TD EM1 : Champ électrostatique - PCSI-PSI AUX ULIS
2°) Invariances. 3°) Symétries. IV - Théorème de Gauss. 1°) Flux du champ
électrostatique. 2°) Expression du théorème de Gauss. V - Lignes et tubes de
champ ...
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TD EM1 : Champ électrostatique
But du chapitre
Découvrir la notion de champ électrostatique
Déterminer le champ électrostatique créé par une distribution donnée de charges.
Plan prévisionnel du chapitre
TOC \o "1-2" \n \p " " \h \z \u HYPERLINK \l "_Toc323049837" I Interaction électrique et charge
HYPERLINK \l "_Toc323049838" 1°) Charges électriques
HYPERLINK \l "_Toc323049839" 2°) Interaction entre deux particules chargées fixes
HYPERLINK \l "_Toc323049840" 3°) Notion de champ électrostatique
HYPERLINK \l "_Toc323049841" 4°) Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle
HYPERLINK \l "_Toc323049842" 5°) Principe de superposition
HYPERLINK \l "_Toc323049843" II. - Champ créé par une distribution continue de charges : application du principe de superposition
HYPERLINK \l "_Toc323049844" 1°) Distributions de charges électriques
HYPERLINK \l "_Toc323049845" 2°) Distribution volumique de charge
HYPERLINK \l "_Toc323049846" 3°) Distribution surfacique de charge
HYPERLINK \l "_Toc323049847" 4°) Distribution linéique de charges
HYPERLINK \l "_Toc323049848" III - Invariances et symétries
HYPERLINK \l "_Toc323049849" 1°) Position du problème
HYPERLINK \l "_Toc323049850" 2°) Principe de Curie
HYPERLINK \l "_Toc323049851" 2°) Invariances
HYPERLINK \l "_Toc323049852" 3°) Symétries
HYPERLINK \l "_Toc323049853" IV - Théorème de Gauss
HYPERLINK \l "_Toc323049854" 1°) Flux du champ électrostatique
HYPERLINK \l "_Toc323049855" 2°) Expression du théorème de Gauss
HYPERLINK \l "_Toc323049856" V - Lignes et tubes de champ
Savoirs et savoir-faire
Ce quil faut savoir :
La loi de Coulomb.
Les intégrales donnant le champ électrostatique créé par une distribution de charges.
Les propriétés de symétrie du champ électrostatique.
Le théorème de Gauss (pour le champ électrostatique et pour le champ gravitationnel).
Ce quil faut savoir faire :
Déterminer la direction d'un champ électrostatique, à partir des symétries de la distribution de charges.
Déterminer les coordonnées dont dépendent les composantes du champ à partir des invariances de la distribution de charges.
Calculer un champ électrostatique par intégration directe.
Calculer un champ électrostatique en utilisant le théorème de Gauss.
Erreurs à éviter/ conseils :
Pour donner une information sur la direction du champ électrique en un point donné, les plans de symétrie/antisymétrie utilisés doivent passer par ce point.
Ne pas confondre l'utilisation des plans de symétrie (pour déterminer la direction du champ, donc ses composantes) et l'utilisation des invariances (pour déterminer les coordonnées donc dépendent les composantes du champ).
Il faut alors exprimer clairement les résultats : on peut dire par exemple qu'un champ est porté par EMBED Equation.DSMT4 , ou bien que ses composantes dépendent de r, mais l'expression « le champ dépend de EMBED Equation.DSMT4 » ne veut rien dire !
Pour effectuer un calcul direct de champ électrique, déterminer d'abord la direction du champ, pour avoir une seule composante à calculer au lieu de trois.
Dans le cas d'une invariance par rotation, il est faux de dire que le champ ne dépend pas de l'angle (¸) : ce sont ses composantes (donc aussi sa norme) qui ne dépendent pas de ¸, mais le champ lui-même dépend de ¸ puisqu'il tout-ne avec le vecteur unitaire ( EMBED Equation.DSMT4 ).
Bien choisir une surface fermée pour appliquer le théorème de Gauss : un cylindre infini, par exemple, n'est pas une surface fermée ; en revanche un cylindre de longueur finie et fermé par deux bases convient.
Applications du cours
Application 1 : Déterminer les coordonnées dont dépendent les composantes du champ électrostatique
Rechercher les invariances des distributions de charges suivantes puis choisir le bon système de coordonnées et déterminer celles dont dépend le champ électrostatique.
1°) Un fil rectiligne de longueur infinie chargé uniformément.
2°) Une sphère uniformément chargée en volume.
3°) Un plan infini uniformément chargé en surface.
Application 2 : Déterminer la direction du champ électrostatique en un point donné de lespace
Dans chacun des cas suivant, préciser la direction du champ électrostatique en M.
1°) La distribution de charge est un fil rectiligne de longueur infinie chargé uniformément. Le point M est placé en un point quelconque de lespace situé à lextérieur du fil.
2°) La distribution de charge est un fil rectiligne de longueur L = AB, de milieu O, qui porte une charge uniformément répartie avec une densité linéique de charge ». On s interesse au champ créé en M un point quelconque du plan médiateur du segment [AB].
3°) La distribution de charge est une sphère uniformément chargée en volume. Le point M est un point quelconque de l espace.
4°) La distribution est un doublet électrostatique qui consiste en deux charges de signes opposés séparées par une distance a. On note N la position de la charge q et P la position de la charge + q. Le point M est un point du plan médiateur du segment [NP].
Application 3 : Déterminer le champ électrostatique par la méthode intégrale
1°) Déterminer lexpression du champ électrostatique créé en P par le segment de longueur 2a.
En déduire lexpression du champ électrique créé en P lorsque le fil est infini.
2°) Déterminer l expression du champ électrostatique créé en P par le disque de rayon R.
Application 4 : Flux du champ électrique
Un fil infini uniformément chargé (densité de charge linéique ») crée en M un champ électrique
EMBED Equation.DSMT4
Déterminer le flux sortant du cylindre S fermé d axe (Oz), de hauteur h et de rayon r.
Application 5 : Calculer la charge totale d une distribution continue
Un disque de rayon R est chargé en surface (densité surfacique Ã). Calculez la charge totale qu il porte d abord s il est chargé uniformément puis dans le cas ou à = ar où r est à la distance à son centre et a une constante positive.
Application 6 : Déterminer le champ électrostatique en utilisant le théorème de Gauss
1°) On considère une sphère de rayon R qui contient une charge totale Q uniformément répartie. Exprimer le champ électrostatique EMBED Equation.DSMT4 en un point M extérieur de la sphère et en un point M intérieur à la sphère. On note Á la densité volumique de charge.
2°) Déterminer le champ électrostatique EMBED Equation.DSMT4 créé par un fil (unidimensionnel) infini de densité de charges uniforme en un point quelconque M de l espace n appartenant pas au fil. On note » la densité linéique de charge.
3°) Déterminer le champ électrostatique EMBED Equation.DSMT4 créé par un plan infini de densité de charges uniforme en un point quelconque M de l espace situé au-dessus du plan. On note à la densité surfacique de charge.
Exercices
Exercice 1 : Champ créé par un cercle
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Exercice 2 : Champ de gravitation
La Terre est assimilée à une sphère de rayon R = 6,37.103 km et de masse m = 5,97.1024 kg répartie uniformément. On donne G = 6,67.10-11 kg-l.m3.s-2 (constante de gravitation).
1. Calculer, en utilisant le théorème de Gauss, le champ de gravitation à l'extérieur de la Terre.
2. Vérifier que l'on obtient le même résultat en considérant que toute la masse de la terre est concentrée en son centre.
3. Faire l'application numérique pour le champ de gravitation à la surface de la Terre et comparer avec l'accélération de la pesanteur.
Exercice 3 : Modèle de Thomson
Dans le modèle de Thomson de l'atome d'hydrogène, la charge qe du noyau est répartie uniformément dans une sphère de rayon a0 = 50 pm, el l'électron de charge -qe est considéré comme ponctuel. On donne µ0 = 8,854.10-12 F.m-1, me =9,1.10-31 kg et qe = 1,6.10-19 C.
1. Calculer la densité volumique Á correspondant à la charge qe.
2. Calculer le champ créé par cette distribution de charge en tout point de l'espace.
3. On considère l'électron initialement au centre de cette distribution. Montrer que si on l'écarte d'une distance r (avec r < a0) du centre, il est soumis à une force de rappel élastique dont on précisera l'expression.
4. Calculer la valeur de cette force pour r = 25 pm.
5. Déterminer le mouvement de l'électron s'il se trouve initialement sur l'axe (Ox), sans vitesse initiale, a une distance r0 de sa position d'équilibre (avec r0 < a0).
On considère que l'atome est maintenant placé dans un champ uniforme EMBED Equation.DSMT4 = E0 EMBED Equation.DSMT4 .
6. Montrer qufUxUzUU¨UªU
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hÛDM5CJUV\aJhÛDMjhÛDMUh®dÜhênhênH*hênhênH*hên(e si ce champ reste inférieur à une valeur limite Eomax, l'électron prend une nouvelle position d'équilibre en restant lié au noyau, caractérisée par une distance r0.
ANNEXE 1 : Sens et direction du champ électrostatique créé par quelques distributions de charges
ANNEXE 2 : Utiliser le théorème de Gauss
ANNEXE 3 : Symétries de quelques distributions de charges
ANNEXE 4 : Analogie électrostatique gravitation
Electromagnétisme
