Exercice 2 : Le trébuchet (5,5 points)
TD. TP. Contrôle Continu. Examen. UE Fondamentale. Code : UEF 1.1.1. Crédits
: 10. Coefficients : 5 ..... 1- Comprendre les éléments finis (Principes, formulation
et exercices corrigés). 2- Modélisation des ...... Elasticité et MMC. Contenu de la ...
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Réunion 2007 Exercice 2 : Le trébuchet (5,5 points)
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Étude du mouvement du projectile après libération
Caractéristiques du poids EMBED Equation.DSMT4 :
- direction: verticale
- sens: vers le bas
- valeur: P = m.g
P = 130 ( 10 = 1,3(103 N
Caractéristiques de la poussée d'Archimède EMBED Equation.DSMT4 :
- direction: verticale
- sens: vers le haut
- valeur: PA = (air.V.g
PA = 1,3 ( 50(103 ( 10 = 1,3(5,0(101 = 6,5(10-1 N (V = 50 L = 50(103 m3)
Calculons: EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 = 0,20(104 = 2,0(103
Le valeur du poids est environ 2000 fois plus grande que la valeur de la poussée d'Archimède.
On peut donc négliger par la suite la poussée d'Archimède devant le poids.
Système : Le projectile Référentiel : le sol , référentiel terrestre supposé galiléen
Dans le cadre de la chute libre, le projectile n'est soumis qu'à la force poids.
La 2nde loi de Newton donne: EMBED Equation.DSMT4 = m. EMBED Equation.DSMT4 ( m. EMBED Equation.DSMT4 =m. EMBED Equation.DSMT4
soit: EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4
En projection selon les axes Ox et Oz du repère choisi et compte tenu du sens du vecteur EMBED Equation.DSMT4 indiqué sur la figure 1 ci-dessus, il vient:
EMBED Equation.DSMT4
Coordonnées du vecteur vitesse initiale EMBED Equation.DSMT4 :
EMBED Equation.DSMT4
À chaque instant, EMBED Equation.DSMT4 donc : ax(t) = EMBED Equation.DSMT4 et az(t) = EMBED Equation.DSMT4 , en primitivant on a :
EMBED Equation.DSMT4
Compte tenu du vecteur vitesse initiale EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 on a :
v0 . cos( = Cte1
v0 . sin( = 0 + Cte2
Finalement :
EMBED Equation.DSMT4
Comme à chaque instant la composante du vecteur vitesse sur l'axe horizontal est constante (vx(t) = v0 . cos( = Cte1), le mouvement du projectile en projection sur l'axe horizontal est uniforme.
7. À chaque instant EMBED Equation.DSMT4 donc vx(t) = EMBED Equation.DSMT4 et vz(t) = EMBED Equation.DSMT4 , en primitivant on a :
EMBED Equation.DSMT4
Or à t = 0 le projectile est au point de coordonnées (x(0) = 0; z(0) = H) donc:
x(0) = 0 + Cte3 = 0
z(0) = 0 + 0 + Cte4 = H
Finalement :
EMBED Equation.DSMT4
8. On tire de l'expression de x(t) = v0.cos(.t , le temps t : t = EMBED Equation.DSMT4
que l'on reporte dans z(t) : z(x) = EMBED Equation.DSMT4
Finalement: EMBED Equation.DSMT4
L'expression z(x) est de la forme: z(x) = a.x² + b.x + c avec a qui est négatif.
Il s'agit de l'équation d'une parabole dont la concavité est tournée vers le bas (a
