulissante. En utilisation, l'opérateur exerce les efforts  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  (F = 100 N et F1 = 10 N) en A et B.
- Déterminer les caractéristiques en E et O du torseur de ces efforts, dans les 2 positions.


Exercice 4
Une poutre sur 2 appuis est soumise à une charge répartie variant linéairement  EMBED Equation.3  avec a = 100 N/m².
Déterminer les éléments de réduction les plus simples du torseur associé à la charge  EMBED Equation.3 .







Exercice 5






SOLUTION DU TD N°1


Exercice 1

La voiture est soumise à 3 torseurs :
a) action en A :  EMBED Equation.3 
car  EMBED Equation.3 // EMBED Equation.3  .
b) action en B :  EMBED Equation.3 
car  EMBED Equation.3 
c) action en C :  EMBED Equation.3 
car  EMBED Equation.3 
Le torseur résultant en G est égal à :
 EMBED Equation.3 
La force résultante est égale à :  EMBED Equation.3 
Le moment résultant est égal à  EMBED Equation.3 
Le torseur est un glisseur si en un point D(x,y), le moment résultant  EMBED Equation.3  s’annule :
 EMBED Equation.3 Soit  EMBED Equation.3 =0 ou 566.51 x -525 y – 690 =0

La droite d’équation 566.51 x -525 y – 690 =0 est l’axe du glisseur. Pour tous les points appartenant à cette droite, le torseur se réduit à un glisseur

Exercice 2
L’ensemble est soumis à l’action de 5 torseurs appliqués en A, K, H, I et F
Tout d’abord, il faut convertir les distances en m

a) action en A
 EMBED Equation.3 
b) action en K :  EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 
c) action en H :  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
d) action en I :  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
2) action en F :  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 



 EMBED Equation.3 
Méthode directe : les forces  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  sont égales et opposées, leur action est un couple autour de l’axe y, le module de ce couple est : C=F d =160 (0.15+0.1)=40 N.m
Donc : les forces  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  peuvent être remplacées par un torseur couple :  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
Exercice 3



La force résultante en O est égale à :  EMBED Equation.3 
Le moment résultant est égal à :  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
Position 1 :  EMBED Equation.3  d’où  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
Position 2 :  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  D’où  EMBED Equation.3 
En E la force résultante ne change pas  EMBED Equation.3 
Le moment en E est égal à :  EMBED Equation.3  car EMBED Equation.3  //  EMBED Equation.3 
D’où  EMBED Equation.3 

Exercice 4









Calculons le torseur résultant en un point G(b,0,0) :
La force résultante est égale à :  EMBED Equation.3 
Le moment résultant en G est égal à :
 EMBED Equation.3 
Si on choisit  EMBED Equation.3  alors  EMBED Equation.3 
Et le torseur se réduit à :  EMBED Equation.3 avec  EMBED Equation.3 













Exercice 5







































TD N°2
CINEMATIQUE


Exercice1
Un repère mobile R’(Ox’y’z’) tourne autour de l’axe Ox. 
Soit un vecteur  EMBED Equation.3  projeté dans le repère R’.
Calculer  EMBED Equation.3 en exprimant  EMBED Equation.3 en fonction de  EMBED Equation.3 
Calculer  EMBED Equation.3 à l’aide de la dérivée d’un vecteur.


Exercice2
Un bipendule est constitué de deux barres OA et OB de longueur  EMBED Equation.3 et  EMBED Equation.3 .
Calculer les composantes des vitesses  EMBED Equation.3 et  EMBED Equation.3 dans les deux repères R’ et  EMBED Equation.3 .
O est fixe, le système oscille dans le plan oxy, le repère R’ est lié à la barre AB, le repère  EMBED Equation.3 est lié à la barre OA.


Exercice 3
Un axe horizontal CD tourne autour d’un axe vertical  EMBED Equation.3 ou  EMBED Equation.3  à la vitesse angulaire. La barre OP de longueur l est soudée en O à CD et lui est  EMBED Equation.3 . Elle peut tourner autour de CD d’un angle EMBED Equation.3 . Sachant que  EMBED Equation.3 est un repère fixe, le repère  EMBED Equation.3  est un repère intermédiaire dont  EMBED Equation.3  est suivant CD,  EMBED Equation.3 est suivant OP.
Déterminer l’accélération du point P  par la dérivée du vecteur EMBED Equation.3 . Le choix des axes de projection est important.


Exercice4
Une toupie tourne autour de son axe de révolution à la vitesse angulaire, cet axe fait l’angle  EMBED Equation.3  constant avec la verticale et tourne autour de celle-ci à la vitesse.
Déterminer le module de la vitesse angulaire  EMBED Equation.3  et l’angle que fait celle-ci avec la verticale.

















SOLUTION TD N°2

Exercice1
Ro =Oxyz repère fixe, R’=O’x’y’z’ repère mobile,  EMBED Equation.3 
Calcul de  EMBED Equation.3 en exprimant  EMBED Equation.3  en fonction de  EMBED Equation.3 
On a  EMBED Equation.3 
  

En utilisant la dérivée d’un vecteur


Exercice2

Ro =Oxyz repère fixe, R1 =Ox1y1z1 repère mobile 
R’ =Ax’y’z’ repère mobile   

Calcul de la vitesse  EMBED Equation.3  du point A.



Repère R’ :  EMBED Equation.3 


Vitesse  EMBED Equation.3  du point B dans chacun des repères.

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

Repère Ro :

Repère R1 :

Repère R’ :


Exercice 3








Exercice 4

La toupie tourne avec une vitesse angulaire totale 
 EMBED Equation.3 

2- Soit  EMBED Equation.3 l’angle que fait  EMBED Equation.3 avec la verticale.









TD N°3
CINETIQUE
CALCUL DU CENTRE DE GRAVITE

Exercice 1
- Montrer que le centre de gravité d’un parallélogramme est le point d’intersection des diagonales.
- Montrer que le centre de gravité d’un triangle est le point d’intersection des médianes.

Exercice2
Calculer la position du centre de gravité de d’une tige curviligne homogène(figure 1). On donne A(4,3), B(6,3), D(10,3). Le rayon de la forme circulaire est de 2.

Figure 1

Exercice 3
Calculer par rapport à un repère que vous choisissez les coordonnées du centre de gravité d’une surface homogène (figure 2). AB=ED=12, BC=8, CD=6. (AE)//(BD), (AB)//(ED),  EMBED Equation.3  La forme arrondie est un demi-cercle.
On donne les angles :  EMBED Equation.3  ,  EMBED Equation.3 .

Figure 2








SOLUTION DU TD N°3


Exercice 1
a- Le point de rencontre des diagonales est un centre de symétrie pour le parallélogramme. Or on a vu que tout centre de symétrie d’une structure homogène est un centre de gravité.
En effet, si la structure possède un centre de symétrie O, alors on peut décomposer la surface en deux parties S1 et S2 telle que S2 soit le symétrique de S1 par rapport à O.
On par définition :  EMBED Equation.3 
D’où G=O


b- Soit un triangle ABC, on décompose la surface en tranches infinitésimales (épaisseur très petite) parallèles à BC. Le centre de gravité de chaque tranche est situé en son milieu. Or on a vu que le centre de gravité d’un solide composé de deux autres solides de centres de gravité G1 et G2 est situé sur la droite G1G2. Donc le centre de gravité du triangle est situé sur la droite reliant les milieux de chaque tranche, il se trouve donc sur la médiane AM.
D’une façon similaire, on peut montrer qu’il se trouve sur les 2 autres médianes.
Le centre de gravité est donc le point d’intersection des médianes.
En utilisant la géométrie des triangles, on montre que  EMBED Equation.3 







Exercice 2

On note d’abord que le centre C du cercle se trouve sur la médiatrice du segment [AB].
On a : AB=2, AC=BC=R=2
 EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 ,
La tige OA a pour longueur EMBED Equation.3 , son centre de gravité  EMBED Equation.3  est situé au milieu de OA.  EMBED Equation.3 
La forme circulaire a pour longueur  EMBED Equation.3 , son centre de gravité  EMBED Equation.3  est situé sur son axe de symétrie EMBED Equation.3 , d’après le formulaire, on a :
 EMBED Equation.3 
On a  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
La tige BD a pour longueur EMBED Equation.3 , son centre de gravité  EMBED Equation.3  est situé au milieu de BD.  EMBED Equation.3 
Le centre de gravité G de la tige est donnée par :  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  ( EMBED Equation.3  est la masse linéique). La tige étant homogène donc  EMBED Equation.3  est constante, et par conséquent :  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
Le centre de gravité G a pour coordonnées (4.02, 3.06)


Exercice 3

La surface en question peut-être décomposée en 3 éléments : un demi-cercle de centre O et de rayon OA, un parallélogramme ABDE, et un triangle droit BCD.
1- Le demi-cercle a pour rayon  EMBED Equation.3 
Sa surface est égale à EMBED Equation.3 , son centre de gravité G1 est (voir formulaire) tel que :  EMBED Equation.3 
On  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 

2- Pour le parallélogramme ABDE, la surface est égale à :
 EMBED Equation.3 
Son centre de gravité G2 est tel que :
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
3- Le triangle BCD a pour surface  EMBED Equation.3 , son centre de gravité G3 est situé sur la médiane BM, il est tel que :  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
Le centre de gravité est donnée par :  EMBED Equation.3  car  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  est la masse surfacique. La tige étant homogène,  EMBED Equation.3  est constante, et par conséquent :  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
Par rapport au repère A(x,y), le centre de gravité a pour coordonnées G(7.68,4.59).



































TD N°4
CINETIQUE
APPLICATION AU TENSEUR D’INERTIE

Exercice 1
a- Calculer les tenseurs d’inertie suivant les repères GXYZ et Axyz d’une plaque rectangulaire de masse M, de longueur a et de largeur b.

b- Calculer le moment d’inertie de la plaque par rapport à un axe  EMBED Equation.3  passant par G et faisant un angle de 45° avec GX .
c- Calculer le moment d’inertie de la plaque par rapport à un axe  EMBED Equation.3  passant par A et faisant un angle de 45° avec Ax

Exercice 2
Calculer le moment d’inertie d’une tige homogène de longueur l, par rapport à une droite  EMBED Equation.3  passant par l’une de ses extrémités et faisant avec elle un angle  EMBED Equation.3 

Exercice 3
Trouver le tenseur d’inertie d’un cylindre creux de masse M, de hauteur H, de rayon intérieur  EMBED Equation.3 , de rayon extérieur  EMBED Equation.3 , par rapport à un repère dont un axe est l’axe de révolution et les 2 autres sont dans le plan de base du cylindre.
En déduire le tenseur d’inertie d’un :
cerceau de masse M
disque de masse M
cylindre plein de masse M





SOLUTION DU TD N°4


Exercice1


Le solide est une plaque de dimension a x b. Sa surface est EMBED Equation.3 , sa Masse : EMBED Equation.3  d’où EMBED Equation.3 . Pour calculer EMBED Equation.3 , on découpe le domaine en plaques rectangulaires horizontales infiniment petites (figure 1) de telle sorte que la distance entre cette plaque et l’axe (GX) soit constante. Cette plaque a pour surface  EMBED Equation.3  et pour masse :
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
En découpant le solide en plaques rectangulaires verticales (figure 2) ( EMBED Equation.3 )
On obtient :  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
Pour calculer EQ  EMBED Equation.3 , on découpe le domaine (figure 3) en plaques rectangulaires de surface  EMBED Equation.3  et de masse EMBED Equation.3 .
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  car z=0 EMBED Equation.3 
Ce résultat était attendu, car les axes (GX), (GY) et (GZ) sont des axes de symétrie, donc des axes principaux et par conséquent les produits d’inertie sont nuls.
Remarque : On pouvait utiliser le découpage de la figure 3, pour calculer  EMBED Equation.3 
R EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
Pour calculer le tenseur d’inertie par rapport au repère Axyz, il suffit de changer les bornes de l’intégrale, 0 à a pour x, et 0 à b pour y, ou appliquer le théorème de Huygens pour les moments d’inertie.
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
Exercice 2

Pour trouver le tenseur d’inertie de la tige, il suffit de remplacer dans la formule de  EMBED Equation.3 l par a et b par zéro.  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 


Exercice 3


Pour calculer le tenseur d’inertie des formes circulaires, on préfère utiliser les coordonnées cylindriques  EMBED Equation.3  :
 EMBED Equation.3 .

Pour trouver l’élément de volume dV, on fait varier r de dr,  EMBED Equation.3 , et y de dy, on obtient :

 EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 

Le Volume total vaut :  EMBED Equation.3 ,
La masse totale vaut :  EMBED Equation.3 
De même  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

Pour des raisons de symétrie on a :  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
Les axes (ox), (oy), (oz) sont des axes principaux, donc les produits d’inertie sont nuls.

 EMBED Equation.3 


Application

a- Tenseur d’inertie d’un cerceau
Pour un cerceau, on a : EMBED Equation.3  et H=0, d’où :
 EMBED Equation.3 

b- tenseur d’inertie d’un disque
Pour un disque, on a   EMBED Equation.3  et H=0, d’où
 EMBED Equation.3 
c- tenseur d’inertie d’un cylindre plein
Pour un cylindre plein, on a  EMBED Equation.3 , d’où :

 EMBED Equation.3 
































TD N°5
CINETIQUE
CALCUL DU MOMENT CINETIQUE ET DE L’ENERGIE INETIQUE



Exercice 1
Soit un solide (S) constitué d’une tige OC de masse M’, et d’un cerceau de masse M et de rayon R tournant autour de son axe horizontal, l’ensemble tourne autour de Ozo qui est fixe et vertical.
Calculer le moment cinétique de (S) par rapport à O.
Calculer son énergie cinétique.

Exercice 2
Deux tiges homogènes OA et AB, de masse M et de longueur l sont articulées entre-elles en A. La première est mobile autour de O. Elles sont assujetties à rester dans le plan vertical Oxoyo.
Calculer le moment cinétique du système  EMBED Equation.3  et son énergie cinétique.

Exercice 3
On considère un pendule dit elliptique constitué d’une barre O’A homogène (masse M, longueur l) qui oscille dans le plan vertical et dont l’extrémité O’ glisse sur l’axe horizontal Oxo.
Calculer son moment cinétique  EMBED Equation.3  et son énergie cinétique.


Exercice 4
Soit une plaque homogène de masse m, de cotés 2a et 2b, et de centre de gravité G, tournant autour d’une de ses diagonales fixe à la vitesse angulaire EMBED Equation.3 .
Calculer son moment cinétique  EMBED Equation.3  et son énergie cinétique




SOLUTION DU TD N°5



1- Rappel
Le tenseur d’inertie d’un cerceau de rayon R (TD n°4, exercice 3) :


D’après d’Huygens :  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  (2)

Le tenseur d’inertie d’une barre de longueur l est (TD n°4, exercice 2) :

D’après d’Huygens :
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  (4)

Le tenseur d’inertie d’une plaque rectangulaire de cotés 2a et 2b est (TD n°4, exercice 1) :







Exercice 1

Soit un solide (S) formé de S1 (tige oc) et de S2 (cerceau) :
Le moment cinétique du système est égal à :  EMBED Equation.3 



L’énergie cinétique du système est égal à : 



Autre méthode, d’après le théorème de Koenig :

 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 


 EMBED Equation.3 


Exercice 2

 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 







 EMBED Equation.3 








Exercice 3

,

 EMBED Equation.3 



Exercice 4

La plaque tourne autour de sa diagonale de vecteur unitaire  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
TD N°6
CINETIQUE
THEOREMES GENERAUX


Exercice 1
Une barre AB homogène de masse M, de longueur l glisse sans frottement dans un cerceau.
Trouver la relation à partir du théorème du moment cinétique. (on pose a=OH)



Exercice 2
Soit le roulement sans glissement d’un disque mince de masse M, de rayon r sur un anneau fixe de rayon R.
- Trouver la relation entre (est la vitesse angulaire du disque)
- Trouver la relation à partir du théorème du moment cinétique
- Calculer  EMBED Equation.3 et  EMBED Equation.3 les composantes de la réaction de contact en I.
- Montrer qu’à partir d’une certaine valeur  EMBED Equation.3  de  EMBED Equation.3 , le disque quitte l’anneau.
On prend :  EMBED Equation.3  et 







Exercice 3
Un disque mince (masse M, rayon r) roule sans glisser à l’intérieur d’un anneau fixe de rayon R.
Calculer à partir du théorème de l’énergie cinétique, la période des petites oscillations du disque sachant que les frottements de roulement sont négligeables.

Exercice 4
Deux tiges CA et CB de masse m et 2m, de longueur l et 2l (respectivement) sont solidaires et perpendiculaires entre elles. Elles sont assujetties par des liaisons parfaites à tourner dans un plan vertical autour du point fixe C. En A, est fixé un ressort de raideur k, la position de son extrémité O est choisie de façon que CA soit horizontale lorsque le système est en équilibre.
- Calculer la période des oscillations de faible amplitude au voisinage de la position d’équilibre.

Exercice 5
Les extrémités A et B d’une barre homogène de masse M et de longueur 2l glissent sans frottement, A sur un axe vertical, B sur un axe horizontal. On repère la position de la barre par l’angle  EMBED Equation.3 qu’elle fait avec l’axe l’horizontal. On prend à t=0 :  EMBED Equation.3  et .
- Ecrire l’équation du mouvement  à partir du théorème de l’énergie cinétique.
- Calculer les réactions  EMBED Equation.3 et  EMBED Equation.3 
- Montrer qu’à partir d’une certaine valeur  EMBED Equation.3  de  EMBED Equation.3 , le point A quitte l’axe vertical.







SOLUTION DU TD N°6




Exercice 1

Le théorème du moment cinétique appliqué au point fixe o donne :
 EMBED Equation.3  (1)




Pour intégrer cette équation, on multiplie par  EMBED Equation.3  :

 









Exercice 2

 EMBED Equation.3  est l’angle de rotation du disque autour de l’axe oz  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  est l’angle de rotation du disque autour de l’axe Iz.
La vitesse totale du disque est égale à :  EMBED Equation.3 

Roulement sans glissement :  EMBED Equation.3 



Le théorème du moment cinétique appliqué en C (centre de masse) donne :
 EMBED Equation.3  (2)
 EMBED Equation.3 


Appliquons maintenant le théorème du centre de masse :
 EMBED Equation.3  (4)

En projetant l’éq (4) sur le repère Rc, on obtient :

En remplaçant T par (3) on obtient :


Calcul des réactions
D’après les éq (3) et (6)  EMBED Equation.3  (8)
D’après les éq (5) et (7)  EMBED Equation.3  (9)
Le disque quitte l’anneau quand N=0, d’où  EMBED Equation.3  (10)

Exercice 3

D’après le théorème de l’énergie cinétique :
 EMBED Equation.3  (1)
 EMBED Equation.3  car  EMBED Equation.3 =0 (roulement sans glissement)
I est le point de contact appartenant au disque,  EMBED Equation.3  est force de réaction en I.




L’énergie cinétique du disque est égale à :
 EMBED Equation.3 

Le disque est en mouvement plan, d’où :



Remarque : La seule force qui travaille est celle de la pesanteur (poids), on peut donc appliquer la loi de conservation de l’énergie totale.  EMBED Equation.3 est constante.
L’énergie potentielle  EMBED Equation.3 


Exercice 4



 EMBED Equation.3 

Pour des oscillations de faible amplitude on prend : EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  (3)
D’après l’éq (1) on obtient :

D’où  EMBED Equation.3  (5)
Remarque : Les seules forces qui travaillent sont le poids et celle engendrée par le ressort, on peut donc appliquer la loi de conservation de l’énergie. L’énergie totale  EMBED Equation.3 est constante.
Le système (2 tiges) est rotation autour de l’axe fixe Cz, L’énergie cinétique est égal à:

L’énergie potentielle  EMBED Equation.3 









Exercice 5






Remarque : La seule force qui travaille est celle de la pesanteur (poids), on peut donc appliquer la loi de conservation de l’énergie. L’énergie totale  EMBED Equation.3 est constante.
L’énergie potentielle  EMBED Equation.3 




































TD N° 7
PRINCIPE DU TRAVAIL VRTUEL


Exercice 1

On considère le système (S), on exerce en B et D une force  EMBED Equation.3  selon l’axe horizontal, en C est appliqué le poids  EMBED Equation.3  du à la masse m. Les barres sont de masse négligeables et toutes les liaisons sont parfaites.
Trouver la relation entre F et P lorsque le système est en équilibre sachant que  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 , et AE sont constantes (E point fixe).



Exercice 2

OA, AB et BC barres homogènes identiques (m, 2l) mobiles dans un plan vertical et parfaitement articulées entre elles. O est un point fixe. Le point C est astreint à rester sur l’axe ox, il n’y a pas de frottements en O et C. En B, est appliquée une force EMBED Equation.3 .
Trouver la position d’équilibre du système.







SOLUTION DU TD N°7


Exercice 1



Le système est en équilibre, donc d’après le principe du travail virtuel, on a :

 EMBED Equation.3 
Puisque les liaisons sont parfaites, les seules forces qui travaillent sont  EMBED Equation.3 et  EMBED Equation.3  :
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  d’où  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  ne sont pas indépendants.
En effet :  EMBED Equation.3  d’où  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 , en injectant cette expression dans la relation de la force, on obtient :
 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 








Exercice 2


Le système est en équilibre, donc d’après le principe du travail virtuel, on a :
 EMBED Equation.3 
Les seules forces qui travaillent sont les poids des barres appliqués en leurs centres de gravité, et la force EMBED Equation.3 .
 EMBED Equation.3  (1)
 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3  d’où  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 

En injectant ces expressions dans l’équation (1), on obtient :

 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 

D’où  EMBED Equation.3 







TD N°8
EQUATIONS DE LAGRANGE


Exercice 1

Dans un plan vertical oxy, on considère un pendule simple (l,m) dont le point de suspension A se déplace à vitesse angulaire constante  EMBED Equation.3 , sur un cercle de rayon r.
Calculer le lagrangien du système et en déduire l’équation du mouvement.



Exercice 2












Exercice 3

Une bille A, assimilée à un point matériel de masse m, peut se déplacer librement sans frottement sur un cerceau (C) (masse m, rayon a et centre C) grâce à une liaison bilatérale parfaite. Le cerceau est astreint à se déplacer dans un plan vertical fixe en roulant sans glisser sur l’axe Ox,  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3  est l’angle de rotation propre du cerceau.
-Ecrire les équations du mouvement à partir des équations de Lagrange.
- Calculer la période des petites oscillations.

Exercice 4



Exercice 5

Les raideurs des ressorts sont EMBED Equation.3 . Les liaisons sont dissipatives (non- parfaites). Les coefficients d’amortissement sont EMBED Equation.3 .
Trouver les équations de mouvement.


Exercice 6


Toutes les liaisons sont parfaites. La raideur du ressort est k et sa longueur à vide est  EMBED Equation.3 . La masse de (3) est m. Le mouvement de  EMBED Equation.3  est tel que EMBED Equation.3 .
1- Calculer les énergies cinétique et potentielle du système.
2- Etablir les équations du mouvement en utilisant les équations de Lagrange.
















SOLUTION Du TD N°8




Exercice 1












Exercice 2











Exercice 3

Pour la bille A on a : (on pose X=OI) :

Son énergie potentielle :  EMBED Equation.3 



Exercice 4















Exercice 5


Considérons le système (les deux masses + 3 ressorts), son énergie cinétique est :

Les liaisons étant non parfaites, les équations de Lagrange s’écrivent :

 EMBED Equation.3  est la force totale appliquée sur S1 :  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  : est la force engendrée par le ressort 1, elle vaut :
 EMBED Equation.3  où  EMBED Equation.3  est le déplacement de S1 par rapport à So.
 EMBED Equation.3  : est la force engendrée par le ressort 2, elle vaut :
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3  est le déplacement de S1 par rapport à S2
 EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3  sont des forces d’amortissement :




Le système (1) s’écrit :

Ou sous forme matricielle :


Remarque :
Si les liaisons étaient parfaites (pas d’amortissement), les équations de Lagrange s’écrivent :

U étant l’énergie potentielle des ressorts :
 EMBED Equation.3 

Puisque les liaisons ne sont pas parfaites, on doit donc ajouter les forces de liaisons :

Après avoir remplacé et dérivé, on obtient les mêmes équations :


Exercice 6






 EMBED Equation.3 








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PHYSIQUE 4 - Travaux Dirigés –
Solution du TD1 : Statique -Torseur



TN06 - Travaux Dirigés – P03
Représentation des Actions mécaniques - Torseurs












p(x)

y

x

1 m

p(x)

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