Exercice
GALICHET François. GUILLEUX Damien. REDACTION D'EXERCICES. DE
MECANIQUE. DES FLUIDES. ECOULEMENTS POTENTIELS
BIDIMENSIONNELS.
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u(). ei( avec ur = EMBED Equation.3
u( = 0
3 le débit q = EMBED Equation.3
q = EMBED Equation.3
Donc q = 2.(.c
Doù EMBED Equation.3
ECOULEMENTS TURBULENTS
Une galerie de section circulaire dont la longueur est 4 km est destinée à amener en charge un débit de 50 m3/s deau à une centrale hydroélectrique. Brute de perforation, elle présente un diamètre moyen égal à 5 mètres et des aspérités dont les dimensions moyennes sont de 0,6 m. On envisage de la revêtir de béton, dont la mise en place coûte 450 FHT/m3, ce qui ramènerait son diamètre à 4,80 m, mais en éliminant les aspérités, lui assurerait un coefficient de perte de charge ( égal à 0,02.
Sachant que lon ne veut pas consacrer à cette opération plus de dix fois léconomie annuelle dénergie ainsi réalisée et calculée sur la base de 0,53 FHT le kWh et dune durée annuelle de fonctionnement égale à 6 000 heures, déterminer sil y a lieu de bétonner.
1/ Galerie non bétonnée
La puissance utile Pu = (P * Qv , (P étant les pertes de charges
Qv le débit
Le nombre de Reynolds Re = EMBED Equation.3 = 1,06.107
La permittivité relative (r = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = 0,1 ( on obtient ( = 0,1 à laide du diagramme de Moody
Avec Colebrook simplifié : EMBED Equation.3
( = 0,101
On en déduit
(Pnon bétonné = (. EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3
(Pnon bétonné = 0,101 . EMBED Equation.3 .103. EMBED Equation.3
(Pnon bétonné = 1,05.105 Pa
On peut alors calculer
Punon bétonné = (P.Qv
Punon bétonné = 1,05.103 * 50
Punon bétonné = 5,2.103 kW
Pour une galerie non bétonnée, la puissance à fournir est 5200 kW
2/ Galerie bétonnée (lisse).
Les pertes de charges (P = (. EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3
(P = 0,02. EMBED Equation.3
(P = 6,36.105 Pa
Pubétonnée = (P * Qv = 6,36.105 * 50
Pubétonnée = 3181 kW
(Pu = Punon bétonnée - Pubétonnée
(Pu = 5200 3200
La puissance (Pu économisée en bétonnant la galerie est de 2000 kW.
Calculons lénergie que représente cette puissance économisée.
W = (Pu. (t
W = 2000 . 6000
W = 12.106 kWh
Le prix de cette énergie P = 12.106 * 0,53
P = 6,36.106 FHT
Sur 10 ans, léconomie est 6,36.107 FHT
Or le prix du béton utilisé pour coffrer la galerie est Pbéton = Vbéton . Prix du béton/m3
Soit Pbéton = 1,8.107 FHT
Ce qui représente une économie de 45,6 millions de francs hors taxes. Ainsi le choix est indiscutable : il faut bétonner la galerie.
ANALYSE DIMENSIONNELLE : application du théorème de Vaschy-Buschingham
Un nombre sans dimension est un rapport entre deux grandeurs ou groupements de grandeurs ayant la même dimension. Le théorème de Vaschy-Buschingham permet de connaître la dimension dune grandeur u en fonction de n grandeurs indépendantes.
1 Le déversoir
Un bac est alimenté en eau à laide dune pompe et sur un coté, une ouverture est réalisée. La forme de cette ouverture est modifiable : elle peut être rectangulaire ou triangulaire.
Exercice 1 : ouverture à forme rectangulaire.
SHAPE \* MERGEFORMAT
Déterminer la dimension du débit surfacique qv = EMBED Equation.3 en fonction des grandeurs mesurables suivantes : la hauteur H, la largeur L et la pesanteur g.
1/ Le débit qv est fonction de 3 grandeurs mesurables qui nécessitent 3 unités fondamentales : L1 = la longueur L, L2 = la masse M et L3 = le temps T.
2/ Dressons le tableau suivant regroupant les dimensions des différentes grandeurs :
SHAPE \* MERGEFORMAT
3/ Posons la matrice B = EMBED Equation.3
4/ Daprès le théorème de Vaschy-Buchingham, le nombre de grandeurs adimensionnelles est :
k = n rang(B)
k = 3 3
k = 0
Ce résultat permet de conclure quil ny a pas de (1 donc (1 = 0.
5 / Déterminons les composantes de y afin de trouver lexpression de (.
On sait que B. y = - a avec y = y1
y2
y3
y4
On obtient le système déquations suivant :
y1 + y2 - 3.y3 = -2
y3 = 0
-2 y2 = 1
y1 = -3/2
y2 = -1/2
y3 = 0
6/ Déterminons la valeur de (
( = u.w1y1.w2y2.w3y3
( = qv.H-3/2.g-1/2.(0
Or qv = EMBED Equation.3
Soit Qv = ( ((1 = 1).L.H3/2.g1/2
Donc
Qv = K.L.H3/2.g1/2 avec K une constante
Application :
De nombreux barrages sont constitués de trappes rectangulaires actionnées à laide de vérins. En connaissant la largeur du barrage et la hauteur du niveau deau du barrage suivie à laide dun capteur, il est possible de déterminer le débit deau souhaité se déversant dans la rivière.
EMBED MSPhotoEd.3
Exercice 2 : ouverture à forme triangulaire.
SHAPE \* MERGEFORMAT
Déterminer la dimension du débit surfacique qv = EMBED Equation.3 en fonction des grandeurs mesurables suivantes : la hauteur H, langle douverture ( et la pesanteur g.
1/ Le débit qv est fonction de 3 grandeurs mesurables qui nécessitent 3 unités fondamentales : L1 = la longueur L, L2 = la masse M et L3 = le temps T.
2/ Dressons le tableau suivant regroupant les dimensions des différentes grandeurs :
SHAPE \* MERGEFORMAT
3/ Posons la matrice B = EMBED Equation.3
4/ Daprès le théorème de Vaschy-Buchingham, le nombre de grandeurs adimensionnelles est :
k = n rang(B)
k = 3 2
k = 1
Ce résultat permet de conclure quil y a un ( et un (i sachant que (1 = w1x1.w2x2.w3x3.
Et B. x = 0
En calculant B. x = 0, on obtient x x1 = 0
x2 = 0
x3
Doù (1 = H0.g0. (x3
(1 = (x3
5 / Déterminons les composantes de y afin de trouver lexpression de (.
On sait que B. y = - a avec y = y1
y2
y3
y4
Doù y1 = -5/2
y2 = -1/2
y3 ( (
6/ Déterminons la valeur de (
( = u.w1y1.w2y2.w3y3
( = Qv.H-5/2.g-1/2.(y3 = f((1) = f((1=(y3)
Donc Qv = H5/2.g1/2. (y3.f(()
Doù
Qv = H5/2.g1/2.h(()
Application :
Si ( et g sont constants alors Qv = f(H)
Qv = K.H5/2
On peut donc déduire uniquement à partir de H la valeur du débit Qv.
SIMILITUDE DES ECOULEMENTS.
Exercice 1 :
Un bloque de béton de masse M1 = 100 kg, immergé dans leau, est entraîné par glissement au fond dune rivière dès que leau atteint une vitesse de 3 m/s.
Quelle doit être la vitesse de leau pour faire glisser un bloque semblable de masse M2 = 150 kg ?
SHAPE \* MERGEFORMAT
Hypothèses :
La masse M2 = 150 kg
La densité d2 = 3,5
Le coefficient de frottement f1 = f2
Le coefficient de traînée Cx1 = Cx2
La force de frottement Ff = P.f
Par définition, la traînée Fx = EMBED Equation.3
Le bloque de béton se déplacera lorsque la traînée et la poussée dArchimède compenseront les forces de frottement.
Doù
EMBED Equation.3
avec Fx1 = EMBED Equation.3
Fx2 = EMBED Equation.3
F1 = f1.(P - () avec
F2 = f2.(P - ()
Or (1 = (2 = (air
Cx1 = Cx2
Soit EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3
On a EMBED Equation.3
Et EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Le rapport EMBED Equation.3
De plus EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
v2 = 3,92 m/s
La vitesse de leau devra être supérieure ou égale à 3,92 m/s pour pouvoir entraîner par glissement au fond de la rivière le bloque de béton de masse M2 = 150 kg.
Exercice 2 : la digue
Une digue constituée par un empilement de blocs de béton de masse unitaire EMBED Equation.3 est soumise à la houle. La digue ne subit pas de dommages tant que la hauteur EMBED Equation.3 ne dépasse pas 0,30 m.
Quelle devra être la masse minimale EMBED Equation.3 des blocs de béton pour que la digue résiste à une houle de hauteur EMBED Equation.3 ?
Résolution :
La jetée commence à se détériorer lorsque le poids apparent P des blocs nest plus suffisant pour sopposer aux efforts hydrodynamiques F dus à la houle. On peut donc écrire :
EMBED Equation.3
Ces efforts sont proportionnels à la surface apparente des blocs et au carré de la vitesse de leau sur les blocs. On a donc :
EMBED Equation.3
Les poids apparents des blocs de même densité étant entre eux égaux aux cubes de leurs dimensions linéaires, doù :
EMBED Equation.3
On obtient ainsi : EMBED Equation.3
La similitude de la houle dans les deux cas nous permet décrire légalité des nombres de Froude, soit :
EMBED Equation.3
On obtient ainsi : EMBED Equation.3
Doù : EMBED Equation.3
On a donc un rapport des masses des blocs de béton de : EMBED Equation.3
soit : EMBED Equation.3 avec : EMBED Equation.3 doù : EMBED Equation.3
Exercice 3 : lhydravion
Une maquette dhydravion est réalisée à léchelle EMBED Equation.3 . Elle décolle à la vitesse EMBED Equation.3 . En négligeant linfluence de la variation du nombre de Reynolds sur le coefficient de portance EMBED Equation.3 , calculer la vitesse EMBED Equation.3 du prototype taille réelle.
Résolution :
Le décollage se produit lorsque la portance est égale au poids de lappareil, doù :
EMBED Equation.3
Comme dans les mêmes conditions, le coefficient EMBED Equation.3 ne varie pas et la masse volumique EMBED Equation.3 de lair reste constante, on a :
EMBED Equation.3
Le poids de lhydravion est proportionnel à sa masse volumique et au cube de ses dimensions linéaires, doù :
EMBED Equation.3
En considérant que la maquette et le prototype sont construits dans le même matériau, on peut écrire :
EMBED Equation.3
De la même façon les surfaces alaires sont proportionnelles au carrée des dimensions linéaires, doù :
EMBED Equation.3
On a donc : EMBED Equation.3
Doù : EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 doù : EMBED Equation.3
On trouve ainsi : EMBED Equation.3
Exercice 4 : le château deau
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Quel est le moment EMBED Equation.3 exercé sur le château deau par lécoulement dair ?
Résolution algébrique :
Nous cherchons le moment exercé sur le château deau, exprimé par la formule suivante :
EMBED Equation.3
Nous connaissons H et EMBED Equation.3 . Il nous faut donc calculer Fs et Fc. Pour cela, on utilise les formules suivantes :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Dans ces deux équations, nous connaissons tous les termes à lexception de EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3
Il nous font Re :
EMBED Equation.3
Nous avons ainsi en notre possession tous les éléments nécessaires au calcul du moment exercé sur le château deau par lécoulement dair.
Application numérique :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
On a donc : EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
w1 Hw2
gw3 (a
qvL1 L11-32L2 M0010L3 T0-20-1
w1 Hw2
gw3 (a
QvL1 L1103L2 M0000L3 T0-20-1
y
u
u(
ur
r
x
v( = 3 m/s
Fx1 = ½.(.u(2.S1.Cx1
M1 = 100 kg
Ffrottement
H
L
H
(
H
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 H
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
O
