Td corrigé Régulation et asservissement - Physique Appliquée pdf

Régulation et asservissement - Physique Appliquée

I. Questions de cours : Corriger les informations suivantes (10points ). I.1. ... Les méthodes de Broida et Chohen-Coon utilisent le pont d'inflexion .... de transfert de correcteur : Trouver les valeurs des trois coefficients (Kp, Ti, Td) de correcteur : ...




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Régulation et asservissement
 TOC \o "1-4" \h \z \u  HYPERLINK \l "_Toc303892844" Régulation et asservissement  PAGEREF _Toc303892844 \h 1
 HYPERLINK \l "_Toc303892845" I) Introduction sur les asservissements et régulations analogiques  PAGEREF _Toc303892845 \h 3
 HYPERLINK \l "_Toc303892846" I.1) Notions préliminaire : Schémas blocs et transmittances  PAGEREF _Toc303892846 \h 3
 HYPERLINK \l "_Toc303892847" I.2) La nécessité de réguler : exemple d’un bâtiment  PAGEREF _Toc303892847 \h 3
 HYPERLINK \l "_Toc303892848" I.3) Distinction asservissement/ régulation  PAGEREF _Toc303892848 \h 4
 HYPERLINK \l "_Toc303892849" I.3.1) Régulation de vitesse:  PAGEREF _Toc303892849 \h 4
 HYPERLINK \l "_Toc303892850" I.3.2) Asservissement de position:  PAGEREF _Toc303892850 \h 4
 HYPERLINK \l "_Toc303892851" I.4) Notion de Boucle ouverte, Boucle fermée:  PAGEREF _Toc303892851 \h 4
 HYPERLINK \l "_Toc303892852" I.4.1) Boucle ouverte:  PAGEREF _Toc303892852 \h 4
 HYPERLINK \l "_Toc303892853" I.4.2) Boucle fermée:  PAGEREF _Toc303892853 \h 5
 HYPERLINK \l "_Toc303892854" I.5) Organes constitutifs d’une régulation:  PAGEREF _Toc303892854 \h 5
 HYPERLINK \l "_Toc303892855" I.6) Qualités d’une bonne régulation  PAGEREF _Toc303892855 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc303892856" I.7) Etapes d’une régulation  PAGEREF _Toc303892856 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc303892857" I.8) Carte heuristique  PAGEREF _Toc303892857 \h 7
 HYPERLINK \l "_Toc303892858" II) Modélisation des systèmes linéaires  PAGEREF _Toc303892858 \h 7
 HYPERLINK \l "_Toc303892859" II.1) Principe et finalité de la modélisation  PAGEREF _Toc303892859 \h 7
 HYPERLINK \l "_Toc303892860" II.2) Modélisation par analyse des équations différentielles du système  PAGEREF _Toc303892860 \h 7
 HYPERLINK \l "_Toc303892861" II.3) Modélisation par analyse de la réponse du système à un échelon de consigne  PAGEREF _Toc303892861 \h 8
 HYPERLINK \l "_Toc303892862" II.3.1) Détermination du gain statique  PAGEREF _Toc303892862 \h 8
 HYPERLINK \l "_Toc303892863" II.3.2) Modèle du premier ordre  PAGEREF _Toc303892863 \h 8
 HYPERLINK \l "_Toc303892864" II.3.3) Modèle du second ordre  PAGEREF _Toc303892864 \h 9
 HYPERLINK \l "_Toc303892865" II.3.4) Modèle de Broïda  PAGEREF _Toc303892865 \h 10
 HYPERLINK \l "_Toc303892866" II.3.5) Modèle de Strejc  PAGEREF _Toc303892866 \h 11
 HYPERLINK \l "_Toc303892867" II.3.6) Modèle naturellement instable : procédés intégrateurs  PAGEREF _Toc303892867 \h 12
 HYPERLINK \l "_Toc303892868" II.3.7) Essai en limite de pompage  PAGEREF _Toc303892868 \h 13
 HYPERLINK \l "_Toc303892869" II.4) Exemples de modélisations courantes  PAGEREF _Toc303892869 \h 13
 HYPERLINK \l "_Toc303892870" III) Transmittance ou fonction de transfert d'un système  PAGEREF _Toc303892870 \h 13
 HYPERLINK \l "_Toc303892871" III.1) Opération sur les fonctions de transfert  PAGEREF _Toc303892871 \h 13
 HYPERLINK \l "_Toc303892872" III.2) Opération sur les fonctions de transfert  PAGEREF _Toc303892872 \h 13
 HYPERLINK \l "_Toc303892873" III.2.1) En série  PAGEREF _Toc303892873 \h 13
 HYPERLINK \l "_Toc303892874" III.2.2) En parallèle  PAGEREF _Toc303892874 \h 13
 HYPERLINK \l "_Toc303892875" III.2.3) Factorisation  PAGEREF _Toc303892875 \h 13
 HYPERLINK \l "_Toc303892876" III.2.4) Superposition  PAGEREF _Toc303892876 \h 13
 HYPERLINK \l "_Toc303892877" III.2.5) Système à retour non unitaire  PAGEREF _Toc303892877 \h 14
 HYPERLINK \l "_Toc303892878" III.3) Transmittance en boucle ouverte  PAGEREF _Toc303892878 \h 14
 HYPERLINK \l "_Toc303892879" III.4) Transmittance en boucle fermée  PAGEREF _Toc303892879 \h 14
 HYPERLINK \l "_Toc303892880" III.5) Schéma bloc faisant intervenir les perturbations  PAGEREF _Toc303892880 \h 15
 HYPERLINK \l "_Toc303892881" IV) Critères de performance d’un système  PAGEREF _Toc303892881 \h 15
 HYPERLINK \l "_Toc303892882" IV.1) Précision:  PAGEREF _Toc303892882 \h 15
 HYPERLINK \l "_Toc303892883" IV.2) Rapidité:  PAGEREF _Toc303892883 \h 16
 HYPERLINK \l "_Toc303892884" IV.3) Indice de performance IAE  PAGEREF _Toc303892884 \h 17
 HYPERLINK \l "_Toc303892885" V) Stabilité d'un système asservi  PAGEREF _Toc303892885 \h 17
 HYPERLINK \l "_Toc303892886" V.1) Condition générale de stabilité  PAGEREF _Toc303892886 \h 17
 HYPERLINK \l "_Toc303892887" V.2) Condition mathématique de stabilité  PAGEREF _Toc303892887 \h 17
 HYPERLINK \l "_Toc303892888" V.2.1) Démonstration :  PAGEREF _Toc303892888 \h 17
 HYPERLINK \l "_Toc303892889" V.2.2) Exemple:  PAGEREF _Toc303892889 \h 18
 HYPERLINK \l "_Toc303892890" V.2.3) Critère de Routh-Hurwitz (Boucle Fermée): (Matheux : Excel peut être utile)  PAGEREF _Toc303892890 \h 18
 HYPERLINK \l "_Toc303892891" V.2.4) Critère du lieu des racines (Etude de la FTBO pour connaître la stabilité de la Boucle Fermée)  PAGEREF _Toc303892891 \h 19
 HYPERLINK \l "_Toc303892892" V.3) Critères graphiques de stabilité :  PAGEREF _Toc303892892 \h 20
 HYPERLINK \l "_Toc303892893" V.3.1) Critère de Nyquist (Etude de la Boucle ouverte):  PAGEREF _Toc303892893 \h 20
 HYPERLINK \l "_Toc303892894" V.3.2) Critère du revers (Etude de la Boucle ouverte):  PAGEREF _Toc303892894 \h 20
 HYPERLINK \l "_Toc303892895" V.3.3) Critères de stabilité dans le diagramme de Bode  PAGEREF _Toc303892895 \h 21
 HYPERLINK \l "_Toc303892896" V.3.4) Critère de Black-Nichols  PAGEREF _Toc303892896 \h 21
 HYPERLINK \l "_Toc303892897" V.3.5) Marge de Gain et marge de phase  PAGEREF _Toc303892897 \h 22
 HYPERLINK \l "_Toc303892898" VI) Correction des systèmes asservis  PAGEREF _Toc303892898 \h 22
 HYPERLINK \l "_Toc303892899" VI.1) Les correcteurs  PAGEREF _Toc303892899 \h 22
 HYPERLINK \l "_Toc303892900" VI.1.1) Correcteur proportionnel:  PAGEREF _Toc303892900 \h 22
 HYPERLINK \l "_Toc303892901" VI.1.2) Correcteur intégral:  PAGEREF _Toc303892901 \h 24
 HYPERLINK \l "_Toc303892902" VI.1.3) Correcteur dérivé:  PAGEREF _Toc303892902 \h 25
 HYPERLINK \l "_Toc303892903" VI.2) Les structures  PAGEREF _Toc303892903 \h 26
 HYPERLINK \l "_Toc303892904" VI.2.1) Structure parallèle:  PAGEREF _Toc303892904 \h 26
 HYPERLINK \l "_Toc303892905" VI.2.2) Structure mixte:  PAGEREF _Toc303892905 \h 26
 HYPERLINK \l "_Toc303892906" VI.2.3) Structure série:  PAGEREF _Toc303892906 \h 27
 HYPERLINK \l "_Toc303892907" VI.3) Choix d’un correcteur:  PAGEREF _Toc303892907 \h 27
 HYPERLINK \l "_Toc303892908" VI.3.1) Réglage industriel : modélisation, critères et réglage de Broïda  PAGEREF _Toc303892908 \h 27
 HYPERLINK \l "_Toc303892909" VI.3.2) Ziegler et Nichols  PAGEREF _Toc303892909 \h 28
 HYPERLINK \l "_Toc303892910" VI.3.3) Réglage industriel par la méthode de Ziegler Nichols ou méthode de l’ultime pompage  PAGEREF _Toc303892910 \h 29
 HYPERLINK \l "_Toc303892911" VI.4) Applets sur les correcteurs:  PAGEREF _Toc303892911 \h 3
 HYPERLINK \l "_Toc303892912" VI.5) Exercices corrigés sur les systèmes:  PAGEREF _Toc303892912 \h 3
 HYPERLINK \l "_Toc303892913" VI.6) Logiciel sur les systèmes bouclés:  PAGEREF _Toc303892913 \h 3

Introduction sur les asservissements et régulations analogiques
Notions préliminaire : Schémas blocs et transmittances
Chaque système peut être représenté par un schéma bloc liant une grandeur d’entrée et une grandeur de sortie.
La transmittance le coefficient ( ou fonction) par lequel on multiplie l’entrée pour connaitre la sortie.
Exemples :
 EMBED Word.Picture.8 
Cette vision souvent suffisante est malgré tout limitée est ne tient pas compte par exemple du temps mis par le système pour atteindre son état stable. Des transmittances définies mathématiquement de façon plus fine sont parfois nécessaires, celles-ci se déterminent lors d’essais avec un échelon en entrée.
Une procédure et des détails plus poussés sont donnés dans le chapitre sur la HYPERLINK \l "_Modélisation_des_systèmes"modélisation des systèmes linéaires.
La nécessité de réguler : exemple d’un bâtiment
On veut maintenir une température donnée: température de consigne.
Il est nécessaire de chauffer ou de refroidir: système de chauffage.
Dans ce mode de fonctionnement la chaudière est commandée par la température extérieure.
Ce système est sensibles aux perturbations eventuelles (porte ouverte, apport solaire, apports internes )Il est donc nécessaire de mesurer la température: (capteur de température, thermocouple ou thermorésistance) et de la comparer à celle désiréeDistinction asservissement/ régulation
Il est bon de faire la distinction entre boucle d’asservissement et boucle de régulation. Toutes les deux fonctionnent sur le même principe, mais leur finalité diffère sensiblement :
— Pour un asservissement , la consigne peut varier et la sortie du système doit suivre ses évolutions rapidement et avec précision la grandeur de sortie est identique ou proportionnelle à une grandeur d’entrée (ex : la position du gouvernail d'un avion doit suivre la consigne imposée par le pilote à chaque instant ; poursuite de trajectoire ( consigne variable ) ;
— la régulation impose à la grandeur de sortie d’atteindre une valeur de consigne et d’y rester quelles que soient les perturbations éventuelles (ex : régulation de pression, de température ( consigne fixe : la température dans un logement doit être constante quelles que soient les conditions extérieures).
Régulation de vitesse:
Tension de consigne correspondant à la vitesse désirée.
On utilise un convertisseur de puissance (hacheur, onduleur).
On mesure la vitesse: dynamo tachymétrique, compteur.
Asservissement de position:
Valeur de consigne sous forme de tension.
Commande du moteur.
Capteur de position: potentiomètre, roue codeuse.
Notion de Boucle ouverte, Boucle fermée:
Organes de commande d’un four

Boucle ouverte:
Un tel système est en boucle ouverte. La sortie y peut être réglée en agissant sur l’entrée u. Cette situation présente deux inconvénients majeurs :
- on ne sait pas a priori à quelle valeur va se stabiliser y et en combien de temps ;
- y va varier en fonction des perturbations extérieures (par exemple variation de la température externe).
Un tel système peut être modélisé par un ensemble de schémas bloc
 EMBED Word.Picture.8 
Boucle fermée:
En refermant la boucle par un régulateur, ce qui conduit au schéma suivant, représentant la boucle de régulation de base.
On cherche à maintenir la grandeur à régler y à une valeur de consigne yc en agissant sur la commande u par la loi de commande (ou correcteur).
Analysons le fonctionnement de cette boucle (figure 3). Le système bouclé a pour entrée yc et pour sortie y. Le régulateur possède 2 entrées (yc et y) et une sortie u. Il se compose de la loi de commande et d’un comparateur qui élabore l’erreur de régulation (= yc – y. La loi de commande a pour entrée e et ( pour sortie u

Exemple : Le capteur mesure la température (y ) de l'enceinte thermique.
Cette mesure est comparée à la consigne (yc) pour élaborer un signal d'écart. Suivant le signe et l'amplitude de ce dernier, la loi de commande dosera l'alimentation (u ) de la résistance afin que la température dans lefour reste la plus proche possible de la consigne
Organes constitutifs d’une régulation:
 EMBED Word.Picture.8 
On a donc des organes supplémentaires qui compliquent le système et qui peuvent le rendre moins stable ( oscillations....).
Dans toutes les boucles de régulation, on retrouvera les éléments suivants :
— un capteur ;
— une consigne (fixe ou variable dans le temps) ;
— un comparateur délivrant un signal d’écart ;
— une loi de commande qui calcule le signal à envoyer sur l’actionneur ;
— un actionneur ;
— le système physique à commander et soumis à des perturbations.
 EMBED Word.Picture.8 
Relations :  EMBED Equation.3 
Qualités d’une bonne régulation
La boucle d’asservissement peut apporter les avantages suivants
améliorer la rapidité de fonctionnement du système
augmenter la précision
diminuer l’influence des perturbations
rendre contrôlable un système qui ne l’est pas en boucle ouverte
diminuer les effets non linéaires des processus
 EMBED Word.Picture.8 
Etapes d’une régulation
La procédure à adopter pour réguler un système est la suivante.
Etape 1 : faire des essais et étude du procédé. Objectif : déterminer son modèle.
Etape 2 : selon le modèle que l'on aura choisi, régler le correcteur PID.
Etape 3 : essayer le réglage choisi
Carte heuristique


Modélisation des systèmes linéaires
Principe et finalité de la modélisation
Lorsque la description de la fonction de transfert par une constante permettant de convertir la grandeur d’entrée en grandeur de sortie s’avère trop simpliste, deux techniques sont proposées pour décrire plus finement les relations entre l’entrée et la sortie d’un système :
L’analyse des équations différentielles liant l’entrée et la sortie d’un système
La mesure de la réponse du système à un échelon de consigne
Modélisation par analyse des équations différentielles du système
Le comportement d'un processus linéaire autour d'un point de fonctionnement peut être décrit par une équation différentielle.
La forme générale de cette équation est :
 EMBED Equation.3   EMBED Word.Picture.8 

Grâce aux propriétés de la transformée de Laplace, on a
 EMBED Equation.3   EMBED Word.Picture.8 

On en déduit la transmittance ou fonction de transfert T(p) du système
 EMBED Equation.3 
Les racines complexes (cj) du numérateur N(p) sont les zéros de la fonction de transfert,
Les racines (di) du dénominateur D(p) sont appelées pôles.
L'ordre n du numérateur est également l'ordre de la fonction de transfert H(p). La transmittance peut donc s'écrire
 EMBED Equation.3 
On montre qu'en régime sinusoïdal il suffit de remplacer la variable p par j( pour obtenir la fonction de transfert isochrone. On peut alors étudier le système à partir des diagrammes de Bode du gain G (en dB) et de l'argument ( (en rad) :
 EMBED Equation.3 
Modélisation par analyse de la réponse du système à un échelon de consigne
Suite à l’envoi d’un échelon sur l’entrée on observe le comportement de la sortie et l’on détermine les diverses modélisation possibles
Détermination du gain statique
Le gain statique est le rapport de la variation de la sortie finale sur la variation d’entrée (échelon) une fois le système stabilisé.
 EMBED Word.Picture.8 
Modèle du premier ordre
Lorsque la réponse ne présente ni rebond ni retard , le modèle du premier ordre peut être utilisé.
Modèle simple mais très utilisé tant que le temps mort reste négligeable devant la constante de temps.
Equation différentielle :  EMBED Equation.DSMT4 
Fonction de transfert isomorphe :  EMBED Equation.DSMT4 La constante de temps est mesurée lorsque le système atteint 63% de la variation totale de la sortie.Représentation temporelle
 EMBED Word.Picture.8 Représentation temporelle
 EMBED Word.Picture.8 Bode
 EMBED Word.Picture.8 Nyquist
 EMBED Word.Picture.8 Black
 EMBED Word.Picture.8 
Modèle du second ordre
Lorsque la réponse présente un rebond, le modèle du deuxième ordre peut être utilisé.
Equation différentielle :  EMBED Equation.3 
Fonction de transfert isomorphe :  EMBED Equation.DSMT4 
Réponse indicielle :
 EMBED Equation.DSMT4 
Avec  EMBED Equation.DSMT4 et  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 
On notera que le tr est mini si m=0,7 :  EMBED Equation.3 
Si m 1, les oscillations augmentent d’amplitude et le système est instable.

Condition mathématique de stabilité
Démonstration :
Un système est stable si pour une entrée constante, la sortie tend vers une constante. (ou s’il retourne vers son état d’équilibre s’il en est écarté)
Condition de stabilité : un système est stable si sa fonction de transfert  EMBED Equation.DSMT4  ne comporte que des pôles (valeurs de p annulant  EMBED Equation.DSMT4 ) à partie réelle strictement négative.
Démonstration :
Si on envoie dans un système de transmittance F(p) un Dirac E0 afin d’étudier sa stabilité alors
 EMBED Equation.3 
Ce qui donne en factorisant par les n pôles (rééls ou complexes) (di) du dénominateur D(p)
 EMBED Equation.3 
Dont il est facile de trouver l’originale qui constitue donc la réponse temporelle dont la forme dépend de la nature des pôles di
Si di est réel alors l’originale est  EMBED Equation.3 
Si di est complexe alors di=a+j( et di*=a-j( mènent à une originale de la forme  EMBED Equation.3 
On s’aperçoit que ces fonctions du temps tendent vers 0 si l’exponentielle tend vers 0 donc si la partie réelle du pôle est négative.
Rq : ceci revient à l’étude du régime transitoire de L’ESSM de  EMBED Equation.3  qui disparaît au cours du temps si le système est stable.
Exemple:
Si  EMBED Equation.DSMT4  alors les pôles de F(p) sont tels que  EMBED Equation.DSMT4  soit divers cas à envisager :
(2 racines p1 et p2
réelles négatives
p1= - r1
p2= - r2 EMBED Word.Picture.8  EMBED Equation.DSMT4  EMBED Word.Picture.8 2 racines p1 et(ou) p2
réelles positives
p1= + r1
p2= ± r2 EMBED Word.Picture.8  EMBED Equation.DSMT4  EMBED Word.Picture.8 2 racines p1 et p2
Complexes à partie réelle positives
p1= - r1 - j(
p2= - r2 + j( EMBED Word.Picture.8  EMBED Equation.DSMT4  EMBED Word.Picture.8 2 racines p1 et p2
Complexes conjuguées partie réelle nulle
p1= - j(
p2= + j( EMBED Word.Picture.8  EMBED Equation.DSMT4  EMBED Word.Picture.8 2 racines p1 et p2
Complexes conjuguées
partie réelle positive
p1= r1- j(
p2= r2 + j( EMBED Word.Picture.8  EMBED Equation.DSMT4  EMBED Word.Picture.8 Critère de Routh-Hurwitz (Boucle Fermée): (Matheux : Excel peut être utile)
On utilise le critère de Routh quand il n'est pas possible de calculer les pôles de la fonction de transfert.
Les racines d’un polynôme  EMBED Equation.3  comparable à  EMBED Equation.3  sont à partie réelle négatives si les 3 conditions suivantes sont réunies.
Aucun des (i n’est nul
Tous les (i sont de même signe
Après construction du tableau suivant: les coefficients de la première colonne sont de même signes

012i( paires(0(2(4…(2i( impaires(1(3(5…(2i+1(1= ((1(2-(0(3)/(1(2= ((1(4-(0(5)/(1……….(1= ((1(3-(2(1)/(1(2= ((1(5-(3(1)/(1……………Somme de la colonne
La partie réelle des pôles de la fonction de transfert est négative si les n+1 termes de la première colonne du tableau (appelée série de Routh ou pivot) ont le même signe (c’est-à-dire positifs car les termes (i sont positifs).
Si le signe des termes de la série est différent, le nombre des racines à partie positive est égal au nombre de changements de signe
Rq : Ceci nous amène souvent à déterminer la valeur limite du coefficient C de l’expression  EMBED Equation.DSMT4 :
Critère du lieu des racines (Etude de la FTBO pour connaître la stabilité de la Boucle Fermée)
Sur un système en boucle fermée la fonction de transfert est  EMBED Equation.3  et le dénominateur est de la forme  EMBED Equation.3 .
Les études vues précédemment s’intéressaient aux pôles du dénominateur donc aux valeurs de p telles que  EMBED Equation.3 
La condition de stabilité  EMBED Equation.3  peut s’écrire :  EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4 
Il s’agit donc de déterminer l’ensemble des racines de cette équation et regarder dans l’espace complexe où se trouvent ces racines lorsque C varie de 0 à l’infini.
La zone de stabilité est donc la partie à gauche de l’axe imaginaire.
La FTBO devient  EMBED Equation.DSMT4 , et la condition de stabilité  EMBED Equation.3  soit en module :  EMBED Equation.3 . La limite de stabilité nous permet de trouver graphiquement la valeur de C limite :  EMBED Equation.3 
Remarque :
Sur un deuxième ordre : les deux pôles p1 et p2 complexes à partie réelle positives donnent :
p1= - r1 ± j( =  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4 
si m
 :