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Terminale S

Calcul intégral ? Equations différentielles Exercices. 1. 1. 1. Questions de cours : équations différentielles. 1. 2. Calcul de primitives 1. 1. 3. Calcul de primitives 2.




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Terminale C – D

Calcul intégral – Equations différentielles Exercices

 TOC \o "1-5" \h \z  HYPERLINK \l "_Toc302308980" 1. 1.  Questions de cours : équations différentielles  PAGEREF _Toc302308980 \h 1
 HYPERLINK \l "_Toc302308981" 1. 2.  Calcul de primitives 1  PAGEREF _Toc302308981 \h 1
 HYPERLINK \l "_Toc302308982" 1. 3.  Calcul de primitives 2  PAGEREF _Toc302308982 \h 3
 HYPERLINK \l "_Toc302308983" 1. 4.  Calcul d’intégrales  PAGEREF _Toc302308983 \h 3
 HYPERLINK \l "_Toc302308984" 1. 5.  Encadrement-1  PAGEREF _Toc302308984 \h 4
 HYPERLINK \l "_Toc302308985" 1. 6.  Encadrement-2  PAGEREF _Toc302308985 \h 4
 HYPERLINK \l "_Toc302308986" 1. 7.  Vrai-Faux justifié, Asie 2007  PAGEREF _Toc302308986 \h 4
 HYPERLINK \l "_Toc302308987" 1. 8.  Vrai-Faux justifié, Polynésie 2008  PAGEREF _Toc302308987 \h 4
 HYPERLINK \l "_Toc302308988" 1. 9.  ROC+aire, Antilles 2007  PAGEREF _Toc302308988 \h 5
 HYPERLINK \l "_Toc302308989" 1. 10.  ROC+Intégrales, France 2007  PAGEREF _Toc302308989 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc302308990" 1. 11.  ROC+aire, Antilles remplt 2007  PAGEREF _Toc302308990 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc302308991" 1. 12.  Fonction intégrale, Polynésie sept 2007  PAGEREF _Toc302308991 \h 7
 HYPERLINK \l "_Toc302308992" 1. 13.  Volume de révolution-1  PAGEREF _Toc302308992 \h 9
 HYPERLINK \l "_Toc302308993" 1. 14.  Volume de révolution-2  PAGEREF _Toc302308993 \h 9
 HYPERLINK \l "_Toc302308994" 1. 15.  argch x  PAGEREF _Toc302308994 \h 9
 HYPERLINK \l "_Toc302308995" 1. 16.  fonction trigo  PAGEREF _Toc302308995 \h 9
 HYPERLINK \l "_Toc302308996" 1. 17.  Intégrale et suite 1  PAGEREF _Toc302308996 \h 9
 HYPERLINK \l "_Toc302308997" 1. 18.  Intégrale et suite 2  PAGEREF _Toc302308997 \h 10
 HYPERLINK \l "_Toc302308998" 1. 19.  Intégrale et suite 3  PAGEREF _Toc302308998 \h 10
 HYPERLINK \l "_Toc302308999" 1. 20.  Intégrale et suite 4 : constante d’Euler  PAGEREF _Toc302308999 \h 11
 HYPERLINK \l "_Toc302309000" 1. 21.  Intégrale et suite 6  PAGEREF _Toc302309000 \h 12
 HYPERLINK \l "_Toc302309001" 1. 22.  Intégrale+suite 7, France et La Réunion 2008  PAGEREF _Toc302309001 \h 12
 HYPERLINK \l "_Toc302309002" 1. 23.  Suite d’intégrales, Pondichéry 2007  PAGEREF _Toc302309002 \h 12
 HYPERLINK \l "_Toc302309003" 1. 24.  Intégrale 1  PAGEREF _Toc302309003 \h 13
 HYPERLINK \l "_Toc302309004" 1. 25.  Intégrale 2  PAGEREF _Toc302309004 \h 13
 HYPERLINK \l "_Toc302309005" 1. 26.  Intégrale 3  PAGEREF _Toc302309005 \h 13
 HYPERLINK \l "_Toc302309006" 1. 27.  Intégrale 4  PAGEREF _Toc302309006 \h 13
 HYPERLINK \l "_Toc302309007" 1. 28.  Intégrale 5  PAGEREF _Toc302309007 \h 14
 HYPERLINK \l "_Toc302309008" 1. 29.  Intégrale 6  PAGEREF _Toc302309008 \h 14
 HYPERLINK \l "_Toc302309009" 1. 30.  Intégrale 7, La Réunion 2005  PAGEREF _Toc302309009 \h 15
 HYPERLINK \l "_Toc302309010" 1. 31.  Intégrale + ROC  PAGEREF _Toc302309010 \h 16
 HYPERLINK \l "_Toc302309011" 1. 32.  ROC+intégrale, Polynésie 06/2008  PAGEREF _Toc302309011 \h 16
 HYPERLINK \l "_Toc302309012" 1. 33.  Autour de arctangente – ESME-SUDRIA 2001  PAGEREF _Toc302309012 \h 18
 HYPERLINK \l "_Toc302309013" 1. 34.  Equa diff 2nd membre, Bac C, Pondicherry 1988  PAGEREF _Toc302309013 \h 18
 HYPERLINK \l "_Toc302309014" 1. 35.  Equa diff 2nd membre, Antilles 1988  PAGEREF _Toc302309014 \h 19
 HYPERLINK \l "_Toc302309015" 1. 36.  Equa diff 2nd membre, Antilles 2000  PAGEREF _Toc302309015 \h 19
 HYPERLINK \l "_Toc302309016" 1. 37.  Equa diff+suites, France 2003  PAGEREF _Toc302309016 \h 19
 HYPERLINK \l "_Toc302309017" 1. 38.  Equa diff : apprentissage  PAGEREF _Toc302309017 \h 20
 HYPERLINK \l "_Toc302309018" 1. 39.  Equa diff : pendule  PAGEREF _Toc302309018 \h 20
 HYPERLINK \l "_Toc302309019" 1. 40.  Equa diff : lancer de balle  PAGEREF _Toc302309019 \h 21
 HYPERLINK \l "_Toc302309020" 1. 41.  Equa diff : quotient  PAGEREF _Toc302309020 \h 21
 HYPERLINK \l "_Toc302309021" 1. 42.  Equa diff : équation de Bernoulli  PAGEREF _Toc302309021 \h 22
 HYPERLINK \l "_Toc302309022" 1. 43.  Equa diff : populations  PAGEREF _Toc302309022 \h 22
 HYPERLINK \l "_Toc302309023" 1. 44.  Equa diff : second ordre  PAGEREF _Toc302309023 \h 23
 HYPERLINK \l "_Toc302309024" 1. 45.  Equa diff : équation de la chaleur  PAGEREF _Toc302309024 \h 24
 HYPERLINK \l "_Toc302309025" 1. 46.  Equa diff+ROC, La Réunion 2005  PAGEREF _Toc302309025 \h 24
 HYPERLINK \l "_Toc302309026" 1. 47.  Equa diff + aire, Asie 2006  PAGEREF _Toc302309026 \h 25
 HYPERLINK \l "_Toc302309027" 1. 48.  Equa diff+ROC, France sept 2006  PAGEREF _Toc302309027 \h 26
 HYPERLINK \l "_Toc302309028" 1. 49.  Equa diff trigo, France remplt 2007  PAGEREF _Toc302309028 \h 26
 HYPERLINK \l "_Toc302309029" 1. 50.  Méthode de Newton, C. étrangers 2007  PAGEREF _Toc302309029 \h 27
 HYPERLINK \l "_Toc302309030" 1. 51.  La bonne vitesse du volant  PAGEREF _Toc302309030 \h 27
 HYPERLINK \l "_Toc302309031" 1. 52.  STL, France, juin 2004  PAGEREF _Toc302309031 \h 30
 HYPERLINK \l "_Toc302309032" 1. 53.  Equa diff 2nd ordre, STL, France, juin 2005  PAGEREF _Toc302309032 \h 30
 HYPERLINK \l "_Toc302309033" 1. 54.  Équa diff+courbe, France 2010, 6 points  PAGEREF _Toc302309033 \h 30
 HYPERLINK \l "_Toc302309034" 1. 55.  Équa diff+intégrale, La Réunion 2010, 5 points  PAGEREF _Toc302309034 \h 31
 HYPERLINK \l "_Toc302309035" 1. 56.  Equa diff, 2nd membre, Am. du Sud 11/2008  PAGEREF _Toc302309035 \h 32


Questions de cours : équations différentielles
Valider ou infirmer les propositions suivantes :
1. Les solutions de l’équation différentielle : y’ + 4y = 0 sont les fonctions définies sur  EMBED Equation.DSMT4  par
 EMBED Equation.DSMT4 
où C est une constante réelle.
2. La fonction définie pour tout x réel par  EMBED Equation.DSMT4  est l unique solution de l équation différentielle :
y = "7 y + 35 et y(0) = 5.
Calcul de primitives 1
Déterminez une primitive de f sur I dans chacun des cas suivants : (pensez à vérifier vos réponses)
1.  EMBED Equation.DSMT4 16.  EMBED Equation.DSMT4  2.  EMBED Equation.DSMT4 17.  EMBED Equation.DSMT4 3.  EMBED Equation.DSMT4 18.  EMBED Equation.DSMT4 
4.  EMBED Equation.DSMT4 19.  EMBED Equation.DSMT4 5.  EMBED Equation.DSMT4 20.  EMBED Equation.DSMT4 6.  EMBED Equation.DSMT4 21. f(x) = 3 + cos x,  EMBED Equation.DSMT4 7.  EMBED Equation.DSMT4 22. f(x) = sin 3x,  EMBED Equation.DSMT4 8.  EMBED Equation.DSMT4 23.  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 9.  EMBED Equation.DSMT4 24.  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  10.  EMBED Equation.DSMT4 25.  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 11.  EMBED Equation.DSMT4 26.  EMBED Equation.DSMT4 12.  EMBED Equation.DSMT4 27.  EMBED Equation.DSMT4 , I= EMBED Equation.DSMT4 13.  EMBED Equation.DSMT4 28.  EMBED Equation.DSMT4 , I=] 2 ; 5[ 14.  EMBED Equation.DSMT4 29.  EMBED Equation.DSMT4 , I=]0 ;  EMBED Equation.DSMT4 [ 15.  EMBED Equation.DSMT4 30.  EMBED Equation.DSMT4 , I=]0 ;  EMBED Equation.DSMT4 [ 
Quelques réponses
1. Solution :  EMBED Equation.DSMT4 .
2.  EMBED Equation.DSMT4 .
3.  EMBED Equation.DSMT4 .
4.  EMBED Equation.DSMT4 .
5.  EMBED Equation.DSMT4 .
6.  EMBED Equation.DSMT4 .
7.  EMBED Equation.DSMT4 .
8.  EMBED Equation.DSMT4 .
9.  EMBED Equation.DSMT4 .
10.  EMBED Equation.DSMT4 .

21. F(x) = 3x + sin x.
22.  EMBED Equation.DSMT4 .
23.  EMBED Equation.DSMT4  avec u(x) = cos x  EMBED Equation.DSMT4 .
24. EMBED Equation.DSMT4 , u(x) = x²  3, n  1 = "1/2, n = ½,  EMBED Equation.DSMT4 .
25. u(x) = x3 + 2, u (x) = 3x², n  1 = 3, n = 4, G(x) = (x3 + 2)4, g (x) = 4(3x²(( x3 + 2)3,
F(x) =  EMBED Equation.DSMT4 .
Calcul de primitives 2
1. Montrer grâce à la formule de duplication que pour tout réel x,  EMBED Equation.DSMT4 . En déduire une primitive sur  EMBED Equation.DSMT4  de la fonction f :  EMBED Equation.DSMT4 .
2. En utilisant la question 1. montrer que pour tout x,  EMBED Equation.DSMT4 . En déduire une primitive sur  EMBED Equation.DSMT4  de la fonction f 2.
3. Montrer que pour tout x,  EMBED Equation.DSMT4 . En déduire une primitive sur  EMBED Equation.DSMT4  de la fonction g :  EMBED Equation.DSMT4 .
4. A l’aide d’une intégration par parties, donner une primitive sur  EMBED Equation.DSMT4  de la fonction h définie par  EMBED Equation.DSMT4 .
5. Dans quel album d’Asterix voit-on pour la première fois Idefix ?
Calcul d’intégrales
Calculez les intégrales suivantes (la rédaction doit être détaillée ; vous pouvez cependant vérifier vos réponses à l’aide de la calculatrice) :
a) EMBED Equation.DSMT4  ; b)  EMBED Equation.DSMT4  ; c)  EMBED Equation.DSMT4  ; d)  EMBED Equation.DSMT4  ; e)  EMBED Equation.DSMT4 ; f)  EMBED Equation.DSMT4 ; g)  EMBED Equation.DSMT4 ; h)  EMBED Equation.DSMT4 ; i) EMBED Equation.DSMT4  ; j)  EMBED Equation.DSMT4  ; k)  EMBED Equation.DSMT4  ; l)  EMBED Equation.DSMT4  ;
m)  EMBED Equation.DSMT4  ; n)  EMBED Equation.DSMT4  ; o)  EMBED Equation.DSMT4  ; p)  EMBED Equation.DSMT4  ;
q)  EMBED Equation.DSMT4  ; r)  EMBED Equation.DSMT4  ; s)  EMBED Equation.DSMT4 .
t)  EMBED Equation.DSMT4  u)  EMBED Equation.DSMT4 , v)  EMBED Equation.DSMT4 .
Encadrement-1
Pour tout réel positif a, on définit  EMBED Equation.DSMT4  .
1. A l’aide d’une intégration par parties, montrer que  EMBED Equation.DSMT4 .
2. En déduire la limite de I(a) quand a tend vers  EMBED Equation.DSMT4 .
3. On définit maintenant  EMBED Equation.DSMT4 . En utilisant (avec justification) que pour tout x supérieur à 1,  EMBED Equation.DSMT4 , montrer que  EMBED Equation.DSMT4 .
Encadrement-2
Soit f la fonction définie sur [1 ;  EMBED Equation.DSMT4 [ par :  EMBED Equation.DSMT4 .
Pour tout  EMBED Equation.DSMT4 , on considère l’intégrale :  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Interpréter géométriquement le nombre  EMBED Equation.DSMT4 .
2. Démontrer que, pour tout  EMBED Equation.DSMT4 , on a :  EMBED Equation.DSMT4 .
3. En déduire pour tout  EMBED Equation.DSMT4  un encadrement de  EMBED Equation.DSMT4 .
4. Quelle est la limite de  EMBED Equation.DSMT4  lorsque  EMBED Equation.DSMT4  tend vers  EMBED Equation.DSMT4  ?
5. Déterminer la dérivée par rapport à  EMBED Equation.DSMT4  de I. Quel est son signe ? Dresser le tableau de variation de I.
Vrai-Faux justifié, Asie 2007
4 points
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fause et donner une démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d’une proposition fausse, la démonstration consistera à proposer un contre-exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

1. Si f est la fonction définie pour tout nombre réel x par :  EMBED Equation.DSMT4 , alors sa fonction dérivée vérifie, pour tout nombre réel x,  EMBED Equation.DSMT4 .
2. Soit f est une fonction définie et dérivable sur l intervalle ["1 ; 1], dont la dérivée est continue sur cet intervalle. Si  EMBED Equation.DSMT4 , alors :  EMBED Equation.DSMT4 .
3. Soit f une fonction définie et continue sur l intervalle [0 ; 3]. Si  EMBED Equation.DSMT4 , alors pour tout nombre réel x appartenant à [0 ; 3] :  EMBED Equation.DSMT4 .
4. Si f est solution de l’équation différentielle  EMBED Equation.DSMT4  et si f n’est pas une fonction constante, alors la représentation de f dans un repère du plan, n’admet aucune tangente parallèle à l’axe des abscisses.
Vrai-Faux justifié, Polynésie 2008
5 points
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si. elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète. ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
1. Soit f la fonction solution sur Rð de l'équation différentielle  EMBED Equation.DSMT4  telle que  EMBED Equation.DSMT4 .
Proposition 1 : « La courbe représentative de f admet au point d'abscisse 0, une tangente d'équation  EMBED Equation.DSMT4  ».
2. Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle  EMBED Equation.DSMT4  où A est un réel strictement positif.
Proposition 2 : « Si  EMBED Equation.DSMT4  alors  EMBED Equation.DSMT4  ».
3. On admet qu'un bloc de glace fond en perdant 10 % de sa masse par minute. Sa masse initiale est de 10 kg.
Proposition 3 : « À partir de la soixante-dixième minute, sa masse devient inférieure à 1 g ».
4. Soient A et B deux événements d'un même univers  EMBED Equation.DSMT4  muni d'une probabilité p.
Proposition 4 : « Si A et B sont indépendants et si p(A) = p(B) = 0,4 alors p(A EMBED Equation.DSMT4 B) = 0,8 ».
5. Une usine fabrique des pièces. Une étude statistique a montré que 2 % de la production est défectueuse. Chaque pièce est soumise à un contrôle de fabrication. Ce contrôle refuse 99 % des pièces défectueuses et accepte 97 % des pièces non défectueuses.
On choisit au hasard une pièce avant son passage au contrôle.
Proposition 5 : « La probabilité que la pièce soit acceptée est égale à 0,9508 »,
ROC+aire, Antilles 2007
6 points
Question de cours
Prérequis : positivité et linéarité de l’intégrale.
Soient a et b deux réels d’un intervalle I de  EMBED Equation.DSMT4  tels que  EMBED Equation.DSMT4 . Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur I telles que pour tout réel x de l’intervalle I, f (x) > g (x), alors  EMBED Equation.DSMT4 .
Partie A
1. Soit x un réel supérieur ou égal à 1. Calculer en fonction de x l’intégrale  EMBED Equation.DSMT4 .
2. Démontrer que pour tout réel t appartenant à l’intervalle  EMBED Equation.DSMT4 , on a :  EMBED Equation.DSMT4 .
3. Déduire de ce qui précède que pour tout réel x supérieur ou égal à 1, on a :  EMBED Equation.DSMT4 .
Partie B
Soit h la fonction définie sur  EMBED Equation.DSMT4  par  EMBED Equation.DSMT4 .
Sur le graphique joint, le plan est muni d’un repère orthogonal  EMBED Equation.DSMT4  dans lequel on a tracé les courbes représentatives des fonctions h et logarithme népérien (ln) sur l’intervalle [1 ; 4]. On a a tracé également la droite (d) d’équation x = 4.
1. a. Démontrer que  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Illustrer sur le graphique le résultat de la question précédente.
2. On note D le domaine du plan délimité par la droite (d) et les courbes représentatives des fonction h et logarithme népérien sur l’intervalle [1 ; 4].
En utilisant une intégration par parties, calculer l’aire de D en unités d’aire.
 EMBED Excel.Chart.8 \s 
ROC+Intégrales, France 2007
3 points
1. Restitution organisée de connaissances
Démontrer la formule d’intégration par parties en utilisant la formule de dérivation d’un produit de deux fonctions dérivables, à dérivées continues sur un intervalle [a ; b].
2. Soient les deux intégrales définies par  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Démontrer que  EMBED Equation.DSMT4  et que  EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire les valeurs exactes de I et de J.
ROC+aire, Antilles remplt 2007
5 points
Question de cours : soit I un intervalle de  EMBED Equation.DSMT4 . Soient u et v deux fonctions continues, dérivables sur I telles que les fonctions dérivées u’ et v’ soient continues sur I.
Rappeler et démontrer la formule d’intégration par parties sur un intervalle [a ; b] de I.
Partie A
Soit f une fonction définie et dérivable sur l’intervalle  EMBED Equation.DSMT4 . On note  EMBED Equation.DSMT4  la fonction dérivée de f. On suppose que  EMBED Equation.DSMT4  est continue sur l’intervalle  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Utiliser la question de cours pour montrer que  EMBED Equation.DSMT4 .
2. En déduire que  EMBED Equation.DSMT4 .
Partie B
On désigne par ln la fonction logarithme néperien.
Soit f la fonction définie sur l’intervalle  EMBED Equation.DSMT4  par  EMBED Equation.DSMT4  et C sa courbe représentative dans un repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4  d’unité graphique 2 cm.
1. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
2. a. Montrer que pour tout réel x de l’intervalle  EMBED Equation.DSMT4 , on a  EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire les variations de f sur l’intervalle  EMBED Equation.DSMT4 .
Partie C
Le courbe C est tracée ci-dessous. Hachurer la partie P du plan constituée des points M(x ; y) tels que :  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
En utilisant la partie A, calculer en cm2 l’aire de P.
 EMBED Excel.Chart.8 \s 
Fonction intégrale, Polynésie sept 2007
7 points
On désigne par (E) l’ensemble des fonctions f continues sur l’intervalle  EMBED Equation.DSMT4  et vérifiant les conditions P1, P2 et P3 suivantes :
P1 : f est strictement croissante sur l’intervalle  EMBED Equation.DSMT4 .
P2 :  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
P3 : Pour tout réel x de l’intervalle  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 .
Dans un repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4  du plan, on note (C) la courbe représentative d’une fonction f de l’ensemble (E) et (D) la droite d’équation  EMBED Equation.DSMT4 .
A toute fonction f de (E) on associe le nombre réel  EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Une seule des trois courbes ci-dessous représente une fonction de (E). La déterminer en justifiant l’élimination des deux autres.
 EMBED Excel.Chart.8 \s  EMBED Excel.Chart.8 \s  EMBED Excel.Chart.8 \s Courbe n°1Courbe n°2Courbe n°3
b. Montrer que, pour toute fonction f de (E),  EMBED Equation.DSMT4 .
2. Soit h la fonction définie sur l’intervalle  EMBED Equation.DSMT4  par  EMBED Equation.DSMT4  (on rappelle que pour tout réel x,  EMBED Equation.DSMT4 ).
a. Montrer que la fonction h vérifie les conditions P1 et P2.
b. Soit  EMBED Equation.DSMT4  la fonction définie sur l’intervalle  EMBED Equation.DSMT4  par  EMBED Equation.DSMT4 .
Montrer que, pour tout x de  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  (on pourra étudier les variations de  EMBED Equation.DSMT4  sur  EMBED Equation.DSMT4 ). En déduire que la fonction h appartient à l’ensemble (E).
c. Montrer que le réel  EMBED Equation.DSMT4  associé à la fonction h est égal à  EMBED Equation.DSMT4 .
3. Soit P une fonction définie sur l’intervalle  EMBED Equation.DSMT4  par  EMBED Equation.DSMT4  où a, b et c sont trois nombres réels avec  EMBED Equation.DSMT4 . On se propose de déterminer les valeurs des réels a, b et c pour que la fonction P appartienne à l’ensemble (E) et que  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Montrer que la fonction P vérifie la propriété P2 si et seulement si, pour tout réel de l’intervalle  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 .
Montrer que toute fonction P définie sur  EMBED Equation.DSMT4  par  EMBED Equation.DSMT4  avec  EMBED Equation.DSMT4  appartient à (E).
b. Exprimer en fonction de a le réel  EMBED Equation.DSMT4  associé à la fonction P.
c. Montrer qu’il existe une valeur du réel a pour laquelle  EMBED Equation.DSMT4 . Quelle est cette valeur ?
Volume de révolution-1
La fonction  EMBED Equation.DSMT4  engendre en tournant autour de l’axe (Ox) un volume de révolution. Calculer à l’aide d’une intégration par parties le volume engendré par la portion de courbe délimitée par x = 0 et x = 1. En donner une valeur approchée à 10"2 près.

Volume de révolution-2
1. Calculer  EMBED Equation.DSMT4  à l aide d une intégration par parties.
2. Soit la fonction définie sur  EMBED Equation.DSMT4  par :  EMBED Equation.DSMT4  dont la courbe (Cf) est représentée ci-contre dans le plan P muni du repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4 .
On considère le solide engendré par la rotation autour de l’axe  EMBED Equation.DSMT4  de la surface délimitée dans le plan P par l’axe  EMBED Equation.DSMT4 , la droite d’équation  EMBED Equation.DSMT4  et la courbe (Cf).
Sachant que l’unité graphique est de 2 cm, calculer le volume V du solide en cm3.
argch x
Soit la fonction  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Montrer que f existe sur  EMBED Equation.DSMT4  ; calculer sa dérivée f’(x).
2. Déduisez en la valeur de  EMBED Equation.DSMT4 .
3. Pensez-vous pouvoir utiliser une méthode semblable pour calculer l’intégrale  EMBED Equation.DSMT4  ?
fonction trigo
1. On pose F(x) = ax2cosx + bxsinx + c cosx (a, b, et c sont trois constantes réelles). Calculer F’(x).
2. Déterminer a, b et c pour que F soit une primitive de x2sinx.
3. En déduire le calcul de  EMBED Equation.DSMT4 .
Intégrale et suite 1
On considère la fonction numérique f définie par  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Déterminer une fonction polynôme P, de degré inférieur ou égal à 3 qui a même valeur et même nombre dérivé que f en 0 et 1.
2. Soit k la fonction définie par  EMBED Equation.DSMT4 . Factoriser k et en déduire la position relative de Cf et CP, les courbes représentatives de f et P.
3. A l’aide d’un encadrement de 1+x pour x dans [0 ; 1] montrer que  EMBED Equation.DSMT4 .
4. Calculer  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
5. Déduire des résultats précédents la valeur de l’entier n tel que  EMBED Equation.DSMT4 .
6. On considère la suite géométrique  EMBED Equation.DSMT4  de premier terme 1 et de raison "x.
a. Calculer la somme des n premiers termes :  EMBED Equation.DSMT4  ; en déduire  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Montrer que  EMBED Equation.DSMT4 .
c. Montrer que sur [0 ; a] on a  EMBED Equation.DSMT4  puis que  EMBED Equation.DSMT4 . Préciser la limite de  EMBED Equation.DSMT4  lorsque n tend vers  EMBED Equation.DSMT4 .
d. On admet que ce résultat reste valable lorsque a vaut 1. En déduire un algorithme de calcul de ln2.
Rappel : somme des n premiers termes d’une suite géométrique de premier terme u0, de raison q :  EMBED Equation.DSMT4 .
Intégrale et suite 2
Pour tout k entier on note  EMBED Equation.DSMT4  l’application de [0 ; 1] dans  EMBED Equation.DSMT4  définie par  EMBED Equation.DSMT4 . On appelle  EMBED Equation.DSMT4  sa courbe représentative.
1. Etudier la continuité et la dérivabilité de  EMBED Equation.DSMT4 .
2. Donner, en distinguant suivant la valeur de k, le tableau de variations de  EMBED Equation.DSMT4 .
3. Etudier les positions respectives de  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 . Tracer les courbes  EMBED Equation.DSMT4 .
4. On pose  EMBED Equation.DSMT4 . Calculer  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Quel est le sens de variation de  EMBED Equation.DSMT4  ? Montrer que  EMBED Equation.DSMT4  converge vers une limite l que l’on ne cherchera pas.
b. Montrer, en intégrant par parties que pour tout entier k > 0, on a  EMBED Equation.DSMT4 . En déduire une expression de  EMBED Equation.DSMT4 .
c. Montrer que pour tout k entier, on a  EMBED Equation.DSMT4  où a est une constante que l’on déterminera. En déduire la limite de  EMBED Equation.DSMT4 .
Intégrale et suite 3
On considère la fonction f définie sur  EMBED Equation.DSMT4  par  EMBED Equation.DSMT4 . On rappelle que  EMBED Equation.DSMT4 .
La courbe C représentative de f dans un repère orthonormé est donnée sur la feuille jointe (les unités n’ont aucune importance) ; le tableau de variation de f est fourni ci-contre.
On considère l’intégrale  EMBED Equation.DSMT4  ; l’objet de l’exercice est de trouver un encadrement permettant un calcul approché de J et non d’en donner un calcul exact.
1. Interpréter géométriquement J : on fera un petit croquis explicatif sur la feuille jointe que l’on rendra avec la copie. Donner une estimation à la louche de J.
2. Utiliser le tableau de variation de f pour justifier que  EMBED Equation.DSMT4 .
3. Rappeler la démonstration de la formule de la somme des termes d’une suite géométrique de 1er terme 1 et de raison x. Justifier alors l’égalité :  EMBED Equation.DSMT4 .
4. En déduire que  EMBED Equation.DSMT4  où  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
5. Justifier l’encadrement  EMBED Equation.DSMT4  ; en déduire que  EMBED Equation.DSMT4 . Quelle est la limite de  EMBED Equation.DSMT4  quand n tend vers l’infini ?
On pose dorénavant  EMBED Equation.DSMT4  ; on voit donc que la suite  EMBED Equation.DSMT4  tend vers 0, soit que les valeurs successives de  EMBED Equation.DSMT4  constituent une « bonne » approximation de J.
6. Jusqu’à quel terme n0 doit-on calculer  EMBED Equation.DSMT4  pour être sûr que  EMBED Equation.DSMT4  est une valeur approchée de J à 10"2 près ?
7. On s intéresse de plus près à  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Calculer  EMBED Equation.DSMT4 .
b. En utilisant une intégration par parties montrer que  EMBED Equation.DSMT4 .
c. A l’aide de cette relation donner sous la forme  EMBED Equation.DSMT4 , où  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  sont deux entiers relatifs, la valeur de  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 . En déduire les valeurs de  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 . Donner une estimation de la précision obtenue ainsi sur J. EMBED Excel.Chart.8 \s Intégrale et suite 4 : constante d’Euler
Soit les fonctions f et g définies sur  EMBED Equation.DSMT4  par  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Démonstration de cours : en utilisant seulement  EMBED Equation.DSMT4 , déterminer les limites de f et g en  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Montrer que la droite D(y = x) est asymptote de Cf.
c. Dresser le tableau de variation de f et g.
2. a. Pour tout réel x, on pose  EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer le sens de variation de h.
b. Montrer que Cf et Cg ont un unique point d’intersection d’abscisse  EMBED Equation.DSMT4  et que  EMBED Equation.DSMT4 .
c. Etudier suivant les valeurs de x la position relative de Cf et Cg. Tracer D, Cf et Cg.
3. a. En utilisant les variations de f, montrer que pour tout x dans [0 ; 1] on a  EMBED Equation.DSMT4 .
b. En utilisant les variations de g, montrer que pour tout x dans [0 ; 1] on a  EMBED Equation.DSMT4 .
c. On pose  EMBED Equation.DSMT4 , k entier naturel. Déduire des questions précédentes que  EMBED Equation.DSMT4 .
4. On s’intéresse à la suite  EMBED Equation.DSMT4 .
a. A l’aide de votre calculatrice donner des valeurs approchées à 10–4 près de  EMBED Equation.DSMT4 . Quelles conjectures pouvez vous faire sur le comportement de Sn ?
b. En utilisant les inégalités du 3. c. Montrer que (Sn) est décroissante et que  EMBED Equation.DSMT4 . Qu’en concluez-vous ?
Intégrale et suite 6
On définit la suite d’intégrales :
 EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,…, EMBED Equation.DSMT4  (n désigne un entier naturel).
1. Calculer I1 et I0 + I1. En déduire I0. Pour tout entier n, calculer  EMBED Equation.DSMT4 .
2. Montrer sans calcul que la suite (In) est croissante.
3. Prouver que pour tout x de [0 ; 1]  EMBED Equation.DSMT4 . En déduire un encadrement de In.
4. A partir de cet encadrement, déterminer la limite de In et celle de  EMBED Equation.DSMT4 .
Intégrale+suite 7, France et La Réunion 2008
4 points
On considère la suite numérique  EMBED Equation.DSMT4  définie, pour tout entier naturel n non nul, par  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Démontrer que la suite  EMBED Equation.DSMT4  est croissante.
2. Dans cette question, le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n'aboutît pas.
On définit la suite  EMBED Equation.DSMT4 , pour tout entier naturel n non nul, par  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Justifier que, pour tout  EMBED Equation.DSMT4 , on a  EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire que  EMBED Equation.DSMT4 .
c. Calculer In en fonction de n. En déduire que la suite  EMBED Equation.DSMT4  est majorée par un nombre réel (indépendant de n).
d. Que peut-on en conclure pour la suite  EMBED Equation.DSMT4  ?
Suite d’intégrales, Pondichéry 2007
5 points
On considère la fonction f définie sur  EMBED Equation.DSMT4  par  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Montrer que f est dérivable sur  EMBED Equation.DSMT4 . Etudier le signe de sa fonction dérivée f ’, sa limite éventuelle en  EMBED Equation.DSMT4  et dresser le tableau de ses variations.
2. On définit la suite  EMBED Equation.DSMT4  par son terme général  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Justifier que, si  EMBED Equation.DSMT4 , alors  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Montrer, sans chercher à calculer  EMBED Equation.DSMT4 , que pour tout entier naturel n,  EMBED Equation.DSMT4 .
c. En déduire que la suite  EMBED Equation.DSMT4  est convergente et déterminer sa limite.
3. Soit F la fonction définie sur  EMBED Equation.DSMT4  par  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Justifier la dérivabilité de F sur  EMBED Equation.DSMT4  et déterminer pour tout réel positif x le nombre  EMBED Equation.DSMT4 .
b. On pose, pour tout entier naturel n,  EMBED Equation.DSMT4 . Calculer  EMBED Equation.DSMT4 .
4. On pose, pour tout entier naturel n,  EMBED Equation.DSMT4 .
Calculer  EMBED Equation.DSMT4 . La suite  EMBED Equation.DSMT4  est-elle convergente ?
Intégrale 1
L'objectif est de calculer les intégrales suivantes :
 EMBED Equation.DSMT4 
1. Calcul de I
Soit la fonction f définie sur [0; 1] par  EMBED Equation.DSMT4 
a. Calculer la dérivée de la fonction  EMBED Equation.DSMT4 
b. En déduire la dérivée f ´ de f.
c. Calculer la valeur de I.
2. Calcul de J et de K
a. Sans calculer explicitement J et K, vérifier que : J + 2I = K.
b. À l'aide d'une intégration par parties portant sur l'intégrale K, montrer que :
 EMBED Equation.DSMT4 
c. En déduire les valeurs de J et de K.
Intégrale 2
Soit la fonction f définie par : f(x) = sin4 x ; x  EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4 .
1. Exprimer sin2 x en fonction de cos 2x, puis sin4 x en fonction de cos 2x et de cos 4x.
2. Quelle est la forme générale des primitives de f sur  EMBED Equation.DSMT4  ?
3. Calculer  EMBED Equation.DSMT4 .
Intégrale 3
On désigne par n un nombre entier relatif différent de "1 et par x un nombre réel supérieur ou égal à 1.
1. Calculer l intégrale  EMBED Equation.DSMT4  (on pourra effectuer une intégration par parties).
2. En déduire le calcul de EMBED Equation.DSMT4 .
3. Calculer  EMBED Equation.DSMT4 .
4. déterminer la limite de  EMBED Equation.DSMT4  quand n tend vers  EMBED Equation.DSMT4 .
Intégrale 4
On pose  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  pour tout n entier non nul.
1. Calculer I0 et I1 (on pourra utiliser une intégration par parties).
2. Montrer que pour tout n entier  EMBED Equation.DSMT4 . Calculer I2 .
3. Montrer que pour tout n entier,  EMBED Equation.DSMT4 . En déduire en utilisant la relation du 2° l’encadrement suivant :  EMBED Equation.DSMT4 .
4. Calculer  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 
Intégrale 5
Soit p et n des entiers naturels. On pose  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Calculer  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
2. Calculer  EMBED Equation.DSMT4  et en déduire  EMBED Equation.DSMT4 .
3. Etablir une relation de récurrence entre  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 . En déduire la valeur de  EMBED Equation.DSMT4  en fonction de p et n.
Intégrale 6
Le plan est muni d’un repère orthonormal. EMBED Equation.DSMT4  d’unité 1 cm.
Soit f la fonction définie par  EMBED Equation.DSMT4  représentée ci-dessous. Soit C cette courbe représentative.


1. Montrer que pour tout réel x, on a  EMBED Equation.DSMT4 .
2. a. Résoudre dans  EMBED Equation.DSMT4  l’équation f(x)=0.
b. Montrer que sur  EMBED Equation.DSMT4 , on a  EMBED Equation.DSMT4 .
c. Montrer que pour tout réel x,  EMBED Equation.DSMT4 .
3. Soit l’intégrale  EMBED Equation.DSMT4 .
On considère la fonction F telle que, pour tout réel x,  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Sachant que f vérifie (1), montrer que F est une primitive de f.
b. Etablir que  EMBED Equation.DSMT4  puis que  EMBED Equation.DSMT4 
c. Interpréter graphiquement ce résultat.
Intégrale 7, La Réunion 2005
3 points
On considère les fonctions f et g définies, sur l’intervalle [0 ;  EMBED Equation.DSMT4 [, par f(x) = ln(x +1) et  EMBED Equation.DSMT4  . On désigne par Cf et Cg les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4 . Ces courbes sont tracées ci-dessous.
1. Vérifier que les courbes Cf et Cg ont une tangente commune au point O(0 ; 0). Préciser la position de la courbe Cf par rapport à cette tangente.
2. Démontrer que les courbes Cf et Cg sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
3. Soit a un nombre réel strictement positif. On se propose de calculer de deux façons différentes le nombre  EMBED Equation.DSMT4 .
a. En utilisant des considérations d’aires, démontrer que  EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire la valeur de I (a).
c. Retrouver la valeur de I (a) en effectuant une intégration par parties.
 EMBED Excel.Chart.8 \s 
Intégrale + ROC
Le but de l’exercice est d’établir dans un cas particulier le lien existant entre aire sous la courbe et primitive. On rappelle que :
H est une primitive de h sur [a ; b] si et seulement si H est dérivable sur [a ; b] et pour tout x de [a ; b] on a H’(x) = h(x).
Soit f la fonction définie sur  EMBED Equation.DSMT4  par  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Expliquer pourquoi f est continue sur  EMBED Equation.DSMT4 .
2. Montrer que f est croissante sur  EMBED Equation.DSMT4 .
La fonction f est représentée ci-dessous.
Pour  EMBED Equation.DSMT4 , on note  EMBED Equation.DSMT4  l’aire de la portion de plan limitée par l’axe des abscisses, la courbe représentative de f et la droite d’équation  EMBED Equation.DSMT4 .
3. a. Soit x0 et h deux réels strictement positifs. En utilisant un rectangle convenable, établir l’encadrement
 EMBED Equation.DSMT4 .
b. En utilisant une propriété géométrique de la courbe de f donner un encadrement similaire lorsque  EMBED Equation.DSMT4 .
c. Démontrer que A est dérivable en x0. Quel est le nombre dérivé de A en x0 ?
4. Expliquer pourquoi  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .

ROC+intégrale, Polynésie 06/2008
7 points
Partie A Restitution organisée de connaissances. On supposera connus les résultats suivants :
Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a < b.
* Si  EMBED Equation.DSMT4  sur [a ; b] alors  EMBED Equation.DSMT4 .
* Pour tous réels  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4 .
Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a *U h™3±>*hyc¦5CJ\hM5CJ\h™3±5CJ\
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