Agrégation Interne 2001
Agrégation Interne 2001. Exercices d'Optique. Corrigé. Exo n°1 : Bilentilles de
Billet (ENSAM 1980). 1. L'objet est placé à une distance D = 2f de la lentille : il en
résulte qu'on est dans les conditions de la méthode de Silbermann, donc l'image
est aussi à cette distance de la lentille. Ceci peut se retrouver par application de
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argeur du champ dinterférences par linterfrange, on obtient le nombre de franges brillantes en arrondissant à lentier impair inférieur, ce qui donne : INCORPORER Equation.3 .
3. Le chemin optique L2 du rayon R2 nest pas modifié, & en ce qui concerne le rayon R1 on remplace lair par le verre sur une épaisseur e, donc : INCORPORER Equation.3 . Comme on a des lentilles, on travaille dans les conditions de Gauss, & la lame à faces parallèles est attaquée en incidence quasi normale i = nr, & lépaisseur de verre traversée vérifie : INCORPORER Equation.3 . Alors la nouvelle ddm sécrit :
INCORPORER Equation.3 . La nouvelle frange centrale est en x1 telle que INCORPORER Equation.3 & donc :
INCORPORER Equation.3 , donc le système de franges sest déplacé vers le haut. On a :
INCORPORER Equation.3 .
4. Technique : lordre dinterférence. La ddm vaut INCORPORER Equation.3 . Sur la frontière violette : INCORPORER Equation.3 , nombre entier, donc on a une frange brillante. Lordre dinterférence p diminue si la longueur donde ( augmente, la première cannelure est obtenue pour p = 17,5 & la huitième pour p = 10 ,5 (car p varie de 1 entre deux cannelures consécutives) qui est visible alors que la neuvième (pour p = 9,5) ne lest pas, donc : INCORPORER Equation.3 , soit :
INCORPORER Equation.3 .
Tout ce domaine place la longueur donde (2 dans le rouge. La tolérance sur sa valeur nest absolument pas une incertitude due à une imprécision de mesure mais est liée au caractère discontinu de la grandeur « nombre de cannelures ». Ce phénomène est beaucoup plus fréquent en physique quantique (penser aux inégalités de Heisenberg).
Exo n°2 : Etude dun détecteur interférométrique.
1. Le contenu des deux cuves étant identique, la ddm ( = 0. Tout est dans l'air, on a :
INCORPORER Equation.3 . Soit : INCORPORER Equation.3 . Avec la condition INCORPORER Equation.3 , on peut faire le DL, ce qui conduit à : INCORPORER Equation.3 . Si INCORPORER Equation.3 , alors INCORPORER Equation.3 d'où :
INCORPORER Equation.3 , à peine visible à l'oeil nu.
2. L1 est inchangé, & L2 varie de INCORPORER Equation.3 d'où INCORPORER Equation.3 & donc la nouvelle ddm vaut : INCORPORER Equation.3 . Avant, la frange centrale (( = 0) correspond à xo = 0 ; après, cette même frange centrale (( = 0) vient en INCORPORER Equation.3 . La translation vaut INCORPORER Equation.3 d'où :
INCORPORER Equation.3 car INCORPORER Equation.3 .
AN : INCORPORER Equation.3 . Calcul d'erreurs :
En différenciant la relation INCORPORER Equation.3 , il vient : INCORPORER Equation.3 d'où on déduit : INCORPORER Equation.3 d'où l'encadrement : INCORPORER Equation.3 .
3. Loi affine : INCORPORER Equation.3 . Or : INCORPORER Equation.3 . Dans l'expression de ( obtenue à la question 2, il suffit de remplacer n2 par n(X) :
INCORPORER Equation.3 .
4. La ddm totale vaut : INCORPORER Equation.3 . La frange centrale se décale de INCORPORER Equation.3 si INCORPORER Equation.3 , soit : INCORPORER Equation.3 . Or : INCORPORER Equation.3 . Comme INCORPORER Equation.3 , il vient :
INCORPORER Equation.3 . Très sensible !
5. Interférences à deux ondes : formule générale INCORPORER Equation.3 . Les deux vibrations qui interfèrent ayant même intensité, on a : INCORPORER Equation.3 . Or : INCORPORER Equation.3 , d'où la relation : INCORPORER Equation.3 .
6. INCORPORER Equation.3 .
Soit : INCORPORER Equation.3 .
Avec INCORPORER Equation.3 , on obtient : INCORPORER Equation.3 , donc de la forme :
INCORPORER Equation.3 , où INCORPORER Equation.3 correspond au déphasage au point M (xo), & où :
INCORPORER Equation.3 . On reconnaît une analogie avec une source monochromatique étendue, le rôle de la source étant joué par la cathode du photomultiplicateur. Calcul de la valeur moyenne :
INCORPORER Equation.3 , d'où : INCORPORER Equation.3 . Alors : INCORPORER Equation.3 .
7. Doù les courbes.
Si b = 3.i, INCORPORER Equation.3 , & le PM ne détecte pas les franges. Si b = b' = 0,3.i, INCORPORER Equation.3 . La courbe du courant INCORPORER Equation.3 est donc une sinusoïde d'amplitude 0,86 ; Jmax = 1,86.JM, , Jmin = 0,14.JM & donc le PM détecte les franges (écart de courant suffisant).
8. Alors, avec ( = 0, INCORPORER Equation.3 . On a vu à la question 3 que INCORPORER Equation.3 . On reporte dans J :
INCORPORER Equation.3 . Comme X est petit, on fait un DL : INCORPORER Equation.3 , avec INCORPORER Equation.3 . Comme INCORPORER Equation.3 , on obtient : INCORPORER Equation.3 .
9. On a : INCORPORER Equation.3 , légèrement inférieur à Xm.
Exo n°3 : Miroir de Lloyd.
1. Facteur de réflexion pour les amplitudes : INCORPORER Equation.3 , INCORPORER Equation.3 . Doù la ddm :
INCORPORER Equation.3 . Soit S le symétrique de S par rapport à OH (cf figure), alors :
INCORPORER Equation.3 . Les valeurs numériques montrent que b
