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Mesures et incertitudes ? Chiffres significatifs. I Introduction. La pratique des sciences fondamentales et appliquées conduit à réaliser des mesures.




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Mesures et incertitudes – Chiffres significatifs

I Introduction
La pratique des sciences fondamentales et appliquées conduit à réaliser des mesures.
Toute mesure est entachée d’erreurs aléatoires dues au matériel, aux paramètres physiques mis en jeu, et à l’opérateur ; ces erreurs ont des valeurs inconnues et l’on peut seulement les estimer.

Les résultats de mesures peuvent être utilisés pour calculer une nouvelle grandeur : le résultat devra être présenté avec un nombre de chiffres significatifs cohérent avec la précision des données.


La bonne estimation des erreurs doit conduire à exprimer le résultat  EMBED Equation.3  de la mesure x d’une grandeur X sous la forme  x =  EMBED Equation.3  ( ((x( , écrit sous la forme allégée : x =  EMBED Equation.3 ( (x , avec (x > 0.
(x représente l’incertitude sur la valeur de x,
avec un niveau de confiance qui doit être précisé : sa valeur par défaut est 95% .


Exemple 1 : L = 8,2 ( 0,1 cm  (L = 0,1 cm :
la vraie valeur de L a 95% de chances de se trouver dans l’intervalle [8,1 ; 8,3]
une mesure de L par la même méthode a 95% de chances d’être dans l’intervalle [8,0 ; 8,3]

Exemple 2 : L = 8,20 ( 0,01 cm  (L = 0,01 cm :
la vraie valeur de L a 95% de chances de se trouver dans l’intervalle [ ]


On peut comparer la précision de chacune des mesures données en exemple en calculant une incertitude relative :  EMBED Equation.3 

Exemple 1 :  EMBED Equation.3 , soit 1,2 %
Exemple 2 :  EMBED Equation.3  …………………... soit ………...% ; cette mesure est la ………….précise.

On remarque que le zéro après la virgule dans (8,20) a ici de l’importance, il renseigne sur la précision de la mesure, c’est un chiffre significatif.

8,2 cm = 0,082 m = 8,2.10… m = ….. mm comporte 2 chiffres significatifs.

8,20 cm = 0,0820 m = 8,…..10… m = …….. mm comporte 3 chiffres significatifs.


Exemple 3 : valeur de la constante de gravitation
disponible sur le site internet du NIST ( National Institute of standards and Technology)
Newtonian constant of gravitation : G =  6.674 28 x 10-11 m3 kg-1 s-2  INCLUDEPICTURE "http://physics.nist.gov/cuu/Images/space126.gif" \* MERGEFORMATINET  
Standard uncertainty  0.000 67 x 10-11 m3 kg-1 s-2 : c’est un écart-type associé à 68% de confiance.
Relative standard uncertainty   1.0 x 10-4 : c'est-à-dire ……………………………………….
Concise form :  6.674 28(67) x 10-11 m3 kg-1 s-2
On écrira aussi : G = …………………… ( ………………. avec un niveau de confiance 68 % II Incertitudes de mesures
Le vocabulaire et les notions employées ici suivent les préconisations du BIMP (Bureau International des Poids et Mesures) précisées dans des documents suivants :
VIM (Vocabulaire International de Métrologie)
GUM (Guide to the expression of Uncertainty in Measurement)

Pour une éventuelle spécialisation en métrologie il faut étudier de manière approfondie ces deux documents et un cours de spécialiste en statistiques.

1°) Notions générales.
On appelle erreurs de mesure les écarts des résultats par rapport à la valeur vraie.
Ces écarts sont cependant inconnus et ont un caractère aléatoire : on parle d’incertitude.
Cela se manifeste par la dispersion des résultats lorsqu’on répète un grand nombre de fois la mesure d’une même grandeur.

Exemple :
La mesure d’une même intensité a été réalisée avec 22 multimètres identiques.
Les résultats figurent dans le tableau suivant :
I (mA)
119,5118,6119,9119,5119,2120,3119,9119,2119,2119,4119,9120,0119,0120,1119,8119,4120,5120,1119,4119,4119,5120,1
La répartition des mesures est représentée sur l’histogramme ci-dessous : diagramme bâton représentant l’effectif correspondant aux différentes valeurs mesurées. La courbe de Gauss est décrite plus loin.

effectif total  n = 22

moyenne  EMBED Equation.3  = 119,5 mA

min : Imin = 118,5 mA

max : Imax = 120,5 mA

écart-type : s = (n-1 = 0,620 mA


Utiliser les fonctionnalités de la calculatrice pour obtenir l’ensemble des valeurs demandées à droite du tableau. (liste des valeurs dans un tableau, puis calculs de statistique à 1 variable).

Calculs complémentaires :
nombrepourcentagemesures comprises dans l’intervalle [ EMBED Equation.3 - s ;  EMBED Equation.3 + s ]

mesures comprises dans l’intervalle [ EMBED Equation.3 - 2s ;  EMBED Equation.3 + 2s ]

mesures comprises dans l’intervalle [ EMBED Equation.3 - 3s ;  EMBED Equation.3 + 3s ]

De nombreuses situations expérimentales montrent que pour un très grand nombre de mesures l’histogramme se rapproche d’une courbe de Gauss, associée à une loi de probabilité nommée « loi normale ».

Remarque: les notions de statistiques utilisées ici seront étudiées de manière approfondie dans le cours de Mathématiques.

Informations sur la courbe de Gauss :
La probabilité P d’obtenir une valeur x comprise dans l’intervalle [ x1 ; x2] est définie à partir de la fonction de Gauss donnant la densité de probabilité p(x) = dP/dx :

 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  = valeur moyenne : c’est aussi la valeur la plus probable
( = écart-type (« standard deviation » en anglais): il rend compte de la dispersion des valeurs autour de la moyenne
Quelques propriétés de l’écart-type pour la courbe de Gauss :
valeurs dans l’intervalleprobabilitétraduction [ EMBED Equation.3 -( ;  EMBED Equation.3 +(]68,3 %x =  EMBED Equation.3  ( ( avec un niveau de confiance de 68,3 %[ EMBED Equation.3 -2( ;  EMBED Equation.3 +2(]95,4 %[ EMBED Equation.3 -3( ;  EMBED Equation.3 +3(]99,7 %
Probabilité P( x1( x ( x2 ) =  EMBED Equation.3 = aire délimitée par la courbe , l’axe des abscisses et les droites d’équation y = x1 et y= x2.
Probabilité P( x ( [-( ; +( ] ) = 1 (100%)

Variance et écart-type :
pour une densité de probabilité p(x) associée à des valeurs x réelles on définit
la variance : EMBED Equation.3  et l’écart-type :  EMBED Equation.3 

2°) 2 types d’incertitudes et présentation d’un résultat.
Les normes internationales classent les incertitudes en deux catégories nommées A et B.

Incertitudes de type A: on a réalisé plusieurs mesures de la même grandeur qui permettent un traitement statistique (calcul de moyenne et d’écart-type).

Incertitudes de type B : on dispose d’une seule mesure et l’on évalue un écart-type à partir des données du constructeur de l’appareil de mesure et d’hypothèses sur la qualité de la lecture réalisée sur l’appareil.

Calculs : on calculera pour la mesure (ou pour les mesures)
- l’incertitude-type notée u ; c’est un écart-type, associé à un niveau de confiance loin de 100%.
- l’incertitude élargie U = k u ; souvent k = 2 est associé au niveau de confiance 95%.
- on conserve au maximum 2 chiffres significatifs pour U.

Remarques : en l’absence d’indication on considère que le niveau de confiance est 95%
« u » provient de « uncertainty » en anglais. 

Présentation du résultat : le résultat  EMBED Equation.3  de la mesure x d’une grandeur X sera généralement écrit
x =  EMBED Equation.3  ( U (niveau de confiance 95%) , ou bien x =  EMBED Equation.3  ( ((x( où ((x( représente U.
3°) Incertitudes de type A.
On dispose d’un nombre limité n de mesures d’une même grandeur X : x1, x2, ….., xn, réparties approximativement selon un distribution gaussienne.

Meilleur estimateur de la valeur vraie : moyenne  EMBED Equation.3 .

Si on refait d’autres séries de n mesures les moyennes et les écarts-types auront des valeurs dispersées ; on démontre dans les cours de statistiques que les meilleurs estimateurs pour les grandeurs suivantes sont :
Écart-type expérimental (sur la série de mesures) : s = (n-1=  EMBED Equation.3 
Incertitude-type (= écart-type sur la moyenne) : un =  EMBED Equation.3 

d’où :
Incertitude élargie avec un niveau de confiance 95% : U = k95. un

on peut démontrer que k95 est ici le coefficient de Student, noté aussi t95, et donné par des tables.

n 2345678910t9512,74,33,182,782,572,452,372,312,26t9963,79,935,844,64,033,713,53,363,25 n 12141618203050100¥ð ðt952,22,162,132,112,092,042,011,981,96t993,113,012,952,92,862,762,682,632,57
Exemple:
mesures d une intensité étudiée au II 1°) :
Calculer l incertitude-type un puis l incertitude élargie pour un niveau de confiance 95%.
Calculer aussi l’incertitude (élargie) pour le niveau de confiance 99%.



n = 22  EMBED Equation.3  = 119,5 mA s = (n-1 = 0,620 mA

u = (n-1 / racine(22) = 0,132 mA

U (95%)=2,08(0,132 = 0,27 mA ( 0,3 mA d’où : I = 119,5 mA ( 0,3 mA (confiance 95%)

U (99%)=2,84(0,132 = 0,37 mA ( 0,4 mA d’où : I = 119,5 mA ( 0,4 mA (confiance 99%)






4°) Incertitudes de type B
On dispose d’une seule mesure ( étude statistique impossible.

On détermine une incertitude-type u résultant généralement de la composition des incertitudes-type suivantes :
ulecture = incertitude-type due à la lecture sur l’instrument
uconstruct = incertitude-type liée au caractéristiques l’appareil, donnée par le constructeur.
uautre = autres incertitudes-types éventuellement disponibles.
Calcul de u à partir de :  EMBED Equation.3  (propriété des variances)

On peut ensuite calculer l’incertitude élargie : U = k0,95( u = 2.u au niveau de confiance 95%.

Les incertitude-type ulecture et uconstruct , qui sont toujours des écart-types, sont calculées en formulant une hypothèse sur la loi de distribution associée à la mesure.
La lecture sur l’instrument ou les données du constructeur permet de donner un intervalle selon :
(valeur lue) –a < (valeur lue) < (valeur lue) +a
Exemples :
lecture sur une règle graduée ou un vernier : a = moitié du plus petit intervalle
lecture sur l’échelle graduée d’un appareil analogique  : a = moitié du plus petit intervalle
lecture de l’affichage appareil numérique  : a = moitié du plus petit digit affiché.
tolérance constructeur d’une pipette jaugée  : a = pourcentage de la valeur du volume.
classe de précision d’un voltmètre analogique  : a = pourcentage de la totalité de l’échelle.
précision d’un voltmètre numérique  : a = %lecture+ nombre de digits

En l’absence d’informations du constructeur sur la loi de probabilité associée à la réponse d’un instrument on utilise principalement les deux distributions suivantes :
domaines d’utilisationdistributionincertitude-typecommentaireslecture afficheur digital 

précision constructeurrectangle





 EMBED Equation.3 ulecture
ou
uconstruct lecture échelle graduée

ajustement trait de jaugetriangle isocèle





 EMBED Equation.3 ulecture
ou
uconstruct

estimation moins pessimiste que la rectangulaire
Remarques:
Si on dispose d’un certificat d’étalonnage en cours de validité indiquant une incertitude élargie Uconstruct et son niveau de confiance 95% pour une loi normale on peut écrire :
uconstruct = Uconstruct/2.

Si le certificat donne une erreur maximale tolérée (EMT), c’est-à-dire une incertitude élargie Uconstruct à un niveau de confiance 100%, on utilise uconstruct = Uconstruct/3.

En pratique l’étalonnage d’un appareil se détériore au cours du temps.
Exemples de calculs d’incertitudes de type B :
Calculer pour chacun des exemples l’incertitude-type u, l’incertitude élargie U, et l’incertitude relative sur la mesure.
Présenter le résultat sous la forme  : x = valeur lue ( U au niveau de confiance 95 %
ou bien : x = valeur lue ( (x au niveau de confiance 95 % .

Ex.1 : Voltmètre digital.

(Lecture en V : Précision constructeur : 1%.lecture + 2 digits
Niveau de confiance inconnu.

valeur lue = 1,95 V 
incertitude de lecture : alecture = (1/2) ( (plus petit intervalle) = (1/2) ( 0,01 = 0,005 V

incertitude constructeur : aconstruct = (1/100)(1,95 + 0,02 = 0,0395 V

incertitudes-types: ulecture =  EMBED Equation.3  = 0,00289 V (distribution de probabilité supposée rectangulaire)
 uconsctruct = EMBED Equation.3 = 0,02281 V (distribution supposée rectangulaire)
  EMBED Equation.3  = 0,02299V ( 0,0230 V
incertitude élargie:
((tension) = U = k0,95 . u = 2.u = 0,0460 V ( 0,05 V , niveau de confiance 95%


bilan : tension mesurée = ( 1,95 ( 0,05 ) V, au niveau de confiance 95 % .

incertitude relative :  EMBED Equation.3  2,6 %, au niveau confiance 95 %
Ex 2 : Mesure d’une longueur.
La mesure de la longueur L d’une petite tige métallique avec un réglet gradué au mm donne :
L = 12,2 cm.
On considèrera que la seule incertitude significative est celle due à la lecture, est qu’elle s’applique deux fois : une pour la graduation zéro et une pour la graduation lue.
On supposera une loi de distribution de probabilité triangulaire symétrique pour calculer l’incertitude-type uL, puis l’incertitude élargie UL.

erreur maximale de lecture = : ½ petit intervalle = a = 0,5 mm = 0,05 cm.
incertitude-type sur le zéro : u0 =  EMBED Equation.3  =0,0204 cm
incertitude-type sur la mesure : u1=  EMBED Equation.3  = 0,0204 cm
incertitude-type- sur L : uL=  EMBED Equation.3 =0,0289 cm ( 0,029 cm
incertitude élargie : (L = UL = k . uL = 2.uL = 0,06 cm ( k =2 au niveau de confiance 95%)

Que devient l’incertitude si l’on estime que l’erreur de lecture n’est pas égale à ½ division , mais à ¼ de division ? Ex.3 : Pesée sur balance électronique.
(
Lecture en g : Donnée constructeur: linéarité = (0,03g

Niveau de confiance inconnu
On supposera les distributions rectangulaires pour le calcul des incertitudes-types : u(lecture) et u(linéarité).
On considèrera que l’incertitude-type de linéarité s’applique 2 fois : une pour le zéro et une pour la mesure elle-même.

u(linéarité) = 0.03/racine(3) = 0.0173 g
u(lecture) = 0.005/racine(3) = 0.0029 g

u = racine( [u(lecture]² + 2 [u(linéarité)² ) = 0,0246 g

incertitude élargie sur le masse : (m = Um = k.u = 2.u = 0,0492 g( 0,049 g

finalement : m = 83,36g ( 0,049 g (niveau de confiance = 95 %)


Remarques :
si le constructeur précise «  écart-type de linéarité = 0,03 g », on écrit : u(linéarité) = 0,03 g
s’il précise « incertitude élargie = 0,03 g », on écrit : u(linéarité) = 0,03/2 g ( hypothèse k = 2)
si le constructeur ajoute un écart-type de répétabilité, on le prend aussi en compte dans le calcul de u(global), toujours en additionnant des carrés.


Ex. 4 : Mesure d’un volume de liquide.
On mesure le volume d’une solution aqueuse versée avec une burette graduée au 1/10ème de mL, selon la procédure suivante :

remplissage de la burette et ajustage du zéro.

ouverture du robinet et fermeture lorsque le volume versé correspond à la graduation V = 12,6 mL

Donnée du constructeur: précision = ( 0,05 mL
Niveau de confiance inconnu.



incertitude-type construction : uc = 0.05/racine(3) = 0.0289 mL ( distribution rectangulaire)
incertitude-type lecture: ½ petit intervalle a = 0,05 mL
ul = 0.05/racine(6) = 0.0204 mL ( distribution triangulaire)
intervient 2 fois : pour le zéro et pour la mesure

incertitude-type : u = racine(uc² + ul ²+ ul²) = 0,0408 mL
incertitude élargie : (L = U = 2. u = 0,082 ( 0,08 mL (k = 2 , confiance = 95 %)

finalement : V = 12,6 mL (0,08 mL (niveau de confiance = 95 %) 5°) Composition des incertitudes-types: propagation des incertitudes.
Lorsqu’une grandeur est déterminée par un calcul faisant intervenir d’autres grandeurs mesurées elle est aussi entachée d’une incertitude.

Lois de composition des incertitudes-types , pour des variables indépendantes:
X = grandeur à calculer / A, B, C = variables mesurées / a, b, c, (, (, ( = coefficients numériques

type d’expressionexemples
relation entre incertitudes-types :
lois de compositionsomme algébrique

combinaison linéaireX = A ( B ( C

X = a.A +b. B + c.C uX² = uA² + uB² + uC²

uX² = a².uA² + b².uB² + c².uC² produits ou quotients EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 tout type de relationX = f(A, B, C) EMBED Equation.3 
On remarque que :
Pour une somme ou une différence les carrés des incertitudes-types s’ajoutent.
Pour un produit ou un quotient les carrés des incertitudes-types relatives s’ajoutent.

La relation générale inclut tous les cas et est indispensable lorsque la relation mathématique n’est pas un somme ou un produit.
 EMBED Equation.3  représente la dérivée partielle de la fonction f par rapport à A ; c’est la dérivée de f par rapport à A lorsque B et C sont constantes.

Exemple de composition d’incertitudes-types: calcul d’une résistance avec la loi d’Ohm  EMBED Equation.3 .
Valeurs mesurées  : V = 10,00 V I = 127,4 mA
Incertitudes-types déjà déterminées : uV = 0,06 V uI = 0,8 mA
Calculer R et son incertitude-type uR (avec la formule pour les incertitudes-types relatives), puis calculer son incertitude élargie U ( ou (R).

R = 10,00 / 0,1274 = 78,49 (
uR/R = racine( [uV/V]²+[uI/I]² ) uV/V = 0 ,006 uI/I=0,00628

( uR/R = 0,00869 ( uR = 0,682 (

d’où (R = U = k.uR avec k = 2 au niveau de confiance 95% , soit : (R = 1,36 ( ( 1,4 (

Finalement : R = 78,5 ( 1,4 ( ( niveau de confiance 95 %)
6°) Comparaison entre différentes loi de probabilités usuelles en métrologie

Une grandeur mesurée s’écrit : X = x (U , avec U = k.u ,
U = incertitude élargie
u = incertitude-type = écart-type de la distribution de probabilité.

Loi de probabilitéloi normale (Gauss)rectangletriangle isocèlek12311,651,7311,812,45niveau de confiance68 %95 %99 %58 %95 %100 %65 %95 %100 %

On constate pour toutes ces distributions que la valeur k = 2 correspond à un niveau de confiance au moins égal à 95 %.


7°) Cas de variables non indépendantes et présentation d’une ancienne méthode de calcul.

Si on sait que des variables intervenant dans le calcul d’une grandeur ne sont pas indépendantes, ou si on le suspecte, les formules de composition des incertitudes-types précédentes ne sont plus rigoureusement valables.

Les spécialistes de métrologie utilisent des termes supplémentaires, appelés covariances, dans les calculs qui deviennent très complexes.

On peut aussi employer la méthode de calcul simplifiée du tableau suivant.
Ce tableau mentionne aussi une méthode ancienne (oubliant l’aspect probabiliste, mais encore en usage dans l’enseignement) pour le calcul des incertitudes (X.

relations simplifiées
entre incertitudes-types :
mesures fortement corréléesrelation ancienne de
« calculs d’incertitudes »
(en général très pessimistes)X = A ( B ( C

X = a.A +b. B + c.C uX = uA+ uB + uC

uX = (a(.uA + (b(.uB + (c(.uC (X = ((A( + ((B( + ((C(

(X = (a.(A( + (b.(B( + (c.(C( EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 X = f(A, B, C) EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 RésultatX = x ( U avec U = (X = k.uX
k = 2 pour 95% de confianceX = x ( (X
avec une confiance totale ! III Chiffres significatifs

Idées générales :

Les grandeurs utilisées en Sciences ont toujours une précision limitée car elles sont issues de mesures.

Une donnée scientifique devrait toujours être accompagnée de son incertitude.
Dans ce cas : - l’incertitude comporte au maximum 2 chiffres significatifs
les chiffres significatifs la grandeur ne dépassent pas la précision donnée par l’incertitude.
Exemples : S = 24,538 m² ( 0,3 m² : incorrect ( écrire : ……………………
P = 10,2 ( 0,1 N : correct
R = 208,6 ( ( 1,2( : correct
( = 7,86 kg.m-3 ( 0,02734 kg.m-3 : incorrect ( écrire : ……………………



Quand l’incertitude d’une valeur n’est pas indiquée :
si la donnée comporte quelques chiffres significatifs laissant supposer qu’ils sont associés à une certaine précision : on suppose que l’incertitude est égale à la moitié de la plus petite unité à droite du nombre.
exemples : L=12,6 cm sous-entend (probablement) que L= 12,6 ( 0,05 cm
D = 160 k m sous-entend que D= 160 ( 0,5 km
d = 120,0 m sous-entend que d= 120,0 ( 0,05 m

si la donnée ne semble pas « se préoccuper » de la précision (par négligence de l’auteur, dans le cas d’un exercice scolaire !), on peut se baser sur une précision usuelle de 3 chiffres significatifs, et en tout cas utiliser son bon sens.
exemple : L = 1 m , on suppose que L est au moins connue au cm près d’où L = 1,00 m.



Calculs et arrondis :

Pour de nombreux cas: le résultat du calcul ne doit pas comporter plus de chiffres significatifs que la moins précise des données.

Cette règle n’est plus fiable pour l’emploi de fonctions trigonométriques, logarithmes, exponentielles, ou puissances avec des exposants très grands: le résultat sera arrondi en cohérence avec une incertitude calculée, ou bien à partir d’une estimation raisonnable de la précision attendue.

Si l’on effectue des calculs intermédiaires: conserver quelques chiffres significatifs supplémentaires, puis effectuer un arrondi correct sur le résultat du calcul final.

Biblio :
Nombreux articles parus dans le BUP.

groupe des sciences physiques et chimiques de l’igen. Nombres, mesures et incertitudes en Sciences Physiques et Chimiques. Ministère de l’éducation nationale,2010.
(Disponible sur plusieurs sites internet, dont Eduscol)

moreau rené. Mesures, erreurs et incertitudes en physique-chimie(université d’été juillet2001)
(Disponible sur plusieurs sites internet, dont Eduscol)

priel marc. Incertitudes de mesures et tolérances. Techniques de l’ingénieur. R285.

rouaud mathieu.  HYPERLINK "http://www.incertitudes.fr/" http://www.incertitudes.fr/

Les incertitudes en Physique.  HYPERLINK "http://www.ac-strasbourg.fr/sections/enseignements/secondaire/pedagogie/les_disciplines/physchim/lycee/mpi/incertitudes_en_phys" http://www.ac-strasbourg.fr/sections/enseignements/secondaire/pedagogie/les_disciplines/physchim/lycee/mpi/incertitudes_en_phys

Données pour l’étudiant en BTS.  HYPERLINK "http://www.ac-nancy-metz.fr/RESEAUSTL/STL-TPIL/St%C3%A9phanie%20BIGORRE/-donnees%20etudiant%20exam.pdf" http://www.ac-nancy-metz.fr/RESEAUSTL/STL-TPIL/St%C3%A9phanie%20BIGORRE/-donnees%20etudiant%20exam.pdf

buffler …. Introduction to Measurement in the Physics Laboratory: A Probabilistic Approach
 HYPERLINK "http://www.phy.uct.ac.za/people/buffler/labmanual.html" http://www.phy.uct.ac.za/people/buffler/labmanual.html

deardorff Duane  HYPERLINK "http://www.physics.unc.edu/%7Edeardorf/uncertainty/pub/AAPTsum2001.html" . Introductory Physics Students' Treatment of Measurement Uncertainty.
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deardorff Duane .  HYPERLINK "http://www.physics.unc.edu/%7Edeardorf/uncertainty/AAPT.S03.ppt" Reporting Measurement Uncertainties According to the ISO Guide.
 HYPERLINK "http://www.physics.unc.edu/~deardorf/uncertainty/AAPT.S03.ppt" http://www.physics.unc.edu/~deardorf/uncertainty/AAPT.S03.ppt
 
eurachem / citac. Quantifier l’incertitude dans les mesures analytiques.
 HYPERLINK "http://www.lne.fr/compteur/download_eurachem2.asp" http://www.lne.fr/compteur/download_eurachem2.asp

pou Jean-Michel. L’incertitude de mesure et son utilisation.
 HYPERLINK "http://www.deltamuconseil.fr/download/Presse/Incertitude-part-1.pdf" http://www.deltamuconseil.fr/download/Presse/Incertitude-part-1.pdf
 HYPERLINK "http://www.deltamuconseil.fr/download/Presse/Incertitude-part-2.pdf" http://www.deltamuconseil.fr/download/Presse/Incertitude-part-2.pdf
 HYPERLINK "http://www.deltamuconseil.fr/download/Presse/Incertitude-part-3.pdf" http://www.deltamuconseil.fr/download/Presse/Incertitude-part-3.pdf
 HYPERLINK "http://www.deltamuconseil.fr/download/Presse/Incertitude-part-4.pdf" http://www.deltamuconseil.fr/download/Presse/Incertitude-part-4.pdf
Contrôles Essais Mesures – Avril, Juillet, Octobre 2004- Janvier 2005.

 HYPERLINK "http://www.bipm.org/utils/common/documents/jcgm/JCGM_100_2008_F.pdf" Évaluation des données de mesure – Guide pour l'expression de l'incertitude de mesure JCGM 100:2008 (GUM 1995 avec des corrections mineures)

 HYPERLINK "http://www.bipm.org/utils/common/documents/jcgm/JCGM_200_2008.pdf" Vocabulaire international de métrologie – Concepts fondamentaux et généraux et termes associés VIM, 3e édition, JCGM 200:2008

bernard Annette, vidal Jean-Louis. Mesures et incertitudes de mesure dans les laboratoires d'enseignement. HYPERLINK "http://www.ac-grenoble.fr/disciplines/spc/file/zip/Incertitudes_2010.zip" http://www.ac-grenoble.fr/disciplines/spc/file/zip/Incertitudes_2010.zip
(Document dense, présentation sous une forme très personnalisée)









Mesures et incertitudes – Chiffres significatifs : Cours Page PAGE1

Incertitudes – chiffres significatifs – Cours LP


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