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MECANIQUE : TD n°3 - Les CPGE de Loritz

1°) Rappeler l'expression du champ magnétique créé par une spire de rayon R parcouru par un courant I sur son axe principal (Oz). En déduire le champ créé ...




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MAGNETOSTATIQUE : TD n°5

A – APPLICATIONS DU COURS
1°) Soit une spire de rayon a d’axe (Oz), parcourue par un courant d’intensité I. Quelles sont les symétries et invariances de cette distribution ?
Rép : Plan de symétrie : xOy et d’antisymétrie : xOz et zOx ; invariance par rotation autour de Oz

2°) Donnez les unités de B et (0 dans les système mksA.
Rép : [B]=MT-2A-1 et [(0]=MLT-2A-2.

3°) Soit j=jx(x,y)ex+jy(x,y)ey, donnez alors la dépendance et la direction de B.
Rép : B(M)=B(x,y).ez

4°) Soit une distribution volumique de courants possédant un plan de symétrie ((). Le champ magnétostatique en un point M quelconque de l’espace est obtenu à partir de la loi de Biot & Savart. Soit M’ le symétrique de M par rapport à ((). Montrer que B(M’)=-sym(B(M)
Rép : trivial en utilisant le fait que B est axial.



B – TRAVAUX DIRIGES n°38
I – BOBINES DE HELMHOLTZ
1°) Rappeler l’expression du champ magnétique créé par une spire de rayon R parcouru par un courant I sur son axe principal (Oz). En déduire le champ créé par une bobine formé de N spires.
Calculer le champ au centre de la spire B0 et démontrer ainsi que B0=5,5.10-4I si N=130spires et R=15cm

2°) On considère maintenant deux bobines symétriques distantes de d. Démontrer alors que le champ au voisinage du point central peut s’écrire B(M)=B0R3[2f(d/2)+z²f’’(d/2)+o(z4)] où :
f(y)=1/(R²+y²)3/2.
z distance sur l’axe où le point central est pris comme origine.

3°) Calculer alors le champ au voisinage du centre pour d=R. Démontrer que celui-ci peut s’écrire au quatrième ordre près par B(M)=7,8.10-4I

4°) On a représenté ci dessous le champ créé par une bobine et celui créé par les bobines, en déduire l’avantage des bobines d’Helmholtz pour par exemple la mesure de e/m.

Rép : 1°) B0=(0NI/2R 2°) En effectuant des D.L… 3°) f’’(R/2)=0(B(M)=B0+o(z4) où B(0)=24/53/2.B0=7,8.10-4.I
4°) Le champ est quasi-constant au voisinage de 0.





II - LE SOLENOÏDE
1°) Rappeler l’expression du champ magnétique créé par une spire de rayon R parcouru par un courant I sur son axe principal (Oz).
2°) Un solénoïde est un assemblage cylindrique de spires, il comporte n spires par unité de longueur. Démontrer par des raisons de symétrie que le champ sur l’axe du solénoïde peut se mettre sous la forme : B(M)=Baxe(z)ez.
3°) Démontrer que le champ sur l’axe peut se mettre sous la forme Baxe(M)=mð0nI/2.[cos(1ðcosað2] où að1 et að2 sont les angles desquels on voit les bords du solénoïde à partir du point M.
4°) En déduire le champ B pour un solénoïde infini.

Rép : 1°) B(M)=(0I/2R.sin3(.ez 2°) B(axe)=Baxe(z).ez car sur l axe r=0. 3°) Soit dB=(0I/2R.ndz.sin3(.ez 4°) B(M)=(0nI.ez




C – EXERCICES SUPPLEMENTAIRES
I – SPHERE RECOUVERTE DE SPIRES
Considérons une sphère de rayon R recouverte d’un nombre élevé de spires jointives parcourues dans le même sens par un courant d’intensité I. On choisira Oz comme axe de symétrie. (on notera n le nombre de spires par unité de longueur)
1°) Montrer que l’on peut considérer cette distribution comme une distribution de courants surfaciques avec js=nIejð
2°) Montrer que le champ au centre de la sphère est : B(0)= EMBED Equation.3 .
Rép : 1°) dI=js.dl=I.dN(js=nI& 2°) dBz(0)=(0nI/2R.sin²(.d(&



II  DISQUE DE ROWLAND
Un disque métallique de rayon R, portant une charge électrique répartie avec la densité surfacique uniforme sð tourne autour de l axe Oz (perpendiculaire au disque) à la vitesse angulaire (.
1°) Découper le disque en spires de rayon r et de largeur dr et montrez que celle-ci sont responsables d une intensité élémentaire dI=sðrwðdr.
2°) Calculer le champ sur l axe Oz en fonction de z et R.

Rép : 1°) Le disque est une superposition de spires de rayon r et de largeur dr. Le courant d intensité dI du à la rotation de chaque spire est donc : dI=dq/dt=d(sðS)/dt=sðdS/dt=sðSspire/T (en effet la5É- K L M e r t u w | } çÎç·ç§—…—ra—…N…N…9( jmðhm'-h°4KCJOJQJ\]^J%hm'-h°4KCJH*OJQJ\]^J!hm'-h°4KH*OJQJ\]^J$ jmðhm'-h°4KOJQJ\]^J"hm'-h°4KCJOJQJ\]^Jhm'-h°4KOJQJ\]^Jhm'-h°4K>*CJOJQJ^J,jhm'-h°4KOJQJU^JmHnHu0hm'-hm'-5CJ$OJQJ^Jeh rÊÿ 0hm'-h°4K5CJ$OJQJ^Jeh rÊÿ 5É, - e Š ‹ Ý ò ó ÿ
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2°) Il suffit pour obtenir B(M) de sommer la contribution de chaque spire élémentaire :
 EMBED Equation.3  avec r=ztanqðÞðdr=zdqð/cos²qð
d où  EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 
Þð ðBð(ðMð)ð=ð EMBED Equation.3 
Þð B(M)=  EMBED Equation.3 ez où cosqðm= EMBED Equation.3 Þð B(M)=  EMBED Equation.3 ez



III  CHAMP MAGNETIQUE AU VOISINAGE D UN FIL
Un circuit électrique parcouru par le courant I possède une partie rectiligne AC, vue depuis un point M sous les angles (1 et (2.
1°) On veut déterminer B(M) en intégrant la loi de Biot et Savart. Calculer, en fonction de h, (1 et (2, la partie de l’intégrale correspondant au tronçon AC.
2°) Le circuit est une spire de côté a. Déterminer le champ B au centre du carré.
3°) Le point M est très proche du segment AC : que deviennent h, (1 et (2 ? En déduire une expression approchée de B(M) au voisinage immédiat du fil.

Rép : 1°) BAC=(0I/4(h.(sin(2-sin(1).n 2°) Bcarré=2(2(0I/(a.n 3°) B=(0I/2(†9¬9®9°9²9´9¶9Ü9Þ9à9â9ä9ò9ô9::: :$:&:(:2:4:6:\:^:`:b:d:f:h:v:x:z:|:úçÛÑúÑú¾²Ñú¨Ñú›Ñú¨úˆúÑúuiш`ˆú¨Yú
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