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Probabilités - Maths-et-tiques

p290 n°1 : Probabilité ou certitude ? p290 n°2 : Des statistiques aux probabilités. p300 et 301 act2 : Des statistiques aux probabilités. p300 act1 :Chance ou ...




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PROBABILITES

Activités conseillées Activité conseillée
p290 n°1 : Probabilité ou certitude ?
p290 n°2 : Des statistiques aux probabilitésp300 et 301 act2 : Des statistiques aux probabilités
p300 act1 :Chance ou stratégie ? ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014



Expérience aléatoire

1) Exemples :

- On lance une pièce de monnaie et on regarde la face supérieure.
- On lance un dé à six faces et on regarde le nombre de points inscrits sur la face du dessus.
- On fait tourner une roue marquée sur ses secteurs de couleurs différentes et on regarde le secteur marqué par la flèche.


Définitions :
Une expérience (lancé un dé par exemple) est aléatoire lorsqu’elle a plusieurs résultats ou issues (1 ou 3 par exemple) et que l’on ne peut pas prévoir, à priori, quel résultat se produira.
L’ensemble des issues d’une expérience s’appelle l’univers (1, 2, 3, 4, 5 ou 6).



2) Réalisons une expérience aléatoire :

Chaque élève lance 100 fois un dé à six faces et note les effectifs d’apparition de chaque face dans le tableau :

Faces123456TotalEffectifs201410221618100
On regroupe ensuite l’ensemble des résultats de la classe dans un même tableau puis on calcule les fréquences d’apparition de chaque face.

Faces123456TotalEffectifs4344564434594354732700Fréquences16,1%16,9%16,4%17%16,1%17,5%100
Les fréquences d’apparition sont très proches les unes des autres.
Théoriquement, il y a autant de chance d’obtenir un 1, un 2, … ou un 6.
En effectuant un nombre encore plus grand de lancers, les fréquences se rapprocheraient les unes des autres de façon encore plus évidente.

La suite de la leçon nous expliquera comment calculer les fréquences théoriques d’une expérience aléatoire.

Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir
p307 n°2, 3, 4, 6, 7*
p310 n°33*
p308 n°14*p307 n°5p316 n°2 à 5
p322 n°43, 44, 46p322 n°44 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014

TP : « Lancers de dés » et « Des billes… » sur la page :
 HYPERLINK "http://www.maths-et-tiques.fr/index.php/cours-et-activites/activites-et-exercices/niveau-seconde" http://www.maths-et-tiques.fr/index.php/cours-et-activites/activites-et-exercices/niveau-seconde



Probabilité d’un évènement

1) Arbre des possibles

Exemple :
Lorsqu’on fait tourner la roue, quatre issues sont possibles. On le schématise sur l’arbre des possibles :










Définition :
L’arbre des possibles permet de visualiser les issues d’une expérience aléatoire.


Probabilité

Définition :
Les fréquences obtenues d’un événement E se rapprochent d’une valeur théorique lorsque le nombre d’expérience augmente (Loi des grands nombres). Cette valeur s’appelle la probabilité de l’événement E.

Exemple :
2 secteurs sur 8 sont de couleur bleue. Lors d’une expérience aléatoire, il y a donc 2 chances sur 8 d’obtenir un secteur de couleur bleue.
On dit que la probabilité d’obtenir un secteur bleu est égale à  EMBED Equation.DSMT4 , soit  EMBED Equation.DSMT4 .
On inscrit sur l’arbre des possibles les probabilités des différentes issues.










Evènement

Exemple :
Soit l’évènement E « La roue s’arrête sur un secteur bleu ou rouge ».
On pourrait se demander qu’elle est la probabilité que cet évènement se réalise ?



E se réalise :  EMBED Equation.DSMT4  +  EMBED Equation.DSMT4  =  EMBED Equation.DSMT4 





On dit que la probabilité que l’évènement E se réalise est égale à  EMBED Equation.DSMT4  et on note :
P(E) =  EMBED Equation.DSMT4 .

Définitions :
Un évènement est constitué de plusieurs issues d’une même expérience aléatoire.
Les événements élémentaires sont les événements réduits à une unique issue de l’expérience.


Dans l’exemple, « La roue s’arrête sur un secteur bleu ou rouge » est un évènement.
« La roue s’arrête sur un secteur bleu » est un évènement élémentaire.


Méthode : Dénombrer pour calculer une probabilité

 Vidéo  HYPERLINK "https://youtu.be/5ZNYG3e2g_k" https://youtu.be/5ZNYG3e2g_k

On considère l’expérience aléatoire suivante :
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes.
Soit E l’évènement : « On tire un as ».
Quelle est la probabilité que l’évènement E se réalise ?


Il a 32 issues possibles car il existe 32 façon différentes de tirer une carte.
L’événement E possède 4 issues possibles : As de cœur, as de carreau, as de trèfle et as de pique.
La probabilité que l’événement E se réalise est donc égale à : P(E) =  EMBED Equation.3 .

Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir
p308 n°11, 13, 15
p307 n°8, 9, 10
p311 n°41
p308 n°19
p310 n°36
p305 n°1*
p311 n°39*
p312 n°46*p308 n°12
p316 n°7
p317 n°10
p316 n°6, 9, 8*
p322 n°48, 51
p324 n°61*
p322 n°52
p320 n°37p317 n°11 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014


Activité conseillée Activité conseillée
p291 n°3 : Avec ou sans remisep301 n°3 : Avec ou sans remise ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014


Méthode : Calculer une probabilité en utilisant un arbre des possibles


On considère l’expérience aléatoire suivante :
On lance un dé à six faces et on regarde le nombre de points inscrits sur la face du dessus.
Soit E l’évènement : « La face du dessus est un 1 ou un 6 ».
Quelle est la probabilité que l’évènement E se réalise ?


On construit l’arbre des possibles de l’expérience aléatoire :
Chaque issue à la même probabilité : il y a une chance sur six de sortir un 1, un 2, … ou un 6.
On dit qu’il y a équiprobabilité.







 EMBED Equation.DSMT4  +  EMBED Equation.DSMT4  =  EMBED Equation.DSMT4  =  EMBED Equation.DSMT4 







Ainsi P(E) =  EMBED Equation.DSMT4 
La probabilité que l’évènement E se réalise est de  EMBED Equation.DSMT4 .
Il y a donc une chance sur trois d’obtenir un 1 ou un 6 en lançant un dé.


Propriétés :
La probabilité P(E) d’un événement E est telle : 0 d" P(E) d" 1.
La somme des probabilités des événements élémentaires est égale à 1.
La probabilité d un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent.


Evènement contraire

Exemple :
On considère l expérience aléatoire suivante :
On lance un dé à six faces et on regarde le nombre de points inscrits sur la face du dessus.
Soit E l’évènement : « La face du dessus est un 1 ou un 6 ».
Alors l’évènement contraire de E est : « La face du dessus est un 2, un 3, un 4 ou un 5 ». Cet évènement est noté  EMBED Equation.DSMT4 .

Propriété :
La probabilité de l’événement contraire d’un événement E est : P( EMBED Equation.DSMT4 ) = 1 – P(E)



Exemple d’une expérience aléatoire à deux épreuves

Méthode : Calculer une probabilité d’une expérience à deux épreuves

 Vidéo  HYPERLINK "https://youtu.be/gFnCzFIjtqk" https://youtu.be/gFnCzFIjtqk

On lance deux fois de suite une pièce de monnaie. Il s’agit d’une expérience aléatoire à deux épreuves.
Soit E l’évènement : « On obtient au moins une fois la face PILE. »
Calculer P(E).


 (P ; P)  EMBED Equation.DSMT4 x EMBED Equation.DSMT4 =  EMBED Equation.DSMT4  (probabilité d’obtenir deux piles)


(P ; F)  EMBED Equation.DSMT4 x EMBED Equation.DSMT4 =  EMBED Equation.DSMT4  (probabilité d’obtenir pile puis face)

(F ; P)  EMBED Equation.DSMT4 x EMBED Equation.DSMT4 =  EMBED Equation.DSMT4  (probabilité d’obtenir face puis pile)


(F ; F)

Sur un même chemin, on multiplie les probabilités.
P(E) =  EMBED Equation.DSMT4  +  EMBED Equation.DSMT4  +  EMBED Equation.DSMT4  =  EMBED Equation.DSMT4 
La probabilité que l’évènement E se réalise est de  EMBED Equation.DSMT4 .
Il y a donc trois chances sur quatre d’obtenir au moins une fois la PILE lorsqu’on lance deux fois de suite une pièce de monnaie.


Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir
p308 n°21
p310 n°34, 35
p308 n°16, 17
p309 n°22
p310 n°38
p308 n°20*
p305 n°3*p309 n°23
p308 n°18p317 n°12, 14, 16, 17, 18
p318 n°19, 21, 22
p323 n°54p317 n°13 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014





TP conseillé s TP conseillés
TP Tice2 p301 : Simuler et comprendre la loi des grands nombres
TP Tice3 p302 : Sommes de plusieurs dés
TP Algo1 p303 : Lancers de désp310 TP2 : Simuler et comprendre la loi des grands nombres
p312 TP4 : Sommes de plusieurs dés
p310 TP1 : Lancers de dés ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014



Réunion et intersection de deux événements

Définitions

Exemple :
On considère l’expérience aléatoire suivante :
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes à jouer.
On considère les événements suivants :
A : « On tire un valet »
B : « On tire un cœur ou un carreau »

L’intersection des évènements A et B est l’évènement :
« On tire le valet de cœur ou le valet de carreau ». On note cet évènement A  EMBED Equation.DSMT4 B et on lit « A inter B »

La réunion des évènements A et B est l’évènement :
« On tire le valet de piques, le valet de trèfle, un cœur ou un carreau ». On note cet évènement A  EMBED Equation.DSMT4 B et on lit « A union B »

Définitions :
L'événement "A et B", noté A  EMBED Equation.DSMT4 B, est réalisé lorsque les deux événements A et B sont simultanément réalisés.
L'événement "A ou B", noté A  EMBED Equation.DSMT4 B, est réalisé lorsqu'au moins l'un des deux événements est réalisé.












Probabilité d'une réunion

Théorème :
Si A et B sont deux événements d'une expérience aléatoire, alors :
 EMBED Equation.DSMT4 


Méthode : Calcul de probabilité en utilisant la formule de probabilité d’une réunion

 Vidéo  HYPERLINK "https://youtu.be/y4P_BP-ldxk" https://youtu.be/y4P_BP-ldxk

On considère l’expérience aléatoire suivante :
On lance un dé à six faces et on regarde le nombre de points inscrits sur la face du dessus.
On considère les événements suivants :
A : « On obtient un nombre impair »
B : « On obtient un multiple de 3 »
Calculer la probabilité de l’évènement EMBED Equation.DSMT4 .


 EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 
A EMBED Equation.DSMT4 B est l'événement élémentaire : « On obtient un 3 », donc :  EMBED Equation.DSMT4 
L'événement A EMBED Equation.DSMT4 B a donc pour probabilité :

 EMBED Equation.DSMT4 .


Evénements incompatibles

Définition :
On dit que deux événements A et B sont incompatibles si A  EMBED Equation.DSMT4 B =  EMBED Equation.DSMT4 .

Propriété :
Si deux événements A et B sont incompatibles alors  EMBED Equation.DSMT4 .

Exemple :
On considère l’expérience aléatoire suivante :
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes à jouer.
On considère les événements suivants :
A : « On tire un valet »
B : « On tire un roi »
Les deux évènements A et B sont incompatibles, en effet A  EMBED Equation.DSMT4 B =  EMBED Equation.DSMT4 .
On en déduit que la probabilité de l’évènement « Tirer un valet ou un roi » est égale à :
 EMBED Equation.DSMT4 

Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir
p309 n°24, 28, 25, 26, 29
p309 n°30, 31*
p312 n°44* p310 n°37
(avec justif)
p318 n°25, 26
p319 n°28, 29, 30
p320 n°40, 41
p323 n°55, 58*
p324 n°63*p319 n°27 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014


Calculer une probabilité à l’aide d’un tableau :

 Vidéo  HYPERLINK "https://youtu.be/aVXgUHx6ICA" https://youtu.be/aVXgUHx6ICA











 PAGE 9 sur  NUMPAGES 9

Yvan Monka – Académie de Strasbourg –  HYPERLINK "http://www.maths-et-tiques.fr" www.maths-et-tiques.fr


bleu

rouge

jaune

vert

 EMBED Equation.DSMT4 

 EMBED Equation.DSMT4 

 EMBED Equation.DSMT4 

 EMBED Equation.DSMT4 

bleu

rouge

jaune

vert

 EMBED Equation.DSMT4 

 EMBED Equation.DSMT4 

 EMBED Equation.DSMT4 

 EMBED Equation.DSMT4 

bleu

rouge

jaune

vert

2

3

4

5

6

1

 EMBED Equation.DSMT4 

 EMBED Equation.DSMT4 

 EMBED Equation.DSMT4 

 EMBED Equation.DSMT4 

 EMBED Equation.DSMT4 

 EMBED Equation.DSMT4 

F

P

F

P

F

P

 EMBED Equation.DSMT4 

 EMBED Equation.DSMT4 

 EMBED Equation.DSMT4 

 EMBED Equation.DSMT4 

 EMBED Equation.DSMT4 

 EMBED Equation.DSMT4 

A EMBED Equation.DSMT4 B  EMBED Equation.DSMT4 B

A

B

A EMBED Equation.DSMT4 B

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