EXERCICES SUR LES INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
Intégrales généralisées. Objectifs. - Comprendre la définition de la convergence
d'une intégrale généralisée, et l'utiliser pour en calculer la valeur.
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Intégrales généralisées
Objectifs
- Comprendre la définition de la convergence d'une intégrale généralisée, et l'utiliser pour en calculer la valeur.
- Savoir étudier la convergence (absolue) d'une intégrale généralisée, à l'aide de comparaisons, et/ou des critères de Riemann.
- Savoir effectuer un changement de variable dans une intégrale généralisée.
- Savoir effectuer une IPP dans les intégrales généralisées.
- Voir quelques exemples d'intégrales semi-convergentes.
Exercice AUTONUMLGL En utilisant la définition d'une intégrale généralisée, étudier la convergence des intégrales généralisées suivantes, et, lorsqu'elles convergent, calculer leur valeur.
I1= EMBED Equation.DSMT4 I2= EMBED Equation.DSMT4 I3= EMBED Equation.DSMT4
I4= EMBED Equation.DSMT4 I5= EMBED Equation.DSMT4 I6= EMBED Equation.DSMT4
Exercice AUTONUMLGL Déterminer la nature des intégrales impropres suivantes :
1- EMBED Equation.DSMT4 9- EMBED Equation.DSMT4 17- EMBED Equation.DSMT4
2- EMBED Equation.DSMT4 10- EMBED Equation.DSMT4 18- EMBED Equation.DSMT4
3- EMBED Equation.DSMT4 11- EMBED Equation.DSMT4 19- EMBED Equation.DSMT4
4- EMBED Equation.DSMT4 12- EMBED Equation.DSMT4 20- EMBED Equation.DSMT4
5- EMBED Equation.DSMT4 13- EMBED Equation.DSMT4 21- EMBED Equation.DSMT4
6- EMBED Equation.DSMT4 14- EMBED Equation.DSMT4 22- EMBED Equation.DSMT4
7- EMBED Equation.DSMT4 15- EMBED Equation.DSMT4
8- EMBED Equation.DSMT4 16- EMBED Equation.DSMT4
Exercice AUTONUMLGL
1- Montrer que l'intégrale I = EMBED Equation.DSMT4 est convergente. Pour la suite, on admet que I = EMBED Equation.DSMT4 .
2 - On considère l'intégrale J = EMBED Equation.DSMT4 .
a- Montrer que J est convergente.
b- Utiliser, après l'avoir justifié, le changement de variable u = EMBED Equation.DSMT4 pour calculer la valeur de J.
3 - Pour að > 0, on considère l'intégrale K(að) = EMBED Equation.DSMT4 .
a- Pour quelles valeurs de að l'intégrale K(að) est-elle convergente ?
b- Calculer K EMBED Equation.DSMT4 .
Exercice AUTONUMLGL
A l'aide d'une intégration par parties, montrer que EMBED Equation.DSMT4 est convergente.
Exercice AUTONUMLGL
1- Soit f une fonction de classe EMBED Equation.2 , décroissante sur [a;+ EMBED Equation.DSMT4 [ telle que EMBED Equation.2 soit nulle. En intégrant par parties, montrer que EMBED Equation.2 convergent.
2- Montrer que EMBED Equation.2 est divergente.
Indication : exprimer sin²x en fonction de cos(2x).
3- Montrer que EMBED Equation.2 sont convergentes. Sont-elles absolument convergentes ?
4- Soit a un réel strictement positif. Etudier la convergence de EMBED Equation.2 . Commenter.
Exercice AUTONUMLGL
On définit la fonction f par f (x) = EMBED Equation.DSMT4 .
1- Quel est le domaine de définition de f ?
2 - Calculer f (0) et f (1).
3-a- Montrer que : EMBED Equation.DSMT4 x > 1, f (x) = EMBED Equation.DSMT4 f (x - 2).
(On pourra partir de f (x - 2) - f (x) et effectuer une intégration par parties)
b- En déduire la valeur de f (2) et de f (3).
4 - Montrer que la fonction f est positive et décroissante sur Df.
5 - Prouver que : EMBED Equation.DSMT4 . En déduire la valeur de EMBED Equation.DSMT4 .
Exercice AUTONUMLGL
1 - Pourquoi l'intégrale J = EMBED Equation.DSMT4 peut-elle être considérée comme une intégrale ordinaire ?
2-a- Montrer que pour tout x EMBED Equation.DSMT4 ]0,1[, EMBED Equation.DSMT4 .
b- En déduire que J = EMBED Equation.DSMT4 .
3 - Soit t EMBED Equation.DSMT4 ]0,1[. Déterminer un encadrement de - ln(t) en intégrant les inégalités EMBED Equation.DSMT4 pour tout u EMBED Equation.DSMT4 [t, 1]..
4 - En déduire un encadrement de EMBED Equation.DSMT4 puis la valeur de J.
Exercice AUTONUMLGL
1-a- Montrer que l'intégrale I = EMBED Equation.DSMT4 converge.
b- A l'aide d'un changement de variable, montrer que I = EMBED Equation.DSMT4 .
2 - En déduire la valeur de J = EMBED Equation.DSMT4 , où a est un réel strictement positif.
Exercice AUTONUMLGL
Pour n EMBED Equation.DSMT4 (, on définit In= EMBED Equation.DSMT4 et Jn= EMBED Equation.DSMT4 .
1- Justifier l'existence de ces intégrales.
2 - Montrer que pour tout n EMBED Equation.DSMT4 (*, on a In In-1 = 0. En déduire la valeur de In pour tout n.
3-a- On définit la fonction f sur [0,1] par f(x) = EMBED Equation.DSMT4 si x EMBED Equation.DSMT4 et f (0) = 0. Montrer que f est de classe Cl sur [0,1].
b- Donner la valeur de EMBED Equation.DSMT4 à l'aide d'une intégration par parties, puis celle de EMBED Equation.DSMT4 .
4- En déduire, à l'aide d'un changement de variable dans Jn, la valeur de EMBED Equation.DSMT4 .
Exercice AUTONUMLGL
1 - Montrer la convergence de I = EMBED Equation.DSMT4 .
2 - Soit f la fonction définie sur ( par f (x) = EMBED Equation.DSMT4 .
a- Montrer que EMBED Equation.DSMT4 = 0.
b- Montrer que f est dérivable sur ( et que EMBED Equation.DSMT4 f(x) (on pourra appliquer le &Þ è é ô õ ö <
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