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I. Présentation :
Dans un système automatisé, le traitement des informations concernant principalement létat de la partie opérative (OP) (capteurs, consignes utilisateur, etc.) nécessitent des organes de commande dotée dune certaine intelligence relativement élevée, allant du simple circuit logique combinatoire jusquau microordinateur sophistiqué.
La position de la fonction
. dans une chaîne dinformation, ainsi que les différentes réalisations principales sont représentées par les figures suivantes.
II.algèbre de Boole circuits logiques :
2.1 Introduction :
De nombreux dispositifs ont deux états stables de fonctionnement. Par exemple un interrupteur peut être ouvert ou fermé.on convient daffecter par convention, à un des deux états la valeur « 0 » et « 1 » à lautre état.
Lalgèbre de Boole est loutil mathématique pour étudier ces dispositifs et les circuits logiques représentent loutil technologique pour réaliser pratiquement les opérations de base de cette algèbre.
2.2 Définitions préliminaires.
2.2.1 Variable logique :
.
.
2.2.2 Fonction logique :
..
2.2.3 Logique combinatoire :
..
..
2.2.4 Logique séquentielle :
.
2.2.5circuit logique
..
2.3 Opérations booléennes élémentaires :
Trois opérations élémentaires suffisent pour définir une algèbre de Boole :
Linversion :
.
Le produit logique :
.
La somme logique :
.
a. Opération inversion :
Cest une opération définie sur une seule variable.la sortie prend la valeur que na pas lentrée.on dit que la sortie est linverse ou le complément de lentrée.
Tableau de vérité Diagramme temporel
eS
S = e
S = e
Logigramme
Schéma électrique
( Propriété :
..
b. Opération ET (AND) :
Cest une opération sur 2 variables dentrées au moins.dans le cas simple de 2 entrées a et b, la sortie est vraie (égale à 1) si a et b sont vraies aussi.
Tableau de vérité Diagramme temporel
abs
S =
.. (se lit a et b) ; se dit aussi produit logique
Logigramme
Schéma électrique
La lampe S est allumée (S=1) si linterrupteur a et linterrupteur b sont fermés (a=b=1) : L = a.b
( Propriété :
La fonction AND est commutative :
.
La fonction AND est associative :
La fonction AND est généralisable pour n entrées.
Identités remarquables :
...
c. Opération OU (OR) :
Cest une opération sur 2 variables dentrée au moins.dans le cas simple de 2 entrées a et b,la sortie est vraie (égale à 1) si seulement a ou b est vraie.
Tableau de vérité Diagramme temporel
abS
S =
(se lit a ou b) ; se dit aussi somme logique.
Logigramme Schéma électrique
L est allumée (L=1) si a ou b est fermée
(a =1 ou b =1) : L = a+b.
( Propriété :
La fonction OR est commutative :
.
La fonction OR est associative :
La fonction OR est généralisable pour n entrées.
Identités remarquables :
.
d. Opération NOR :
Cest le complément de lopération OR.
Tableau de vérité Diagramme temporel
abS
S =
Logigramme
Schéma électrique
2.4 Propriétés et théorème remarquables :
2.4.1 Propriétés :
. (distributivité du produit par rapport à la somme).
. (distributivité de la somme par rapport au produit).
............ (Factorisation).
. (loi dabsorption).
..
2.4.2 Théorème de Morgan:
Ce théorème dune grande utilité, permet de calculer
..dune expression logique quelconque (somme de produits ou produits de sommes) :
Dune façon générale, le complément dune expression logique quelconque sobtient en complémentant les variables et en permutent les opérateurs « OR » et « AND » :
2.5 Représentations des fonctions logiques :
Pratiquement une fonction logique est représenter par :
.
.
.
AXYF000001010011100101110111 Exemple : voila les trois représentations dune
certaine fonction F à 3 variables A .X et Y :
Léquation logique donnée est : F(X, Y, A) = AX+AY.
La table de vérité déduite à partir de léquation est :
On déduit léquation logique de F à partir de la table de vérité.
Ainsi F=1 si on a
.ce qui donne :
F =
.
=
.
=
.
Le Logigramme déduit de léquation est :
..
..
..
.
.
.
.
III. Représentation et codage de linformation binaire.
3.1 Introduction :
Le système de numération adopté est celui de la base 10 dans laquelle on utilise :
Les 10 symbole, appelés chiffres de lensemble
Un nombre quelconque peut sécrire on utilisant
..
Exemple : 571 =
Mais la représentation des nombres avec le système décimal (base 10) nest pas la seule utilisée. On peut donc on utilisant dautres, telle que le système
.. (base 2),le système
. et le système
. .on définit alors lensemble de chaque système par :
Dans le système binaire, il ny a que deux chiffres :
.
Dans le système octale, il ny a que 8 chiffres :
.
Dans le système hexadécimal,il ny a que 16 chiffres
3.2 Les systèmes de numération :
a/ Principe :
Dune façon générale soit une base B, donc associé à B symboles : (S0.S1
SB-1) ; un nombre N à des caractéristiques suivantes :
Il sécrit N=An-1
..Ai
.A1A0 avec Ai appartient (S0.S1
Sb-1).
Il a pour valeur N=An-1Bn-1+
+AiBi+
+A1B1+A0.B0 (forme polynomiale)
( Système binaire base (2) :
La base (2) a les caractéristiques suivantes :
Un nombre N sécrit : N=An-1
..Ai
.A1A0 avec Ai
...chaque chiffre est appelé
...
Un nombre N a pour valeur N=
.. (forme polynomiale)
Et de même pour les bases octale et hexadécimal.
Exemple : N = 110101 ; il a pour valeur dans la base (2) N =
..
Et dans la base (8) N =
Et dans la base (16) N =
.
b/ Conversion de la base 2 vers la base 10 :
( On exploite directement la forme polynomiale.
Exemple pour la base 2 : (1011)2 =
..
= ..
=
..
( méthode de la division:
La méthode de la division est la plus utilisée, elle consiste en des divisions successives du nombre
par
., jusquau obtenir un quotient nul.les restes des divisions successives, écrits dans lordre
.., constituent le nombre N dans la base 2 :
..
Exemple : (22)10 = ( ?)2
Et de même pour les bases octale et hexadécimal.
c/ Application : compléter le tableau suivant :
Base décimaleBase binaireBase octaleBase hexadécimal .1011166130101111CAF7242
3.3 Codage de linformation binaire :
Un système électronique traite les informations en binaire .or ces informations sont de différentes natures.par exemple en traitement de texte on manipule des caractères ; pour qun ordinateur traite ces caractères, il faut associer alors à chaque caractère un nombre binaires, cette association sappelle
.. de linformation binaire et permet dutiliser plusieurs code selon le domaine dapplication.On étudie en particulier :
Le code binaire pur,
Le code Gray,
Le code BCD,
3.3.1 Le code binaire pur :
Cest le code binaire sans aucune codification,c'est-à-dire qui découle directement du principe général de la numération.le tableau suivant donne le code binaire pur pour un exemple dun mot de 4 bits (A3A2A1A0) .
3.3.2 Le code gray :
Dans les systèmes industriels où on a besoin de mesurer un déplacement linéaire ou angulaire .on lappelle aussi code binaire réfléchi parce que pour le construire, on procède par réflexion comme lindique le tableau suivant où on donne aussi léquivalence en
. : en partant de 0 et 1, on construit les axes de symétrie.on vérifie bien que :
On a
..
Dans le passage dune combinaison à une autre,il ny a quun bit qui change.
3.3.3 Le code BCD :
Le code BCD (Binary Coded Decimal), code binaire codé en décimal est la traduction
. ...
..
Si on a un nombre décimal N à m chiffres, il sera codé en BCD sur (m.4) bits : chaque chiffre décimal est traduit en code BCD sur 4 bits.
IV. Simplification des fonctions logique :
Pour simplifier les fonctions logiques on utilise deux méthodes :
..
.. à base de diagramme de karnaugh.
4.1La méthode algébrique :
( Principe de la méthode :
Cette méthode utilise les principes de lalgèbre de Boole, on rappel que
Le principe consiste à utiliser ces propriétés ou les mettre en évidence, dans lexpression à simplifier, en :
Ajoutant un terme déjà existant :
Multipliant par un nombre (X + X) :
Additionnant un terme avec (X. X) :
( Exemple dapplication : store automatisée.
( Résolution de léquation logique à partir de la table de vérité :
4.2 Méthode graphique :
(Tableau de karnaugh et principe de simplification :
Cette méthode plus simple utilise le tableau de karnaugh pour simplifier des fonctions booléennes, le tableau de karnaugh dune fonction logique est la transformation de sa table de vérité sous forme dune table contractée à 2 dimensions.
Pour illustrer le passage de la table de vérité au tableau de Karnaugh, on traite lexemple suivant :
4.3 Applications :
Le tableau de karnaugh ci-dessus nous montre deux groupements de cases symétriques :
G1 : létat de s,m et d ne change pas tandis que celui de v change donc G1 =
.
G2 : létat de v ne change pas tandis que celui des autres variables change donc G2 =
.
Donc : M =
..
Exemple 2 :
Léquation simplifiée sera donc : F =
..
Exemple 3 :
3 groupements sont possibles :
G1 : dont léquation est
G2 : dont léquation est
G3 : dont léquation est
Léquation F3 devient donc : F3 =
..
Conclusion :
Le nombre de variables supprimées dépend de la taille du groupement. Ainsi :
Un groupement de 2 cases symétriques entraîne la suppression
........
Un groupement de 4 cases symétriques entraîne la suppression de
.
En général, un groupement de 2^k cases entraîne la suppression de
4.4 Problème résolu :
Système dalarme :
Dans une maison équipée par un dispositif dalarme, il y a :
Un capteur A sur la porte.
Un capteur B sur la fenêtre.
Un interrupteur C pour la commande de marche/arrêt de lalarme.
Le fonctionnement du système Alarme est caractérisé par ce qui suit :
Si C = 0, lalarme est désactivée ;
Si C = 1, lalarme est activée ; si un intrus passe par une fenêtre (B = 1) ou par une porte (A = 1), une sonnette S est actionnée.
Travail demandé :
écrire la table de vérité de la sonnette S de lalarme.
en déduire la fonction logique simplifiée, par tableau de Karnaugh.
donner le logigramme correspondant.
réaliser le logigramme uniquement avec des NAND à 2 entrées.
Corrigé :
Tableau de vérité : tableau de karnaugh et fonction simplifié Logigramme avec NAND
L.Ibno yassamineSCIENCES DE LINGENIEUR 2013/2014Classe: TCTTraiter lInformationDoc : PAGE \* MERGEFORMAT 4/ NUMPAGES 11
