Chapitre 1 :
Tracer les gabarits des filtres b) c) et d). et les gains. La fréquence de coupure est
la fréquence en deçà ou au-delà de laquelle le signal de sortie est considéré ...
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l la transmittance T=1 sur tout le domaine de fréquence que lon souhaite transmettre et zéro en dehors.
a) Passe-bas b) Passe-haut c) Passe-bande d) Réjecteur
Tracer les gabarits des filtres b) c) et d). et les gains.
La fréquence de coupure est la fréquence en deçà ou au-delà de laquelle le signal de sortie est considéré comme inexistant.
La bande passante est lintervalle de fréquences pour lesquelles le signal dentrée est transmis en sortie dans des proportions acceptables.
La fréquence centrale définie pour un passe-bande et un coupe-bande est la fréquence qui se trouve au milieu de la bande passante (en échelle logarithmique).
2/ Filtres réels : La fréquence de coupure est obtenue à T=Tmax(1/ EQ \r(2) ce qui correspond à Gmax3dB
La bande passante à (3dB est l'intervalle de fréquences pour lesquelles le transfert en puissance est supérieur à 50%. (10logTp/2=10logTp(3dB)
Lordre dun filtre est donné par la pente hors bande-passante du gain en dB/décade : (20dB/déc correspond à lordre 1, 40dB/déc ordre 2, passe-bande avec 20dB/déc dun côté et (20dB/déc de lautre est dordre 2.
exemple : filtre CR identifier la fréquence de coupure et donner la bande passante, quels sont la nature et lordre du filtre ?
3/ Facteur de qualité Q0: il caractérise la sélectivité du filtre passe-bande Q0 = f0/(f
III- Exemples usuels Filtres
1/ Passe-bas du premier ordre
a) Passif (constitués de dipôles R, L, C , ne nécessite pas dalimentation supplémentaire et ne présente que rarement une saturation)
Exemple du circuit RC : montage hacheur et déclenchement voyant au dessus dune certaine vitesse
voir TP
Déterminer la transmittance complexe, en déduire le module puis le comportement aux limites.
Retrouver ce comportement aux limites avec les schémas équivalents. En déduire que le filtre est un passe-bas.
Déterminer la valeur maximale de la transmittance, en déduire la valeur maximale du gain.
Déteminer la fréquence de coupure.
Mettre la transmittance sous forme canonique T=1/(1+j(/(c)
b) Actif (incluant, en plus, des transistors ou des ADI, permettent une adaptation dimpédance et une amplification)
Déterminer le comportement par les schémas équivalents puis par la transmittance et son module.
Mettre sous forme canonique et déterminer la fréquence de coupure.
T=T0/(1+j(/(0) Gmax=20
T0=R2/R1 ; (0=1/R2C ; Limpédance de sortie est nulle
2/ Passe-haut du premier ordre
a) Passif
filtre CR
montage (voir TP) : on réalise le montage avec 10k et 10nF (1600Hz), sortie sur suiveur+HP, on constate quà 500Hz le son est amorti (un fil court-circuitant le condensateur permet de comparer avec ou sans), 5000Hz le son nest pas modifié
Mettre sous forme canonique et vérifier que (c=1/RC.
b) actif
T= (Tmax/(1+(c/j()
Tmax=R2/R1 ; (c=1/R1C
3/ Filtre passe-bas passif du second ordre
Déterminer la transmittance complexe, vérifier le comportement aux limites avec schéma puis module de transmittance.
T= EQ \s\do2(\f(1;1+2mj EQ \s\do2(\f((;(0))+j( EQ \s\do2(\f((;(0)))²))
Exemple : m= EQ \s\do2(\f(R;2 EQ \r(C/L))) et (0= EQ \s\do2(\f(1; EQ \r(LC)))
4/ Passe-bande actif du deuxième ordre (un passe-bande est au moins du deuxième ordre)
T= EQ \s\do2(\f(T0;1+jQ0( EQ \s\do2(\f((;(0)) EQ \s\do2(\f((0;())))) (0=1/ EQ \r(LC) ; Q0=R2C(0 ; T0= R2/R1
Q0 est le facteur de qualité , |T0| est la transmittance maximale et f0 est la fréquence centrale.
exemple : courant porteur sur réseau reconstitué (voir TP thème 2009 en physique)
condensateurs les plus grands possibles non polarisés et supportant 35V avec le réseau 24alt.
filtre passe-bande sur fréquence superposée : si cest la fréquence voulue , lamplitude est supérieure à un niveau alors NL1 sinon NL0 : possibilité dallumer un voyant à distance ou faire tourner un moteur
TP Filtre ADSL
1/ Identifier rapidement la nature du filtre
On met une tension sinusoïdale en entrée (signal le plus simple nayant quune fréquence).
On effectue un balayage de fréquences de 10Hz à 60kHz (10Vpp)
On mesure de Us (évolution en fonction de la fréquence).
En basses fréquences, la tension de sortie est stable, elle diminue lorsque la fréquence augmente.
Ce filtre est donc un passe-bas passif.
2/ Détermination de la fréquence de coupure
Le balayage donne Useffmax (valeur la plus grande possible efficace mesurée par le voltmètre)
à f=fc, Us=Useffmax/ EQ \r(2) car T=Us/Ue et on suppose Ue constant (pas tout à fait vrai)
On mesure fc=12kHz environ.
Conclusion : le filtre supprime les fréquences ADSL audibles (entre 12kHz et 20kHz) à destination du téléphone.
3/ Courbe de gain et ordre du filtre
G=20log(Us/Ue)
f (Hz)Ue(V) AC(+DC)Us(V) AC(+DC)T=Us/UeG (dB)=20logT102,662,420,909774-0,8213254131003,342,980,892216-0,99060405520002,362,621,1101690,90778576750003,242,880,888889-1,023050449100003,262,80,858896-1,321191375105003,282,640,804878-1,885398337110003,32,420,733333-2,693971478114003,342,280,682635-3,316232396116003,322,220,668675-3,495702185120003,382,060,609467-4,300989598124003,41,950,573529-4,828886114128003,381,820,538462-5,376906246135003,41,640,482353-6,33270138150003,461,310,378613-8,436096063250003,540,410,115819-18,724388111E+053,70,0460,012432-38,10887785
EMBED Excel.Chart.8 \s
ce filtre est passif du 2è ordre ((40dB/déc)
TP Filtre CR
1/ Présentation
schéma
nature du filtre
confirmer avec une correspondance des schémas équivalents aux limites
2/ Fréquence de coupure
à f=fc : Ps=1/2 Pe donc Us=1/ EQ \r(2) Useffmax (P=U²/Z)
mesures au voltmètre en AC
3/ Etude complète
Rappel sur la qualité des mesures
Mesures (exemple : valeur efficace)
Curseurs de temps (exemple : mesure de ( avec le delta de loscilloscope)
gain et déphasage
On effectue un balayage de fréquences avec des sinusoïdes.f (Hz)Ue (V)Us (V)T=Us/UeG=20*log(T) (dB)tð ð(s):Deltajð=ð3ð6ð0ð*tð*f ð(°)103,540,020,006283-44,036574082,49E-0289,641003,540,220,062708-24,053514142,40E-0386,405003,541,060,299717-10,465778154,03E-0472,5610003,541,880,532018-5,4814727491,61E-0457,8616003,542,510,708977-2,9873623427,79E-0544,8520003,542,770,782479-2,130546345,35E-0538,5150003,543,370,952891-0,4191399299,81E-0617,66100003,543,490,98757-0,1086378992,51E-069,041000003,543,540,999873-0,0010999412,53E-080,91Remarque: si us est avant ue alors le déphasage est positif sinon il est négatif. EMBED Excel.Chart.8 \s
EMBED Excel.Chart.8 \s
4/ Etude théorique
confirmer les résultats par une étude théorique avec transmittance et fréquence de coupure
(vu en cours)
5/ Conclusion
Ce filtre CR atténue les fréquences en dessous de 1600Hz : avec lexemple du son, une partie des médiums et la totalité des basses sont atténuées, les autres fréquences sont conservées à lidentique.
Ce filtre est un filtre du premier ordre (on gagne 20dB entre 10 et 100Hz ainsi quentre 100 et 1000Hz).
TP filtre de Wien
Etude du filtre: nature, fréquence(s) de coupure, courbes de gain (et déphasage), bande passante, si elle existe la fréquence centrale et facteur de qualité, calculs théoriques de la transmittance et de(s) fréquence(s) de coupure, vérification de la nature par les schémas équivalents
Manipulations :
- la nature est obtenue très rapidement avec le « range +» du GBF, on augmentant de décade en décade, on constate que Us (voltmètre en mode AC) augmente puis diminue donc cest un passe-bande.
- on détermine la fréquence centrale pour laquelle la valeur efficace Us est la plus grande (notée Useffmax), on multiplie cette tension par 1/ EQ \r(2). On règle alors la fréquence afin dobtenir cette nouvelle valeur de Us : la fréquence obtenue est une des deux fréquences de coupure (trouver lautre en continuant le balayage).
f(Hz)Ue(t)Us(t)to(s)signe fiTG (dB)fi (°)103,30,032,40E-021,00E+000,00909091-40,82785378,64E+011003,40,22,00E-031,00E+000,05882353-24,60897847,20E+014003,40,73,50E-041,00E+000,20588235-13,72761755,04E+015003,40,8052,30E-041,00E+000,23676471-12,51366074,14E+0110003,41,0725,00E-051,00E+000,31529412-10,02568261,80E+0114003,41,1211,00E-051,00E+000,32970588-9,637466095,04E+0016003,41,1250,00E+001,00E+000,33088235-9,606527890,00E+0025003,41,0821,90E-05-1,00E+000,31823529-9,94503313-1,71E+0140003,40,9272,30E-05-1,00E+000,27264706-11,2879837-3,31E+0150003,40,8212,30E-05-1,00E+000,24147059-12,3427152-4,14E+01100003,40,51,70E-05-1,00E+000,14705882-16,6501783-6,12E+011000003,60,0242,40E-06-1,00E+000,00666667-43,5218252-8,64E+01
EMBED Excel.Chart.8 \s
EMBED Excel.Chart.8 \s
TP filtre actif RC
TP filtre actif RLC
f(Hz)Ve(V)Vs(V)TGDeltaPhi101,0890,1730,15886134-15,9796355-4,40E-02-1,58E+021001,1140,2030,18222621-14,7877831-4,50E-03-1,62E+0210001,1151,0710,96053812-0,34970793-3,10E-04-1,12E+0233181,1156,7936,0923766815,6957349-1,24E-04-1,48E+0241451,1159,6088,6170403618,70716251,20E-041,79E+0251801,1156,7816,0816143515,68037757,40E-051,38E+02100001,1162,0631,848566315,336700672,50E-059,00E+011000001,1160,1280,11469534-18,80908452,30E-068,28E+01 EMBED Excel.Chart.8 \s
EMBED Excel.Chart.8 \s TP Filtre RC, mesure de la vitesse dun moteur
1/ Réglage de la vitesse dun moteur à courant continu
La tension est « hachée » grâce à linterrupteur électronique (transistor).
La vitesse du moteur est proportionnelle à la tension moyenne du créneau qui commande linterrupteur.
Cette tension moyenne dépend du rapport cyclique.
2/ Extraction de la valeur moyenne
La tension dentrée est le créneau qui est filtré.
Ce filtre passe-bas permet de conserver la valeur moyenne : voir les spectres ci-dessous.
spectre de ue
spectre de us avec un rapport cyclique (duty) de 80%
spectre de us avec un rapport cyclique (duty) de 20%
spectre de us avec un rapport cyclique (duty) de 80% mais avec une fréquence de coupure plus basse (on augmente le valeur de la résistance)
Exercices sur le filtrage
Exercice 1
1/ Etablir lexpression de la transmittance T=Vs/Ve en fonction de R, L et (.
Montrer que T peut se mettre sous la forme T= EQ \s\do2(\f(1;1+j EQ \s\do2(\f((;(0)))) ; Exprimer (0 en fonction de R et L.
2/ Quel type de filtrage est réalisé par ce quadripôle ?
3/ AN : L=25mH ; R=10k(. Calculer la fréquence de coupure fc.
Exercice 2
1/ Exprimer la transmittance T.
2/ En déduire le module T.
3/ Quelle est la nature du filtre ?
4/ Quelle est la fréquence centrale du filtre ?
5/ Comment déterminer les fréquences de coupure du filtre ?
Exercice 3
Le filtre ci-dessous est appelé filtre de Wien.
1/ Etablir lexpression de sa transmittance en fonction de R, C et (.
2/ Mettre T sous la forme : T= EQ \s\do2(\f(T0;1+jQ0( EQ \s\do2(\f((;(0)) EQ \s\do2(\f((0;())))). Préciser les valeurs de T0 et Q0 et exprimer (0 en fonction de R et C.
AN : R=8k( ; C=10nF. Ecrire lexpression du module T en fonction de la fréquence f.
3/ Tracer T(f) de 0 à 10kHz avec une échelle linéaire. Quelle est la nature de ce filtre ?
EMBED Word.Document.8 \s
Préciser les fréquences de coupure et la bande passante.
Exercice 4 : extrait de sujet de bac
1.a Exprimer la transmittance complexe A = U5 /U4 en régime harmonique de pulsation ( sous la forme : EMBED Equation.2
1.b En déduire que : EMBED Equation.2
Donner les expressions de A0 et de f0 .Montrer que Q0 peut sécrire Q0 = R9C2(0
1.c Que représentent f0 , A0 et Q0 ?
1.d On veut obtenir une fréquence f0 =2 kHz ,calculer L ,A0 et Q0 sachant que :
R8 = R9 = 100 k( et C2 = 47 nF.
2 Déterminer les limites du module de A pour f = 0 et f ( ( .En déduire la nature du filtre .
3 .Calculer la largeur de la bande passante à -3dB et les fréquences de coupure .
4 Représenter lallure du module de la transmittance A en fonction de la fréquence .
5 La tension u4 obtenue en présence de fumée, qui est appliquée à lentrée du filtre sélectif, est une tension rectangulaire comprise entre 0 et EQ \o(\s\up9( EMBED Word.Picture.8 );U)=5 V et de fréquence f0 Elle peut être considérée comme la somme de sa valeur moyenne et de tensions sinusoïdales de fréquences f0 ,3f0 ,5f0 ....
u4 = u4moy + EMBED Equation.2 sin (2( f0 t )+ EMBED Equation.2 sin (2(.3f0 t ) + ......
5.a En justifiant votre réponse , déterminer la tension u5 .
5.b Dessiner lallure de la tension u5 en fonction du temps t.
Exercice 5 : extrait du sujet de bac de septembre 2002
questions complémentaires sur lexercice 2 :
6/ Vérification pratique
R=10k(, C=10nF, L=150mH
f0=4,2kHz au lieu de 4,1kHz
fcb=1,4kHz
fch=13kHz au lieu de 12kHz
7/ Comment obtenir une sinusoïde à partir dun signal « numérique » (créneau) ?
a) Action du filtre sur un créneau
Visualiser à 1,4kHz lentrée et la sortie et les spectres correspondants.
Comparer ces spectres.
à 1,4kHz, 2,8kHz, 4,2kHz, 15,4kHz
Les fréquences proches de la fréquence centrale sont conservées mais le filtre est peu sélectif.
b) Faire coïncider la fréquence du signal avec la fréquence centrale
La courbe se rapproche dune sinusoïde
Correction exercices Filtrage
Exercice 1
1/ Etablir lexpression de la transmittance T=Vs/Ve en fonction de R, L et (.
Daprès le diviseur de tension : Vs= EQ \s\do2(\f(R;R+ZL)) Ve
( T= EQ \s\do2(\f(Vs;Ve)) = EQ \s\do2(\f(1;1+ZL/R)) (on passe Ve de lautre côté et on divise le numérateur et le dénominateur par R)
( T= EQ \s\do2(\f(1;1+jL(/R))
Montrer que T peut se mettre sous la forme T= EQ \s\do2(\f(1;1+j EQ \s\do2(\f((;(0))))
Exprimer (0 en fonction de R et L.
T= EQ \s\do2(\f(1;1+j EQ \s\do2(\f(L(;R)))) = EQ \s\do2(\f(1;1+j EQ \s\do2(\f((;(0))))
Ces deux expressions sont totalement identiques si EQ \s\do2(\f(L(;R))= EQ \s\do2(\f((;(0)) ( (0= EQ \s\do2(\f(R;L))
2/ Quel type de filtrage est réalisé par ce quadripôle ?
T= EQ \s\do2(\f(1; EQ \r(1+( EQ \s\do2(\f((;(0)))²)))
( ( 0 ( T ( 1
(le dénominateur tend vers EQ \r(1)=1)
( ( ( ( T ( 0
(le dénominateur tend ()
Ce filtre laisse donc passer uniquement les basses fréquences : il sagit dun passe-bas.
3/ AN : L=25mH ; R=10k(. Calculer la fréquence de coupure fc.
A la fréquence de coupure : T=Tmax/ EQ \r(2) or, ici Tmax=1 daprès lexpression de T (la valeur la plus petite du dénominateur de T est 1 donc la valeur la plus grande possible de T est 1/1=1)
T= EQ \s\do2(\f(1; EQ \r(1+( EQ \s\do2(\f((;(0)))²))) = EQ \s\do2(\f(Tmax; EQ \r(2))) ( EQ \s\do2(\f(1; EQ \r(1+( EQ \s\do2(\f((;(0)))²))) = EQ \s\do2(\f(1; EQ \r(2))) ( 1+( EQ \s\do2(\f((;(0)))²=2 par identification ( ( = (0 ceci est donc la pulsation de coupure.
Fréquence de coupure : fc= EQ \s\do2(\f((0;2()) = EQ \s\do2(\f(R;2(L))=63,7kHz
Exercice 2
1/ Exprimer la transmittance T.
Z= jL(+ EQ \s\do2(\f(1;jC()) = jL(j EQ \s\do2(\f(1;C()) = j(L( EQ \s\do2(\f(1;C()))
Diviseur de tension : T= EQ \s\do2(\f(R;R+Z))= EQ \s\do2(\f(1;1+Z/R))= EQ \s\do2(\f(1;1+Z(1/R))= EQ \s\do2(\f(1;1+j EQ \s\do2(\f(1;R))((L( EQ \s\do2(\f(1;C()))))
2/ En déduire le module T.
T=|T|= EQ \s\do2(\f(|1|;|1+j EQ \s\do2(\f(1;R))((L( EQ \s\do2(\f(1;C()))|)) = EQ \s\do2(\f(1; EQ \r(1²+[ EQ \s\do2(\f(1;R))((L( EQ \s\do2(\f(1;C()))]²))) = EQ \s\do2(\f(1; EQ \r(1+[ EQ \s\do2(\f(1;R))((L( EQ \s\do2(\f(1;C()))]²)))
3/ Quelle est la nature du filtre ?
On très basse fréquence la bobine se comporte comme un fil et le condensateur comme un circuit ouvert.
Et inversement en très haute fréquence.
Donc dans les deux cas, on obtient le circuit équivalent ci-contre
Le circuit étant ouvert, il ny a pas dintensité dans la résistance donc, daprès la loi dOhm, Us=0.
Conclusion : comme T=0 en très basse et en très haute fréquence, ce filtre est un passe-bande.
Une de T aux limites donne le même résultat.
4/ Quelle est la fréquence centrale du filtre ?
La fréquence centrale dun passe-bande est la fréquence pour laquelle la transmittance est maximale : T=Tmax.
Ici, pour que T soit maximale, il faut que le dénominateur soit minimal donc que le carré sous la racine soit nul :
L(0 EQ \s\do2(\f(1;C(0))=0 ( L(0= EQ \s\do2(\f(1;C(0)) ( LC(0²=1 ( (0=1/ EQ \r(LC) ( f0= EQ \s\do2(\f(1;2( EQ \r(LC)))
5/ Comment déterminer les fréquences de coupure du filtre ?
Aux fréquences de coupure T= EQ \s\do2(\f(Tmax; EQ \r(2))) , or ici Tmax=1 ( EQ \s\do2(\f(1; EQ \r(1+[ EQ \s\do2(\f(1;R))((L( EQ \s\do2(\f(1;C()))]²))) = EQ \s\do2(\f(1; EQ \r(2)))
( | EQ \s\do2(\f(1;R))(L( EQ \s\do2(\f(1;C())) |=1 ( | L( EQ \s\do2(\f(1;C()) | =R ( (on divise par L et on multiplie par () (² EQ \s\do2(\f(1;LC)) = EQ \s\do2(\f(R;L))(
( (² ( EQ \s\do2(\f(R;L))( EQ \s\do2(\f(1;LC)) = 0 ( 2 solutions positives (cb et (ch
Exercice 3
Le filtre ci-dessous est appelé filtre de Wien.
1/ Etablir lexpression de sa transmittance en fonction de R, C et (.
Z1= R+ EQ \s\do2(\f(1;jC()) et Y2= EQ \s\do2(\f(1;R))+ jC( Diviseur de tension : Us= EQ \s\do2(\f(Z2; Z2+Z1)) Ue ( T= EQ \s\do2(\f(1;1+ EQ \s\do2(\f(Z1;Z2))))= EQ \s\do2(\f(1;1+Z1Y2))
( T= EQ \s\do2(\f(1;1+(R+ EQ \s\do2(\f(1;jC()))( EQ \s\do2(\f(1;R))+jC()))
2/ Mettre T sous la forme : T= EQ \s\do2(\f(T0;1+jQ0( EQ \s\do2(\f((;(0)) EQ \s\do2(\f((0;())))). Préciser les valeurs de T0 et Q0 et exprimer (0 en fonction de R et C.( T= EQ \s\do2(\f(1;3+jRC(+ EQ \s\do2(\f(1;jRC()))) = EQ \s\do2(\f( EQ \s\do2(\f(1;3));1+j EQ \s\do2(\f(1;3))(RC(( EQ \s\do2(\f(1;RC()))))
EQ \s\do2(\f(T0;1+jQ0( EQ \s\do2(\f((;(0)) EQ \s\do2(\f((0;())))) = EQ \s\do2(\f( EQ \s\do2(\f(1;3));1+j EQ \s\do2(\f(1;3))(RC(( EQ \s\do2(\f(1;RC())))) si T0= EQ \s\do2(\f(1;3)), Q0= EQ \s\do2(\f(1;3)) et (0= EQ \s\do2(\f(1;RC)) (par identification)
AN : R=8k( ; C=10nF. Ecrire lexpression du module T en fonction de la fréquence f.
T=|T|= EQ \s\do2(\f(1/3; EQ \r(1²+[ EQ \s\do2(\f(1;3))(RC( EQ \s\do2(\f(1;RC()))]²))) = EQ \s\do2(\f(1/3; EQ \r(1+[ EQ \s\do2(\f(1;3))(RC2(f EQ \s\do2(\f(1;RC2(f)))]²))) , on remplace R et C par leurs valeurs et on obtient : T= EQ \s\do2(\f(0,333; EQ \r(1+[0,333(f/19901990/f)]²)))
3/ Tracer T(f) de 0 à 10kHz avec une échelle linéaire. Quelle est la nature de ce filtre ?
Préciser les fréquences de coupure et la bande passante.
Ce filtre est un passe-bande de fréquence centrale 1990Hz.
Fréquences de coupure : fcb=600Hz et fch=6600Hz, la largeur de la bande passante est donc de 6000Hz.
EMBED Excel.Chart.8 \s Exercice 4
1.a Exprimer la transmittance complexe A = U5 /U4 en régime harmonique de pulsation ( sous la forme : EMBED Equation.2
On reconnaît la forme dun amplificateur inverseur : A= EQ \s\do2(\f(Z;R8)) = EQ \s\do2(\f(1;YR8))
avec Y= EQ \s\do2(\f(1;jL())+ EQ \s\do2(\f(1;R9))+jC2( ( A= EQ \s\do2(\f(1; EQ \s\do2(\f(R8;R9))+jR8(C2( EQ \s\do2(\f(1;L())))) = EQ \s\do2(\f( EQ \s\do2(\f(R9;R8));1+jR9(C2( EQ \s\do2(\f(1;L()))))
A= EQ \s\do2(\f(R9/R8;1+jR9C2(( EQ \s\do2(\f(1;LC2())))) donc A0= R9/R8, Q=R9C2 et (0=1/ EQ \r(LC2)
1.b En déduire que : EMBED Equation.2
Donner les expressions de A0 et de f0 .Montrer que Q0 peut sécrire Q0 = R9C2(0
On met (0 en facteur, on remplace ( par 2(f et (0 par 2(f0, les 2( se simplifient, il reste les f et f0.
1.c Que représentent f0 , A0 et Q0 ?
f0 est la fréquence centrale, A0=lamplification lorsque f=f0 et Q0 est le facteur de qualité.
1.d On veut obtenir une fréquence f0 =2 kHz ,calculer L ,A0 et Q0 sachant que :
R8 = R9 = 100 k( et C2 = 47 nF.
(0²= EQ \s\do2(\f(1;LC2 ))( L= EQ \s\do2(\f(1;(0²C2)) = EQ \s\do2(\f(1;4(²f0²C2))=135mH
A0=1
Q0= R9C22(f0=59,1
2 Déterminer les limites du module de A pour f = 0 et f ( ( .En déduire la nature du filtre .
f = 0 ( |A| ( 0 car le dénominateur tend vers (
f ( ( ( |A| ( 0 car le dénominateur tend vers (
Ce filtre est un passe-bande.
3 .Calculer la largeur de la bande passante à -3dB et les fréquences de coupure .
Q0=f0/(f ( (f= f0/Q0=33,9Hz
Les fréquences de coupure sont autours de 2000Hz et espacées de 33,9Hz.
4 Représenter lallure du module de la transmittance A en fonction de la fréquence .
EMBED Excel.Chart.8 \s
5 La tension u4 obtenue en présence de fumée, qui est appliquée à lentrée du filtre sélectif, est une tension rectangulaire comprise entre 0 et EQ \o(\s\up9( EMBED Word.Picture.8 );U)=5 V et de fréquence f0 Elle peut être considérée comme la somme de sa valeur moyenne et de tensions sinusoïdales de fréquences f0 ,3f0 ,5f0 ....
u4 = u4moy + EMBED Equation.2 sin (2( f0 t)+ EMBED Equation.2 sin (2(.3f0 t) + ......
5.a En justifiant votre réponse , déterminer la tension u5 .
Le filtre est très sélectif donc il ne conserve que les composantes de fréquences proches de 2000Hz=f0, donc ici seul le fondamental passe : u5=A0 EQ \s\do2(\f(2 EQ \o(\s\up 9(\d ()0);U);()) sin (2( f0 t)= ( EQ \s\do2(\f(R9;R8)) EQ \s\do2(\f(2 EQ \o(\s\up 9(\d ()0);U);()) sin (2( f0 t) = ( EQ \s\do2(\f(2 EQ \o(\s\up 9(\d ()0);U);()) sin (2( f0 t)
5.b Dessiner lallure de la tension u5 en fonction du temps t.
EMBED Excel.Chart.8 \s
Exercice 5 : extrait du sujet de bac de septembre 2002
5.1 LADI fonctionne en linéaire car seule lentrée inverseuse est reliée à la sortie.
5.2.1 LAO est parfait donc i =0, on peut alors dessiner le schéma équivalent ci-contre :
ue seule :
uS seule :
Théorème de superposition : V = EQ \s\do2(\f(UeZ2;R4+Z2))+ EQ \s\do2(\f(USR4;R4+Z2)) = EQ \s\do2(\f(UeZ2+USR4;R4+Z2))
Lamplificateur opérationnel fonctionne en linéaire car lentrée inverseuse est reliée à la sortie, donc V+=V.
Or V+=0, donc EQ \s\do2(\f(UeZ2+USR4;R4+Z2)) = 0 ( UeZ2+USR4 = 0 ( T = ( EQ \s\do2(\f(Z2;R4)) = ( EQ \s\do2(\f(1;Y2R4)) = ( EQ \s\do2(\f(1; EQ \s\do2(\f(R4;R5)) +jR4C2()) = EQ \s\do2(\f(( EQ \s\do2(\f(R5;R4));1 +jR5C2.())
5.2.2 T= EQ \s\do2(\f(Tmax;1+j(/(c)) avec Tmax= ( EQ \s\do2(\f(R5;R4)) et (c= EQ \s\do2(\f(1;R5C2)) par identification.
5.2.3 et 5.2.4 On remplace ( par zéro et on obtient T=Tmax donc T0=|Tmax|= EQ \s\do2(\f(R5;R4)) =1,04 et G0=20logT0=20log EQ \s\do2(\f(R5;R4)) =0,355.
5.2.5 En très haute fréquence un condensateur est équivalent à un fil donc US= 0 daprès la loi des mailles sachant que v+=v(.
5.2.6 Ce filtre est un passe-bas : les basses fréquences sont légèrement amplifiées et les hautes fréquences sont atténuées.
5.2.7 La fréquence de coupure est la fréquence pour laquelle le gain est égal à Gmax(3dB= 0,355(3= (2,65dB : on lit pour ce gain, fc=0,11Hz.
5.3.1 Le premier terme est la valeur moyenne de u4 et le suivant est le fondamental.
Pour mesurer Um, on utilise u voltmètre en mode DC (continu).
5.3.2 On considère que le filtre laisse bien passer les fréquences en dessous de fc donc les harmoniques dont les fréquences sont très au-dessus sont négligeables : cest le cas , ici , du fondamental et, à fortiori, des harmoniques de rang supérieur à 1.
Il ne reste donc que la composante continue : u5=TmaxUm= (1,04Um.
Evaluation Filtrage
Exercice 1 : extrait du sujet de bac juin 1999
AO parfaits en (15V. R2 = 250 k( et C = 220 nF.
1) L'étude est envisagée en régime sinusoïdal.
Exprimer la transmittance complexe T = EQ \s\do2(\f(US;U1)) et montrer qu'elle peut se mettre sous la forme T= EQ \s\do2(\f(A0;1+j EQ \s\do2(\f(f;f0)))) ; préciser ce que représentent respectivement A0 et f0. Calculer f0.
2) On veut que, à une tension continue de 4,4.103 V en entrée corresponde une tension de valeur absolue 1,00V en sortie. Calculer T (module de |T|) pour le continu.
Que deviennent les parasites de 50Hz ?
Exercice 2
Etudier les filtres ci-dessous avec R=R1=10k( , R2=33k(, C=22nF, L=60mH.
Létude doit comporter les schémas aux limites, la nature du filtre, lexpression de la transmittance complexe ainsi que son module, la valeur maximale de la transmittance, la ou les fréquence(s) de coupure.
a)
b)
Exercice 3 : extrait du sujet de bac juin 2006
Le module T de la fonction de transfert T du filtre est représenté ci-dessous en fonction de la fréquence f.
1/ Indiquer la nature du filtre.
2/ Déterminer la valeur maximale Tmax du module de la fonction de transfert. Déterminer la fréquence f0 correspondante.
3/ Définir ce quest une fréquence de coupure à 3dB pour un filtre. Déterminer la (ou les) fréquence(s) de coupure du filtre étudié.
4/ Déterminer la largeur de la bande passante (f(3dB) du filtre à 3dB. En déduire le facteur de qualité.
5/ Ci-dessous le spectre de lentrée du filtre.
Représenter le spectre damplitude du signal à la sortie du filtre (justifier les fréquences et amplitudes) :
Correction Evaluation Filtrage
Exercice 1 : extrait du sujet de bac juin 1999
AO parfaits en (15V. R2 = 250 k( et C = 220 nF.
1) L'étude est envisagée en régime sinusoïdal.
Exprimer la transmittance complexe T = EQ \s\do2(\f(US;U1)) et montrer qu'elle peut se mettre sous la forme T= EQ \s\do2(\f(A0;1+j EQ \s\do2(\f(f;f0)))) ; préciser ce que représentent respectivement A0 et f0. Calculer f0.
On reconnaît la forme dun amplificateur inverseur avec R1 et Z2 en prenant Z2=1/Y2 et Y2=1/R2+jC( :
T= (Z2/R1= (1/(R1Y2)= ( EQ \s\do2(\f(1;R1/R2+jR1C()) = EQ \s\do2(\f((R2/R1;1+jR2C()) = EQ \s\do2(\f((R2/R1;1+j2(R2Cf))
Par identification A0= (R2/R1 et f0=1/(2(R2C)=2,89Hz.
2) On veut que, à une tension continue de 4,4.103 V en entrée corresponde une tension de valeur absolue 1,00V en sortie. Calculer T (module de |T|) pour le continu.
Que deviennent les parasites de 50Hz ?
T0=A0=Us0/U10= 1/4,4.10(3 = 227 (très forte amplification en continu).
Les parasites sont filtrés car la fréquence de coupure est très basse par rapport à 50Hz.
Exercice 2
Etudier les filtres ci-dessous avec R=R1=10k( , R2=33k(, C=22nF, L=60mH.
Létude doit comporter les schémas aux limites, la nature du filtre, lexpression de la transmittance complexe ainsi que son module, la valeur maximale de la transmittance, la ou les fréquence(s) de coupure.
a)
En très basses fréquences on remplace la bobine par un fil donc Us=0
En très hautes fréquences on remplace le condensateur par un fil donc Us=0
Il sagit donc dun passe-bande.
Daprès le pont diviseur, en prenant Z=1/Y et Y=1/R+1/(jL()+jC( :
T= EQ \s\do2(\f(Z;Z+R)) = EQ \s\do2(\f(1;1+R/Z)) = EQ \s\do2(\f(1;1+RY)) = EQ \s\do2(\f(1;1+R/R+R(jC(+1/(jL()))) = EQ \s\do2(\f(1;2+jR(C((1/(L()))) = EQ \s\do2(\f(1/2;1+j EQ \s\do2(\f(R;2))(C((1/(L())))
T= EQ \s\do2(\f(1; EQ \r(4+(R(C((1/(L()))²)))
Tmax= 1/2 en prenant le dénominateur minimum donc avec C((1/(L()=0 ( LC(²=1 ( f0= EQ \s\do2(\f(1;2( EQ \r(LC)))
Aux fréquences de coupure, T=Tmax/ EQ \r(2) ( EQ \s\do2(\f(1; EQ \r(4+(R(C((1/(L()))²))) = Tmax/ EQ \r(2) donc | EQ \s\do2(\f(R;2))(C( ( EQ \s\do2(\f(1;L()))| = 1
Les solutions positives de cette équation sont les pulsations de coupure, on divise par 2( pour en déduire les fréquences :
fcb=3720Hz
fch=5160Hz
b)
En très basses fréquences on remplace le condensateur par un circuit ouvert donc Us=0 (loi des mailles avec (=0 et sachant que lintensité dans R2 est nulle, lADI étant parfait i(=0)
En très hautes fréquences on remplace le condensateur par un fil : on obtient ainsi un amplificateur inverseur Us= ( EQ \s\do2(\f(R2;R1)) Ue
Il dagit donc dun passe-haut.
On reconnaît la forme dun amplificateur inverseur avec Z1 et R2 en prenant Z1= R1+ EQ \s\do2(\f(1;jC()) :
T= (R2/Z1 = EQ \s\do2(\f(( R2/R1;1+1/(jR1C()))
T= EQ \s\do2(\f(R2/R1; EQ \r(1+1/(R1C()²)))
Tmax=R2/R1 (en très hautes fréquences)
On retrouve la forme canonique avec (c= EQ \s\do2(\f(1;R1C)) ( fc= EQ \s\do2(\f(1;2(R1C)) = 723Hz
Exercice 3 : extrait du sujet de bac juin 2006
Le module T de la fonction de transfert T du filtre est représenté ci-dessous en fonction de la fréquence f.
1/ Indiquer la nature du filtre.
Ce filtre ne laisse passer quune bande de fréquences daprès le graphique, il sagit donc dun passe-bande.
2/ Déterminer la valeur maximale Tmax du module de la fonction de transfert. Déterminer la fréquence f0 correspondante.
Par lecture graphique, Tmax=1,2 pour f0=136Hz
3/ Définir ce quest une fréquence de coupure à 3dB pour un filtre. Déterminer la (ou les) fréquence(s) de coupure du filtre étudié.
La fréquence de coupure est la fréquence limite correspondant à un transfert entre lentrée et sortie de 50% de la puissance par rapport à la valeur maximale.
A ces fréquences : T=Tmax/ EQ \r(2)= 0,85
Par lecture graphique : fcb=126Hz et fch=146Hz
4/ Déterminer la largeur de la bande passante (f(3dB) du filtre à 3dB. En déduire le facteur de qualité.
(f(3dB)= fch(fcb=20Hz
Q0=f0/(f(3dB)= 6,8
5/ Ci-dessous le spectre de lentrée du filtre.
Représenter le spectre damplitude du signal à la sortie du filtre (justifier les fréquences et amplitudes) :
La sinusoïde à 15kHz est filtrée, seule celle à 136Hz est conservée et son amplitude est multipliée par T à cette fréquence, cest-à-dire 1,2 : lamplitude de la sinusoïde à 136Hz, en sortie, est donc de 5(1,2=6V
US
UE
R1
R1=1k(
C=10nF
R2=10k(
US
UE
R1
R2
R2
C
+
(
VS
VE
C
L
+
C
R2
R1
fc
R1=1k( ;C=10nF ; R2=10k(.
+
C
R2
R1
vs
ve
R=10k ;C=10nF ; vemax=1V sinus ; f de 10Hz à 100kHz
R2
R1
+
f
T
1
0
R
R
+
C
C
Vs
Ve
R
L
C
L
us
ue
DELTA
Boîtier gigogne dun filtre ADSL
C
+
(
+
R1=1k(
C=10nF
R2=10k(
L=150mH
GBF
oscillo
M
créneau
12V
créneau
us
ve
vs
L
R
ue
us
R
R
C
C
Ue
Us
C
L
L
C
Us
Ue
Us
Ue
us
Z1
Z2
C
C
R
R
ue
R
vs=0 car il ny a pas de courant dans R
ve
R
vs=ve
ve
R
L
vs
ve
Z
EMBED Word.Document.8 \s
Ue
US
V
R4
Z2
Ue
V
R1
Z2
V = EQ \s\do2(\f(UeZ2;R4+Z2)) daprès le pont diviseur de tension
V = EQ \s\do2(\f(USR4;R4+Z2))
US
V
R1
Z2
R
R
L
C
Ue
Us
R1
R2
C
+
Ue
Us
Z1
zoom
Spectre damplitude de lentrée
Spectre damplitude de la sortie (à compléter)
R
R
L
C
Ue
Us
R1
R2
C
+
Ue
Us
Z1
zoom
Spectre damplitude de lentrée
Spectre damplitude de la sortie (à compléter)
126
136
146
