TD part1 SF - Td corrigé
Tout d'abord les bactéries méthanogènes (X2, la biomasse) consomment S2
pour leur croissance, dont la vitesse spécifique est notée 2, ce qui veut dire ...
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ENSE3 1ère année
AUTOMATIQUE
Recueil de TD
TOC \o "1-3" \h \z \u HYPERLINK \l "_Toc239058281" DETERMINATION DE FONCTIONS DE TRANSFERT DE SYSTEMES PHYSIQUES A PARTIR D'EQUATIONS PAGEREF _Toc239058281 \h 3
HYPERLINK \l "_Toc239058282" SYSTEME MECANIQUE EN ROTATION PAGEREF _Toc239058282 \h 3
HYPERLINK \l "_Toc239058283" SYSTEME THERMIQUE PAGEREF _Toc239058283 \h 4
HYPERLINK \l "_Toc239058284" SYSTEME BIOLOGIQUE : DIGESTION ANAEROBIE PAGEREF _Toc239058284 \h 5
HYPERLINK \l "_Toc239058285" REPONSES TEMPORELLES ET FONCTIONS DE TRANSFERT PAGEREF _Toc239058285 \h 6
HYPERLINK \l "_Toc239058286" ETUDE D'UN CAPTEUR (thermomètre météorologique) PAGEREF _Toc239058286 \h 6
HYPERLINK \l "_Toc239058287" ETUDE D'UN SYSTEME HYDRAULIQUE (bacs en cascade) PAGEREF _Toc239058287 \h 7
HYPERLINK \l "_Toc239058288" APPARIEMENT DE REPRESENTATIONS PAGEREF _Toc239058288 \h 9
HYPERLINK \l "_Toc239058289" APPLICATION DU CRITERE DE NYQUIST POUR LA STABILITE PAGEREF _Toc239058289 \h 11
HYPERLINK \l "_Toc239058290" STABILITE DUN SYSTEME DU 3ème ORDRE PAGEREF _Toc239058290 \h 11
HYPERLINK \l "_Toc239058291" STABILITE D'UN SYSTEME AVEC INTEGRATEUR PAGEREF _Toc239058291 \h 11
HYPERLINK \l "_Toc239058292" ANALYSE ET SYNTHESE DE CORRECTEURS PAGEREF _Toc239058292 \h 12
HYPERLINK \l "_Toc239058293" ASSERVISSEMENT DE TEMPERATURE (SYSTEME A RETARD, REGULATEUR PROPORTIONNEL) PAGEREF _Toc239058293 \h 12
HYPERLINK \l "_Toc239058294" ASSERVISSEMENT DE DEBIT (système du second ordre, retard, PID) PAGEREF _Toc239058294 \h 15
HYPERLINK \l "_Toc239058295" ASSERVISSEMENT DUNE BALLE SUR UN PLATEAU (SYSTEME INSTABLE EN BOUCLE OUVERTE, PID) PAGEREF _Toc239058295 \h 17
HYPERLINK \l "_Toc239058296" CONTRÔLE DE LA QUALITÉ DE LEAU DANS UN TRONÇON DE RIVIÈRE SOUMIS À DES DÉCHARGES DEFFLUENTS PAGEREF _Toc239058296 \h 20
DETERMINATION DE FONCTIONS DE TRANSFERT DE SYSTEMES PHYSIQUES A PARTIR D'EQUATIONS
SYSTEME MECANIQUE EN ROTATION
Pour le système mécanique suivant (moteur entrainant une charge par l intermédiaire d un réducteur), écrire les équations de bilan énergétique et en déduire l'équation différentielle liant le couple Gðm appliqué à l'entrée et la vitesse angulaire de sortie Wðs (J : inerties ; f : frottements visqueux ; rapport de réduction n).
Déterminer la fonction de transfert correspondante (entrée Gðm, sortie Wðs).
SYSTEME THERMIQUE
Toutes les variables d'état définies ci-dessous représentent des variations autour d'un état d'équilibre thermique.
EMBED Word.Picture.8
x1 et x2 sont les températures des liquides chaud et froid dans les tubulures,
u1 et u2 sont les températures à l'entrée,
q1 et q2 sont les débits des liquides, supposés constants (m3.s-1),
V1 et V2 sont les volumes des liquides chaud et froid à l'intérieur de l'échangeur de chaleur,
Cp1 et Cp2 sont les chaleurs spécifiques des liquides (J.m-3.K-1),
R est la résistance thermique des parois séparant les deux liquides; on supposera que l'on a un bon calorifugeage avec l'extérieur et que les pertes calorifiques sont négligeables.
En supposant les phénomènes d'échange linéaires, écrire les équations de bilan énergétique et déterminer les fonctions de transfert X1(p)/U1(p) et X2(p)/U2(p).
SYSTEME BIOLOGIQUE : DIGESTION ANAEROBIE
La digestion anaérobie est un procédé biologique complexe, permettant de dégrader la matière organique en méthane et dioxyde de carbone. Il comporte quatre étapes, chacune étant associée à un groupe de bactéries, qui utilise les composés dégradés par létape précédente comme substrat (« nourriture ») pour croître et produit des composés organiques encore plus dégradés. Cette digestion est à la base de nombreux phénomènes observés soit dans la nature (dégradation de pollution dans les lacs ou rivières) soit dans les procédés technologiques (stations dépuration).
On ne sintéressera ici quà une étape, la transformation de lacide acétique noté S2, en méthane (CH4) et en dioxyde de carbone (CO2). Cette transformation se fait en deux temps. Tout d abord les bactéries méthanogènes (X2, la biomasse) consomment S2 pour leur croissance, dont la vitesse spécifique est notée mð2, ce qui veut dire qu elle est donnée par unité de concentration de biomasse. La vitesse effective de la réaction biologique est donc mð2*X2. Les bactéries produisent ensuite du CH4, à la même vitesse mð2. On suppose que le méthane est instantanément transféré de la phase liquide vers la phase gazeuse. Le schéma réactionnel ci-dessous résume les réactions biologiques :
EMBED Equation.3
X2, S2 et CH4 sont des concentrations. 1/Y1 et 1/Y2 sont les rendements biomasse/substrat et biomasse/méthane. Lexpression de la vitesse spécifique mð2 est la suivante : EMBED Equation.3 où Ks, Ki et mð2max sont des constantes. On suppose que la réaction biologique a lieu à l intérieur d un réacteur infiniment mélangé, qui est alimenté à un débit Q et soutiré au même débit. Il a donc un volume constant noté V. L alimentation du réacteur ne contient que l acide acétique à une concentration notée S2in.
®ð A partir des bilans de matière, mettre en équation le système. On considérera que Q est constant et que S2in est l entrée du système.
®ð Déterminer le point d équilibre du système. On portera une attention particulière au méthane.
®ð En supposant que les variations autour du point d équilibre sont de petite amplitude, linéariser le modèle. En déduire la fonction de transfert entre S2in et CH4.
REPONSES TEMPORELLES ET FREQUENTIELLES. PROPRIETES
ETUDE D'UN CAPTEUR (thermomètre météorologique)
Un thermomètre météorologique est considéré par ses utilisateurs comme un système du premier ordre. Avant toute opération de sondage, on se livre à l'opération suivante : le thermomètre initialement à 20°C est brusquement placé dans un courant d'air de 250 m/mn à 10°C au niveau de la mer. On note les résultats suivants :
Temps (s)0510152025Température indiquée (°C)2017,816,114,713,712,9
Déterminer les caractéristiques dynamiques du thermomètre (paramètres de la fonction de transfert).
On équipe ensuite avec ce thermomètre un ballon sonde pour établir la "courbe du jour". Le ballon monte de 250 m/mn. Les indications transmises sont alors les suivantes :
Temps (s)0102030405060708090Température (°C)15,014,914,614,313,913,413,012,512,011,5
10015016017018011,08,58,07,57
Déduire de cette réponse du thermomètre à une entrée en rampe, la température à 600 m. Justifier votre réponse.
ETUDE D'UN SYSTEME HYDRAULIQUE (bacs en cascade)
On considère le système hydraulique constitué de deux bacs en cascade :
u : débit volumique d'alimentation en liquide,
x1, x2 : niveaux dans les réservoirs,
C1, C2 : sections des réservoirs,
R1, R2 : vannes d'équilibrage telles que le débit à travers
l'orifice Ri est ui = xi/Ri (xi = hauteur du liquide dans le réservoir).
On applique en entrée (sur le débit u) un échelon d'amplitude 1. On enregistre le niveau x2 (décimètres) dans le bac 2 en fonction du temps (en secondes). Déterminer la forme de la fonction de transfert, puis déterminer la valeur du gain, et donner un ordre de grandeur pour les constantes de temps.
On construit l'asservissement du niveau x2 suivant :
Calculer la fonction de transfert en boucle fermée et montrer que la réponse du système en boucle fermée dépend du gain K.
Pour une valeur de K donnée on enregistre la réponse expérimentale x2 suivante :
Calculer le gain en boucle fermée et en déduire la valeur de K utilisée pour l'expérience.
Le système en boucle fermée est un second ordre oscillant. Calculer à partir de l'enregistrement les valeurs de xð et wðn correspondantes.
La fonction de transfert X2/U(p) a pour constantes de temps tð1 = 2s et tð2 = 5s. A partir des valeurs de xð et wðn qui viennent d'être déterminées, retrouver de deux manières différentes la valeur du gain K. Vérifier que les valeurs obtenues sont cohérentes avec la première détermination de K.
REPONSES FREQUENTIELLES DES SYSTEMES (BODE, BLACK, NYQUIST) ETUDE DE STABILITE
APPARIEMENT DE REPRESENTATIONS
On vous demande d'apparier les diverses représentations temporelles et fréquentielles que lon trouvera en dernière page du polycopié. Cela veut dire que, pour un même système, on a tracé la réponse indicielle, le lieu de Bode et le lieu de Black ; on a fait cette expérience pour 4 systèmes différents ; vous devez retrouver quelles courbes correspondent au même système. Donner la fonction de transfert correspondante sous forme formelle et, si c'est possible uniquement, donnez l'ordre de grandeur ou la valeur des coefficients des transferts. Noter dans la dernière colonne si le système en boucle fermée par un retour unitaire aura une surtension.
Indicielle Bode n°Black n°Fonction de transfertsurtensionSystème 1rouge
Système 2vert
Système 3bleu
Système 4
violet
APPLICATION DU CRITERE DE NYQUIST POUR LA STABILITE
STABILITE DUN SYSTEME DU 3ème ORDRE
On considère la fonction de transfert suivante :
EMBED Equation.3
Tracer les diagrammes asymptotiques de Bode.
Tracer le diagramme de Black (ou Nichols) puis le diagramme de Nyquist.
Etudier la stabilité du système en boucle fermée avec un correcteur proportionnel.
STABILITE D'UN SYSTEME AVEC INTEGRATEUR
On considère la fonction de transfert suivante :
EMBED Equation.3
Tracer les diagrammes asymptotiques de Bode (on ne considère pas de valeur numérique pour le gain et les constantes de temps).
Esquisser l'allure du tracé réel de Bode pour G = 2, T1 = 100s, tð1 = 0.1s, tð2 = 10s.
A partir du diagramme de Bode réel obtenu, tracer le diagramme de Black (ou Nichols) puis le diagramme de Nyquist.
Etudier la stabilité du système en boucle fermée avec un correcteur proportionnel.
ANALYSE ET SYNTHESE DE CORRECTEURS
ASSERVISSEMENT DE TEMPERATURE (SYSTEME A RETARD, REGULATEUR PROPORTIONNEL)
Pour effectuer un traitement chimique, on a besoin d'un courant gazeux à température constante qð. On obtient celui-ci au moyen du dispositif régulateur de la figure ci-dessous.
Le contrôle est obtenu en chauffant une fraction du gaz à une température relativement élevée qð2, l'autre fraction étant à la température ambiante qð1, et en mélangeant ces deux fractions en proportions convenables.
La température du mélange est évidemment fonction du rapport des débits q1 et q2, et du gaz aux températures qð1 et qð2, respectivement.
Une vanne secteur permet le dosage de ces débits. Elle est conçue de telle sorte que la somme de ces débits q1 et q2 soit constante et égale au débit total Q quelle que soit la position de la vanne. De plus, son profil est tel que les débits partiels soient des fonctions linéaires de la position angulaire de son bras de manuvre.
La température du gaz est mesurée au moyen d'un thermocouple placé dans la canalisation de sortie, en un point B situé à une distance L de la vanne, suffisante pour qu'en ce point la température du gaz soit bien uniforme, de valeur qð.
La tension u fournie par le thermocouple est, dans un but de simplification, supposée être, en régime permanent, proportionnelle à q. Elle est mise en opposition avec une tension e de référence et la tension résultante eð = e - u est appliquée à l'entrée d'un amplificateur, lequel attaque un moteur M de positionnement de la vanne.
On négligera toutes les pertes calorifiques à travers les canalisations.
a) Détermination de la FTBO du système
On caractérise la position angulaire de la vanne par l'angle að que fait son bras de manSuvre par rapport à la position moyenne de celui-ci (q1 = q2) et par að0 la valeur maximale de cet angle (correspondant à q1 = 0). A partir d'un bilan d'énergie thermique, établir l'expression liant la température moyenne qð' du mélange, immédiatement à la sortie de la vanne, à að.
En déduire l'expression de la fonction de transfert EMBED "Equation" "Objet de Word3" \* mergeformat caractéristique de cette liaison.
La section utile de la canalisation de sortie étant constante de valeur S, et le débit gazeux étant Q, donner l'expression de la fonction de transfert EMBED "Equation" "Objet de Word3" \* mergeformat liant la température au point B où se trouve le thermocouple à la température qð' à la sortie de la vanne.
Représenter le lieu de transfert de cette transmittance dans le plan de Nyquist.
La tension u délivrée par le thermocouple ne suit pas immédiatement les fluctuations de la température du gaz dans la région B. On caractérise ce phénomène par la constante de temps tð du thermocouple. Le calibre du thermocouple donnant la variation de tension u par °C est noté gð.
Donner l'expression de la transmittance EMBED "Equation" "Objet de Word3" \* mergeformat du thermocouple.
Le moteur M à courant continu est commandé par l'induit (inducteur à aimant permanent). Il est attaqué par un amplificateur de gain A constant et d'impédance de sortie négligeable. Ce moteur positionne la vanne par l'intermédiaire d'un démultiplicateur de rapport 1/n.
Sur l'arbre de la vanne est monté un ressort, de raideur r, dont le rôle est de maintenir la vanne en position moyenne lorsque le moteur n'est pas alimenté.
On supposera négligeables tous les frottements mécaniques, ainsi que l'inertie de la vanne et de l'arbre de sortie du réducteur. On supposera nulle la self inductance de l'induit du moteur.
Etablir l'expression de la fonction de transfert liant la vitesse wð1 de l'arbre de sortie du moteur à la tension eð à l'entrée de l'amplificateur, en tenant compte du ressort r. En déduire la fonction de transfert entre la position angulaire de la vanne et la tension eð.
Donner l'expression de la fonction de transfert de la boucle ouverte, T(p), de l'asservissement.
Ce système est-il à déphasage minimal?
Application numérique :
Moteur : constante de couple k = 0,5 Nm.A-1
constante de fcem k'= 0,5 Vrd-1.s-1
inertie de l'arbre de sortie du moteur J = 5 10-6 kgm-2
résistance de l'induit R = 500 Wð
Réducteur : n = 200
Ressort : raideur r = 5 Nmrd-1
Vanne : amplitude angulaire að0 = 0,5 rd
Gaz : températures qð1 = 20 °C
qð2 = 220 °C
débit total Q = 2 ls-1
Canalisation : section S = 10 cm2
distance du thermocouple à la vanne L = 50 cm
Thermocouple : calibre gð = 1 mV°C-1
constante de temps tð = 10 s
b) Lieux de transfert et stabilité
Esquisser les courbes de gain et de phase relatives à T(p), compte tenu du fait que le gain A de l'amplificateur n'est pas encore connu. Tracer le lieu de Nyquist de T(p).
Donner la précision du système face à un échelon de consigne.
Déduire de ces courbes la valeur du gain A qu'il ne faut pas dépasser si l'on désire que la stabilité demeure assurée.
Si lon enlève le ressort spirale sur larbre actionnant la vanne, réécrire la fonction de transfert. Etudier à nouveau les propriétés de précision et stabilité. Comparer les résultats et commenter.
ASSERVISSEMENT DE DEBIT (système du second ordre, retard, PID)
Remarque : ce TD sera préparé à la maison, puis corrigé en séance avec HADOC. Le texte qui suit nest quun guide pour la préparation.
Soit le procédé suivant, destiné à la régulation du débit à travers une canalisation. Il utilise comme actionneur une vanne dont la position du clapet est asservie au courant de commande par un servomoteur électropneumatique intégré à la vanne. Le capteur est constitué d'un débimètre volumique fournissant un signal analogique proportionnel au débit.
EMBED Word.Picture.8
Le modèle du système est le suivant :
EMBED "Equation" "Objet de Word2" \* mergeformat
avec G = 2 et tð = 0.6s.
On utilise un régulateur de type PID pour la commande de ce procédé.
a) Synthèse à partir de critères temporels
On considère une structure de type "mixte" pour le correcteur PID :
EMBED "Equation" "Objet de Word1" \* mergeformat
Calculer Kcm, Tim et Tdm pour que le système en boucle fermée soit du 1er ordre avec un temps de réponse à 5% égal à 3s (on remarquera que l'ordre du système en BO est 3 pour un ordre désiré en BF inférieur).
En fait le correcteur choisi possède un retard sur la mesure de 0,7s. Donner de manière qualitative le comportement attendu en boucle fermée de l'asservissement, en réponse à un échelon de consigne. Vérifier en simulation
b) Synthèse à partir de critères fréquentiels
On considère une structure de type "série" pour le correcteur PID :
EMBED "Equation" "Objet de Word1" \* mergeformat
Comment place-t-on l'avance de phase apportée par le numérateur pour augmenter la stabilité du système en BF? Dans la zone de placement déterminée, on choisira les valeurs de Tis et Tds qui simplifient au maximum la FT en BO (et donc son diagramme de Bode).
On désire en outre garder une marge de phase de 50° (limitation des oscillations en BF). En déduire Kcs.
ASSERVISSEMENT DUNE BALLE SUR UN PLATEAU (SYSTEME INSTABLE EN BOUCLE OUVERTE, PID)
Remarque : ce TD sera préparé à la maison, puis corrigé en séance avec HADOC. Le texte qui suit nest quun guide pour la préparation.
MODELISATION
Présentation du procédé :
INCLUDEPICTURE "http://gipsa-dauto-hadoc.ampere.inpg.fr/hadoc/ateliers/balle/procede.gif" \* MERGEFORMATINET
Le système permet de commander la position d'une balle sur un plateau, suivant l'axe x et l'axe y. Comme on néglige les effets de couplage entre les mouvements suivant x et suivant y, on se limitera à l'étude sur un seul axe.
Schéma fonctionnel :
INCLUDEPICTURE "http://gipsa-dauto-hadoc.ampere.inpg.fr/hadoc/ateliers/balle/balle_schema_fonctionnel.gif" \* MERGEFORMATINET
Mouvement de la balle :
En négligeant les frottements, le principe fondamental de la dynamique donne :
INCLUDEPICTURE "http://gipsa-dauto-hadoc.ampere.inpg.fr/hadoc/ateliers/balle/balle_PFD.gif" \* MERGEFORMATINET
où m est la masse de la balle, r son rayon, Ib son moment d'inertie, x sa position sur l'axe x, að l'angle du plateau par rapport à l'horizontale, et g l'accélération de la pesanteur. Pour að petit on peut écrire :
INCLUDEPICTURE "http://gipsa-dauto-hadoc.ampere.inpg.fr/hadoc/ateliers/balle/balle_PFD_approximation.gif" \* MERGEFORMATINET
D'autre part, pour une sphère creuse, on a :
INCLUDEPICTURE "http://gipsa-dauto-hadoc.ampere.inpg.fr/hadoc/ateliers/balle/balle_inertie.gif" \* MERGEFORMATINET
D'où l'équation du mouvement de la balle :
INCLUDEPICTURE "http://gipsa-dauto-hadoc.ampere.inpg.fr/hadoc/ateliers/balle/balle_equation_balle.gif" \* MERGEFORMATINET
avec kb = 5.5 m.s-2
Motorisation :
On fait une approximation de ce bloc complexe (il contient des non-linéarités) en l'assimilant à la fonction de transfert du premier ordre :
INCLUDEPICTURE "http://gipsa-dauto-hadoc.ampere.inpg.fr/hadoc/ateliers/balle/balle_motorisation.gif" \* MERGEFORMATINET
où uað est la commande angulaire, kað est une constante de valeur 0.18 rad/UM (unités machine), la constante de temps Tm = 0.06 s est le temps moyen mis par le plateau pour atteindre l'angle désiré.
Détection de la position de la balle sur le plateau :
La caméra numérique détecte la position du plateau et fournit les coordonnées x et y de la balle en unités machine. Le gain kx reliant la position sur le plateau à sa valeur exprimée en unités machine est 4.7UM/m.
Fonction de transfert du système :
On a donc la fonction de transfert en boucle ouverte :
INCLUDEPICTURE "http://gi 123JKLMijkl¾¿ÀÚøçàÙÐÉÀɹɲ¦ø¦
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