essec math 3 2001 : corrigé rapide
1°) a) Le plus simple est de remarquer que la fonction sin est concave sur [0, ....
M(x,y,z) = xI + yJ + zJ2, donc E est un sev de M3(R), de famille génératrice (i, J, ...
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RPORER Equation.3
Donc d'après b) :
INCORPORER Equation.3
(On peut diviser par Ik qui est > 0 : Ik = (((/2) ( ((0) avec ('(t) = cos2k+1t > 0 sur [0, (/2[.) Par encadrement, on obtient alors le résultat.
2°) a) Avec u = cos2kt, v' = 1, u' = 2k ((sin t) cos2k(1t, v = t (u,v de classe C1 sur I) :
INCORPORER Equation.3
Avec u = sin t cos2k(1, v' = t, v = t2/2,
u' = cos2kt ( sin2t (2k(1) cos2k(2t = cos2kt + (cos2t ( 1) (2k(1) cos2k(2t = 2k cos2kt ( (2k(1) cos2k(2t :
INCORPORER Equation.3
Ik = k( (2k(1)Jk(1 ( 2kJk )
b) On divise la relation précédente par Ik :
INCORPORER Equation.3
D'après 1°)c) :
INCORPORER Equation.3
Par conséquent :
INCORPORER Equation.3
D'où le résultat.
c) I0 = (/2 ; J0 = (3/24... Soit uk =Jk/Ik.
INCORPORER Equation.3
Jn/In tend vers 0 d'après 1°), et donc Sn tend vers 2 J0/I0 = 2 ( (3/24 ( 2/( = (2/6 quand n tend vers +(. Nous pouvons donc écrire :
INCORPORER Equation.3
d) Après ce beau résultat, nous retombons dans les trivialités (utiles) ! : k(k+1) ( k2 ( k(k(1) > 0, donc...Mais
INCORPORER Equation.3
et l'encadrement précédent fournit :
INCORPORER Equation.3
En étant attentif à ces nouveaux dominos :
INCORPORER Equation.3
Avec p ( +(, par encadrement on obtient : 1/(n+1) ( S ( Sn ( 1/n, puis : (1/n ( Sn ( S ( (1/(n+1), puis :
INCORPORER Equation.3
e) Il suffit de prendre n tel que 1/n2 ( 10(6, soit n ( 1000.
program essec;
var s : real ; k : integer ;
BEGIN
s := 0 ;
for k := 1 to 1000 do s := s + 1/sqr(k) ;
s := s +0.001 ;
writeln(s) ;
END.
et toc !
Un bien bel exercice strictement dans les limites du programme et qui établit de façon élémentaire un résultat non trivial. Ce résultat est établi classiquement en utilisant les séries de Fourier. Une autre démonstration utilise des techniques assez lourdes de trigonométrie. Celle-ci paraît originale...
Le deuxième exercice est moins folichon...
Exercice 2
Partie I
1°) a) INCORPORER Equation.3 .
b) c) Pour tout M(x,y,z) de E, M(x,y,z) = xI + yJ + zJ2, donc E est un sev de M3(R), de famille génératrice (i, J, J2). xI + yJ + zJ2 = 0 ( M(x,y,z) = 0 ( x = y = z = 0, cete famille est donc libre et est donc une base de E.
2°) a) M(x,y,z) ( M(x',y',z') = (xI + yJ + zJ2) ( (x'I + y'J + z'J2).
En développant et en utilisant J3 =I, J4 = J, on obient
M(x,y,z) ( M(x',y',z') = (xx'+yz'+zy')I + (xy'+yx'+zz')J + (xz'+yy'+zx')J2 appartient à E. OUI, les matrices M(x,y,z), M(x',y',z') commutent...
b) Yaka remplacer dans l'égalité ci dessus x' par x2 ( yz, etc, on trouve :
M(x,y,z) ( M(x2(yz, z2(xy, y2(zx) = (x3 + y3 + z3 ( 3xyz)I
Le développement (plus ou moins) patient de (x+y+z)[(x(y)2 + (y(z)2 + (z(x)2] conduit à 2x3 + 2y3 + 2z3 ( 6xyz, d'où la conclusion :
M(x,y,z) ( M(x2(yz, z2(xy, y2(zx) = (1/2) (x+y+z)[(x(y)2 + (y(z)2 + (z(x)2] I (1)
c) Si x+y+z ( 0 et x, y, z "pas tous égaux", alors a = (1/2) (x+y+z)[(x(y)2 + (y(z)2 + (z(x)2] ( 0, donc d'après (1) M(x,y,z) est inversible, d'inverse (1/a) M(x2(yz, z2(xy, y2(zx).
d) Réciproquement, si M(x,y,z) est inversible d'inverse M(1, on obtient en multipliant (1) par M(1 :
M(x2(yz, z2(xy, y2(zx) = a M(1.
Supposons a = 0. On a alors M(x2(yz, z2(xy, y2(zx) = 0, donc x2(yz = z2(xy = y2(zx = 0 d'après 1°). 0n en déduit x2 = yz, z2 = xy, y2 = zx, puis x3 = y3 = z3 , puis x = y = z (car la fonction x ( x3 est une bijection de R sur R) , puis M(x,y,z) = x M(1,1,1) qui n'est pas inversible (deux colonnes égales).
Par conséquent a ( 0, et M est inversible ssi a ( 0.
3°) a) ( valeur propre de M(x,y,z) ( ( X ( 0, [M(x,y,z) ( (I]X =0 ( (X ( 0, M(x((,y,z)X = 0 (
M ( (I non inversible.
b) M(x ( (x+y+z), y, z) = M((y(z, y, z) n'est pas inversible d'après 2°) c), donc x+y+z valeur propre de M(x,y,z) d'après 3°) a).
Pour le sous espace-propre associé, on effectue L3 ( L1 + L2 +L3 sur la matrice M((y(z, y, z), puis :
* si z ( 0, L3 ( zL3 ( yL2. On aboutit à la matrice
INCORPORER Equation.3
y2 + z2 + zy n'est jamais nul : considéré comme un polynôme du 2nd degré en y, son discriminant (3z2 est négatif,car z ( 0. En notant a, b, c les coordonnées des vecteurs propres, on a donc le système :
INCORPORER Equation.3
Donc a = b = c car z ( 0.
* si z = 0, on a le système :
INCORPORER Equation.3
Si y ( 0, on retrouve a = b = c ; si y = 0, tout (a,b,c) de R2 est solution.
En résumé, le sous-espace propre associé à la valeur propre x+y+z est Vect(1,1,1) si y, z "pas tous nuls", R3 sinon.
c) ( valeur propre de M(x,y,z) ( M(x((,y,z) non inversible ( x ( ( + y +z = 0 OU x ( ( = y = z (
( = x + y + z car y ( z. Avec une seule valeur propre, M(x,y,z) n'est pas diagonalisable, sinon il existerait P inversible telle que M(x,y,z) = P (I P(1 = (I, donc x = ( et y = z = 0 ; or y ( z...
d) Avec y = z, M(x,y,z) est symétrique donc diagonalisable. Les valeurs propres sont x + 2y et ( tel que x ( ( = y, ( = x ( y.
4°) a) b) c) Après ces calculs quelque peu pénibles, le rythme s'accélère...On trouve
INCORPORER Equation.3
De M(x,y,z) = P D P(1 on déduit comme d'habitude [M(x,y,z)]n = P Dn P(1 et des calculs sans surprise conduisent au résultat annoncé (les M(1,1,1) et M(2,(1,(1) ne sont là que pour faire joli ( et continuer l'exercice !), la "table de multiplication " des M(x,y,z) n'étant pas très appêtissante...).
Partie II
1°) a) b) c) Zut alors, on ne nous laisse même pas le plaisir de citer cette fameuse formule ! Bref :
M = M(1(2p, p, p)
En notant Pn la matrice colonne an bn cn :
Pn+1 = M Pn ; Pn = Mn P0
puis :
Pn = [(1/3) M(1,1,1) + (1/3) (1 ( 3p)n M(2,(1,(1)]P0
P0 est la matrice colonne 1 0 0, Pn est donc la première colonne de la matrice Mn.
Avec 0 < p < 1/2, il se trouve que (1 < 1 ( 3p < 1, donc an, bn, cn tendent, à la surprise générale, vers 1/3...
2°) a) X1 + X2 + ... + Xn est le nombre de passage en A entre les instants 0 et n, mn le nombre moyen de passages entre les instants 0 et n...
On a mn = E(X1 + X2 + ... + Xn) = m1 + m2 + ... + mn (linéarité de l'espérance). Comme Xk suit une loi de bernoulli de paramètre mk = P(Xk = 1) = P(Ak), on obtient :
INCORPORER Equation.3
d'où le résultat annoncé. mn est équivalent à n/3 (l'autre terme tend vers une valeur finie).
b) Mutatis mutandis, les nombre moyens de passage en B et en C entre les instants 0 et n sont :
INCORPORER Equation.3
3°) a) Une jolie question. On va utiliser la formule des probabilités totales, mais avec quelque soin car la probabilité de base est une probabilité conditionnelle :
INCORPORER Equation.3
L'événement Bn+1 est la réunion disjointe des événements (An ( Bn+1) , (Bn ( Bn+1) , (Cn ( Bn+1). Le deuxième est de probabilité (conditionnelle) nulle, et on a pour le premier :
INCORPORER Equation.3
Donc :
INCORPORER Equation.3
De même :
INCORPORER Equation.3
Finalement :
INCORPORER Equation.3
Pas si évident que ça...
b) TB (() = N* ,et pour tout k ( N* :
INCORPORER Equation.3
D'après la formule des probabilités composées généralisée :
INCORPORER Equation.3
Donc TB suit la loi géométrique de paramètre p, et E(TB) = 1/p.
c) Idem pour TC, car B et C jouent le même rôle par rapport à A.
INCORPORER Equation.3
