les incertitudes de mesure
1) incertitude de mesure absolue et intervalle de confiance. 2) convention d'
écriture pour ... 5) incertitude calculée à partir de plusieurs sources d'erreurs ...
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Observer : ondes et matièreChapitre 0 : les incertitudes de mesure
Introduction
En sciences expérimentales il nexiste pas de mesures exactes. Les erreurs de mesure peuvent provenir de plusieurs sources:
- qualité des instruments
- lexpérimentateur (lerreur est humaine !)
- la variabilité de la grandeur mesurée ( par exemple une pile de 4,5 V se décharge au cours du temps, la tension quelle délivre diminue)
Par conséquent, lors du mesurage dune grandeur, on évaluera son incertitude.
Table des matières
TOC \o "1-3" \n \h \z \u HYPERLINK \l "_Toc366077548" Introduction
HYPERLINK \l "_Toc366077549" I) mesure et erreurs de mesure
HYPERLINK \l "_Toc366077550" 1) le vocabulaire à connaitre
HYPERLINK \l "_Toc366077551" 2) lerreur de mesure aléatoire
HYPERLINK \l "_Toc366077552" 3) lerreur de mesure systématique
HYPERLINK \l "_Toc366077553" 4) Comment calculer lerreur de mesure ?
HYPERLINK \l "_Toc366077554" II) incertitude de mesure
HYPERLINK \l "_Toc366077555" 1) incertitude de mesure absolue et intervalle de confiance
HYPERLINK \l "_Toc366077556" 2) convention décriture pour lexpression du résultat
HYPERLINK \l "_Toc366077557" 3) lincertitude de mesure relative
HYPERLINK \l "_Toc366077558" III) les 2 types dincertitude de mesure
HYPERLINK \l "_Toc366077559" 1) quelques définitions de statistique
HYPERLINK \l "_Toc366077560" 2) incertitude de type A
HYPERLINK \l "_Toc366077561" 3) incertitude de type B
HYPERLINK \l "_Toc366077562" 4) exemple dincertitude de type B
HYPERLINK \l "_Toc366077563" 5) incertitude calculée à partir de plusieurs sources derreurs
I) mesure et erreurs de mesure
1) le vocabulaire à connaitre
- Le mesurande M est la valeur à mesurer (tension, longueur etc)
- le mesurage est lopération permettant de déterminer expérimentalement lintervalle de valeurs à attribuer à la grandeur mesurée
- la valeur mesurée est la valeur attribu ée à un mesurande suite à un mesurage
- la valeur vraie dun mesurande est la valeur obtenue si le mesurage était parfait. Mais cest impossible ! donc la valeur vraie est toujours inconnue (on ne peut donner quun encadrement de sa valeur)!
- lerreur de mesure est lécart entre la valeur mesurée et la valeur vraie (en toute rigueur cette erreur est inconnue puisque la valeur vraie est inconnue) .
Exemple : un générateur de tension, considéré comme parfait, délivre une tension continue U = 4,5 V. On mesure une valeur de 4,6 V avec un voltmètre. Définir le mesurande, le mesurage, la valeur mesurée, Si on considère la valeur vraie U = 4,5 V, quelle est lerreur de mesure ?
Réponse :
- le mesurande est la tension électrique
- le mesurage est lopération consistant à brancher un voltmètre aux bornes de la pile et de lire la valeur affichée.
- la valeur mesurée est de 4,6 V
- lerreur de mesure est 4,6-4,5 = 0,1 V
Remarque : on ne peut parler que destimation de lerreur de mesure car la valeur vraie est, par définition, inconnue.
On distingue deux types derreur de mesure :
lerreur de mesure aléatoire
lerreur de mesure systématique
2) lerreur de mesure aléatoire
Un opérateur effectue plusieurs fois la même mesure par exemple la mesure de la tension aux bornes dun générateur. Les valeurs mesurées m peuvent être différentes m1 = 4,55 V, m2 = 4,54 V, m3 = 4,52 V , m4 = 4,48 V. On parle alors derreur aléatoire ErA.
Si on effectue un nombre infini de mesurage, le meilleur estimateur de la valeur du mesurande est la moyenne m(moy) des valeurs mesurées (on associe à la valeur vraie la valeur moyenne). Lerreur aléatoire ErA dune mesure est alors égale à la différence entre la valeur mesurée et la valeur moyenne:
Era = m m(moy)
Les erreurs de mesures systématiques proviennent généralement dun appareil mal étalonné.
En pratique on ne peut effectuer un nombre infini de mesure. Il est uniquement possible de déterminer une estimation de lerreur aléatoire.
Exercice : calculer lerreur aléatoire commise sur la valeur de la tension m1.
Réponse :
on calcule la moyenne m(moy)
m(moy) = (U1+U2+U3+U4)/4 = 4,52 V
lerreur aléatoire vaut :
ErA = m m(moy) = 4,55-4,52 = 0,03 V
3) lerreur de mesure systématique
Lerreur de mesure systématique se produit lorque lappareillage utilisé pour le mesurage est deffectueux. Toutes les mesures m effectuées seront éloignées de la valeur vraie du mesurande.
Lerreur systématique est égale à la différence entre la valeur moyenne des mesures m(moy) et la valeur vraie m(vrai) : ErS = m(moy) m(vrai).
Remarque : la valeur vraie étant par définition inconnue on ne pourra faire quune estimation de lerreur systématique.
Exemple : on utilise un voltmètre de mauvaise qualité pour mesurer la tension du générateur de lexercice précédent. On trouve les valeurs suivantes :
m1 = 4,76 V ; m2 = 4,82 V ; m3 = 4,89 V ; m4 = 4,80 V.
En considérant la valeur vrai m(vrai) comme la moyenne des valeurs obtenues avec le premier voltmètre considéré comme parfait, calculer lerreur systématique du voltmètre de mauvaise qualité. Calculer lerreur aléatoire effectué sur la mesure m1.
Réponse :
m(vrai) = 4,52 V (valeur moyenne obtenue avec le voltmètre de précision)
La valeur moyenne des mesures obtenue avec le voltmètre de mauvaise qualité vaut :
m(moy) = (m1 +m2 +m3 +m4)/4 = 4,81 V
Lerreur systématique vaut :
ErS = m(moy) m(vrai) = 4,81 4,52 = 0,29 V
Lerreur aléatoire sur la mesure m1 vaut :
ErA = m1-m(moy) = 4,76-4,81 = -0,05 V
L'erreur systématique est la composante de l'erreur de mesure qui reste constante ou varie de façon prévisible (défaut d'étalonnage, réglage de zéro, dérive temporelle, temps de réponse, erreur de parallaxe, erreur d'échantillonnage, approximation injustifiée, perturbation due à linstrument, grandeurs dinfluence...). Elle ne peut pas être réduite en augmentant le nombre de mesurages.
La justesse est l'aptitude d'un instrument à donner des indications exemptes d'erreurs systématiques. La fidélité dun appareil de mesure est son aptitude à donner un résultat avec une faible erreur aléatoire.
Exercice: soit 4 lanceurs automatique de fléchette qui projettent chacun 5 fléches dans une cible. Considérons la valeur vraie m(vraie ) au centre de la cible.
1) Evaluer limportance de lerreur systématique et aléatoire commise par chacun des lanceurs.
Qualifier chaque lanceur automatique avec les termes suivants juste et fidèle.
Réponse :
Le lanceur 1 commet une erreur systématique importante car tous les impacts sont situés dans une même zone éloignée de la cible. De plus, chaque lancer comporte une erreur aléaoire importante car les impacts sont éloignés les uns des autres. Le premier lanceur nest pas juste et peu fidèle (lappareil est sans doute de mauvaise qualité et nest pas bien étalonnée)
Le lanceur 2 commet une erreur systématique importante car tous les impacts sont situés dans une même zone éloignée de la cible. Chaque lancer comporte une erreur aléaoire faible car les impacts sont peu éloignés les uns des autres. Le second lanceur nest pas juste mais il est fidèle.
Le lanceur 3 commet une erreur systématique faible car tous les impacts sont situés autour du centre de la cible. De plus, chaque lancer comporte une erreur aléatoire importante car les impacts sont éloignés les uns des autres. Le premier lanceur est juste mais peu fidèle.
Le lanceur 4 commet une erreur systématique faible car tous les impacts sont situés autour de centre de la cible (valeur supposée vrai) . De plus, chaque lancer comporte une erreur aléaoire faible car les impacts sont peu éloignés les uns des autres. Le premier lanceur est juste et fidèle (lappareil, bien étalonné, est sans doute de bonne qualité)
4) Comment calculer lerreur de mesure ?
Lerreur de mesure Er est égal à la différence entre la valeur mesurée m et la valeur vrai m(vrai) :
Er = m m(vrai) = m m(moy) + m(moy)- m(vrai)
Par conséquent lerreur de mesure est égale à la somme de lerreur aléatoire et systématique.
Er = Era + ErS
Remarque : des appareils mal étalonnés mais de bonne qualité donnent des erreurs aléatoires faibles mais une erreur systématique importante.
Considérons lappareil de mauvaise qualité. Quelle est la valeur de lerreur de mesure Er effectué au cours de la mesure m4 = 4,80 V ?
Réponse :
Lerreur aléatoire sur la mesure vaut :
ErA = m4-m(moy) = 4,80 - 4,81 = -0,01 V
Lerreur systématique de lappareil vaut :
ErS = 0,29 V
Lerreur de mesure est la somme des deux erreurs :
Er = ErA + ErS = 0,29 0,01 = 0,28 V
II) incertitude de mesure
1) incertitude de mesure absolue et intervalle de confiance
Lincertitude de mesure absolue (ou incertitude de mesure) notée U (de langlais uncertainly) est une valeur associée au résultat dun mesurage.
L'incertitude de mesure donne une indication de la dispersion des mesures. Elle correspond à l'intervalle contenant très probablement la valeur vraie de la grandeur mesurée. Elle se note U(M) et possède la même unité que la grandeur M.
Lintervalle de confiance est centré sur la valeur m mesurée lors dune mesure unique (ou la moyenne des valeurs mesurées lors dune série de mesure) et a pour demi-largeur lincertitude de mesure U(M).
Lintervalle de confiance est un intervalle dans
lequel la valeur vraie a de grandes chances de se
trouver. En général, la largeur de cet intervalle est choisie avec un niveau de confiance de 95 % (la probabilité de présence de la valeur vraie dans lintervalle de confiance est de 95%) ou 99 % .
2) convention décriture pour lexpression du résultat
- Le dernier chiffre significatif de la valeur mesurée, doit dêtre à la même position décimale que le dernier chiffre significatif de lincertitude.
Exemple : i =24,36 mA ; U(i) = 0,02 mA
(U(i) = 0,023 mA aberrant!)
- lincertitude sera arrondie à la valeur supérieure avec au plus 2 chiffres significatifs.
Exemple :
U(i) = 0,343 mA sera arrondie à U(i) = 0,35 mA
Le résultat du mesurage s'écrit :
M = m ± U (M)
M appartient à lintervalle de confiance [m U (M) ; m + U (M)].
Exemple 1: q = 1,6042x10-19 C ; U(q) = 0,0523x10-19 C
Résultat du mesurage : q = (1,604 +/- 0,053) x10-19 C
.Exemple 2: écrire le résultat du mesurage si la mesure dune intensité de courant avec un niveau de confiance de 95 % est i = 5,52 mA et que lincertitude sur i vaut U(i) = 0,356 mA.
i = 5,52 mA +/- 0,36 mA
La valeur mesurée est 5,52 mA ; la valeur vraie de lintensité du courant est comprise dans lintervalle de confiance : [m U (M) ; m + U (M)]
[5,52 - 0,36 = 5,16 mA ; 5,52 + 0,36 = 5,88 mA ] avec une probabilité de 95%
3) lincertitude de mesure relative
L'incertitude relative est le rapport sans dimension : U(M)/m
On la donne souvent en %.
Exercice : une série de 10 mesures de pH dune solution donne un pH (moyen) = 4,8. Lincertitude de mesure avec un niveau de confiance de 95% est U (pH) = 0,2. Lincertitude de mesure avec un intervalle de confiance de 99% est U (pH) = 0,3.
Ecrire en lexplicitant : le résultat du mesurage, lincertitude absolue et lincertitude relative dans chacun des cas.
Réponse :
1) Expression du mesurage : pH = 4,8 +/- 0,2
Ce qui signifie que la valeur vraie du pH de la solution est comprise dans lintervalle de confiance [m U (M) = 4,8 0,2 = 4,6 ; m + U (M) = 4,8 + 0,2 = 5,0] et ceci avec une probabilité (niveau de confiance) de 95 %
Lincertitude absolue est U (pH) = 0,2
Lincertitude relative est U (pH)/pH = 0,2/4,8 = 4,2 %
2) Résultat du mesurage : pH = 4,8 +/- 0,3
Ce qui signifie que la valeur vraie du pH de la solution est comprise dans lintervalle de confiance [m U (M) = 4,8 0,3 = 4,5 ; m + U (M) = 4,8 + 0,3 = 5,1] et ceci avec une probabilité (niveau de confiance) de 99 %
Lincertitude absolue est U (pH) = 0,3
Lincertitude relative est U (pH)/pH = 0,3/4,8 = 6,2 %
III) les 2 types dincertitude de mesure
Il existe 2 types dincertitude de mesure :
lincertitude de mesure de type A évaluée avec des méthodes statistiques correspondant à une série de mesure
lincertitude de type B évaluée avec dautres méhodes correspondant généralement à une mesure unique.
1) quelques définitions de statistique
La population est l'ensemble des mesures possibles (elle est souvent infinie). L'échantillon est l'ensemble des mesures effectuées, à partir duquel on espère tirer des informations sur la population (l'échantillon doit être représentatif de la population).
La moyenne m (moy) (ou espérance mathématique) dun échantillon de n mesures est donné par la formule :
EMBED Equation.3
Lécart-type expérimental EMBED Equation.3 est égal à :
EMBED Equation.3
Remarque : on divise par n-1 et non n pour éviter les erreurs de calcul sur lécart type.
Théorème central limite (Gauss : 1777-1855) :
Lorsque les causes d'incertitudes sont nombreuses, indépendantes, et donnent des erreurs du même ordre de grandeur, l'histogramme de répartition de la série de mesures tend vers une courbe de Gauss lorsque le nombre n de mesures tend vers l'infini.
La loi normale n'est caractérisée que par deux paramètres m et EMBED Equation.3 appelés respectivement moyenne (indiquant la valeur centrale) et écart-type (indiquant la largeur de la courbe).
Si la variable X suit une loi normale, 68 % des valeurs de X sont comprises dans l'intervalle [m(moy)- EMBED Equation.3 ; m(moy)+ EMBED Equation.3 ], et 95 % des valeurs sont comprises dans l'intervalle [m(moy)-2 EMBED Equation.3 ; m(moy)+2 EMBED Equation.3 ].
Le calcul dincertitudes consiste à estimer, en supposant que la distribution est gaussienne, sa moyenne et son écart-type à partir des résultats dune série de mesures. La valeur recherchée (valeur conventionnellement vraie) est estimée par la moyenne des résultats à condition que le processus de mesure soit exempt derreurs systématiques.
2) incertitude de type A
Lincertitude de type A est évaluée lorsque :
un même manipulateur réalise plusieurs fois le mesurage dun même mesurande M dans les
mêmes conditions expérimentales
ou plusieurs manipulateurs réalisent simultanément la même mesure avec du matériel similaire (mesure de pH dune solution par plusieurs binômes de TP par exemple).
Lécart type EMBED Equation.3 permet dévaluer lincertitude type u(M). Pour n mesures lincertitude type u(M) vaut :
EMBED Equation.3
Lincertitude élargie appelée incertitude de répétabilité U(M) est égale au produit de lincertitude type u(M) par un facteur k appelé facteur délargissement :
EMBED Equation.3
Le coefficient délargissement k dépend de :
- du niveau de confiance (95% ou 99%)
- du nombre n de mesures
Le résultat du mesurage s'écrit :
M = m(moy) ± U (M)
La valeur vraie M appartient à lintervalle de confiance [m(moy) U (M) ; m(moy) + U (M)].
Exemple : on effectue n = 10 mesures de tension aux bornes dune pile, lécart type expérimentale vaut EMBED Equation.3 = 0,15 V, la moyenne des mesures m(moy) = 4,20 V. Pour un niveau de confiance de 95%, quel est le résultat du mesurage ainsi que lintervalle de confiance ?
Réponse :
Lincertitude de répétabilité U(M) vaut :
EMBED Equation.3
Résultat du mesurage : M = m(moy) ± U (M) :
4,20 V +/- 0,11 V
La valeur vraie de la tension aux bornes de la pile à une probabilité de 95% de se trouver dans lintervalle de confiance suivant :
[m(moy) U (M) ; m(moy) + U (M)]
[4,20-0,11 = 4,09 V ; 4,20+0,11 = 4,31 V]
3) incertitude de type B
Lévaluation dune incertitude de type B seffectue lors dune mesure unique.
On cherchera à évaluer lincertitude du à la précision de chaque lappareil comme :
- la résolution (graduation ou digit) qui correspond à lincertitude de lecture
- la tolérance du constructeur
- lincertitude de l'étalon
- les grandeurs ayant une influence sur la mesure (température, hygrométrie
)
Pour les incertitudes de type B, on utilise lincertitude élargie :
U = k · u
Pour un niveau de confiance de 95 %, le facteur
délargissement est k = 2 ; pour 99 % k = 3.
4) exemple dincertitude de type B
1) incertitude de lecture : lors dune mesure par lecture sur une échelle ou un cadran, lincertitude-type de lecture est donnée par la formule :
EMBED Equation.3
Exemple : un thermomètre est gradué en degré Celsius (1 graduation correspond à 1 degré Celsius). Evaluer lincertitude élargie de lecture U pour un niveau de confiance de 99%.
Réponse :
EMBED Equation.3
2) incertitude liée à la tolérance t dun appareil : lincertitude type est donnée par la relation :
EMBED Equation.3
Exemple : une fiole jaugée de 50 mL à une tolérance t de +/- 0,1 mL. Calculer lincertitude élargie U liée à la tolérance de la fiole avec un niveau de confiance de 95%.
Réponse :
EMBED Equation.3
3) incertitude liée à la précision dun appareil à affichage numérique : la notice de lappareil indique généralement la précision p correspondant à un pourcentage de la valeur lue sur lécran et par un certain nombre de digit (plus petite valeur possible affichée). Lincertitude-type liée à la précision de cet appareil est :
EMBED Equation.3
Exemple : un voltmètre à une précision de 2% + 1 digit. Il affiche la valeur 2,34 V. Calculer lincertitude élargie relative à la précision de lappareil correspondant à un niveau de confiance de 99%. Quel est lintervalle de confiance ? Le résultat du mesurage ?
Réponse :
EMBED Equation.3
Résultat du mesurage :
U =2,34 V +/- 0,10 V
Intervalle de confiance :
[m U (M) ; m + U (M)] =
[2,34-0,10 = 2,24 V ;2,34+0,10 = 2,44 V].
5) incertitude calculée à partir de plusieurs sources derreurs
Lorsque la valeur A dune grandeur est calculée à partir de plusieurs valeurs mesurées B et C il faut faire intervenir dans la formule de lincertitude sur A, U(A) les incertitudes U(B) et U(C). La formule est toujours donnée dans les exercices.
Exemple : le rayon de la trajectoire de la Terre autour du soleil est R = (6,40 +/- 0,05) x103km
Sa période de révolution autour du soleil vaut T =(84,60 +/- 0,04 )x103 s
1) Calculer le rapport r = T2/R3 (s2.m-3)
2) Calculer lincertitude U(r) sachant que :
EMBED Equation.3
3) un encadrement de la valeur de r. Ecrire le résultat du mesurage puis un encadrement de la valeur de r (intervalle de confiance)
Réponse :
1) r = T2/R3
EMBED Equation.3
2) EMBED Equation.3
3) Encadrement de la valeur de r :
[r U (r) ; r + U (r)]
Notions et contenus Compétences expérimentales exigibles
Erreurs et notions associées
Identifier les différentes sources derreur (de limites à la précision) lors dune mesure : variabilités du phénomène et de lacte de mesure (facteurs liés à lopérateur, aux instruments, etc.).
Incertitudes et notions associées
Évaluer et comparer les incertitudes associées à chaque source derreur.
Évaluer lincertitude de répétabilité à laide dune formule dévaluation fournie.
Évaluer lincertitude dune mesure unique obtenue à laide dun instrument de mesure.
Évaluer, à laide dune formule fournie, lincertitude dune mesure obtenue lors de la réalisation dun protocole dans lequel interviennent plusieurs sources derreurs. Expression et acceptabilité du résultat
Maîtriser lusage des chiffres significatifs et lécriture scientifique. Associer lincertitude à cette écriture.
Exprimer le résultat dune opération de mesure par une valeur issue éventuellement dune moyenne et une incertitude de mesure associée à un niveau de confiance.
Évaluer la précision relative.
Déterminer les mesures à conserver en fonction dun critère donné.
Commenter le résultat dune opération de mesure en le comparant à une
