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Formule de Wallis et intégrale de Gauss - la prepa parallele

Le sujet ci-après, issu historiquement d'une épreuve de l'ESCP, est considéré comme un grand classique dont la connaissance est essentielle.




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et  EMBED Equation.3 

Pour obtenir cette relation de récurrence intégrons par parties en remarquant (pour faire apparaître n-2 par dérivation) que :

 EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3 .

Soit :

u’ = cos x  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3 u = sin x
v =  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 v’ = -(n-1)  EMBED Equation.3 .sin x

Dès lors :

 EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3 +(n-1)  EMBED Equation.3 . Or :

cos( EMBED Equation.3 ) = 0 et sin(0) = 0, donc l’expression entre crochets est égale à 0. En outre, pour faire apparaître, au niveau de l’intégrale, uniquement de cos, on peut utiliser la relation :

 EMBED Equation.3 . Ainsi :


 EMBED Equation.3 = (n-1)  EMBED Equation.3 = (n-1)  EMBED Equation.3 -(n-1)  EMBED Equation.3 , soit finalement :

 EMBED Equation.3 = (n-1)  EMBED Equation.3 -(n-1)  EMBED Equation.3  ou encore : n EMBED Equation.3 = (n-1)  EMBED Equation.3  soit :

 EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
I
Démontrer que la suite de terme général  EMBED Equation.3 , où n est un entier naturel, est strictement décroissante.

En partant des bornes d’intégration, écrivons :

0  EMBED Equation.3 x  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 . Dans ce cas : 0  EMBED Equation.3 cos x  EMBED Equation.3 1. Dès lors, en multipliant chacun des deux termes de droite par  EMBED Equation.3 , l’inégalité devient :  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 . Dans la mesure où 0  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 , on peut alors passer à l’intérgrale et écrire :

 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 soit encore  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  . En d’autres termes I est décroissante.


Montrer que  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 au voisinage de l’infini.

Il convient en d’autres termes de démontrer que lim  EMBED Equation.3 = 1 quand n tend vers l’infini.
On vient de démontrer que I est décroissance. Ceci permet d’écrire :

 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 . En divisant chacun des termes par  EMBED Equation.3 , on a :

 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 .

Or, d’après la première question :

 EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 . Par conséquent :  EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3 , soit encore :  EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3 . Ainsi, en revenant à la dernière inégalité :

 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  . Or, lim  EMBED Equation.3  = 1 quand n tend vers l’infini. Donc, d’après le théorème des gendarmes : lim  EMBED Equation.3 = 1 quand n tend vers l’infini, ce qui revient à écrire que  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 au voisinage de l’infini.

Montrer que n. EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 = K où K est un nombre réel à déterminer.

D’après la première question :

 EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3  soit encore : n EMBED Equation.3 = (n-1)  EMBED Equation.3 . En multipliant de chaque côté de l’égalité par  EMBED Equation.3 , on obtient : n EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 = (n-1)  EMBED Equation.3 .  EMBED Equation.3 .
On remarque alors que si on note  EMBED Equation.3 = n EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  alors : (n-1)  EMBED Equation.3 .  EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3 . Par conséquent :
 EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3 , ce qui revient à dire que u est une suite constante. Donc, quelque soit n :
 EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3  = … =  EMBED Equation.3  = 1. EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 = 1.  EMBED Equation.3  .  EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 

=  EMBED Equation.3 .  EMBED Equation.3  = (1 - 0)(  EMBED Equation.3 - 0) =  EMBED Equation.3 . Conclusion : K =  EMBED Equation.3 .


Montrer que  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 au voisinage de l’infini.


On sait que n EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3 et que  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 . Donc : n EMBED Equation.3   EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  soit  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 

Calculer  EMBED Equation.3 en procédant à une distinction selon que le n est pair ou impair.

On utilise la relation obtenue à la première question :  EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3  et on écrit d’abord tous les termes pairs puis tous les termes impairs :

Termes pairs :

 EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3 

  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 

Multiplions ces différents termes membre à membre. Il reste alors :

 EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 . Or :  EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3 . Donc :

 EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 

Pour simplifier cette expression, multiplions le numérateur et le dénominateur par les termes pairs 2.4….2n. Dès lors :

 EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 . Finalement :

 EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 

Termes impairs :


  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 

Multiplions ces différents termes membre à membre. Il reste alors :

 EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 . Or :  EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = (1 – 0) = 1. Donc :

 EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3 .

Pour simplifier cette expression, multiplions le numérateur et le dénominateur par les termes pairs 2.4….2n. Dès lors :

 EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3 


En déduire que lim  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3 quand n tend vers l’infini. Ce résultat porte le nom de formule de Wallis

On sait que  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  donc lim  EMBED Equation.3 = 1 quand n tend vers l’infini. En remplaçant n par 2n+1, on a alors :

lim  EMBED Equation.3 = 1 quand n tend vers l’infini. Dès lors, en rempaçant  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  par les expressions trouvées à la question précédente, on obtient :

lim  EMBED Equation.3 .  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 = 1 quand n tend vers l’infini


 EMBED Equation.3 lim  EMBED Equation.3 .  EMBED Equation.3 = 1 quand n tend vers l’infini

 EMBED Equation.3  lim  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3  quand n tend vers l’infini.

En prenant la racine carrée des deux membres de l’égalité, on a :

lim  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3  quand n tend vers l’infini


Soit n un entier naturel non nul. On considère les deux fonctions : f(x) =  EMBED Equation.3  et g(x) =  EMBED Equation.3 . Etudier les variations de f et de g.


Les fonctions f et g sont définies sur R. En outre, f(-x) = f(x) et g(-x) = g(x) donc f et g sont paires. L’étude de leurs variations peut donc être limitée à R+.

f’(x) =  EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . L’expression entre parenthèses étant positive, on en déduit que f’(x) > 0 pour tout x positif.
Par ailleurs : soit u = EMBED Equation.3 . Dès lors, f(x) =  EMBED Equation.3 . Pour étudier la limite de f quand x (ou u) tend vers l’infini, on met en facteur le terme prépondérant, à savoir l’exponentielle. On écrit alors : f’(x) =  EMBED Equation.3 .
Or on sait que :
lim EMBED Equation.3 = 0 quand u tend tend vers  EMBED Equation.3 
lim EMBED Equation.3 = 0 quand u tend tend vers  EMBED Equation.3 
Donc lim f(x) =  EMBED Equation.3  (1-0) =  EMBED Equation.3 .

Par ailleurs :
g’(x) =  EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . L’expression entre parenthèses étant positive (car  EMBED Equation.3  quel que soit x) on en déduit que g’(x) > 0 pour tout x positif.

Par ailleurs, g(x) =  EMBED Equation.3 avec u = EMBED Equation.3 . Donc lim g(x) =  EMBED Equation.3  quand x tend vers  EMBED Equation.3  car lim EMBED Equation.3 = 0 quand u tend tend vers  EMBED Equation.3 .

On obtient alors les tableaux de variations ci-après

x  EMBED Equation.3  0  EMBED Equation.3 

f’(x) - 0 +
  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 


f(x) 0


x  EMBED Equation.3  0  EMBED Equation.3 

g’(x) - 0 +
  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 


g(x) 0




En déduire que pour tout x compris entre 0 et  EMBED Equation.3  on a :  EMBED Equation.3 


 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 0 EMBED Equation.3 g(x)  EMBED Equation.3 0 ce qui a été établli à la question 8 (cf. : tableau de variations)
De même :

 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 0 EMBED Equation.3 f(x)  EMBED Equation.3 0 ce qui a été établli à la question 8 (cf. : tableau de variations) .

Soit  EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . Montrer que  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 

Utilisons le résultat de la question 9 :

 EMBED Equation.3 . Comme 0 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 , on peut alors écrire (en passant à l’intégrale) :

 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 

car cette deuxième intégrale est positive, la fonction intégrée étant positive et  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 .

En utilisant la relation de Chasles, on a bien :

 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  soit  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 


Trouver une relation de récurrence entre  EMBED Equation.3  et I et entre  EMBED Equation.3  et I

 EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3 .

Soit x =  EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3 donc  EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3 et  EMBED Equation.3 = Arctg EMBED Equation.3 . Dès lors :


 EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3 


Conclusion :  EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3 .

 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .

Soit x =  EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3 donc  EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3 et  EMBED Equation.3 = Arcsin EMBED Equation.3 . Dès lors (sachant que Arcsin 0 = 0 et Arcsin 1 =   EMBED Equation.3 ):


 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 
= EMBED Equation.3 .
Conclusion :  EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3 .



Calculer lim  EMBED Equation.3  et lim  EMBED Equation.3  qund n tend vers l’infini.


D’après la question 5., on sait que  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 .

Or  EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 (une fonction rationnelle étant équivalente, au voisinage de l’infini au rapport de ses termes de plus haut degré). Par conséquent :
lim  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3 qund n tend vers l’infini.

De même :

 EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 .

Par conséquent :
lim  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3 qund n tend vers l’infini.

En déduire  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 


D’après la question 9.,  EMBED Equation.3 .

Intégrons sur l’intervalle allant de 0 à  EMBED Equation.3  ; 0 étant inférieur à  EMBED Equation.3 , on peut passer à l’intégrale sans changer le sens de l’inégalité :

 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  ce qui revient à écrire :
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 . Or : lim EMBED Equation.3  = lim  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3  quand n tend vers l’infini.

Donc, d’après le théorème des gendarmes : lim  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3 qund n tend vers l’infini. En d’autres termes :

 EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3 

La fonction qui à x associe  EMBED Equation.3 est paire. Par conséquent :

 EMBED Equation.3 = 2 EMBED Equation.3  = 2  EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3 

Soit x =  EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3 donc  EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 et  EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3 

Dès lors :

 EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3 .

Donc finalement :

 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 



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