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EVALUATION. EXERCICE 1 (QCM). 1) Pour une suite arithmétique u on donne u
15 = 150 + 14 × 7. .... 5) Calculer le nombre total d'ardoises pour couvrir le toit. 6)
Montrer que la ..... sur la 3ème rangée, puis sur la 4ème rangée. 2) En déduire ...
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Métier : CULTURE GÉNÉRALE
Domaine de compétences : SCI- Suites et séries
Intitulé de la compétence : Déterminer la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique ou géométrique
Code : COM-201007-011035
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EVALUATION
EXERCICE 1 (QCM)
Pour une suite arithmétique u on donne u15 = 150 + 14 × 7.
Quel est son premier terme et sa raison ?
u1 = 14 ; raison 150 b) u1 = 150 ; raison 14 c) u1 = 150 ; raison 7
Soit une suite arithmétique u définie par u1 = 13 et r = -5.
Quelle est la valeur de u10 ?
u10 = -32 b) u10 = -27 c) u10 = -37
Soit une suite arithmétique u définie par u1 = 13 et r = -5.
Quelle est la somme des 10 premiers termes de cette suite ?
-63 b) -95 c) 132
Soit une suite arithmétique u définie par u1 = 4,5 et r = 2,3.
Quelle est la somme des 20 premiers termes de cette suite ?
527 b) 529,3 c) 524,7
Soit une suite géométrique v définie par v1 = 2 et q = 3.
Quelle est la valeur de v10 ?
39 366 b) 118 098 c) 13 122
Soit une suite géométrique v définie par v1 = 2 et q = 3.
Quelle est la somme des 10 premiers termes de cette suite ?
-59 048 b) 59 048 c) 59 038
Soit une suite géométrique v définie par v1 = 5 et q = 10.
Quel calcul est correct ?
v10 = 5 × 1010 b) v10 = 5 × 109 c) v10 = 5 + 9 × 10
Soit une suite géométrique v définie par v1 = 5 et q = 10.
Quelle est la somme des 8 premiers termes de cette suite ?
55 555 555 b) 5 555 555 c) 555 555 555
Pour calculer la somme des 10 premiers termes dune suite arithmétique, il faut connaître :
Sa raison b) Son premier terme c) Son terme de rang 10
Pour calculer la somme des 10 premiers termes dune suite géométrique, il faut connaître :
Sa raison b) Son premier terme c) Son terme de rang 10
EXERCICE 2
Pour couvrir un toit conique, un couvreur dispose les ardoises en rangs successifs en partant du bas.
La pointe du toit est couverte en zinc.
Le nombre dardoises nécessaires pour chaque rang est donné par les termes dune suite
numérique (un).
Le premier rang comporte : u1 = 213 ardoises, le deuxième rang comporte : u2 = 207 ardoises,
le troisième rang comporte : u3 = 201 ardoises, le quatrième rang comporte : u4 = 195 ardoises ...
et ainsi de suite en suivant la même progression.
Calculer u2 u1, u3 u2 et u4 u3.
Quelle est la nature de la suite (un) ?
Combien dardoises sur le 22ème rang le couvreur disposera-t-il ?
Sachant que le dernier rang comporte 9 ardoises, déterminer le nombre total de rangs à mettre
en place pour couvrir le toit.
Calculer le nombre total dardoises pour couvrir le toit.
Montrer que la somme des ardoises des n premiers rangs a pour expression : Sn = -3n² + 216n.
Le couvreur ne dispose que de 2 000 ardoises. Combien de rangs entiers pourra-t-il
réaliser ?
EXERCICE 3
Un artisan désire habiller le plateau dune table dun décor constitué dune succession de bandes de placage alternativement en frêne et en acajou. Pour des raisons desthétique, lartisan se fixe trois contraintes :
La longueur du plateau à habiller est de 1 200mm.
A partir de la deuxième bande, la largeur de chaque bande est obtenue en multipliant par 1,5 la largeur de la bande précédente.
Lhabillage total du plateau est constitué de 10 bandes.
Les mesures des largeurs théoriques successives des bandes de placage constituent les termes dune suite numérique. On appelle u1 la mesure, en mm, de la largeur de la première bande (la plus petite), u2 la mesure, en mm, de la largeur de la deuxième bande
Exprimer u2 en fonction de u1 et u3 en fonction de u2.
Donner la nature de la suite numérique (un). Préciser sa raison.
Exprimer u10 en fonction de u1.
On note S10 la somme des dix premiers termes de la suite numérique (un).
Exprimer S10 en fonction de u1.
En prenant S10 = 1 200, montrer que u1 = QUOTE
Pour les mesures de largeurs des bandes à découper, lartisan hésite entre un arrondi au dixième et un arrondi à lunité des valeurs théoriques obtenues à partir de la suite numérique (un).
Compléter le tableau suivant :
Valeurs exactes de unValeurs arrondies à 0,1Valeurs arrondies à lunité QUOTE 10,611 QUOTE × 1,515,916 QUOTE × 1,5²23,824 QUOTE × 1,5335,736 QUOTE × 1,5453,654 QUOTE × 1,5580,480 QUOTE × 1,56120,6121 QUOTE × 1,57180,9181 QUOTE × 1,58 QUOTE × 1,59Somme des valeurs arrondies
Quel arrondi faut-il choisir pour effectuer la découpe ?
EXERCICE 4
Pour réaliser le pignon dun hangar, on envisage linstallation dune poutrelle (modélisée sur la figure ci-dessous par le segment [AB]), soutenue par onze poteaux verticaux espacés régulièrement (modélisée sur la figure par les segments perpendiculaires à la droite (OC)).
Les poteaux sont numérotés successivement de 1 à 11. Pour i, entier compris entre 1 et 11, la cote hi désigne la mesure, en mètre, de la hauteur du poteau ayant le numéro i.
Sur la figure, les cotes h1, h2,
,h11 prises dans cet ordre, forment une suite arithmétique telle que h1 = 2,50 et h2 = 2,95.
Donner le premier terme et calculer la raison de cette suite.
Calculer la hauteur du onzième poteau, en mètre.
Calculer la longueur totale des onze poteaux.
EXERCICE 5
Le schéma, ci-contre, représente les premiers panneaux dune palissade construite le long dune route en pente. Les hauteurs et les largeurs des panneaux sont toutes différentes.
Les hauteurs h1, h2, h3, h4, h5
sont exprimées en centimètre et forment une suite arithmétique.
Le premier panneau a une hauteur h1 de 110cm et le cinquième panneau a une hauteur h5 de 158cm.
Montrer que la suite arithmétique formée par les hauteurs a pour raison 12.
Calculer h15, la hauteur du 15e panneau.
Combien de panneaux seront nécessaires pour que la hauteur du dernier panneau atteigne 3,50m ?
Les écartements e1, e2, e3,
sont exprimés en mètres et forment une suite géométrique de raison
q = 1,1. On sait que e1 = 0,50m.
Calculer e2, e3 et e4.
Calculer lécartement e10, arrondi au millième.
La longueur totale L de la palissade est égale à la somme des écartements.
Calculer la longueur L dune palissade composée de 10 panneaux. Arrondir le résultat au millième.
Combien de panneaux seront nécessaires pour construire une palissade de 18m de longueur ?
EXERCICE 6
Une entreprise doit réaliser un revêtement de sol dune salle à laide de dalles blanches ou noires en PVC de dimensions 50cm × 50cm.
La salle a pour longueur 49,5m et pour largeur 12m. Le motif blanc à réaliser est le suivant :
Le premier rang comporte u1 = 3 dalles blanches, le deuxième rang comporte u2 = 7 dalles blanches, le troisième rang comporte u3 = 11 dalles blanches, le quatrième rang comporte u4 = 15 dalles blanches et ainsi de suite en suivant la même progression jusquau rang permettant datteindre le mur den face.
Calculer u2 u1, u3 u2 et u4 u3.
Quelle est la nature de la suite (un) ainsi définie ?
Donner le premier terme u1 et la raison de cette suite.
Déterminer le nombre de rangs à réaliser pour couvrir la largeur de la pièce.
Déterminer le nombre de dalles blanches utilisées au dernier rang.
Déterminer le nombre total de dalles blanches pour réaliser le motif.
Calculer le nombre total de dalles (blanches ou noires) nécessaires pour recouvrir entièrement le sol.
En déduire le nombre de dalles noires.
EXERCICE 7
Un artisan assure des dépannages à domicile et utilise un véhicule utilitaire pour ses
déplacements. La première année, il a parcouru une distance de d1 = 10 000km.
Chaque année, la distance parcourue augmente de 4% par rapport à lannée précédente.
Calculer, en kilomètre, la distance d2 parcourue la deuxième année et la distance d3 parcourue la troisième année.
Vérifier que les distances parcourues d1, d2 et d3 sont les premiers termes dune suite géométrique de raison q = 1,04.
Calculer, en kilomètre, la distance d10 parcourue la dixième année, arrondie à lunité.
Lartisan considère que son véhicule utilitaire devra être remplacé lorsquil aura parcouru 120 000km. Déterminer au bout de combien dannées, depuis sa mise en service, le véhicule devra être remplacé.
EXERCICE 8
Pour aménager le tour de la fontaine dun jardin public, on doit réaliser limplantation du fil deau en bordures « béton » séparant le terrain naturel du dallage (voir ci-dessous).
Le revêtement du sol entre la fontaine et les bordures « béton » est réalisé par dallage posé en couronnes successives.
On pose ainsi 15 couronnes.
Les aires des couronnes, exprimées en m², sont notées : c1, c2,
c 15.
c1 = 1,88m².
c1, c2,
c15 forment une suite arithmétique de raison 0,18.
Calculer laire c2 de la deuxième couronne.
Calculer laire c15 de la quinzième couronne.
Calculer laire totale des 15 couronnes.
EXERCICE 9
Un portail industriel, constitué de lames, est représenté sur le schéma ci dessous :
Sur le schéma, les proportions ne sont pas respectées.
On note H la hauteur minimale du portail.
Le portail est constitué de lames en aluminium en forme de trapèze rectangle.
Partie 1 : Calcul de l aire de la première lame.
La première lame est représentée ci-contre :
b = 2,0032m ;
B = 2,0272m ;
! = 0,15m
Calculer, en m², l aire A1 de la première lame.
Partie 2 : Calcul de laire totale des 30 lames.
La parité CDEF du portail est constituée de 30 lames. On souhaite connaître laire de la surface totale daluminium nécessaire à la fabrication des 30 lames.
On note An , laire de la n-ième lame, exprimée en m².
Les aires successives des lames, exprimées en m², forment une suite arithmétique de premier terme
A1 = 0,30228 et de raison r = 0,003984.
Calculer A30.
Calculer S30, la somme des 30 premiers termes de la suite An. Arrondir le résultat au dixième.
On dispose d'une plaque d'aluminium rectangulaire de 5m sur 2m.
Peut-on réaliser les 30 lames avec cette plaque ? Justifier.
EXERCICE 10
On désire aménager un espace urbain rectangulaire constitué d'une jardinière et d'une terrasse.
Des pavés carrés de 10cm de côté sont placés en éventail le long du bord dune jardinière, comme schématisé ci-dessous :
Pour réaliser le premier rang, on utilise 12 pavés et pour le deuxième rang, on utilise 14 pavés.
Puis, la réalisation de chaque rang nécessite deux pavés de plus que le rang précédent.
On note u1 le nombre de pavés nécessaires à la réalisation du premier rang (u1 = 12), et un le nombre de pavés nécessaire à la réalisation du n-ième rang. (n est un nombre entier supérieur à 1).
Montrer, en utilisant le formulaire, que u n = 10 + 2n.
On note Sk le nombre total de pavés nécessaires à la réalisation des k premiers rangs.
Montrer que Sk = 11 k + k².
On dispose de 500 pavés.
On souhaite déterminer le nombre de rangs réalisables avec ces 500 pavés.
La résolution de l'équation k² + 11k 500 = 0 permet de déterminer ce nombre.
Résoudre cette équation. Arrondir le résultat au dixième.
En déduire le nombre de rangs entiers que l'on peut réaliser avec 500 pavés.
EXERCICE 11
Dans un village, une place carrée de 15m de côté doit être pavée.
La partie centrale de la place est un carré de 1,5m, réservé pour un espace vert.
On pose des pavés blancs carrés de 15cm de côté, joints compris, sur toute la surface à
l'exception des diagonales qui seront en pavés noirs de même dimension (voir croquis ci-dessous).
La première rangée posée est celle qui borde le carré intérieur réservé pour lespace vert.
L'étude porte dabord sur un quart de la place.
Déterminer les nombres de pavés blancs u1, u2, u3, u4
à poser respectivement sur la 1ère rangée, sur la 2ème rangée,
sur la 3ème rangée, puis sur la 4ème rangée.
En déduire que u1, u2, u3, u4 sont les premiers termes
dune suite dont on indiquera la nature et la raison.
Soit u1 = 10 le premier terme de la suite. Calculer u30.
En déduire le nombre de pavés à poser sur la 30ème rangée.
Calculer le nombre total de rangées de pavés à poser sur un quart de la place.
Calculer u45, puis u1 + u2 +
. + u45.
En déduire le nombre de pavés blancs à poser sur le quart de la place.
En considérant la place entière, déterminer :
Le nombre total de pavés blancs pour paver entièrement la place.
Le nombre de pavés noirs nécessaires pour paver la place entière.
EXERCICE 12
Une équipe de designers architectes souhaite élaborer un projet dascenseur permettant de se rendre du point A au point B en utilisant une rampe parabolique (figure ci-dessous).
A intervalle de temps régulier, toutes les 30 secondes, on mesure les dénivellations.
Chaque dénivellation correspond au 5/7 de la précédente. On a mesuré : h1 = 160m.
Calculer h2, h3 et h4. Arrondir chaque résultat au dixième.
Les nombres h2, h3 et h4 sont les premiers termes dune suite géométrique.
Déterminer la raison de cette suite.
Écrire lexpression du terme de rang n en fonction de n.
Lascenseur se rend du point A au point B en 10 minutes.
Calculer le rang de la dernière dénivellation mesurée.
Calculer, en mètre, la hauteur du point B par rapport au point A. Arrondir le résultat à lunité. CORRIGÉ
EXERCICE 1 (QCM)
Pour une suite arithmétique u on donne u15 = 150 + 14 × 7.
Quel est son premier terme et sa raison ?
u1 = 14 ; raison 150 b) u1 = 150 ; raison 14 c) u1 = 150 ; raison 7
Soit une suite arithmétique u définie par u1 = 13 et r = -5.
Quelle est la valeur de u10 ?
u10 = -32 b) u10 = -27 c) u10 = -37
Soit une suite arithmétique u définie par u1 = 13 et r = -5.
Quelle est la somme des 10 premiers termes de cette suite ?
-63 b) -95 c) 132
Soit une suite arithmétique u définie par u1 = 4,5 et r = 2,3.
Quelle est la somme des 20 premiers termes de cette suite ?
527 b) 529,3 c) 524,7
Soit une suite géométrique v définie par v1 = 2 et q = 3.
Quelle est la valeur de v10 ?
39 366 b) 118 098 c) 13 122
Soit une suite géométrique v définie par v1 = 2 et q = 3.
Quelle est la somme des 10 premiers termes de cette suite ?
-59 048 b) 59 048 c) 59 038
Soit une suite géométrique v définie par v1 = 5 et q = 10.
Quel calcul est correct ?
v10 = 5 × 1010 b) v10 = 5 × 109 c) v10 = 5 + 9 × 10
Soit une suite géométrique v définie par v1 = 5 et q = 10.
Quelle est la somme des 8 premiers termes de cette suite ?
55 555 555 b) 5 555 555 c) 555 555 555
Pour calculer la somme des 10 premiers termes dune suite arithmétique, il faut connaître :
Sa raison b) Son premier terme c) Son terme de rang 10
Pour calculer la somme des 10 premiers termes dune suite géométrique, il faut connaître :
Sa raison b) Son premier terme c) Son terme de rang 10
EXERCICE 2
Pour couvrir un toit conique, un couvreur dispose les ardoises en rangs successifs en
partant du bas.
La pointe du toit est couverte en zinc.
Le nombre dardoises nécessaires pour chaque rang est donné par les termes dune suite
numérique (un).
Le premier rang comporte : u1 = 213 ardoises, le deuxième rang comporte : u2 = 207 ardoises,
le troisième rang comporte : u3 = 201 ardoises, le quatrième rang comporte : u4 = 195 ardoises ...
et ainsi de suite en suivant la même progression.
Calculer u2 u1, u3 u2 et u4 u3.
u2 u1 = 207 213 = - 6
u3 u2 = 201 207 = - 6
u4 u3 = 195 201 = - 6
Quelle est la nature de la suite (un) ?
La suite (un) est une suite arithmétique de raison - 6.
Combien dardoises sur le 22ème rang le couvreur disposera-t-il ?
u22 = u1 + (22-1) × r = 213 + 21 × (-6)
u22 = 87
Le couvreur disposera 87 ardoises sur le 22ème rang.
Sachant que le dernier rang comporte 9 ardoises, déterminer le nombre total de rangs à mettre
en place pour couvrir le toit.
un = u1 + (n - 1) × r
9 = 213 6n + 6
-210 = -6n
Soit n = 35
Le nombre total de rangs à mettre en place pour couvrir le toit est 35.
Calculer le nombre total dardoises pour couvrir le toit.
Pour cela, on calcule la somme des 35 premiers termes S35
S35 = QUOTE = QUOTE = QUOTE
S35 = 3 885
Le nombre total dardoises pour couvrir le toit est 3 885.
Montrer que la somme des ardoises des n premiers rangs a pour expression : Sn = -3n² + 216n.
On sait que S = QUOTE
et un = u1 + (n - 1) × r = 213 + (n - 1) × (-6)
un = 213 6n + 6 = 219 6n
doù S = QUOTE = QUOTE = QUOTE = QUOTE = -3n² + 216n
Le couvreur ne dispose que de 2 000 ardoises. Combien de rangs entiers pourra-t-il
réaliser ?
2 000 = -3n² + 216n
On résout -3n² + 216n 2000 = 0
Cette équation admet deux solutions n1 H" 10,9 et n2 H" 61,1.
La seule solution possible est 10,9. Par conséquent le couvreur pourra réaliser 10 rangs avec les 2 000 ardoises dont il dispose.
EXERCICE 3
Un artisan désire habiller le plateau d une table d un décor constitué d une succession de bandes de placage alternativement en frêne et en acajou. Pour des raisons desthétique, lartisan se fixe trois contraintes :
La longueur du plateau à habiller est de 1 200mm.
A partir de la deuxième bande, la largeur de chaque bande est obtenue en multipliant par 1,5 la largeur de la bande précédente.
Lhabillage total du plateau est constitué de 10 bandes.
Les mesures des largeurs théoriques successives des bandes de placage constituent les termes dune suite numérique. On appelle u1 la mesure, en mm, de la largeur de la première bande (la plus petite), u2 la mesure, en mm, de la largeur de la deuxième bande
Exprimer u2 en fonction de u1 et u3 en fonction de u2.
u2 = 1,5 × u1 et u3 = 1,5 × u2
Donner la nature de la suite numérique (un). Préciser sa raison.
La suite numérique (un) est une suite géométrique de raison q = 1,5.
Exprimer u10 en fonction de u1.
U10 = u1 × 1,59
On note S10 la somme des dix premiers termes de la suite numérique (un).
Exprimer S10 en fonction de u1.
S10 = u1 × QUOTE
En prenant S10 = 1 200, montrer que u1 = QUOTE
1200 = u1 × QUOTE
-600 = u1 × (1 1,510)
600 = u1 × (1,510 -1)
Doù u1 = QUOTE
Pour les mesures de largeurs des bandes à découper, lartisan hésite entre un arrondi au dixième et un arrondi à lunité des valeurs théoriques obtenues à partir de la suite numérique (un).
Compléter le tableau suivant :
Valeurs exactes de unValeurs arrondies à 0,1Valeurs arrondies à lunité QUOTE 10,611 QUOTE × 1,515,916 QUOTE × 1,5²23,824 QUOTE × 1,5335,736 QUOTE × 1,5453,654 QUOTE × 1,5580,480 QUOTE × 1,56120,6121 QUOTE × 1,57180,9181 QUOTE × 1,58271,3271 QUOTE × 1,59407,1407Somme des valeurs arrondies1 199,91 201
Quel arrondi faut-il choisir pour effectuer la découpe ?
Larrondi à lunité.
EXERCICE 4
Pour réaliser le pignon dun hangar, on envisage linstallation dune poutrelle (modélisée sur la figure ci-dessous par le segment [AB]), soutenue par onze poteaux verticaux espacés régulièrement (modélisée sur la figure par les segments perpendiculaires à la droite (OC)).
Les poteaux sont numérotés successivement de 1 à 11. Pour i, entier compris entre 1 et 11, la cote hi désigne la mesure, en mètre, de la hauteur du poteau ayant le numéro i.
Sur la figure, les cotes h1, h2,
,h11 prises dans cet ordre, forment une suite arithmétique telle que h1 = 2,50 et h2 = 2,95.
Donner le premier terme et calculer la raison de cette suite.
Le premier terme est h1 = 2,50 et la raison r = 0,45.
Calculer la hauteur du onzième poteau, en mètre.
h11 = 2,50 + 10 × 0,45 = 7
Calculer la longueur totale des onze poteaux.
S11 = 11 × (2,50 + 7)/2 = 52,25
La longueur totale des onze poteaux est de 52,25m
EXERCICE 5
Le schéma, ci-contre, représente les premiers panneaux dune palissade construite le long dune route en pente. Les hauteurs et les largeurs des panneaux sont toutes différentes.
Les hauteurs h1, h2, h3, h4, h5
sont exprimées en centimètre et forment une suite arithmétique.
Le premier panneau a une hauteur h1 de 110cm et le cinquième panneau a une hauteur h5 de 158cm.
Montrer que la suite arithmétique formée par les hauteurs a pour raison 12.
h1 = 110cm; h2 = 122cm; h3 = 134cm; h4 = 146cm; h5 = 158cm.
On retrouve bien h5 = 158cm.
Calculer h15, la hauteur du 15e panneau.
h15 = 110 + 14 × 12 = 278cm.
Combien de panneaux seront nécessaires pour que la hauteur du dernier panneau atteigne 3,50m ?
350 = 110 + (n-1) × 12 soit n = 21.
Il faudra 21 panneaux.
Les écartements e1, e2, e3, & sont exprimés en mètres et forment une suite géométrique de raison
q = 1,1. On sait que e1 = 0,50m.
Calculer e2, e3 et e4.
e2 = 0,55m, e3 = 0,605m et e4 H" 0,666m.
Calculer l écartement e10, arrondi au millième.
e10 = 0,50 × 1,19 = 1,179m.
La longueur totale L de la palissade est égale à la somme des écartements.
Calculer la longueur L d une palissade composée de 10 panneaux. Arrondir le résultat au millième.
L = 0,5 × QUOTE H" 7,969m.
Combien de panneaux seront nécessaires pour construire une palissade de 18m de longueur ?
18 = 0,5 × QUOTE soit k H" 16
16 panneaux seront nécessaires.
EXERCICE 6
Une entreprise doit réaliser un revêtement de sol d une salle à l aide de dalles blanches ou noires en PVC de dimensions 50cm × 50cm.
La salle a pour longueur 49,5m et pour largeur 12m. Le motif blanc à réaliser est le suivant :
Le premier rang comporte u1 = 3 dalles blanches, le deuxième rang comporte u2 = 7 dalles blanches, le troisième rang comporte u3 = 11 dalles blanches, le quatrième rang comporte u4 = 15 dalles blanches et ainsi de suite en suivant la même progression jusquau rang permettant datteindre le mur den face.
Calculer u2 u1, u3 u2 et u4 u3.
u2 u1 = 4, u3 u2 = 4 et u4 u3 = 4.
Quelle est la nature de la suite (un) ainsi définie ?
La suite (un) est une suite arithmétique.
Donner le premier terme u1 et la raison de cette suite.
Le premier terme u1 = 3 et la raison r = 4.
Déterminer le nombre de rangs à réaliser pour couvrir la largeur de la pièce.
Le nombre de rangs à réaliser pour couvrir la largeur de la pièce est 24 (= 12×0,5).
Déterminer le nombre de dalles blanches utilisées au dernier rang.
u24 = 3 + 23 × 4 = 95 dalles blanches.
Déterminer le nombre total de dalles blanches pour réaliser le motif.
S24 = 24 × (3+95)/2 = 1 176 dalles blanches pour réaliser le motif.
Calculer le nombre total de dalles (blanches ou noires) nécessaires pour recouvrir entièrement le sol.
La surface de la salle est de 594m² et la surface dune dalle est de 0,25m²
Donc il faut 2 376 dalles pour recouvrir entièrement le sol.
En déduire le nombre de dalles noires.
2 376 1 176 = 1 200 dalles noires.
EXERCICE 7
Un artisan assure des dépannages à domicile et utilise un véhicule utilitaire pour ses
déplacements. La première année, il a parcouru une distance de d1 = 10 000km.
Chaque année, la distance parcourue augmente de 4% par rapport à lannée précédente.
Calculer, en kilomètre, la distance d2 parcourue la deuxième année et la distance d3 parcourue la troisième année.
d2 = 10 400km et d3 = 10 816km.
Vérifier que les distances parcourues d1, d2 et d3 sont les premiers termes dune suite géométrique de raison q = 1,04.
QUOTE = QUOTE = 1,04 donc les distances parcourues d1, d2 et d3 sont les premiers termes d une suite géométrique de raison q = 1,04.
Calculer, en kilomètre, la distance d10 parcourue la dixième année, arrondie à l unité.
d10 H" 14 233km
L artisan considère que son véhicule utilitaire devra être remplacé lorsqu il aura parcouru 120 000km. Déterminer au bout de combien d années, depuis sa mise en service, le véhicule devra être remplacé.
120 000 = 10 000 × QUOTE soit k H" 10
Donc le véhicule devra être remplacé au bout de 10 ans.
EXERCICE 8
Pour aménager le tour de la fontaine dun jardin public, on doit réaliser limplantation du fil deau en bordures « béton » séparant le terrain naturel du dallage (voir ci-dessous).
Le revêtement du sol entre la fontaine et les bordures « béton » est réalisé par dallage posé en couronnes successives.
On pose ainsi 15 couronnes.
Les aires des couronnes, exprimées en m², sont notées : c1, c2,
c 15.
c1 = 1,88m².
c1, c2,
c15 forment une suite arithmétique de raison 0,18.
Calculer laire c2 de la deuxième couronne.
c2 = c1 + 0,18 = 2,06m²
Calculer laire c15 de la quinzième couronne.
c15 = 1,88 + 14 × 0,18 = 4,4m²
Calculer laire totale des 15 couronnes.
S15 = 15/2 × (1,88 + 4,4) = 47,1m²
EXERCICE 9
Un portail industriel, constitué de lames, est représenté sur le schéma ci dessous :
Sur le schéma, les proportions ne sont pas respectées.
On note H la hauteur minimale du portail.
Le portail est constitué de lames en aluminium en forme de trapèze rectangle.
Partie 1 : Calcul de laire de la première lame.
La première lame est représentée ci-contre :
b = 2,0032m ;
B = 2,0272m ;
! = 0,15m
Calculer, en m², l aire A1 de la première lame.
A1 = (2,0032 + 2,0272) × 0,15/2 = 0,30228m²
Partie 2 : Calcul de l aire totale des 30 lames.
La parité CDEF du portail est constituée de 30 lames. On souhaite connaître l aire de la surface totale daluminium nécessaire à la fabrication des 30 lames.
On note An, laire de la n-ième lame, exprimée en m².
Les aires successives des lames, exprimées en m², forment une suite arithmétique de premier terme
A1 = 0,30228 et de raison r = 0,003984.
Calculer A30.
A30 = 0,30228 + 29 × 0,003984
A30 = 0,417816
Calculer S30, la somme des 30 premiers termes de la suite An. Arrondir le résultat au dixième.
S30 = 30/2 × (0,30228 + 0,417816) = 10,80144
On dispose d'une plaque d'aluminium rectangulaire de 5m sur 2m.
Peut-on réaliser les 30 lames avec cette plaque ? Justifier.
On ne peut pas réaliser 30 lames avec cette plaque car laire de la plaque daluminium est de 10m², ce qui est inférieur à 10,80144m².
EXERCICE 10
On désire aménager un espace urbain rectangulaire constitué d'une jardinière et d'une terrasse.
Des pavés carrés de 10cm de côté sont placés en éventail le long du bord dune jardinière, comme schématisé ci-dessous :
Pour réaliser le premier rang, on utilise 12 pavés et pour le deuxième rang, on utilise 14 pavés.
Puis, la réalisation de chaque rang nécessite deux pavés de plus que le rang précédent.
On note u1 le nombre de pavés nécessaires à la réalisation du premier rang (u1 = 12), et un le nombre de pavés nécessaire à la réalisation du n-ième rang. (n est un nombre entier supérieur à 1).
Montrer, en utilisant le formulaire, que un = 10 + 2n.
(un) est une suite arithmétique de raison 2 donc un = 12 + (n-1) × 2
un = 12 + 2n 2 = 10 + 2n
On note Sk le nombre total de pavés nécessaires à la réalisation des k premiers rangs.
Montrer que Sk = 11 k + k².
Sk = k × (12 + 10 +2k)/2 = (22k + 2k²)/2 = 11k + k²
On dispose de 500 pavés.
On souhaite déterminer le nombre de rangs réalisables avec ces 500 pavés.
La résolution de l'équation k² + 11k 500 = 0 permet de déterminer ce nombre.
Résoudre cette équation. Arrondir le résultat au dixième.
Deux solutions : k1 H" 17,5 et k2 H" - 28,5
En déduire le nombre de rangs entiers que l'on peut réaliser avec 500 pavés.
Le nombre de rangs entiers que l'on peut réaliser avec 500 pavés est de 17.
EXERCICE 11
Dans un village, une place carrée de 15m de côté doit être pavée.
La partie centrale de la place est un carré de 1,5m, réservé pour un espace vert.
On pose des pavés blancs carrés de 15cm de côté, joints compris, sur toute la surface à
l'exception des diagonales qui seront en pavés noirs de même dimension (voir croquis ci-dessous).
La première rangée posée est celle qui borde le carré intérieur réservé pour lespace vert.
L'étude porte dabord sur un quart de la place.
Déterminer les nombres de pavés blancs u1, u2, u3, u4
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