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Planning des séances de cours ? td AES 1ere ... - Exercices corriges

Corrigé des exercices portant sur le cours de la semaine précédente (1h) ..... On effectue un sondage sur 3 populations A, B, C . la population A contient 5 hommes et ..... Un complexe industriel est composé d'une centrale électrique au fioul et ...




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es matrices Exercices d’application (2h)
Corrigé des exercices portant sur le cours de la semaine précédente (1h)

Cours 5 : Déterminants Exercices d’application (2h)
Corrigé des exercices portant sur le cours de la semaine précédente (1h)

Cours 6 : Résolution matricielle d’un système d’équations linéaires Exercices
d’application (2h)
Corrigé des exercices portant sur le cours de la semaine précédente (1h)

Cours 7 : Intérêts simples Exercices d’application ( 2h )
Corrigé des exercices portant sur le cours de la semaine précédente (1h)

Cours 8 : intérêts précomptés , escompte Exercices d’application (2h)
Corrigé des exercices portant sur le cours de la semaine précédente (1h)

Cours 9 : intérêts composés Exercices d’application (2h)
Corrigé des exercices portant sur le cours de la semaine précédente (1h)

Cours 10: Annuités construction d’échéanciers Exercices d’application (2h)
Corrigé des exercices portant sur le cours de la semaine précédente (1h)

Cours 11 : choix d’investissements Exercices d’application (2h)
Corrigé des exercices portant sur le cours de la semaine précédente (1h)

Cours 12 : Cours de révision générale (1h30)
Corrigé des exercices portant sur le cours de la semaine précédente (1h30)












BIBLIOGRAPHIE


Aide mémoire de mathématiques , G PONS , S ROVERATO , ELLIPSES

Mathématiques et statistiques appliquées à l’économie , ouvrage collectif , Collection Grand Amphi Economie BREAL

Mathématiques appliquées , R ZOUHAD, JL VIVIANI , F BOUFFARD, DUNOD

Mathématiques financières , M BOISSONADE , D FREDON , DUNOD

Mathématiques financières , W MASIERI , DALLOZ

Probabilités et statistiques ,JP REAU , G CHAUVAT , ARMAND COLIN

Mathématiques financières , T ROLANDO, JC FINK , VUIBERT
































SEANCE 1 : ANALYSE COMBINATOIRE : PERMUTATIONS , ARRANGEMENTS , COMBINAISONS .

Les résultats des calculs de probabilités seront donnés à EMBED Equation.3près ou en écriture scientifique.

EXERCICE 1 : Analyse combinatoire ou dénombrement .
Donner la définition , la formule et un exemple de permutation , arrangement et combinaison .


EXERCICE 2 : organisation de visites .
Une agence de voyages propose 4 visites d’une demi-journée au cours d’un week-end . Combien de week-end
différents peut-on organiser ?
L’agence propose un séjour de 8 jours dans un site offrant 12 possibilités d’excursions d’une journée . Un
séjour comprend obligatoirement 8 excursions différentes .
Combien de séjours différents peut-on organiser ?
Combien de séjours planifiés différemment peut-on organiser ?
Pour un ensemble de 8 excursions données , combien de programmes différents peut-on recenser ?
Vérifier que le résultat de la question b est égal au produit des résultats de a et c ?


EXERCICE 3 : Dénombrement .
Lors de l’assemblée générale d’une association, on élit un conseil d’administration de dix membres. Dix - huit adhérents à l’association sont candidats. Combien peut-on former de conseils différents ?
Le conseil d’administration doit élire le bureau formé d’un président, d’un trésorier et d’un secrétaire. Sept membres du conseil sont volontaires pour rentrer au bureau à un poste quelconque. Combien peut-on former de bureaux différents ?
Chaque année l’association doit envoyer un représentant à chacune des cinq réunions organisées à l’échelon
national. Pour chaque réunion on sélectionne le représentant parmi les membres du conseil d’administration
au moyen d’un tirage au sort ne tenant pas compte des réunions précédentes. Combien peut-on faire de
sélections différentes ?


EXERCICE 4 : Arrêts d’autobus .
Un autobus comportant 8 voyageurs dessert 13 arrêts .
Combien existe-il de façons différentes d’organiser les descentes ?
Même question si un seul voyageur peut descendre par arrêt ?


EXERCICE 5 : Fabrication de yaourts .
La société X fabrique des yaourts aux fruits avec 10 parfums différents . Le directeur des ventes propose de constituer des lots de 4 pots de parfums différents .
Combien de lots distincts peut-on constituer ?
Combien de lots distincts peut-on former sachant qu’ils ne doivent pas contenir simultanément un pot de fraise et un pot de framboise ?
Combien de lots distincts peut-on former sachant que si un lot contient un pot de citron , il doit obligatoirement contenir un pot de cassis ?


EXERCICE 6 : Choix .
On choisit 5 cartes au hasard dans un jeu de 32 . Quel est le nombre de tirages possible ?
On lance 5 fois un dé , on appelle résultat le 5-uplet ( r1 ,r2, r3, r4, r5) ou ri représente le numéro obtenu au lancer i . Quel est le nombre de résultats possible ?
Un professeur interroge chaque jour 3 élèves différents : un pour le cours , un pour un exercice , un pour un exposé . Sa classe contient 32 élèves .Quel est le nombre de choix du professeur pour interroger ces 3 élèves ?


EXERCICE 7 : Rangement .
On range 4 dossiers identiques dans 5 tiroirs numérotés 1 à 5 , chaque tiroir étant assez grand pour contenir les 4 dossiers .
Quel est le nombre de répartitions possibles ?
Parmi les répartitions , combien présentent au moins trois dossiers dans le même tiroir ?

EXERCICE 8: Organisation de réunions .
Une réunion de l’ONU regroupe 5 représentants de nationalités différentes.
Combien existe-il de façons différentes de les présenter un à un à la tribune ?
Combien existe-il de façons différentes de les placer autour d’une table ?
Parmi ces 5 représentants , il faut nommer 3 délégués pour assurer les relations avec les 3 principales agences de presse
Combien existe-il de façons différentes de former cette délégation si chaque délégué est affecté aux relations avec une agence de presse donnée ?
Combien existe-il de façons de former cette délégation si chaque délégué peut intervenir auprès des 3 agences ?

EXERCICE 9: Code bancaire .
Dans une banque , chaque client possède un compte dont le code est composé de 3 lettres et 5 chiffres non nécessairement distincts du type ABC 12345.
On suppose que les trois lettres sont distinctes . Combien peut-on ouvrir de comptes dont le code :
commence par AB ?
commence par A ?
contient un A ?
contient un A et un B ?
commence par A et finit par 123 ?
On suppose que les 3 lettres ne sont plus nécessairement distinctes. Combien peut-on ouvrir de comptes dont le code
commence par A ?
contient au moins deux A ?
On suppose que les 3 lettres ne sont plus nécessairement distinctes et qu’il est impossible d’utiliser les chiffres 01234 qui sont réservés à des codes spéciaux .Combien peut-on ouvrir de comptes dont le code
commence par A ?
finit par 999 ?
commence par A et finit par 999 ?

EXERCICE 10 : Rectangles .
On considère un rectangle ABCD , on trace 5 droites parallèles à AD ( différentes de AD et BC )coupant AB et 4 droites parallèles à AB ( différentes de AB et DC ) et coupant AD .
Construire la figure .
Montrer que 315=21 EMBED Equation.3 15 rectangles apparaissent sur cette figure .

EXERCICE 11 : Raisonnement faux .
On appelle main tout ensemble de 3 cartes prises dans un jeu de 32 cartes .
Combien y a t-il de mains différentes ?
On cherche le nombre de mains contenant au moins un trèfle . Expliquer pourquoi le raisonnement suivant est faux puis donner la bonne réponse : 
« Pour obtenir une main contenant au moins un trèfle , je choisis 1 trèfle ( 8 possibilités) cela fait , je choisis une combinaison de 2 cartes parmi les 31 restantes d’ou : le nombre de mains est égal à : 8  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 = 3720 « 













SEANCE 2 et 3 : ELEMENTS DE PROBABILITE :AXIOMES DES PROBABILITE , PROBABILITE CONDITIONNELLE ? THEOREME DE BAYES .

EXERCICE 1 :Union et intersection .
Soient A et B deux événements d’un univers (, tels que : EMBED Equation.3.
Calculer : EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3; EMBED Equation.3; EMBED Equation.3  ; EMBED Equation.3.

EXERCICE 2 : Personnel d’une entreprise .
Dans une entreprise , la probabilité pour qu’un ouvrier A quitte l’entreprise dans l’année est 1/5 et la probabilité pour qu’un cadre B quitte l’entreprise est 1/8 . En supposant ces deux événements sont indépendants , calculer :
1) la probabilité que  A et B quittent l’entreprise .
2) la probabilité que  l’un des deux quitte l’entreprise .
3) la probabilité que  ni A , ni B ne quittent l’entreprise .
4) la probabilité que  B seulement quitte l’entreprise .

EXERCICE 3 :Evénements indépendants .
On suppose A et B événements indépendants d’un univers (, tels que :
1) On donne : EMBED Equation.3Calculer  EMBED Equation.3 
2)On donne  EMBED Equation.3  . Calculer  EMBED Equation.3 .
3) On donne  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  Calculer  EMBED Equation.3 .

EXERCICE 4 : Evénements .
On suppose A et B événements d’un univers (, tels que  EMBED Equation.3 Calculer  EMBED Equation.3  dans les cas suivants : 1) A et B incompatibles .
2) A et B indépendants .
3) A EMBED Equation.3 B .

EXERCICE 5 :Tests de provenance .
Dans un lot de 32 cagettes de fraises , 4 proviennent d’Espagne , 4 d’Italie , 8 de Dordogne et le reste du sud de la France .Les services de la consommation sont chargés de vérifier l’étiquetage des produits . On tire simultanément trois cagettes .
1) Quelle est la probabilité d’avoir une cagette d’Espagne et une seule ?
2) Quelle est la probabilité d’avoir au moins une cagette italienne ?
3) Quelle est la probabilité d’avoir une cagette espagnole et une italienne ?
4) Quelle est la probabilité d’avoir une cagette espagnole , une italienne et une provenant de Dordogne ?
5) Quelle est la probabilité d’avoir trois cagettes provenant du sud de la France  ?

EXERCICE 6 : Jeu .
Une urne U1 contient 1 boule blanche et 5 boules noires , une urne U2 contient 3 boules blanches et 3 boules noires . On lance une pièce de monnaie , si on obtient face on tire une boule dans U1, sinon on tire une boule dans U2 .
Calculer la probabilité des événements suivants :
A : on obtient face et on tire une boule blanche .
B : on obtient une boule blanche .

EXERCICE 7 :Utilisation des probabilités dans l’évaluation d’une couverture publicitaire .
Une campagne publicitaire pour un certain produit est diffusée dans trois médias M1, M2, M3 qui couvrent une population donnée selon la répartition suivante :
- M1 couvre 1000 personnes, M2 couvre 1200 personnes, M3 couvre 1800 personnes
- M1 et M2 couvrent en même temps 200 personnes
- M1 et M3 couvrent en même temps 300 personnes
- M2 et M3 couvrent en même temps 400 personnes
- M1, M2 et M3 couvrent en même temps 100 personnes.
1) Quelle est la probabilité pour qu’un individu de cette population soit touché exactement deux fois par la publicité
concernant ce produit  ?
2) Quelle est la probabilité pour qu’un individu de cette population soit touché au moins deux fois par la publicité concernant ce produit  ?

EXERCICE 8 : Stock .
Dans un entrepôt, le stock est constitué d’appareils dont 70% proviennent d’une usine A et 30% d’une usine B. 20 % des appareils venant de A ont un défaut ; cette proportion n’est que de 10 % pour l’usine B.
On choisit un appareil au hasard dans le stock.
1) Illustrer la situation par un arbre puis par un tableau .
2) Quelle est la probabilité pour que l’appareil présente un défaut ?
3) L’appareil choisi présente un défaut. Quelle est la probabilité pour qu’il provienne de l’usine B ?
4) Quelle proportion d’appareils n’ayant pas de défaut provient de l’usine A ?

EXERCICE 9 : Pièces défectueuses .
Quatre lots de pièces contiennent des pièces défectueuses en proportion de 5 %, 5 %, 8 %, 10 %.On choisit un lot au hasard. On tire dans ce lot une pièce. Cette pièce est défectueuse. Quelle est la probabilité qu’elle ait été tirée dans un lot contenant 5 % de pièces défectueuses ?

EXERCICE 10 : Banque .
Un serveur de banque a calculé qu’un individu essayant un mot de passe au hasard est refoulé 999 sur 1000 . Sachant que l’ordinateur accepte 3 essais de mot de passe avant de couper la connexion , quelle est la probabilité de se connecter au hasard ?


EXERCICE 11 : Sondage .
On effectue un sondage sur 3 populations A, B, C . la population A contient 5 hommes et 3 femmes ; la population B contient 8 hommes et 6 femmes ; la population C contient 12 hommes et 15 femmes . Le sondage est effectué en deux parties . On choisit une personne dans une population tirée au hasard . Si l’on obtient un homme , on tire une seconde personne dans la même population ; si on obtient une femme , on tire une seconde personne dans une des deux autres populations .
Dresser l’arbre correspondant aux différents événements possibles avec les probabilités associées .
Calculer la probabilité de tirer deux hommes .
Calculer la probabilité de tirer deux femmes .


EXERCICE 12: Théorème de BAYES .
Un grand magasin est équipé d’un système d’alerte contre l’incendie . L’installateur du système assure qu’en cas de début d’incendie , l’alerte sera donnée avec une probabilité de 0.99 . Mais il faut noter , que l’alarme peut tout de même se déclencher de façon intempestive , donnant lieu à une fausse alerte , avec une probabilité évaluée à 0.007.
La compagnie d’assurance considère qu’un incendie peut se déclencher dans ce magasin avec une probabilité égale à 0.001.
Si le système se déclenche , quelle est la probabilité que ce soit une fausse alerte ?Quelle conclusion pouvez-vous en déduire relativement au comportement des individus en présence d’un déclenchement d’alarme ?
Calculer la probabilité qu’il y ait effectivement un incendie lors d’une alerte .

EXERCICE 13 : Organisation d’un service ( partie de sujet d’examen )
Dans un service de réclamations , on classe les problèmes soumis en 2 catégories A et B ; la catégorie A concerne les réclamations liées à des éléments précis et vérifiables , la catégorie B concerne les réclamations liées à une appréciation ou à des données contestables .
La catégorie A représente 70% des réclamations et celles-ci sont résolues 7 fois sur 10 par une simple correspondance , 2 fois sur 10 par un rendez-vous et pour le reste transmises au service du contentieux .
Par ailleurs 15% du total des réclamations appartiennent à la catégorie B et se résolvent par rendez-vous tandis que 1/5 des réclamations de la catégorie B finissent au contentieux . Le solde des réclamations de la catégorie B se règle par courrier .
1) Définir avec soin les événements relatifs à ce problème .
2) Calculer la probabilité qu’un dossier soit clos par rendez-vous sachant qu’il provient de la catégorie B .
3) Illustrer la situation par un arbre en utilisant le résultat de la question précédente .
4) Construire le tableau correspondant .
5)Quelle est la probabilité qu’une réclamation prise au hasard soit résolue par rendez-vous ?
6) Quelle est la probabilité pour qu’un dossier réglé par une correspondance provienne de la catégorie B ?
7) L’issue donnée à une réclamation est-elle indépendante de sa catégorie ?




SEANCE 4 : OPERATIONS SUR LES MATRICES

EXERCICE 1 : Exemples de matrices .
Donner un exemple de matrice M ayant 3 lignes et 2 colonnes .
Trouver sa transposée tM .
Donner un exemple de matrice carrée 3 EMBED Equation.3 3 .
Donner un exemple de matrice symétrique , antisymétrique.
Donner un exemple de matrice triangulaire .
Donner un exemple de matrice diagonale .
Définir la matrice unité .
Définir l’inverse de la matrice M .



EXERCICE 2 : Opérations sur les matrices .
Quelle est la condition nécessaire pour effectuer la somme de 2 matrices M et N ?
Quelle est la condition nécessaire pour effectuer le produit de 2 matrices M EMBED Equation.3  N ?
Si ce produit est réalisable et égal à une matrice P , quel est le format de la matrice P ?
Le produit de 2 matrices M  EMBED Equation.3  N est égal à un nombre , trouver le format des 2 matrices M et N .
Quelle est la condition nécessaire pour effectuer les produits M EMBED Equation.3 N et N EMBED Equation.3 M ?
Que peut-on dire du produit M EMBED Equation.3 tM ? et du produit tM EMBED Equation.3 M ?


EXERCICE 3 : Produit de matrices .
Soit les matrices : M= EMBED Equation.3  N =( 3 5) P = EMBED Equation.3 
Effectuer tous les produits qui sont réalisables entre les matrices M , N , P et tP .
Calculer P EMBED Equation.3 tP  et tP EMBED Equation.3 P . Qu’observe-t-on ? 


EXERCICE 4 : Produit.
On pose : Y= EMBED Equation.3  A = EMBED Equation.3  B= EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 

1) Calculer les matrices A+B , A-B , A EMBED Equation.3 B , B EMBED Equation.3 A.
2) Calculer A EMBED Equation.3 B EMBED Equation.3 Y .


EXERCICE 5 : Somme de matrices .
Montrer que la matrice M = EMBED Equation.3  se décompose de manière unique en la somme d’une matrice symétrique et d’une matrice antisymétrique .


EXERCICE 6 : Matrice carrée d’ordre 2 .
On pose : A = EMBED Equation.3  U= EMBED Equation.3  V = EMBED Equation.3 
Calculer A2 , en déduire qu’il existe deux réels a et b tels que A2 = aA+ bI2 .
En utilisant l’égalité ci-dessus , montrer que A est inversible et déterminer A-1.
Calculer A EMBED Equation.3 U et  A EMBED Equation.3 V ; que peut-on en déduire ?




EXERCICE 7 : Formule du binôme .
1) développer  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 
On pose :A= EMBED Equation.3  et J = EMBED Equation.3 
2) Montrer que A peut s ‘écrire sous forme de combinaison linéaire des matrices I2 et J .
3)Calculer J2 . En déduire Jk pour tout entier k .
4) Utiliser les résultats précédents pour calculer les puissances de la matrice A .

EXERCICE 8 : Matrice par blocs .
Supposons deux matrices M et N écrites par blocs , c’est-à-dire :
M = EMBED Equation.2  N = EMBED Equation.2  ou A ,B , C , D , E , F , G , H sont des matrices
Alors le produit MN peut se calculer par blocs à condition que toutes les opérations élémentaires soient possibles et MN =  EMBED Equation.2 
Effectuer le produit des matrices suivantes en utilisant le produit par blocs :

A =  EMBED Equation.2  B =  EMBED Equation.2 


EXERCICE 9 : .
Dans un rayon de magasin , le stock au 1er janvier d’une certaine marque de verres est représenté par une matrice K de format (3 ;4) . Les nombres sur les lignes symbolisent les 3 modèles de verres , les nombres sur les colonnes symbolisent les 4 tailles de verres .
K= EMBED Equation.3 
Le prix de tous les verres du 1er modèle est égal à 10 ¬ , le prix de ceux du 2eme modèle est égal à 8.5¬ et le prix de ceux du dernier modèle est égal à 9¬ . Représenter la matrice P des prix .
Que représente la matrice P EMBED Equation.3 K.
Déterminer une matrice U telle que le produit P EMBED Equation.3 K EMBED Equation.3 U représente la valeur du stock au 1er janvier .
Le responsable de rayon décide de solder tous les verres du 1er modèle à –30% , ceux du modèle 2 à –20% et ceux du modèle 3 à –10% . Les ventes de janvier sont représentées par la matrice l :
L= EMBED Equation.3 

Quel est le montant des ventes ?
Le 1er février les prix reviennent à leur montant initial . Quelle est la nouvelle valeur du stock ?









SEANCE 5 : DETERMINANTS.

EXERCICE 1 : Calcul de déterminants .
A= EMBED Equation.3  B =  EMBED Equation.3  C =  EMBED Equation.3 
EXERCICE 2 : Déterminants de Vandermonde ( a , b , c , d nombres réels )

D1= EMBED Equation.3  D2= EMBED Equation.3 
D1 peut se simplifier en soustrayant à une colonne une autre colonne .
D2 peut se simplifier par des mises en facteur et la méthode du pivot .

EXERCICE 3: Calculer les déterminants d’ordre n ( pour n compris entre 2 et 4)
D =  EMBED Equation.2 

EXERCICE 4 :Calculer le déterminant suivant par la méthode de Laplace ( on conseille de développer selon les deux premières colonnes :
D =  EMBED Equation.2 

EXERCICE 5 : Inverse d’une matrice par la méthode des cofacteurs .
Soit la matrice M carrée d’ordre 3. :
M= EMBED Equation.3 
Calcul du déterminant de M
Si det M  EMBED Equation.3  transposition de la matrice M .
Détermination de la matrice adjointe
Détermination de la matrice inverse .

EXERCICE 6 : Retour à l’exercice 5 de la séance précédente .
Calculer det A .Utiliser ce résultat pour retrouver la matrice A-1 .

EXERCICE 7 : Retour à l’exercice 4 de la séance précédente .
Calculer det A et det B . Les matrices A et B sont-elles inversibles ? Si oui , déterminer leurs inverses .


SEANCE 6 : RESOLUTION DE SYSTEMES LINEAIRES .

EXERCICE 1 : Résolution de systèmes .( On utilisera la matrice élargie et la méthode du pivot de Gauss )
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
m est un paramètre m est un paramètre

 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 

EXERCICE 2 : Programme de fabrication .
Un industriel veut produire un composé chimique à 30% de cuivre ,40% de zinc , 30% d’étain . Il posséde divers alliages X , Y , Z dont les compositions en % sont données par le tableau suivant :

XYZCuivre203030Zinc606020Etain201050Comment doit-il mélanger ces alliages pour obtenir 1kg du composé ?
Soient x , y z les quantités de X , Y , Z contenues dans 1kg de composé . On écrira le problème sous forme matricielle
Et on utilisera un pivot de Gauss pour le résoudre .

EXERCICE 3 : Modélisation .
Une compagnie aérienne dispose de 3 types d’avions et propose sur chaque vol des sièges dans 3 classes différentes . Le tableau suivant donne la répartition du nombre de sièges de chaque classe selon le type d’avion :

Type d’avion
ClasseABC1ère classe102040Classe affaires404030Classe économique100200300La compagnie désire savoir si , en remplissant tous ses avions , elle peut transporter 1900 passagers en classe économique , 420 passagers en classe affaires , 210 passagers en 1ére classe et si oui , combien d’avions de chaque type sont nécessaires .
Ecrire un système linéaire satisfaisant les contraintes de la compagnie et le résoudre par la méthode du pivot de Gauss .

EXERCICE 4 : Modèle de Leontiev .
Un complexe industriel est composé d une centrale électrique au fioul et d une raffinerie . La centrale utilise pour 1¬ d électricité produite , 0.60 ¬ de fioul et 0.10 ¬ de sa propre production . La raffinerie utilise pour 1 ¬ de fioul produit , 0.30 ¬ d électricité et 0.20 ¬ de sa propre production . On désigne par x1 et x2 les productions en valeur d électricité et de fioul .
1)Si p1 est la consommation intermédiaire en valeur d’électricité et p2 la consommation intermédiaire en valeur de
fioul montrer que l’on a le système : p1= 0.1x1+0.3x2
p2= 0.6x1+0.2x2 En déduire la matrice technologique A .
2)Sachant que la production brute est égale à la somme de la consommation intermédiaire et de la production nette( c’est-à-dire la demande ) nous pouvons écrire : X=AX+Y avec X = EMBED Equation.3  et Y =  EMBED Equation.3 

La demande en électricité Y1= 540 000 ¬ et la demande en fioul Y2= 180 000 ¬ déterminer les productions d électricité et de fioul nécessaires pour satisfaire ces demandes .


Licence AES S2 Probabilités et mathématiques

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Licence A.E.S semestre 2 . PROBABILITES et MATHEMATIQUES


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