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Il est vrai que pour nous le principale c'est que notre système soit asservi ... avec
a=0.83 ( car pour un second ordre tr = 4.75*td ( second ordre à pôles multiples )
... Ce dépassement est du à la présence de zéros dans la fonction de transfert. ...
que notre système ne corrige pas cette perturbation comme au BE précédent il ...
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2. ASSERVISSEMENT TOTALEMENT ANALOGIQUE
Le temps de réponse du moteur est de 100 ms, alors que le temps de réponse de la position de la bille est de 5 s. On peut donc assimiler lasservissement de langle à son gain statique. ( EMBED Equation.3 ) identique au BE précédent
2.1 Schéma fonctionnel
On va maintenant étudier les différents type de correcteur.
2.2 Etude du correcteur PI
Calcul de la FTBF :
Correcteur de type PI : EMBED Equation.3
Calcul de la FTBO : EMBED Equation.3
On remarque que dans la FTBO il y a un terme en EMBED Equation.3 ce qui un implique un déphasage de 270° , Notre système sera normalement instable. Vérifions avec le critère de Routh.
Calcul de la FTBF : EMBED Equation.3
On remarque quil ny a pas de terme en EMBED Equation.3 dans la FTBF ce qui traduit une instabilité de notre FT daprès le critère de Routh. On nutilisera donc pas de correcteur de type PI.
2.3 Etude du correcteur à avance de phase
Correcteur de type avance de phase : EMBED Equation.3 ,
avec :
Ka = gain statique réel
(= facteur davance (réel > o)
Ta = constante de temps de dérivation (réel > o)
Calcul de la FTBO EMBED Equation.3
Calcul de la FTBF EMBED Equation.3
On met le dénominateur de la FTBF sous la forme : EMBED Equation.3
On en déduit que n=3
doù : EMBED Equation.3
On détermine (d pour obtenir un temps de réponse de 5s. Or pour un système du troisième ordre on a EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
On détermine maintenant (, Ka, et Ta en faisant un petit calcul sous mathcad
EMBED Mathcad
Schéma :
On obtient un temps de réponse de 5.1 s et un dépassement de 28%. Nous commenterons cest valeur une fois que lon aura fait les asservissements numériques.
3. ASSERVISSEMENT NUMERIQUE
Nous allons maintenant numériser le correcteur à avance de phase différentes méthodes.
Comme pour le calcul de lasservissement précédent , on simplifie la boucle dasservissement de langle du rail à son seul gain statique 1/k2 pour effectuer les calculs des différentes méthodes.
La période déchantillonnage est Te = 0.2 s, et on choisit un échantillonneur bloqueur dordre 0.
On a C(p) : EMBED Equation.3 avec (=9, Ka=0.356, et Ta=0.264
Méthode dEuler : approximation du rectangle supérieur.
Dans cette méthode on remplace p par : EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
T=Te=0,2s.
On obtient alors : EMBED Equation.3
Méthode dEuler : approximation du rectangle inférieur.
Dans cette méthode on remplace p par : EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
avec T=Te=0,2s.
On obtient alors : EMBED Equation.3
Méthode de Padée : approximation trapézoïdale.
Dans cette méthode on remplace p par : EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
avec T=Te=0,2s.
On obtient alors : EMBED Equation.3
3.1 Comparaison des 3 méthodes de numérisation :
A fin de comparer ces méthodes nous allons réaliser une simulation.
Comparaisons des correcteurs :
EMBED Excel.Sheet.8
même signification des couleur que pour les deux graphes ci dessus.
Il nest pas si simple de faire un choix par mis les correcteurs ci dessus. Si on considère comme principale caractéristique le temps de réponse, on peut tout de suite éliminer le correcteur qui a été déterminer par la méthode des rectangles inférieurs.
Il nous reste donc à faire le choix entre le correcteur réalisé avec la méthode des rectangles supérieurs et trapézoïdale. On peut dire quils ont chacun un argument en leur faveur lun à un plus faible dépassement ( du à la présence dun zéro dans la fonction de transfert ) que lautre mais lautre à un angle teta plus faible. Il est vrai que pour nous le principale cest que notre système soit asservi correctement ( en un temps voulu et respect les hypothèses de départ ). Cest pour cela que nous choisissons le correcteur réalisé par la méthode trapézoïdale car il un angle de « rotation » du rail plus faible il vérifie donc mieux l hypothèse de départ sinqð=qð .
3.2 Performance du système en régulation
On voit bien que notre système « calme bien » la perturbation mais ne revient pas à la consigne. Il réagit comme ci on avait changé la consigne. Ce qui est tout à fait normal car le bloc intégrateur se trouve après la perturbation et non avant ce qui explique lerreur statique que nous constatons.
Pour cela nous allons passer à un notre correcteur dans le BE 4
4. CORRECTEURS DE TYPE PID
4.1 Objectif :
Lobjectif est datteindre un temps de réponse de 5 s pour lasservissement en position de la bille au moyen de différents correcteurs numériques de la famille des P.I.D..
4.2 Description :
La structure dun correcteur PD filtré est la suivante :
EMBED Equation.3
La structure dun correcteur PID filtré est la suivante :
EMBED Equation.3
Conception des correcteurs :
Correcteur PD filtré :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 Avec K(z) le correcteur choisi
EMBED Equation.3
Doù :
EMBED Equation.3
On veut le dénominateur de la FTBF sous la forme : EMBED Equation.3
On prendra n=2 car le système a des solutions. Ca sera plus facile pour nous de faire les réglages et aussi ce système sera moins cher à la réalisation.
On a : EMBED Equation.3
Doù :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
On a donc :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
avec a=0.83 ( car pour un second ordre tr = 4.75*td ( second ordre à pôles multiples )
or a = exp(-Te/td)
petit calcul sous mathcad. Nous utilisons à partir de maintenant ce logiciel car il est beaucoup plus convivial que léditeur déquation de windows et surtout il nous évite de faire les calculs à la main et diminue donc notre risque derreur.
EMBED Mathcad
doù pour le correcteur P.D. ;
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
4.3.2. Correcteur PID filtré :
EMBED Equation.3 Avec K(z) le correcteur choisi
EMBED Equation.3
On fait notre gros calcul sous mathcad :
EMBED Mathcad
EMBED Mathcad
EMBED Mathcad
Matlab naccepte pas les coefficients imaginaires, nous développons le numérateur du correcteur et on saperçoit que lon peut utiliser r1+r2 et r1r2.
EMBED Equation.3
On a donc :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
On ne peut pas utilisé des correcteurs de type PI, PD, PID non filtré ( gamma = 0 ) car on a un système déquations qui nest ré solvable. 5. Simulation des deux correcteurs :
5.1. Correcteur type P.D.
Nous mettons comme valeur déchelon dentrée 1cm
5.1.1.Temps de réponse du système en boucle fermé :
tr5%=4.87s
On obtient bien un système avec un temps de réponse inférieur à 5s ce qui est meilleur quau BE précédent. On a 21% de dépassement. Ce dépassement est du à la présence de zéros dans la fonction de transfert.
Nous mettons maintenant comme valeur déchelon dentrée 10cm
Le système répond comme précédemment même temps de réponse et dépassement. Nous visualisons et commentons ci dessous les changements importants.
5.1.2 Tension :
5.1.3.Courant :
5.1.4.Vitesse :
5.1.5.Angle :
Nous pouvons voire sur toutes les courbes ci dessus quaucune de ces caractéristiques nest acceptable. ( courant trop fort dans le moteur , angle trop important, un dv/dt irréalisable on devrait passer dune vitesse de rotation de 17000tr/min à 19500 tr/min ( sens inverse de rotation) en 200ms..).Il faudrait donc introduire une saturation ( en pratique un limitation de courant ) mais on ne pourrait plus valider notre système et il deviendrait instable. On peut donc en déduire quun échelon de 10cm sur la position de la bille nest pas tolérable. Notre système répondrait au cahier des charge pour un échelon inférieur à 1 cm. ( En simulation on obtient des courants max de 16A et un angle teta inférieur à 1 degré.
5.1.6.Perturbation de 1° sur langle de la barre :
A t=9s nous mettons une perturbation de 1° sur langle de la barre et nous voyons que notre système ne corrige pas cette perturbation comme au BE précédent il ne fait que la « calmer » ( il considère cette perturbation comme une consigne). Il faut donc rajouter un intégrateur avant la perturbation. Nous passons donc au correcteur PID pour pallier ce problème.
On conclu que ce correcteur ne répond pas au cahier des charges ( courant, angle, dv/dt
trop importants ) et quil ne corrige pas une perturbation sur langle teta. On peut déjà dire que le prochain correcteur permettra de régler ce problème de réaction face à une perturbation mais les courants tensions
. Devrait être tout au si importants quavec le correcteur PD.
5.2. Correcteur type P.I.D.
Le schéma de simulation est identique au précédent sauf quon remplace le correcteur PD par un PID.
Nous mettons comme valeur déchelon dentrée : 10cm
5.2.1. Temps de réponse du système en boucle fermé :
tr5%=1.98s
On obtient bien un système avec un temps de réponse inférieur à 5s ce qui est meilleur quau BE précédent. On a 81% de dépassement. Ce dépassement est du à la présence de zéros dans la fonction de transfert. Ce dépassement risque de faire tomber la bille si il ny a pas de butée en fin de rail.
Compte tenu de la nervosité du système ( présence dun zéro dans la fonction de transfert ) on a une oscillation avec deux dépassement.
5.2.2. Tension :
5.2.3. Courant :
5.2.4. Vitesse :
5.2.5. Angle :
5.2.6. Perturbation de 1° sur langle de la barre :
Nous pouvons voire sur toutes les courbes ci dessus quaucune de ces caractéristiques nest acceptable. ( courant trop fort dans le moteur , angle trop important, un dvitesse/dt irréalisable.).Le correcteur P.I.D. est plus contraignant que le correcteur P.D..
Le seul avantage quil ait, cest de bien réguler suite à une perturbation sur langle du rail. ( à cause de la présence dun intégrateur )
Donc comme pour le correcteur P.D. le correcteur P.I.D. est inacceptable il entraîne des variations de courant de tensions de vitesse
. Très rapide est quaucun moteur ne pourra acceptée.
Il ne faut pas oublier que dans un système réel, léchelon que lon applique en entrée est amortie contrairement à la simulation où lon a un dx/dt infini. Il est donc vrai que les pics de courant, tension donc vitesse
seront pas aussi élevés.
Pour tous cela nous allons passé à deux autres correcteurs :
Le R.S.T..
Le R.S.T. avec intégrateur.
6. Asservissement numérique en position de la bille : Correcteur de type RST :
6.1 Objectif :
Lobjectif est de mettre en uvre différents correcteurs numériques de type RST pour lasservissement en position de la bille sur le rail en respectant la contrainte de temps de réponse (5s) et de régulation.
6.2 Conception du correcteur R.S.T. :
On réalise la conception complète sous Mathcad.
Voir page suivante.
EMBED Mathcad
EMBED Mathcad
EMBED Mathcad
On a donc le schéma suivant :
6.2.1. Temps de réponse du système en boucle fermé et effet dune perturbation sur langle du rail:
On craie une perturbation à t=9s
On peut visualiser ci dessus que la perturbation nest compensé il va donc falloir rajouter un intégrateur dans le correcteur avant la perturbation. On voit aussi que le système à un temps de réponse de 5s et pas de dépassement. Visualisons maintenant les contraintes en tension et en courant sur notre moteur.
6.2.2. Courant Tension Angle :
On est agréablement surpris de voir des courants,tensions et une variation angulaire sont acceptable. La limitation de courant du moteur nest pas active et donc notre système sera stable en réalité. Il nous reste donc à prendre en compte la régulation et on aura peut être trouver le bon correcteur.
6.3 Conception du correcteur R.S.T. avec intégrateur:
6.3.1. Temps de réponse du système en boucle fermé et effet dune perturbation sur langle du rail:
tr5%=7.6s
On voit ici que notre système régule bien par contre il a un temps de réponse vraiment trop long. Peut être y a t il une erreur de calcul où bien faudrait il reprendre les calculs et mettre une constante de temps plus rapide. Nous avons donc avec ce nouveau correcteur une erreur statique nulle.
6.3.2. Visualisation : Courant & Angle :
Les pics de courants ( inférieurs à 16A ) et les variations dangle ( inférieur à 1° ) sont correctes.
Il serait donc très intéressant de diminuer notre temps réponse choisi de 5s, par exemple on prend tr=3s ( cette modificatio est très rapide pour nous car comme on utilise mathcad on a juste a changé tr et il nous calcul automatiquement les nouveaux paramétres.
6.4 Conception du correcteur R.S.T. avec intégrateur et modification du temps de réponse:
On obtient donc :
EMBED Mathcad
6.4.1. Temps de réponse du système en boucle fermé et effet dune perturbation sur langle du rail:
tr5%=4.3s
Avec ces nouveaux paramètres on a amélioré le temps de réponse ( inférieur à 5s ) mais aussi le dépassement. Pour linstant nous avons le correcteur qui correspond au cahier des charges. Visualisons maintenant le courant et les variations angulaires.
6.4.2. Visualisation : Courant & Angle :
Compte tenue des courbes ci dessus on peut donc conclure que le seul correcteur que lon peu accepté est donc le correcteur RST + intégrateur qui a comme paramètres :
EMBED Mathcad
6.5 Intérêt de la décomposition en sous problèmes :
Avec cette décomposition on simplifie les calculs des paramètres des correcteurs. Car un approche globale du système serait impossible et les différentes constantes de temps ( mécanique et électrique ) qui composent notre système nous le permette et donc nous le simplifie.
De plus sans cette décomposition nous naurions pas pu tester différents correcteur et donc régler ceci pour obtenir un fonctionnement correcte en asservissement et régulation mais aussi le principe de discrétisation.
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Rectangle supérieur
Rectangle inférieur
Trapézoïdale
Consigne
Tr5%
Consigne
réponse
