1 sur 5 DÉRIVATION (Partie 1) Le mot « dérivé » vient du latin ...
La fonction f admet un minimum égal à -7 en . III. Tangente en ... 4) Tracer la
tangente en A. 1) Les coordonnées de A sont (1 ; f (1)) avec f (1) = 12 ? 3x1 ? 1 =
-3.
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DÉRIVATION (Partie 1)
Le mot « dérivé » vient du latin « derivare » qui signifiait « détourner un cours deau ».
Le mot a été introduit par le mathématicien franco-italien Joseph Louis Lagrange (1736 ; 1813) pour signifier que cette nouvelle fonction dérive (au sens de "provenir") d'une autre fonction.
I. Fonction dérivée dune fonction polynôme du second degré
Dans ce chapitre, nous allons utiliser un outil nouveau, la fonction dérivée, dont lutilité est détablir les variations de la fonction dont elle dérive.
Soit f une fonction polynôme du second degré définie par EMBED Equation.DSMT4 .
Pour déterminer la fonction dérivée f , on applique la technique suivante :
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Définition : Soit f une fonction polynôme du second degré définie sur ! par
EMBED Equation.DSMT4 .
On appelle fonction dérivée de f, notée f , la fonction définie sur ! par EMBED Equation.DSMT4 .
Méthode : Déterminer la fonction dérivée d une fonction polynôme du second degré
Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :
a) EMBED Equation.DSMT4 b) EMBED Equation.DSMT4 c) EMBED Equation.DSMT4
d) EMBED Equation.DSMT4 e) EMBED Equation.DSMT4 f) EMBED Equation.DSMT4
a) EMBED Equation.DSMT4 donc EMBED Equation.DSMT4
b) EMBED Equation.DSMT4 donc EMBED Equation.DSMT4
c) EMBED Equation.DSMT4 donc EMBED Equation.DSMT4
d) EMBED Equation.DSMT4 donc EMBED Equation.DSMT4
e) EMBED Equation.DSMT4 donc EMBED Equation.DSMT4
f) EMBED Equation.DSMT4 donc EMBED Equation.DSMT4
II. Variations dune fonction polynôme du second degré
Théorème : Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I.
- Si EMBED Equation.DSMT4 , alors f est décroissante sur I.
- Si EMBED Equation.DSMT4 , alors f est croissante sur I.
Méthode : Étudier les variations dune fonction polynôme du second degré
Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/EXTobPZzORo" https://youtu.be/EXTobPZzORo
Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/zxyKLqnlMIk" https://youtu.be/zxyKLqnlMIk
Soit la fonction f définie sur ! par EMBED Equation.DSMT4 .
1) Calculer la fonction dérivée de f.
2) Déterminer le signe de f en fonction de x.
3) Dresser le tableau de variations de f.
1) Pour tout x réel, on a : EMBED Equation.DSMT4 .
2) On commence par résoudre léquation EMBED Equation.DSMT4
Soit : EMBED Equation.DSMT4
Donc EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
La fonction f est une fonction affine représentée par une droite dont le coefficient directeur 4 est positif.
Elle est donc dabord négative (avant EMBED Equation.DSMT4 ) puis ensuite positive (après EMBED Equation.DSMT4 ).
3) On dresse alors le tableau de variations en appliquant le théorème :
x EMBED Equation.3 2 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 - +
f
-7
En effet : EMBED Equation.3 .
La fonction f admet un minimum égal à -7 en EMBED Equation.3 .
III. Tangente en un point de la parabole
1) Nombre dérivé
Méthode : Calculer un nombre dérivé
Soit la fonction f définie sur ! par EMBED Equation.3 .
Calculer le nombre dérivé de f en x = 3.
On commence par déterminer la fonction dérivée :
EMBED Equation.3 .
Le nombre dérivé de f en x = 3 est EMBED Equation.3 .
2) Équation de la tangente
Soit f une fonction polynôme du second degré.
A est un point d'abscisse a appartenant à la courbe représentative EMBED Equation.DSMT4 de f.
Définition : La tangente à la courbe EMBED Equation.DSMT4 au point A dabscisse a est la droite :
- passant par A,
- de coefficient directeur le nombre dérivé f (a).
Méthode : Déterminer une équation d'une tangente à une courbe
On considère la fonction f définie sur ! par EMBED Equation.DSMT4 .
A est un point de la courbe d abscisse 1.
1) Déterminer les coordonnées du point A.
2) Déterminer le coefficient directeur de la tangente en A à la courbe représentative de f.
3) Donner une équation de tangente.
4) Tracer la tangente en A.
1) Les coordonnées de A sont (1 ; f (1)) avec f (1) = 12 3x1 1 = -3
On a donc : A(1 ; -3).
2) La fonction dérivée est : EMBED Equation.DSMT4 .
Le nombre dérivé en 1 est : EMBED Equation.DSMT4 .
Le coefficient directeur de la tangente est -1.
3) Une équation de la tangente en 1 est de la forme EMBED Equation.DSMT4 soit EMBED Equation.DSMT4 .
Pour calculer p, on sait que le point A appartient à la tangente donc ses coordonnées (1 ; -3) !,GWtu°ÅÓ4 5 6 9 b q r ìÙÑɹɬ¢¬¢¬ÉÉxeP;e(hf$(hùÔ>*B*CJ OJQJaJ phÿ(hf$(h=>*B*CJ OJQJaJ phÿ%hf$(h=B*CJ OJQJaJ phÿh=OJQJh»oah[PÂOJQJh»oah[PÂ6OJQJh°()h[PÂOJQJh[PÂOJQJ^Jh°()h[PÂOJQJ^J jh[PÂUmHnHtH uh[PÂOJQJhHOJQJ%h Æh®&
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