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Exercices d'initiation aux rudiments quantiques

Exercices d'initiation aux rudiments quantiques .... à la construction de votre réponse en vous fondant sur le souvenir expérimental de ... Justifie-t-il que l'on se passe de la mécanique quantique pour expliquer le comportement de l' antenne ?




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onnement du corps noir. Le pic d’émission maximum du soleil se situe à environ 480 nm. Le rayon RS du soleil est d’environ 700.000 km.

1. Évaluer sa température de surface du soleil.
2. Estimer la puissance totale P rayonnée par le soleil, de manière isotrope dans tout l’espace.
3. Quelle est la perte de masse correspondante à chaque seconde ?
3. Est-ce compatible avec l’intensité du rayonnement solaire reçu au niveau de la Terre – la constante solaire – de l’ordre de 1,3-1,4 kW.m-2 ?

Exercice III : transitions entre états dans l’atome d’hydrogène
Les niveaux d’énergie de l’électron dans l’atome d’hydrogène, En, sont donnés, en première approximation, par la relation de Bohr :
 EMBED Equation.3  (en eV).
La série des raies d’émission ou d’absorption de Balmer est constituée des raies spectrales des rayonnements électromagnétiques émis ou absorbés entre des états d’énergie En avec n >2 et l’état d’énergie E2.

1. Quelle est l’énergie du niveau fondamental de l’électron dans l’atome d’hydrogène ? À quelle valeur de n correspond-il ?
2. Calculer les longueurs d’onde respectives des quatre premières raies de la série de Balmer. Appartiennent-elles au domaine de la lumière visible ?
3. Quelle est la valeur maximale,  EMBED Equation.3 , de la longueur d’onde d’un rayonnement électromagnétique monochromatique capable d’arracher l’électron de l’atome d’hydrogène à partir du niveau d’énergie n = 2.

Exercice IV : possibilité de transition entre états dans l’atome d’hydrogène
L’électron d’un atome d’hydrogène est dans son état fondamental. L’atome reçoit un rayonnement électromagnétique de fréquence ( = 2,922.1015 Hz.

1. À quel domaine spectral appartient un tel rayonnement électromagnétique ?
2. Un photon du rayonnement incident peut-il être effectivement absorbé ? Argumentez votre réponse.
3. Quelle doit être la fréquence minimale d’un rayonnement électromagnétique pour faire sortir l’électron de son état fondamental et le porter à un état excité ?

Exercice V : excitation et dernière ionisation d’un ion hydrogénoïde
On désigne par « ion hydrogénoïde » l’ion formé à partir d’un atome  EMBED Equation.3  de l’élément X auquel on a retiré Z ( 1 de ses Z électrons. Les niveaux d’énergie de l’électron restant dans l’ion sont alors, en première approximation, donnés par la formule de Bohr :
 EMBED Equation.3 
où Z est le numéro atomique de l’élément X et E0 l’énergie d’ionisation de l’atome d’hydrogène.

1. Calculer l’énergie des quanta d’un rayonnement électromagnétique monochromatique permettant de faire passer l’électron de l’ion hydrogénoïde du béryllium (Z = 4) Be3+ de son état fondamental à son premier état excité. En déduire la longueur d’onde du rayonnement. À quel domaine spectral appartient-il ?

On envoie sur un ion hydrogénoïde du béryllium un rayonnement électromagnétique de 0,25 keV.

2. Un tel rayonnement parvient-il à arracher le dernier électron restant de l’ion Be3+ ?

Exercice VI : flux de photons dans un faisceau LASER
Le LASER He-Ne utilisé traditionnellement dans le laboratoire de physique du lycée a une longueur d’onde ( égale à 622 nm. La puissance électromagnétique transportée par le faisceau lumineux, P, est égale à 2mW.

Quel est le nombre de quanta d’énergie traversant une section du faisceau lumineux pendant une seconde ? Vous préciserez les hypothèses supplémentaires et/ou les ordres de grandeurs sur certaines caractéristiques physiques du faisceau nécessaires à la construction de votre réponse en vous fondant sur le souvenir expérimental de l’usage que votre professeur ou vous-même avez de la lumière émise par le LASER.

Exercice VII : flux de photon émis par une antenne de radiodiffusion
Une antenne de radio émet un rayonnement à la fréquence 100 MHz avec une puissance de 1kW.

Quel est le nombre de photons émis chaque seconde par l’antenne ? Justifie-t-il que l’on se passe de la mécanique quantique pour expliquer le comportement de l’antenne ?


Exercice VIII : sur les photons utilisés par les téléphones mobiles
Les télécommunications mobiles à très haut débit (4G) vont se voir attribuer par l’A.R.C.E.P. (Autorité de Régulation des Communications Electroniques et des Postes) la bande de fréquences comprises entre 2500 et 2690 MHz.

1. Donner les valeurs des quanta d’énergie (en eV) et des impulsions des photons aux deux extrémités du spectre dont il est question.
2. Comparer les valeurs des quanta à l’ordre de grandeur des énergies de liaison que l’on rencontre classiquement entre les éléments constitutifs des ions ou des molécules. Conclure sur la possibilité que de tels photons puissent rompre ces liaisons.

Exercice IX : circuit électrique et mécanique quantique
On considère un circuit résonnant, formé d’un condensateur de capacité C = 100 pF et d’une bobine d’induction d’inductance L = 0,1 mH. On suppose que le circuit oscille de sorte que la tension maximale aux bornes de la bobine soit de 1 mV.

1. Construire une grandeur physique « naturelle » pour le circuit ayant la dimension d’une action. Calculez-la en unités de la constante de Planck.
2. La mécanique quantique est-elle nécessaire pour comprendre le comportement du circuit ?

Exercice X : scintillement d’une étoile
Nous avons tous observé que les étoiles scintillent. Sachant qu’une étoile de première grandeur envoie sur la surface de la Terre un flux d’environ 10-6 lumen.m-2, estimer le nombre de photons N qui pénètrent dans l’œil d’un observateur et la fluctuation relative de ce nombre, estimée par  EMBED Equation.3 .

Un lumen, pour une longueur d’onde de visibilité maximale, de l’ordre de 5560 Å correspond à 1,6 mW.

Exercice XI : photodissociation moléculaire
L’énergie de la liaison C ( H dans le méthane est estimée à 435 kJ.mol-1 ; celle de la liaison Cl ( Cl dans le dichlore est de 242 kJ.mol-1. La chloration du méthane à partir du dichlore est exprimée par l’équation bilan : CH 4 + Cl 2 ( CH 3 Cl + HCl.
La réaction est facilitée si l’on envoie sur le récipient fermé contenant le méthane et le dichlore des flashes de lumière riches en U.V.

Interprétez.

Exercice XII : Longueur d’onde de de Broglie et diffraction de neutrons
Le réacteur nucléaire de l’Institut von Laue – Langevin (I.L.L.) à Grenoble est conçu pour fournir un puissant flux de neutrons (masse : mn = 940 MeV/c2) utilisés dans de nombreuses techniques expérimentales. On y trouve trois sources de neutrons, d’énergies différentes suivant la température du milieu où les neutrons sont amenés à l’équilibre thermique (par collisions successives avec les atomes de ce milieu) :
- la source ordinaire, constituée par le modérateur (eau lourde) à la température T0 = 300 K ;
- la source chaude, constituée d’un bloc de graphite à Tc = 2000 K ;
- la source froide, constituée de deutérium liquide à Tf = 25 K.

1. Calculer l’énergie moyenne (en eV) et la longueur d’onde moyenne (en nm) des neutrons provenant de chacune des sources.
2. Quelles sources utiliser pour mener des études cristallographiques de la matière par diffraction de neutrons ?

On rappelle que les particules d’un gaz de température absolue T sont dotés en moyenne d’une énergie – pratiquement exclusivement cinétique – égale à 3kBT / 2, où kB est la constante de Boltzmann,environ égale à 1,38.10 – 23 J.K-1.

Exercice XIII : longueur d’onde de De Broglie et électrons de conduction
Dans le cuivre (masse volumique 8,9.103 kg.m-3 ; nombre de masse 63), les électrons de conduction ont une énergie cinétique d’environ 7 eV.

Calculer leur longueur d’onde. La comparer à la distance interatomique. Conclure.

Exercice XIV : démonstration de la relation de Compton
Un photon d’un rayonnement électromagnétique de longueur d’onde ( est diffusé par un électron de masse me au repos.  EMBED Equation.3  désigne la direction du photon incident ;  EMBED Equation.3  celle du photon diffusé à la longueur d’onde (’ ; ( est l’angle de  EMBED Equation.3  par rapport à  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  l’impulsion de l’électron après la diffusion du photon. On rappelle la relation d’Einstein entre l’énergie E d’une particule de masse au repos m et son impulsion p :
 EMBED Equation.3 ,
où c est la célérité de la lumière dans le vide.

1.a. Exprimer l’impulsion totale du système {photon + électron}avant la diffusion.
1.b. Même question après la diffusion du photon. En déduire une première relation entre (, (’ et  EMBED Equation.3  sachant que la diffusion Compton est un processus au cours de laquelle l’impulsion du système est conservée.

2.a. Exprimer l’énergie totale du système {photon + électron}avant la diffusion.
2.b. Même question après la diffusion du photon. En déduire une seconde relation entre les données, sachant que la diffusion Compton est un processus au cours de laquelle l’énergie du système est conservée.
2.c. Par combinaison des deux relations obtenues, retrouver la relation de Compton.

Exercice XV : test expérimental de la diffusion Compton
Parmi les premières expériences de vérification de cette théorie, citons les résultats de M. de Broglie et A. Dauvillier, Comptes rendus de l’Académie des Sciences 179, 11 (1924) : pour des angles de déviation de ( / 4, ( / 2 et 3( / 4, ils observèrent que « les déplacements sont respectivement égaux à 8,5 X, 21 X et 31 X » (l’unité X utilisée valait 10-3 Å).

Compte tenu de ce que les rayons X utilisés présentaient un spectre de longueur d’onde d’une largeur voisine de 5 X, l’accord entre la théorie et l’expérience est-il satisfaisant ?

Exercice XVI : diffusion Compton
Un rayonnement ( à 250 keV est envoyé sur une cible susceptible de provoquer une diffusion Compton des photons du rayonnement. Le détecteur du rayonnement diffusé est disposé derrière la cible dans une direction faisant un angle de 25° avec la direction du faisceau incident.


1. Quelle est l’énergie des quanta du faisceau de rayons ( diffusé dans cette direction ?
2. En déduire l’énergie emportée par l‘électron et la comparer avec l’énergie d’ionisation d’un matériau quelconque. Conclure sur la pertinence de l’hypothèse « électron au repos » sur lequel se fonde la relation de Compton.

On modifie la position du détecteur pour recueillir le rayonnement ( diffusé par effet Compton à 210 keV.

3. Déterminer l’angle de la direction après la cible dans laquelle le détecteur doit être placé pour recueillir un tel rayonnement diffusé.

Problème : l’atome de Bohr
En 1912, le physicien danois Niels Bohr a donné un premier modèle semi-classique, ou « pré-quantique », de l’électron dans l’atome d’hydrogène, modèle construit sur les trois hypothèses suivantes :

a.- le mouvement de l’électron supposé ponctuel, de masse me et de charge (( e), autour du proton, lui aussi supposé ponctuel, de charge  EMBED Equation.3  s’effectue sous l’effet de la seule force électrostatique de Coulomb  EMBED Equation.3  que le proton exerce sur l’électron :
 EMBED Equation.3  ,
force à laquelle est associée une énergie potentielle égale à :
 EMBED Equation.3  ,
où  EMBED Equation.3  est le vecteur unitaire dirigé, à tout instant, du proton vers l’électron, rn la distance entre l’électron et le proton dans l’état stable d’énergie En et (0 la permittivité diélectrique du vide approximativement égale à 1/(36 ( 109) F.m-1 ;

b.- les états stables de l’électron sont ceux pour lesquels ce dernier possède un mouvement de rotation circulaire uniforme, à la vitesse vn , dans un plan contenant le proton qui est le centre de la trajectoire de l’électron, de rayon rn ;

c.- les états stables de l’électron sont ceux pour lesquels l’action  EMBED Equation.3  est un multiple entier de  EMBED Equation.3 , à savoir, dans l’état d’énergie mécanique En : me vn rn = n ' où n est un entier naturel non nul. On appelle cette relation la « relation de quantification ».

1. Appliquer, en supposant le référentiel du laboratoire dans lequel on procède à l étude de l atome d hydrogène galiléen, le principe fondamental de la dynamique à l’électron et en déduire une relation liant v n et r n.

2.a. À l’aide de la relation de quantification, montrer que les rayons des trajectoires correspondant à des états stables sont de la forme : r n = r0 · n2 où r0 est à exprimer en fonction de e, me , (0 et '.
2.b. Calculer la valeur numérique de r0.

3.a. Rappeler la définition de l énergie mécanique d une particule dans un référentiel donné.
3.b. Exprimer l énergie mécanique En de l électron et montrer que celle-ci peut se mettre sous la forme :
 EMBED Equation.3 ,
où E0 est une énergie que l on exprimera en fonction de e, me , (0 et '.
3.c. Calculer la valeur numérique de E0 en joules puis en eV. Comparer sa valeur avec celle habituellement retenue dans les exercices : 13,6 eV.

4.a. Exprimer l impulsion pn (ou quantité de mouvement me vn) de l électron dans l état stable d énergie En en fonction de me , e, ', (0 et n.
4.b. En déduire la longueur d onde de de Broglie (n associée à l électron dans l état d énergie En au cours de son mouvement autour du proton.
4.c. En déduire que la circonférence de la trajectoire de l’électron dans de cet état est égale à un nombre entier de la longueur d’onde de de Broglie.

Extension du problème : niveaux d’énergie des ions hydrogénoïdes
On désigne par « ion hydrogénoïde » l’ion formé à partir d’un atome  EMBED Equation.3  de l’élément X auquel on a retiré Z ( 1 de ses Z électrons. L’électron restant est ainsi soumis à la force électrostatique de Coulomb qu’exercent sur lui les Z protons du noyau supposé ponctuel.

1. Comment sont modifiées la force électrostatique de Coulomb qui s’exerce sur l’électron de l’ion hydrogénoïde et l’énergie potentielle associée à cette force.

2. En reprenant les questions 1, 2 et 3, montrer que les niveaux d’énergie de l’électron dans l’ion hydrogénoïde sont :
 EMBED Equation.3 
où Z est le numéro atomique de l’élément X et E0 l’énergie d’ionisation de l’atome d’hydrogène.

3.a. Quelle est, si le modèle est exact, l’énergie de quatrième ionisation, c’est-à-dire l’énergie qu’il faut fournir à une mole d’ions hydrogénoïdes de Béryllium pour arracher le dernier électron restant ? Vous l’exprimerez en kJ.mol-1.
3.b. Cette valeur est-elle dans la logique des énergies de première, seconde et troisième ionisations, c’est-à-dire les énergies nécessaires à l’arrachement du premier, du second et du troisième électron : 899,4 kJ.mol-1, 1,757 MJ.mol-1 et 14,85 MJ.mol-1 ? Argumentez votre réponse.

Exercices d’essai – Formation continue académique – Nouveaux programmes terminales S – 2012 D. Magloire

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