CHAPITRE EQUATION ET INEQUATION DANS IR X IR
Multiplions la première équation par 5 et la seconde par -3 on obtient. En
additionnant membre à membre les deux équations, on obtient ?y=2 d'où y = -2.
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Chapitre 4 :
Objectifs :
A la fin de cette leçon, lélève doit être capable de :
- Donner des couples solution dune équation du premier degré dans IR X IR.
- Reconnaître si un couple de nombres réels est solution dun équation du premier degré dans IR X IR
- Représenter lensemble des points dont les coordonnées sont solutions dune équation du premier degré dans IR X IR.
- Résoudre graphiquement un système dinéquations du premier degré dans IR X IR.
- Utiliser un système déquation pour résoudre un problème
A. LEssentiel du Cours
I- Equation et inéquation du premier degré dans IR X IR
La résolution dun équation on dune inéquation du premier degré dans IR X IR se fait de façon graphique.
Soit à résoudre léquation ax +by +c = 0
Il suffit de tracer dans un repère la droite (D) déquation ax+by+c=0
Soit a résoudre linéquation ax+by+c EMBED Equation.3
Il suffit de construire dans un repère la droite (D) déquation ax+by+c=0 et de choisir le demi plan de frontière (D) qui satisfait linégalité
Exemple : Résolvons graphiquement : 2x+y-1=0 et 2x+y-1 EMBED Equation.3 0
B.1 : ax+y-1=0
X o 1/2
Y 1 0
La droite (D) est lensemble des points (x ;y) solution de léquation 2x+y-1 = 0. le demi plan de frontière (D) qui est hachuré est lensemble solution de linéquation 2x+y-1 EMBED Equation.3 .0
2. Système déquation du premier degré dans IR X IR
Soit à résoudre le système EMBED Equation.3
Nous avons trois méthodes
2.1. La résolution graphique
Contruire (D) et (D) déquation respectives ax+by+c=0 et ax +by +c = 0
Les coordonnées du point dintersection de (D) et (D) est le couple solution du système.
Exemple : EMBED Equation.3
S= EMBED Equation.3
2.2. Résolution par combinaison linéaire (ou par addition)
EMBED Equation.3
Si ab av EMBED Equation.3 o, ce système a une solution unique
Si ab-ab = 0 ce système a soit une infinité de solutions, soit aucune solution
Nous allons passer par un exemple
EMBED Equation.3
Multiplions la première équation par 5 et la seconde par -3 on obtient
EMBED Equation.3
En additionnant membre à membre les deux équations, on obtient y=2 doù y = -2
En remplaçant y par sa valeur dans la première équation, on obtient :
3x+4(-2) =4
3x-8=4
3x=4+8
3x=12
x= EMBED Equation.3
S= EMBED Equation.3
Principe de la résolution par combinaison linéaire : On multiplie chaque équation par un nombre bien choisi de façon que lune des inconnues disparaisse quant on additionne membres à membres les deux nouvelles équations. On résout ensuite léquation à une inconnue qui a été obtenue puis on termine par le calcul de lautre inconnue en remplaçant linconnue trouvée par sa valeur dans lune des deux équations initiales.
2.3. Résolution par substitution
Principe
A partir de lune des deux équations, on exprime lune des inconnues en fonction de lautre. On remplace dans lautre équation linconnue trouvée par son expression. On obtient une équation à une inconnue que lon résout et trouve la valeur de linconnue. On la remplace par sa valeur dans lexpression de la première inconnue.
Exemple : Résolvons
EMBED Equation.3
Léquation (1) nous permet de trouver y= 1- EMBED Equation.3
Léquation (2) devient : 5x+7 EMBED Equation.3
5x- EMBED Equation.3
- EMBED Equation.3
Ainsi y= EMBED Equation.3
II.B. Système de deux inéquations dans IR X IR
La résolution se fait graphiquement on trace deux droite et on choisi la partie du plan qui satisfait les 2 inégalité
Exemple : EMBED Equation.3
(D1) x o -3
Y 1 0
(D2) x 0 1
Y 2 0
Lensemble solution est la partie du plan non hachurée
N.B : On peut résoudre un problème à laide dun système de deux équations du premier degré à deux inconnues ou de deux inéquations du premier degré à deux inconnues. La résolution comprend quatre étapes :
- le choix des inconnues
- lécriture du système
- La résolution du système
- la vérification des résultats trouvés
Exercices dapplication
Trouve deux nombres dont la somme est 86 et la différence 38.
Trouve deux nombres entiers naturels non nuls dont la somme est plus petite que 9 et la différence plus grande que 4
Solution
Posons x et y ces deux nombre
EMBED Equation.3
En additionnant membre à membre les deux équations, on obtient : 2x=124 EMBED Equation.3 x= EMBED Equation.3 remplaçons x par sa valeur dans 1
62 +y = 86 EMBED Equation.3
Vérification 62 +24 = 86
62-24=38
Les deux nombres sont donc 62 et 24
2. Posons x et y ces deux nombres
EMBED Equation.3
Supposons que (D) x+y -9=0
(D) : x-y-4=0
On peut choisir x =7 et y=1
B- exercice
4.1. Résous graphiquement le système : EMBED Equation.3
4.2. Résous par substitution le système EMBED Equation.3
4.3. Résous par combinaison linéaire le système EMBED Equation.3
4.4. A la librairie « Trottoir », Tchientcheu a vendu 23 livres, les un à 1500F, les autres à 2800f. Pour une recette totale de 46200F. Quel est le nombre de livres de chaque prix vendu par Chientcheu ?
4.5 Représente graphiquement les solutions du système :
EMBED Equation.3
4.6. Le périmètre dun rectangle de longueur x et de largeur y est 148. La longueur mesure 18 cm de plus que la largeur. Calcule laire du rectangle.
4.7. Deux nombres entiers x et y ont pour somme 37. Dans la division enclidienne de x par y, le quotient est 6 et le reste 2. Trouve x et y.
4.8. Trouve les nombres réels a et b tels que les couple (-1 ;3) et (2 ;-5) soient solutions de léquation ax +by-1=0
4.9. Il y a 4 ans, Patrick avait 6 fois lâge de son frère Franc. Aujourdhui, Patrick à 2 fois lâge de Franc. Quels sont les âges de chacun aujourdhui ?
4.10. Sur la figure ci-dessous, on donne BC=5 ; CD= 4 : BE =3 On pose AB=x et AC= Y
Calcule x et y
D
A B C
4.11. Trouve deux nombres entiers naturels différents de zéro dont la somme est plus petite que 9 et la différence plus grande que 4.
A laide dun graphique, donne toutes les solutions possibles.
CE
121.
4.12 Résous graphiquement le système :
EMBED Equation.3
CE12.2
4.13
1. Trouve deux nombres réels x et y sachant que EMBED Equation.3
2. Trouve deux nombres réels a et b sachant que :
EMBED Equation.3 et a +b = 108
4.14. Soit lapplication affine f telle que f (x) = ax +b où a et b sont des nombres réels. Détermine a et b sachant que f(x) =-1 et f(-1)=8.
4.15
Jeanne veut acheter des mangues à 10frs lune et des oranges à 15 frs lune sans toute fois dépasser les 150frs quelle possède.
Traduis cette situation par une inéquation à deux inconnues.
Peut-elle acheter 5 manques et 5 oranges ? 8 mangues et 5 oranges ?
CE 125. 4.16. Marie dispose dans sa petite caisse déconomie des pièces de 5frs et de 10frs, soit au total 26 pièces pour un montant de 165frs. Trouve le nombre de pièces de chaque sorte.
CE12.6
4.17. La recette dune match sest élevée à 1500 000frs certains spectateurs ont payé chacun 700frs pour la tribune et dautres ont payé 400frs chacun pour rester hors de la tribune. Sachant que 3000 spectateurs on assisté au match, trouve le nombre de spectateurs dans la tribune et ceux qui sont hors de la tribune.
CE12.7 4.18
Représente dans un repère orthonormé (O,I,J) la droite (D) déquation 2x-y+2=0
Hachure le demi plan dont les coordonnées des points sont des solutions de linéquation 2x y+2
